Quartic corrections in energy potentials of hemitropic micropolar solids

Full Text

1. Введение и вводные замечания

При построении определяющих уравнений в механике континуума исключительную роль играет теория рациональных алгебраических инвариантов [1–7]. Инварианты и полуинварианты позволяют корректно сформулировать аппроксимации заданной степени для энергетических потенциалов силовых и моментных напряжений в микрополярной механике упругих тел [8–18]. Это особенно актуально при построении математических моделей гемитропных микрополярных упругих сред. В данном случае наиболее подходящим оказывается A-представление [17, 18] энергетических форм, представляющее собой линейную комбинацию индивидуальных и совместных целых рациональных алгебраических инвариантов асимметричного тензора деформаций и градиента поля микроповоротов относительно гемитропной группы преобразований.  

Основным понятием теории алгебраических инвариантов является индивидуальный инвариант (псевдоинвариант) тензора (псевдотензора) [4, с. 136]. При этом если алгебраический вес \({\rm g}\) инварианта равен нулю, то инвариант называется абсолютным, а при \({\rm g}\ne 0\) — относительным, или псевдоинвариантом. Инварианты тензора могут быть заданы несколькими способами [4, с. 327]. Например, для аффинора \({A}^{\cdot s}_{k \cdot}\) следы его степеней образуют бесконечную систему инвариантов: 
\[\begin{equation}\tag{1}
    \underset{1}{S}={A}^{\cdot s}_{s \cdot}\,, \qquad 
    \underset{2}{S}={A}^{\cdot k}_{s \cdot}A^{\cdot s}_{k \cdot}\,, \qquad
    \underset{3}{S}={A}^{\cdot k}_{s \cdot}A^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot s}_{l \cdot}\,, \qquad \ldots
\end{equation}\]

С другой стороны, существенную роль играют также следующие инварианты:  
\[\begin{equation}\tag{2}
    \underset{1}{I}={A}^{\cdot s}_{s \cdot}\,, \qquad 
    \underset{2}{I}={A}^{\cdot k}_{[s \cdot}A^{\cdot s}_{k] \cdot}\,, \qquad
    \underset{3}{I}={A}^{\cdot k}_{[s \cdot}A^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot s}_{l] \cdot}\,, \qquad \ldots
\end{equation}\]

Квадратные скобки в (2) обозначают операцию альтернирования по заключенным в них индексам. Раскрывая знак альтернирования в (2), можно получить формулы Варинга, связывающие между собой инварианты системы (2) и системы (1). 

Совместные инварианты набора, состоящего из нескольких тензоров (псевдотензоров), определяются следами внутренних совместных произведений тензоров, входящих в набор.  

Системы инвариантов (1) и (2) представляют собой бесконечные множества. Кроме того, целая рациональная функция (с числовыми коэффициентами) от нескольких инвариантов системы также будет (при определенных условиях) инвариантом того же набора. 

В связи с этим возникает понятие неприводимого инварианта системы, т.е. такого инварианта, который не является целой рациональной функцией от других инвариантов той же системы. Множество всех неприводимых инвариантов системы называется ее полной системой инвариантов, т.е. множеством инвариантов, представляющих собой целые рациональные функции, причем никакой из инвариантов не может быть выражен в виде целой рациональной функции остальных (или некоторых из них). 

Следует отметить, что монография [5] посвящена построению систем инвариантов для различных наборов тензоров. Однако как в ней, так и в ее английском оригинале присутствуют досадные опечатки [5, с. 65, Табл. 2]. Среди индивидуальных инвариантов матрицы \({\bf a}\) ошибочно указан инвариант \({\bf b}^3\). В строке, описывающей набор совместных инвариантов двух симметричных и двух антисимметричных матриц второго ранга \({\bf a}\), \({\bf b}\), \({\bf u}\) и \({\bf v}\), отсутствуют инварианты \({\bf u}^2{\bf a}{\bf v}{\bf b}^2{}^{* \dagger}\), а вместо инвариантов \({\bf u}{\bf v}{\bf a}^2{\bf b}{}^{* \dagger}\) приведены инварианты \({\bf u}{\bf v}{\bf a}^2{\bf b}{}^{*}\) и \({\bf u}{\bf v}{\bf b}{\bf a}^2{}^{*}\). Однако, руководствуясь статьями [1, 2], можно составить корректный полный набор индивидуальных и совместных гемитропных инвариантов двух симметричных и двух антисимметричных тензоров второго ранга (см. [2, p. 80, Table 1]). Вместе с тем первую часть статьи [1] следует читать с осторожностью, поскольку, по утверждению самого автора, в ней также присутствуют неточности.  

