О новом лагранжевом взгляде на эволюцию завихренности в пространственных течениях
- Авторы: Максименко И.А.1, Марков В.В.2,3,4
-
Учреждения:
- Мюнхенский технический университет
- Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
- Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт механики
- Научно-исследовательский институт системных исследований РАН
- Выпуск: Том 26, № 1 (2022)
- Страницы: 179-189
- Раздел: Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
- Статья получена: 07.02.2022
- Статья одобрена: 24.02.2022
- Статья опубликована: 31.03.2022
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/100273
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1907
- ID: 100273
Цитировать
Аннотация
Цель исследования состоит в распространении на пространственный случай разработанного Г. Б. Сизых подхода к эволюции завихренности для двумерных течений, базирующегося на представлении эволюции завихренности в виде такого движения вихревых линий и вихревых трубок, при котором интенсивность этих трубок меняется со временем по любому наперед заданному закону.
Метод. Строгий анализ уравнений, описывающих поле скорости течения идеальной несжимаемой жидкости и вязкого газа в общем пространственном случае с использованием представления о движении воображаемых частиц.
Результаты. Для любого заданного временного закона изменения циркуляции скорости (например, для экспоненциального убывания) реальной жидкости по контурам предложен способ построения поля скорости движения этих контуров и вихревых трубок (т. е. построение поля скорости переносящих их воображаемых частиц). Установлено, что при заданной функции времени скорость воображаемых частиц определяется неоднозначно, и предложен способ коррекции их движения при сохранении выбранного закона изменения циркуляции.
Заключение. Предложен новый лагранжев подход к эволюции завихренности в пространственных течениях и получены выражения для скорости движения контуров, обеспечивающие заданное изменение со временем циркуляции скорости реальной жидкости по любому контуру. Данный теоретический результат может быть использован в пространственных модификациях метода вязких вихревых доменов для ограничения количества учитываемых в расчетах векторных трубок.
Полный текст
Введение. В середине прошлого столетия был создан бессеточный метод расчета пространственных вихревых течений идеальной несжимаемой жидкости (метод дискретных вихрей [1-3]), основанный на теоремах Гельмгольца о вихрях. Этот метод успешно применяется до сих пор (см., например, [4–6]). Позже теоремы Гельмгольца были обобщены на случай вязкой несжимаемой жидкости, но только для двумерных (плоскопараллельных [7] и незакрученных осесимметричных [8]) течений, и были найдены формулы для скорости переноса вихревых трубок с сохранением их интенсивности. Обе формулы статей [7, 8], используя принятые обозначения для скорости потока, завихренности и кинематического коэффициента вязкости, можно представить в виде
В работе [9] был предложен численный метод исследования двумерных вязких течений, так называемый "метод вязких вихревых доменов" (ВВД), в котором используется представление о движении вихревых трубок постоянной интенсивности со скоростью , полученной в [7, 8]. Исчерпывающее объяснение этого метода приводится, например, в [10], а краткое — в [11]. Являясь бессеточным методом, ВВД обладает рядом преимуществ, в частности, возможностью удовлетворить граничным условиям в неограниченных пространственных течениях [12], что необходимо при моделировании природных явлений (циклоны, океанические течения и т. д.). Однако использование метода ВВД сопряжено с трудностями, такими как неограниченный рост общего числа рассматриваемых доменов, генерируемых на каждом расчетном шаге. В настоящее время ограничение общего числа доменов производится путем перераспределения их положений и интенсивностей [13-15]. В качестве одного из способов "борьбы" с неограниченным ростом числа доменов в работе [16] была предложена новая формула скорости переноса вихревых трубок для любого наперед заданного закона изменения их интенсивности во время движения, которая в случае экспоненциального закона убывания со временем позволяет пренебречь каждым доменом спустя некоторое конечное число шагов по времени и тем самым ограничить количество учитываемых в расчете доменов. Внедрение такой скорости в метод ВВД представляет собой отдельную содержательную задачу вычислительной гидродинамики и требует времени, а статья [16] опубликована недавно. Поэтому, несмотря на отсутствие примеров использования скорости [16], авторы настоящей статьи выражают уверенность в том, что это отсутствие временное, и результат [16] будет полезен для развития метода ВВД.