Настоящее исследование направлено на последовательное применение результатов теории алгебраических инвариантов для построения аппроксимации заданной (четвертой) степени точности энергетических форм потенциалов силовых и моментных напряжений микрополярных упругих тел. С помощью теории целых рациональных алгебраических инвариантов (полуинвариантов) изучено полное множество неприводимых инвариантов для системы двух асимметричных тензоров второго ранга в форме инвариантных следов. Из 86 элементов отобрано 39 инвариантов в соответствии с правилом возрастания алгебраических степеней: 2 линейных инварианта, 6 квадратичных, 12 кубических и 19 инвариантов четвертой степени. Предложена схема построения 39 инвариантов четвертой степени, сгруппированных в четыре категории на основе следующих правил: произведения линейных инвариантов между собой, произведения квадратичных инвариантов между собой, произведения линейных и квадратичных инвариантов, попарные произведения линейных и кубических инвариантов, а также собственные инварианты четвертой степени. Построен потенциал силовых и моментных напряжений гемитропного микрополярного упругого тела, содержащий квадратичные, кубические и слагаемые четвертой алгебраической степени. В результате получены 87 поправок к кубическому потенциалу силовых и моментных напряжений нелинейного гемитропного микрополярного упругого тела.  

Изложение в значительной степени основано на терминологии, обозначениях, методах и результатах, разработанных в предыдущих статьях [17–25].

2. Инвариантные следы, не превышающие четвертую степень и образующие целый рациональный базис относительно гемитропной группы преобразований

Рассмотрим систему, состоящую из двух асимметричных тензоров второго ранга. Каждый из этих тензоров может быть представлен в виде алгебраической суммы симметричной и антисимметричной составляющих:
\[\begin{equation}
    {\bf A}+{\bf V}; \qquad {\bf B}+{\bf W}.
\end{equation}\]
При этом выполняются следующие соотношения:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
    &{\bf A}={\bf A}^{\top}; &&
    {\bf V}=-{\bf V}^{\top}; 
    \\
    &{\bf B}={\bf B}^{\top};&&
    {\bf W}=-{\bf W}^{\top}.
\end{aligned}
\end{equation}\]

Используя результаты, полученные в работах [1, 2, 5], для системы, состоящей из двух симметричных \({\bf A}\), \({\bf B}\) и двух антисимметричных \({\bf V}\), \({\bf W}\) тензоров второго ранга, можно построить систему инвариантов. Следует отметить, что рассуждения о совместных и индивидуальных инвариантах такой системы существенно зависят от размерности пространства [26]. В дальнейшем будем считать, что размерность пространства равна 3. Полный набор индивидуальных и совместных гемитропных инвариантов указанной системы тензоров состоит из 86 неприводимых элементов [1, 2, 5], упорядоченных согласно [5, с. 65, Табл. 2]:
\[
\begin{equation}\tag{3}
    \begin{aligned}
        &  \hphantom{1}{1})\,\operatorname{tr}[{\bf A}] ;
        && \hphantom{1}{2})\,\operatorname{tr}[{\bf A}^2] ;
        && \hphantom{1}{3})\,\operatorname{tr}[{\bf A}^3] ;
        && \hphantom{1}{4})\,\operatorname{tr}[{\bf B}] ;
        \\
        &  \hphantom{1}{5})\,\operatorname{tr}[{\bf B}^2] ; 
        && \hphantom{1}{6})\,\operatorname{tr}[{\bf B}^3] ;
        && \hphantom{1}{7})\,\operatorname{tr}[{\bf V}^2] ;
        && \hphantom{1}{8})\,\operatorname{tr}[{\bf W}^2] ;
        \\
        & \hphantom{1}{9})\,\operatorname{tr}[{\bf AB}] ;
        && {10})\,\operatorname{tr}[{\bf A^2B}] ;
        && {11})\,\operatorname{tr}[{\bf B^2A}] ;
        && {12})\,\operatorname{tr}[{\bf A^2B^2}] ;
        \\
        &  {13})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2A}] ;
        && {14})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2A^2}] ; 
        && {15})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2AVA^2}] ; 
        && {16})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2B}] ;
        \\
        &  {17})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2B^2}] ; 
        && {18})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2BVB^2}] ; 
        && {19})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2A}] ;
        && {20})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2A^2}] ;
        \\
        &  {21})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2AWA^2}] ; 
        && {22})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2B}]  ;
        && {23})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2B^2}] ; 
        && {24})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2BWB^2}] ;
        \\
        &  {25})\,\operatorname{tr}[{\bf VW}] ;
        && {26})\,\operatorname{tr}[{\bf VAB}] ;
        && {27})\,\operatorname{tr}[{\bf VA^2B}] ; 
        && {28})\,\operatorname{tr}[{\bf VB^2A}] ;
        \\
        &  {29})\,\operatorname{tr}[{\bf VA^2B^2}] ; 
        && {30})\,\operatorname{tr}[{\bf VA^2BA}] ;
        && {31})\,\operatorname{tr}[{\bf VB^2AB}] ;
        && {32})\,\operatorname{tr}[{\bf VA^2B^2A}] ;
        \\
        &  {33})\,\operatorname{tr}[{\bf VB^2A^2B}] ;
        && {34})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2AB}] ;
        && {35})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2A^2B}] ; 
        && {36})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2B^2A}] ;
        \\
        &  {37})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2AVB}]  ;
        && {38})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2AVB^2}] ; 
        && {39})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2BVA^2}] ;
        && {40})\,\operatorname{tr}[{\bf WAB}] ;
        \\
        &  {41})\,\operatorname{tr}[{\bf WA^2B}] ; 
        && {42})\,\operatorname{tr}[{\bf WB^2A}] ;
        && {43})\,\operatorname{tr}[{\bf WA^2B^2}] ; 
        && {44})\,\operatorname{tr}[{\bf WA^2BA}] ;
        \\
        &  {45})\,\operatorname{tr}[{\bf WB^2AB}] ;
        && {46})\,\operatorname{tr}[{\bf WA^2B^2A}] ; 
        && {47})\,\operatorname{tr}[{\bf WB^2A^2B}] ;
        && {48})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2AB}] ;
        \\
        &  {49})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2A^2B}] ; 
        && {50})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2B^2A}] ;
        && {51})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2AWB}] ;
        && {52})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2AWB^2}] ; 
        \\
        &  {53})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2BWA^2}] ;
        && {54})\,\operatorname{tr}[{\bf VWA}] ;
        && {55})\,\operatorname{tr}[{\bf VWA^2}] ; 
        && {56})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2WA}] ;
        \\
        &  {57})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2VA}] ;
        && {58})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2WA^2}] ; 
        && {59})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2VA^2}] ;
        && {60})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2AWA^2}] ;
        \\
        &  {61})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2AVA^2}] ;
        && {62})\,\operatorname{tr}[{\bf VWB}] ;
        && {63})\,\operatorname{tr}[{\bf VWB^2}] ; 
        && {64})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2WB}] ;
        \\
        &  {65})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2VB}] ;
        && {66})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2WB^2}] ; 
        && {67})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2VB^2}] ;
        && {68})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2BWB^2}] ;
        \\
        &  {69})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2BVB^2}] ;
        && {70})\,\operatorname{tr}[{\bf VWAB}] ;
        && {71})\,\operatorname{tr}[{\bf VWBA}] ;
        && {72})\,\operatorname{tr}[{\bf VWA^2B}] ;
        \\
        &  {73})\,\operatorname{tr}[{\bf VWB^2A}] ;
        && {74})\,\operatorname{tr}[{\bf WVA^2B}] ;
        && {75})\,\operatorname{tr}[{\bf WVB^2A}] ;
        && {76})\,\operatorname{tr}[{\bf VWA^2B^2}] ;
        \\
        &  {77})\,\operatorname{tr}[{\bf VWA^2BA}] ;
        && {78})\,\operatorname{tr}[{\bf VWB^2AB}] ;
        && {79})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2WAB}] ;
        && {80})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2VAB}] ;
        \\
        &  {81})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2AWB}] ;
        && {82})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2AVB}] ;
        && {83})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2BWA^2}] ; 
        && {84})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2AWB^2}] ;
        \\
        &  {85})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2BVA^2}] ;
        && {86})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2AVB^2}]. &&  &&
    \end{aligned} \!\!
\end{equation}
\]

Здесь и далее операция внутреннего произведения тензоров будет опускаться, т.е. запись \({\bf A}\cdot {\bf B}\) сокращается до \({\bf AB}\). 

В дальнейшем ограничимся рассмотрением гемитропных инвариантов не выше четвертой степени из набора (3). Количество таких инвариантов составляет 39. Для удобства перенумеруем их в соответствии со следующими правилами: 

1. инварианты нумеруются в порядке возрастания их алгебраической степени;
2. при одинаковой степени — в порядке увеличения количества различных сомножителей во внутреннем произведении;
3. при прочих равных условиях — в алфавитном порядке.