Как сказано выше, метод ВВД и разработанная для этого метода в [16] новая скорость позволяют рассчитывать только двумерные течения. Более точно формулы для скорости [16] работают только в таких течениях, в которых завихренность и ее ротор ортогональны. Следует заметить, что идеи работ [7, 8] удалось распространить на закрученные осесимметричные течения благодаря раздельному рассмотрению эволюции завихренностей радиально-осевой и окружной скоростей в [17, 18]. При таком раздельном взгляде роторы этих завихренностей ортогональны им. Поэтому формулы [16] можно применять для каждого из двух полей завихренности (при этом даже можно задать различными законы убывания интенсивностей вихревых трубок каждой из них). В общем пространственном случае такое распространение невозможно, поскольку (как уже было сказано) в двумерных течениях завихренность и ее ротор ортогональны, вследствие чего допускаются такие преобразования уравнений Навье– Стокса (использованные в [7, 8]), которые невозможны в общем пространственном случае, где завихренность и ее ротор могут быть не ортогональны (подробно см. [7, 8]). Поэтому длительное время после опубликования работ [7, 8] среди известных авторам исследователей считалось, что в общем пространственном случае скорость не существует. Уверенность в этом вселяла статья [19], в которой было "доказано" отсутствие скорости в общем пространственном случае. Однако потом в [19] была обнаружена ошибка. Это произошло после того, как в [11] было доказано, что в общем пространственном случае скорость все-таки существует, причем для течений жидкостей всех типов: от идеальной несжимаемой жидкости до вязкого газа. Неточность [19] состоит в том, что решение одного из уравнений, имеющее в этой статье номер (22), не единственно в ограниченных областях, в то время как предложенное авторами решение уравнения (22) единственно только в неограниченном случае, когда значение искомой функции полагается равным нулю на бесконечности (данное указание на ошибку [19] публикуется впервые).
Для вычисления скорости в общем пространственном случае в [11] был предложен так называемый нелокальный метод, требующий интегрирования вдоль вихревых линий. Это делает расчеты очень громоздкими, и теоретический результат [11] несколько лет не применялся для развития метода ВВД, который оставался двумерным. Однако недавно появился первый пространственный вариант метода ВВД [20], основанный на обобщении [11] двумерных вязких аналогов теорем Гельмгольца [7, 8] на общий пространственный случай. Сложилась ситуация, подобная той, которая была недавно разрешена в [16] для двумерных течений. Появилась проблема неограниченного роста количества вихревых трубок в процессе расчета, но уже в пространственном случае. В настоящей статье с целью преодоления этой проблемы предпринята попытка в общем пространственном случае найти аналог скорости работы [16], при которой интенсивность вихревых трубок во время движения менялась бы со временем по заданному закону.
1. Представление динамического уравнения движения жидкости и газа. Поле скорости течения жидкости и газа (от идеальной несжимаемой жидкости до вязкого газа) в общем пространственном случае подчиняется уравнению вида
(1)
где — время, — удельная плотность всех непотенциальных сил, а — некоторое скалярное поле, содержащее в качестве слагаемого удельную кинетическую энергию . Ниже считаем все параметры течения достаточно гладкими для обоснованности выкладок и рассуждений. Пусть — произвольная гладкая функция времени.
Воспользуемся идеей доказательства существования скорости переноса вихревых трубок с сохранением их интенсивности, которое было предложено и применено Г. Б. Сизых в работе [11] (вклад другого соавтора [11], В. В. Маркова, состоит в обнаружении неоднозначности такой скорости). В пространственной области вихревого течения ( ) рассмотрим такую плоскую область , нормаль к которой во всех точках имеет острый угол с вихревыми линиями, пересекающими в течение некоторого отрезка времени . Выделим пространственный односвязный фрагмент , который принадлежит пересечению всех вихревых трубок, проходящих через в различные моменты времени , и содержит . Пусть на поверхности задана любая не зависящая от времени функция . Интегрированием вдоль вихревых линий для каждого из продолжим из в функцией , градиент которой удовлетворяет равенству
(2)
Рассмотрим векторное произведение
из которого с учетом (312) получим
(3)
Подставляя (313) в (311), после перегруппировки слагаемых имеем
(4)
где
(5)
2. Критерий Зоравского. Далее воспользуемся представлением о движении частиц воображаемой жидкости, впервые предложенном в [11, 21] и продуктивно использующимся в последнее время [22-28]. Для этого сформулируем критерий Зоравского [29, 30], который также известен как теорема Фридмана [31], в терминах движения вихревых трубок вместе с частицами воображаемой среды.