При этом правило 1 является главным, а правила 2 и 3 — подчиненными. Кроме того, правило 3 также подчинено правилу 2. В результате получаем упорядоченный набор инвариантов не выше четвертой степени:
\[\begin{equation}\tag{4}
\begin{aligned}
        &  \hphantom{1}{1})\,\operatorname{tr}[{\bf A}] ;
        && \hphantom{1}{2})\,\operatorname{tr}[{\bf B}] ;
        && \hphantom{1}{3})\,\operatorname{tr}[{\bf A}^2] ;
        && \hphantom{1}{4})\,\operatorname{tr}[{\bf B}^2] ;
        \\
        &  \hphantom{1}{5})\,\operatorname{tr}[{\bf V}^2] ;
        && \hphantom{1}{6})\,\operatorname{tr}[{\bf W}^2] ;
        && \hphantom{1}{7})\,\operatorname{tr}[{\bf AB}] ;
        && \hphantom{1}{8})\,\operatorname{tr}[{\bf VW}] ;
        \\
        & \hphantom{1}{9})\,\operatorname{tr}[{\bf A}^3] ;
        && {10})\,\operatorname{tr}[{\bf B}^3] ;
        && {11})\,\operatorname{tr}[{\bf AB^2}] ;
        && {12})\,\operatorname{tr}[{\bf BA^2}] ;
        \\
        &  {13})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2A}] ;
        && {14})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2B}] ;
        && {15})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2A}] ;
        && {16})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2B}] ;
        \\
        &  {17})\,\operatorname{tr}[{\bf VAB}] ;
        && {18})\,\operatorname{tr}[{\bf WAB}] ;
        && {19})\,\operatorname{tr}[{\bf VWA}] ;
        && {20})\,\operatorname{tr}[{\bf VWB}] ;
        \\
        &  {21})\,\operatorname{tr}[{\bf A^2B^2}] ;
        && {22})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2A^2}] ;
        && {23})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2B^2}] ;
        && {24})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2A^2}] ;
        \\
        &  {25})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2B^2}] ;
        && {26})\,\operatorname{tr}[{\bf VA^2B}] ;
        && {27})\,\operatorname{tr}[{\bf WA^2B}] ;
        && {28})\,\operatorname{tr}[{\bf VB^2A}] ;
        \\
        &  {29})\,\operatorname{tr}[{\bf WB^2A}] ;
        && {30})\,\operatorname{tr}[{\bf VWA^2}] ;
        && {31})\,\operatorname{tr}[{\bf VWB^2}] ;
        && {32})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2AB}] ;
        \\
        &  {33})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2AB}] ;
        && {34})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2WA}] ;
        && {35})\,\operatorname{tr}[{\bf V^2WB}] ;
        && {36})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2VA}] ;
        \\
        &  {37})\,\operatorname{tr}[{\bf W^2VB}] ;
        && {38})\,\operatorname{tr}[{\bf VWAB}] ;
        && {39})\,\operatorname{tr}[{\bf VWBA}] .
        && 
    \end{aligned}
\end{equation}\]

Каждый из инвариантных следов снабжен индивидуальным идентификационным номером 1–39. Отметим, что в наборе (4) присутствуют: два инварианта первой степени (1, 2); шесть инвариантов второй степени (3–8); двенадцать инвариантов третьей степени (9–20) и девятнадцать инвариантов четвертой степени (21–39).

Для вычисления алгебраических инвариантов (4), следуя монографии [4, c. 327], можно воспользоваться представлением тензоров в смешанных компонентах. Такой подход является удобным и не зависит от метрики пространства. В этом случае инварианты (4) в заданной криволинейной системе координат принимают вид
\[\begin{equation*}
\begin{aligned}
        &  \hphantom{1}{1})\,\,{A}^{\cdot s}_{s \cdot} \,;
        && \hphantom{1}{2})\,\,{B}^{\cdot s}_{s \cdot} \,;
        && \hphantom{1}{3})\,\,{A}^{\cdot k}_{s \cdot}A^{\cdot s}_{k \cdot} \,;
        \\ 
        &  \hphantom{1}{4})\,\,{B}^{\cdot k}_{s \cdot}B^{\cdot s}_{k \cdot} \,;
        &&  \hphantom{1}{5})\,\,{V}^{\cdot k}_{s \cdot}V^{\cdot s}_{k \cdot} \,;
        && \hphantom{1}{6})\,\,{W}^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot s}_{k \cdot} \,;
        \\
        &  \hphantom{1}{7})\,\,{A}^{\cdot k}_{s \cdot}B^{\cdot s}_{k \cdot} \,;
        && \hphantom{1}{8})\,\,{V}^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot s}_{k \cdot} \,;
        && \hphantom{1}{9})\,\,{A}^{\cdot k}_{s \cdot}A^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot s}_{l \cdot} \,;
        \\
        &{10})\,\,{B}^{\cdot k}_{s \cdot}B^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot s}_{l \cdot} \,;
        && {11})\,\,{A}^{\cdot k}_{s \cdot}B^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot s}_{l \cdot} \,;
        && {12})\,\,{B}^{\cdot k}_{s \cdot}A^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot s}_{l \cdot} \,;
        \\
        &  {13})\,\,{V}^{\cdot k}_{s \cdot}V^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot s}_{l \cdot} \,;
        && {14})\,\,{V}^{\cdot k}_{s \cdot}V^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot s}_{l \cdot} \,;
        && {15})\,\,{W}^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot s}_{l \cdot} \,;
        \\
        &  {16})\,\,{W}^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot s}_{l \cdot} \,;
        &&  {17})\,\,{V}^{\cdot k}_{s \cdot}A^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot s}_{l \cdot} \,;
        && {18})\,\,{W}^{\cdot k}_{s \cdot}A^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot s}_{l \cdot} \,;
        \\
        &  {19})\,\,{V}^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot s}_{l \cdot} \,;
        && {20})\,\,{V}^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot s}_{l \cdot} \,;
        && {21})\,\,A^{\cdot k}_{s \cdot}A^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot m}_{l \cdot}B^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        \\
        &  {22})\,\,V^{\cdot k}_{s \cdot}V^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot m}_{l \cdot}A^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        && {23})\,\,V^{\cdot k}_{s \cdot}V^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot m}_{l \cdot}B^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        && {24})\,\,W^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot m}_{l \cdot}A^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        \\
        &  {25})\,\,W^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot m}_{l \cdot}B^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        && {26})\,\,V^{\cdot k}_{s \cdot}A^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot m}_{l \cdot}B^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        && {27})\,\,W^{\cdot k}_{s \cdot}A^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot m}_{l \cdot}B^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        \\
        &  {28})\,\,V^{\cdot k}_{s \cdot}B^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot m}_{l \cdot}A^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        &&  {29})\,\,W^{\cdot k}_{s \cdot}B^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot m}_{l \cdot}A^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        && {30})\,\,V^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot m}_{l \cdot}A^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        \\
        &  {31})\,\,V^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot m}_{l \cdot}B^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        && {32})\,\,V^{\cdot k}_{s \cdot}V^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot m}_{l \cdot}B^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        && {33})\,\,W^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot m}_{l \cdot}B^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        \\
        &  {34})\,\,V^{\cdot k}_{s \cdot}V^{\cdot l}_{k \cdot}W^{\cdot m}_{l \cdot}A^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        && {35})\,\,V^{\cdot k}_{s \cdot}V^{\cdot l}_{k \cdot}W^{\cdot m}_{l \cdot}B^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        && {36})\,\,W^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}V^{\cdot m}_{l \cdot}A^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        \\
        &  {37})\,\,W^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}V^{\cdot m}_{l \cdot}B^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        && {38})\,\,V^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot m}_{l \cdot}B^{\cdot s}_{m \cdot} \,;
        && {39})\,\,V^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot m}_{l \cdot}A^{\cdot s}_{m \cdot} \,. 
    \end{aligned}
\end{equation*}\]

Выделим сначала линейные инварианты из списка (4):
\[\begin{equation}\tag{5}
    1, \,\, 2.
\end{equation}\]
Отметим, что линейные инварианты (5) могут быть также выражены через \(A^{k \cdot}_{\cdot k}\) и \(B^{k \cdot}_{\cdot k}\).

Сформируем набор квадратичных инвариантов из элементов списка (4). Очевидно, что таковыми являются (номера соответствуют инвариантам) [24]:   
\[\begin{equation}\tag{6}
\begin{aligned}
      &{1}^2, \,\, 1\cdot2; 
      \\ 
      &{2}^2;
      \\ 
      &3, \,\, 4, \,\, 5, \,\, 6, \,\, 7, \,\, 8.  
\end{aligned}
\end{equation}\]

Набор (6) состоит из 9 квадратичных гемитропных инвариантов, которые были использованы для построения квадратичной энергетической формы [17, 18]. 