Пусть — область пространства, заполненная одновременно двумя воображаемыми жидкостями, которые никак не взаимодействуют между собой (и не препятствуют движению друг друга). Частицы первой воображаемой жидкости движутся со скоростью , а частицы второй — со скоростью . Течение второй воображаемой жидкости является вихревым () в течение некоторого интервала времени . Пусть в области при завихренность второй воображаемой жидкости и скорость первой воображаемой жидкости связаны уравнением
(6)
Тогда, как следует из критерия Зоравского, при вихревые линии и вихревые трубки двигаются со скоростью , а интенсивность вихревых трубок (равная циркуляции скорости по любому контуру, единожды опоясывающему трубку поля ) сохраняется, пока эти частицы находятся внутри .
Это следствие будет использовано ниже при исследовании связи поля завихренности реальной жидкости с полями скоростей частиц некоторых воображаемых жидкостей.
3. Движение вихревых трубок. В этом разделе для применения критерия Зоравского будем рассматривать сразу две воображаемые жидкости с использованием поля скорости реальной жидкости . Считаем, что частицы первой воображаемой жидкости движутся со скоростью , определяемой через по формуле (5), а частицы второй воображаемой жидкости — со скоростью Подставляя [1] в (314), получаем
(7)
Применяя оператор ротации к левой и правой частям (7), приходим к уравнению, имеющему вид (6): . Следовательно (критерий Зоравского), вихревые трубки перемещаются вместе с частицами первой воображаемой жидкости, движущимися со скоростью (5). При этом циркуляция скорости второй воображаемой жидкости по контурам, перемещающимся вместе с частицами первой воображаемой жидкости со скоростью (5), сохраняется с течением времени и равна . Учитывая, что завихренность второй воображаемой жидкости и завихренность реальной жидкости связаны соотношением , приходим к основному результату. Вихревые линии и вихревые трубки поля скорости (реальной) жидкости перемещаются вместе с частицами воображаемой жидкости, движущимися со скоростью (5), и при этом перемещении интенсивность всех вихревых трубок меняется по закону
(318)
Таким образом, установлено, что в пространственном случае существует аналог скорости [16], с которой движутся вихревые трубки, а их интенсивность меняется по заданному закону (8). По известной функции эта скорость определяется формулой (5), где получается с помощью интегрирования уравнения (2) вдоль вихревых линий. Должный выбор позволяет менять в некотором диапазоне величину и направление скорости частиц воображаемой жидкости . Различным и будут соответствовать различные скорости и, как следствие, различные точки зрения на эволюцию завихренности, которые, согласно [11], все равноправны.
Как и в [16], предлагаемый новый способ вычисления скорости представляет собой обобщение способа [11], поскольку совпадает с последним при .
4. Вязкая несжимаемая жидкость. Уравнение Навье– Стокса для несжимаемой жидкости имеет вид (1), в котором скалярное поле может быть представлено как , где — отношение давления к плотности, — потенциал объемных сил, а функция . Поэтому, согласно (5), имеем
При перемещении контуров (доменов) с такой скоростью их интенсивность будет изменяться по закону (8). При реализации метода ВВД с использованием данной скорости функции и должны удовлетворять определенным условиям гладкости в течение одного временного шага. Эти требования, вообще говоря, неизвестны, и их определение на сегодняшний день представляет собой актуальную задачу математической физики. Однако для справедливости представленных рассуждений, как следует из курса дифференциальных уравнений, указанные функции должны быть как минимум непрерывно дифференцируемыми в исследуемой области течения. При этом допускается скачкообразное изменение этих функций при переходе от одного временного шага к другому, поскольку это будет соответствовать смене "старой" лагранжевой точке зрения на "новую". Слова "старая" и "новая" взяты в кавычки, потому что эти точки зрения существовали и продолжают существовать на всех временных шагах, но одна из них применяется раньше, а другая — позже. Возможные варианты для выбора предложены, например, в [16].
5. Неоднозначность скорости U. С математической точки зрения, формула (5) отражает не все возможные варианты скоростей переноса (убывающей) завихренности , удовлетворяющие уравнению (4). А именно, следует внести добавок , коллинеарный вектору завихренности ( — произвольная гладкая функция времени и пространства), так как на общий вид (4) это не повлияет.