Для построения аппроксимаций более высоких степеней (третьей, четвертой и т.д.) энергетических форм необходимо расширить систему рациональных инвариантов до инвариантов более высоких целых степеней \((3, 4, 5, \dots)\). 

Выпишем неприводимую систему кубических инвариантов, представляющих собой совместные произведения инвариантов из списка (4) общей степени 3. Полный перечень из 28 кубических гемитропных инвариантов имеет следующий вид [25]: 
\[\begin{equation}\tag{7}
\begin{aligned}
     &1^3, \,\, 1^2\cdot2, \,\, 1\cdot2^2; \\ 
     &2^3;  
     \\ 
     &1\cdot3, \,\, 1\cdot4, \,\, 1\cdot5, \,\, 1\cdot6, \,\, 1\cdot7, \,\, 1\cdot8; 
     \\ 
     &2\cdot3, \,\, 2\cdot4, \,\, 2\cdot5, \,\, 2\cdot6, \,\, 2\cdot7, \,\, 2\cdot8; 
     \\ 
     &9, \,\, 10, \,\, 11, \,\, 12, \,\, 13, \,\, 14, \,\, 15, \,\, 16, \,\, 17, \,\, 18, \,\, 19, \,\, 20.
\end{aligned}
\end{equation} \]

Построим полный набор инвариантов четвертой степени, представляющих собой совместные комбинации инвариантов из списка (4) общей алгебраической степени 4 по следующей схеме. Сначала найдем комбинации линейных инвариантов между собой:
\[\begin{equation}\tag{8}
\begin{aligned}
        &1^4, \,\, 1^3\cdot2, \,\, 1^2\cdot2, \,\, 1\cdot2^3; \\ &2^4.
\end{aligned}
\end{equation}\]

Затем определим комбинации квадратичных инвариантов между собой:
\[\begin{equation}\tag{9}
\begin{aligned}
    &3^2, \,\, 3\cdot4, \,\, 3\cdot5, \,\, 3\cdot6, \,\, 3\cdot7, \,\, 3\cdot8; \\ 
    &4^2, \,\, 4\cdot5, \,\, 4\cdot6, \,\, 4\cdot7, \,\, 4\cdot8; \\ 
    &5^2, \,\, 5\cdot6, \,\, 5\cdot7, \,\, 5\cdot8; \\ 
    &6^2, \,\, 6\cdot7, \,\, 6\cdot8; \\ 
    &7^2, \,\, 7\cdot8; \\ 
    &8^2.
\end{aligned}
\end{equation}\]

Комбинации линейных и квадратичных инвариантов вычисляются следующим образом:  
\[\begin{equation}\tag{10}
\begin{aligned}
       &1^2\cdot3, \,\, 1^2\cdot4, \,\, 1^2\cdot5, \,\, 1^2\cdot6, \,\, 1^2\cdot7, \,\, 1^2\cdot8; 
       \\  
       &2^2\cdot3, \,\, 2^2\cdot4, \,\, 2^2\cdot5, \,\, 2^2\cdot6, \,\, 2^2\cdot7, \,\, 2^2\cdot8; 
       \\ 
       &1\cdot2\cdot3, \,\, 1\cdot2\cdot4, \,\, 1\cdot2\cdot5, 
       \,\, 
       1\cdot2\cdot6, \,\, 1\cdot2\cdot7, \,\, 1\cdot2\cdot8.
\end{aligned}
\end{equation}\]

Комбинации линейных и кубических инвариантов имеют вид
\[\begin{equation}\tag{11}
    \begin{aligned}
        &1\cdot9, \,\, 1\cdot10, \,\, 1\cdot11, \,\, 1\cdot12, \,\, 1\cdot13, \,\, 1\cdot14, 
        \\ 
        &1\cdot15, \,\, 1\cdot16, 
        \,\, 
        1\cdot17, \,\, 1\cdot18, \,\, 1\cdot19, \,\, 1\cdot20; \\ &2\cdot9, \,\, 2\cdot10, \,\, 2\cdot11, \,\, 2\cdot12, 
        \,\, 
        2\cdot13, \,\, 2\cdot14, 
        \\ 
        &2\cdot15, \,\, 2\cdot16, \,\, 
         2\cdot17, \,\, 2\cdot18, \,\, 2\cdot19, \,\, 2\cdot20.
    \end{aligned}
\end{equation}\]

Наконец, выделим инварианты четвертой степени: 
\[\begin{equation}\tag{12}
\begin{aligned}
    &21, \,\, 22, \,\, 23, \,\, 24, \,\, 25, \,\, 26, \,\, 27, \,\, 28, \,\, 29, \,\, 30, 
    \\ 
    &31, \,\, 32, \,\, 33, \,\, 34, \,\, 35, \,\, 36, \,\, 37, \,\, 38, \,\, 39.
\end{aligned}
\end{equation}\]

Объединив полученные группы комбинаций (8), (9), (10), (11) и (12), получим искомый полный набор из \(5+21+18+24+19=87\) инвариантов четвертой степени.

3. Аппроксимация четвертой степени энергетической формы гемитропного микрополярного упругого тела

Основываясь на результатах предыдущего раздела, построим систему индивидуальных и совместных целых рациональных алгебраических инвариантов симметричных и антисимметричных частей асимметричных тензоров деформаций и тензора изгиба-кручения. Для этого выполним следующую замену переменных:
\[\begin{equation}\tag{13}
\begin{aligned}
    &  {\bf A} = \operatorname{sym}{\boldsymbol{\epsilon}}, & & 
    {\bf B} = \operatorname{sym}{\boldsymbol{\kappa}},
    \\
    & {\bf V} = \operatorname{asym}{\boldsymbol{\epsilon}}, & & 
    {\bf W} = \operatorname{asym}{\boldsymbol{\kappa}}.
\end{aligned}
\end{equation}\]
В смешанных компонентах соотношения (13) принимают вид
\[\begin{equation}\tag{14}
\begin{aligned}
    &  {A}{}_{s\cdot}^{\cdot k} = \dfrac{1}{2}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big], & & 
    {B}{}_{s\cdot}^{\cdot k} = \dfrac{1}{2}\big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big],
    \\
    & {V}{}_{s\cdot}^{\cdot k} = \dfrac{1}{2}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big], & & 
    {W}{}_{s\cdot}^{\cdot k} = \dfrac{1}{2}\big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big].
\end{aligned}
\end{equation}\]

Отметим, что смешанные тензорные компоненты в (14) могут быть представлены альтернативным эквивалентным способом (например, через \({A}{}_{\cdot s}^{k \cdot}\) и \({B}{}_{\cdot s}^{k \cdot}\)).

Используя замену (13) и следуя схеме нумерации из работ [17, 18], систему квадратичных гемитропных инвариантов (6) можно представить в соответствии с [24], а систему гемитропных кубических инвариантов (7) — согласно [25]. Аналогичным образом может быть получена система гемитропных инвариантов четвертой степени. Ввиду значительного объема соответствующих выражений мы не приводим их в данной статье.

А-представление аппроксимации четвертой степени энергетической формы гемитропного микрополярного упругого тела, соответствующее системе инвариантов второй, третьей и четвертой степеней, запишем в компактной форме:
\[\begin{equation}
    {\mathscr U}=
    \sum_{{\mathfrak a}=1}^{9}{}^{2}
    \underset{\mathfrak a}{C}\,{}^{2}
    \underset{\mathfrak a}{\rm I}+
    \sum_{{\mathfrak c}=1}^{28}{}^{3}
    \underset{\mathfrak c}{\vphantom{\mathfrak J}C}\,{}^{3}\underset{\mathfrak c}{\mathfrak J}+
    \sum_{{\mathfrak m}=1}^{87}{}^{4}\underset{\mathfrak m}{\vphantom{\mathfrak J}C}\,{}^{4}\underset{\mathfrak m}{\mathfrak K},
\tag{15}
\end{equation}\]
где введены следующие обозначения для определяющих модулей:

• ${}^{2}\underset{\mathfrak a}{C}$ (${\mathfrak a}=1,\dots,9$) — определяющие модули квадратичного приближения;
• ${}^{3}\underset{\mathfrak c}{C}$ (${\mathfrak c}=1,\dots,28$) — определяющие модули, связанные с кубическими поправками;
• ${}^{4}\underset{\mathfrak m}{C}$ (${\mathfrak m}=1,\dots,87$) — определяющие модули, связанные с поправками четвертой степени;
• ${}^{2}\underset{\mathfrak a}{\rm I}$ (${\mathfrak a}=1,\dots,9$) — квадратичные инварианты;
• ${}^{3}\underset{\mathfrak c}{\mathfrak J}$ (${\mathfrak c}=1,\dots,28$) — кубические инварианты;
• ${}^{4}\underset{\mathfrak m}{\mathfrak K}$ (${\mathfrak m}=1,\dots,87$) — инварианты четвертой степени.