Однако принципиальная неоднозначность в вычислении скорости (5) возникает из-за наличия слагаемого с функцией , которая получается путем интегрирования вдоль вихревых линий для каждого момента времени в область вихревого фрагмента жидкости и, таким образом, определяется с точностью до некоторого скалярного поля , постоянного вдоль этих же вихревых линий: (аналогичные рассуждения были применены в работе [11]). Поэтому, опуская детальные выкладки, (5) может быть обобщена как
Заключение. Новая точка зрения на эволюцию завихренности в течениях жидкости и газа, предложенная в [16] для двумерных течений, распространена на общий пространственный случай. Эта точка зрения состоит в представлении эволюции завихренности в виде такого движения вихревых линий и вихревых трубок, при котором интенсивность вихревых трубок меняется по любому наперед заданному временному закону, в частности, при она экспоненциально убывает. Разумеется, разным законам изменения интенсивности, т. е. разным , будут соответствовать разные скорости движения вихревых линий и вихревых трубок. С точки зрения сложности реализации предложенного подхода, связанной с необходимостью интегрирования вдоль вихревых линий, никаких дополнительных проблем по сравнению c [11] не возникает, поскольку в обоих случаях вдоль вихревых линий интегрируется уравнение типа (2).
Предлагаемая новая точка зрения на эволюцию завихренности в пространственных модификациях метода ВВД может быть использована для ограничения количества учитываемых в расчетах векторных трубок.
Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Вклад авторов: И. А. Максименко — 50%, В. В. Марков — 50%. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.
Благодарность. Авторы благодарны рецензентам за тщательное прочтение статьи и ценные предложения и комментарии.
Об авторах
Иван Александрович Максименко
Мюнхенский технический университет
Автор, ответственный за переписку.
Email: maksimenko.ia@phystech.edu
ORCID iD: 0000-0001-8159-8531
http://www.mathnet.ru/person181505
студент; департамент гражданской, гео- и экологической инженерии
Германия, 80333, Мюнхен, Арцисштрассе, 21Владимир Васильевич Марков
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН; Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт механики; Научно-исследовательский институт системных исследований РАН
Email: markov@mi-ras.ru
ORCID iD: 0000-0003-2188-2201
SPIN-код: 7387-8336
Scopus Author ID: 7201577279
ResearcherId: B-1239-2014
http://www.mathnet.ru/person17485
доктор физико-математических наук, профессор; ведущий научный сотрудник; отд. механики2; лаб. газодинамики взрыва и реагирующих систем3; отд. вычислительной математики4
Россия, 119991, Москва, ул. Губкина, 8; 119192, Москва, Мичуринский проспект, 1; 117218, Москва, Нахимовский проспект, 36, корп. 1Список литературы
- Rosenhead L. The formation of vortices from a surface of discontinuity // P. Roy. Soc. Lond., 1931. pp. 170–192. https://doi.org/10.1098/RSPA.1931.0189.
- Белоцерковский С. М., Ништ М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978. 352 с.
- Cottet G.-H., Koumoutsakos P. Vortex Methods. Theory and Practice: Cambridge Univ. Press, 2000. xiv+313 pp. https://doi.org/10.1017/CBO9780511526442.
- Aparinov A. A., Setukha A. V., Zhelannikov A. I. Numerical simulation of separated flow over three-dimensional complex shape bodies with some vortex method // AIP Conference Proceedings, 2014. vol. 1629, no. 1, 69. https://doi.org/10.1063/1.4902260.
- Апаринов А. А., Крицкий Б. С., Сетуха А. В. Численное моделирование работы несущего винта вертолета вблизи посадочной площадки ограниченных размеров вихревым методом // Изв. вузов. Авиационная техника, 2017. № 4. С. 21–27.
- Aparinov A. A., Aparinov V. A., Setukha A. V Supercomputer modeling of parachute flight dynamics // Supercomputing Frontiers and Innovations, 2018. vol. 5, no. 3. pp. 121–125. https://doi.org/10.14529/jsfi180323.
- Голубкин В. Н., Сизых Г. Б. О некоторых общих свойствах плоскопараллельных течений вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ, 1987. № 3. С. 176–178.