Следует особо отметить чувствительность некоторых определяющих модулей к зеркальным отражениям и инверсиям трехмерного пространства, что обусловлено возможностью присвоения нечетного алгебраического веса тензору изгиба-кручения.

Совокупность определяющих модулей ($9+28+87=124$): ${}^{2}\underset{\mathfrak a}{C}$ (${\mathfrak a}=1,\dots,9$); ${}^{3}\underset{\mathfrak c}{C}$ (${\mathfrak c}=1,\dots,28$) и ${}^{4}\underset{\mathfrak m}{C}$ (${\mathfrak m}=1,\dots,87$), присутствующих в потенциале силовых и моментных напряжений (15), представляет собой неопределенные коэффициенты в линейной комбинации неприводимой системы инвариантов второй, третьей и четвертой алгебраических степеней системы двух асимметричных тензоров второго ранга.

4. Заключение

В настоящей работе развит подход, основанный на теории алгебраических инвариантов, для построения аппроксимации четвертой степени энергетической формы нелинейного гемитропного микрополярного упругого тела. Алгебраические инварианты представлены в форме инвариантных следов, соответствующих, в общем случае, неперестановочным степеням внутренних произведений тензоров второго ранга, составляющих исследуемую систему. Основные результаты работы могут быть сформулированы следующим образом.

1. На основе теории целых рациональных алгебраических инвариантов (полуинвариантов) исследовано полное множество неприводимых инвариантов для системы двух асимметричных тензоров второго ранга, представленных в форме инвариантных следов. В результате выделен полный  набор из 86 инвариантных следов, состоящий из 8 индивидуальных инвариантов, 17 парных инвариантов, 44 инвариантных троек и 17 инвариантных четверок. Общее количество инвариантов составляет $8+17+44+17=86$.
2. Из 86 элементов отобрано 39 инвариантов в соответствии с правилом возрастания алгебраических степеней: 2 линейных инварианта, 6 квадратичных инвариантов, 12 кубических инвариантов и 19 инвариантов четвертой степени (\(2+6+12+19=39\)). Предложена схема построения 39 инвариантов четвертой степени, организованных в четыре группы.
3. Установлены целые рациональные комбинации четвертой алгебраической степени, сформированные из 39 элементов по следующей схеме: произведения линейных инвариантов между собой (5 комбинаций); произведения квадратичных инвариантов между собой (21 комбинация); произведения линейных и квадратичных инвариантов (18 комбинаций), попарные произведения линейных и кубических инвариантов (24 комбинации), собственные инварианты четвертой степени (19 комбинаций). 
   Общее количество комбинаций составляет $5+21+18+24+19=87$. 
4. Построен потенциал силовых и моментных напряжений гемитропного микрополярного упругого тела, включающий квадратичные, кубические и слагаемые четвертой алгебраической степени. В результате микрополярный потенциал характеризуется 124 определяющими модулями ($9+28+87=124$).    
5. Получены явные формулы для вычисления всех 39 инвариантов в смешанных тензорных компонентах в произвольной криволинейной системе координат.

Конкурирующие интересы. У нас нет конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная  версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Работа выполнена по теме государственного задания (государственный регистрационный номер 124012500437-9).

About the authors

Evgenii V. Murashkin

Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: murashkin@ipmnet.ru
ORCID iD: 0000-0002-3267-4742
SPIN-code: 4022-4305
Scopus Author ID: 12760003400
ResearcherId: F-4192-2014
https://www.mathnet.ru/rus/person53045

Cand. Phys. & Math. Sci., PhD, MD; Senior Researcher; Lab. of Modeling in Solid Mechanics

Russian Federation, 119526, Moscow, pr. Vernadskogo, 101–1

Yuri N. Radayev

Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Email: radayev@ipmnet.ru
ORCID iD: 0000-0002-0866-2151
SPIN-code: 5886-9203
Scopus Author ID: 6602740688
ResearcherId: J-8505-2019
https://www.mathnet.ru/rus/person39479

D.Sc. (Phys. & Math. Sci.), Ph.D., M.Sc., Professor; Leading Researcher; Lab. of Modeling in Solid Mechanics

Russian Federation, 119526, Moscow, pr. Vernadskogo, 101–1

References

Supplementary files