- Брутян М. А., Голубкин В. Н., Крапивский П. Л. Об уравнении Бернулли для осесимметричных течений вязкой жидкости // Уч. зап. ЦАГИ, 1988. Т. 19, № 2. С. 98–100.
- Дынникова Г. Я. Лагранжев подход к решению нестационарных уравнений Навье–Стокса // Докл. РАН, 2004. Т. 399, № 1. С. 42–46.
- Андронов П. Р., Гувернюк С. В., Дынникова Г. Я. Вихревые методы расчета нестационарных гидродинамических нагрузок. М.: Моск. унив., 2006. 184 с.
- Марков В. В., Сизых Г. Б. Эволюция завихренности в жидкости и газе // Изв. РАН. МЖГ, 2015. № 2. С. 8–15.
- Дынникова Г. Я. Расчет обтекания кругового цилиндра на основе двумерных уравнений Навье–Стокса при больших числах Рейнольдса с высоким разрешением в пограничном слое // Докл. РАН, 2008. Т. 422, № 6. С. 755–757.
- Dynnikova G. Ya., Dynnikov Ya. A., Guvernyuk S. V., Malakhova T. V. Stability of a reverse Karman vortex street // Physics of Fluids, 2021. vol. 33, no. 2, 024102. https://doi.org/10.1063/5.0035575.
- Kuzmina K., Marchevsky I., Soldatova I., Izmailova Y. On the scope of Lagrangian vortex methods for two-dimensional flow simulations and the POD technique application for data storing and analyzing // Entropy, 2021. vol. 23, no. 1, 118. https://doi.org/10.3390/e23010118.
- Leonova D., Marchevsky I., Ryatina E. Fast methods for vortex influence computation in meshless lagrangian vortex methods for 2D incompressible flows simulation // WIT Transactions on Engineering Sciences, 2019. vol. 126. pp. 255–267. https://doi.org/10.2495/BE420231.
- Сизых Г. Б. Новый лагранжев взгляд на эволюцию завихренности в двухмерных течениях жидкости и газа // Изв. вузов. ПНД, 2022. Т. 30, № 1. С. 30–36. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2022-30-1-30-36.
- Сизых Г. Б. Эволюция завихренности в закрученных осесимметричных течениях вязкой несжимаемой жидкости // Уч. зап. ЦАГИ, 2015. Т. 46, № 3. С. 14–20.
- Просвиряков Е. Ю. Восстановление радиально-осевой скорости в закрученных осесимметричных течениях вязкой несжимаемой жидкости при лагранжевом рассмотрении эволюции завихренности // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2021. Т. 31, № 3. С. 505–516. https://doi.org/10.35634/vm210311.
- Grant J. R., Marshall J. S. Diffusion velocity for a three-dimensional vorticity field // Theor. Comput. Fluid Dyn., 2005. vol. 19, no. 6. pp. 377–390. https://doi.org/10.1007/s00162-005-0004-8.
- Коцур О. С. Математическое моделирование эллиптического вихревого кольца в вязкой жидкости методом вихревых петель // Математика и математическое моделирование, 2021. № 3. С. 46–61. https://doi.org/10.24108/mathm.0321.0000263.
- Сизых Г. Б. Значение энтропии на поверхности несимметричной выпуклой головной части при сверхзвуковом обтекании // ПММ, 2019. Т. 83, № 3. С. 377–383. https://doi.org/10.1134/S0032823519030135.
- Sizykh G. B. Closed vortex lines in fluid and gas // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2019. vol. 23, no. 3. pp. 407–416. https://doi.org/10.14498/vsgtu1723.
- Миронюк И. Ю., Усов Л. А. Инвариант линии торможения при стационарном обтекании тела завихренным потоком идеальной несжимаемой жидкости // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2020. Т. 24, № 4. С. 780–789. https://doi.org/10.14498/vsgtu1815.
- Коцур О. С. О существовании локальных способов вычисления скорости переноса вихревых трубок с сохранением их интенсивности // Труды МФТИ, 2019. Т. 11, № 1. С. 76–85.
- Миронюк И. Ю., Усов Л. А. Точки торможения на вихревых линиях в течениях идеального газа // Труды МФТИ, 2020. Т. 12, № 4. С. 171–176. https://doi.org/10.53815/20726759_2020_12_4_171.
- Сизых Г. Б. О коллинеарности завихренности и скорости за отошедшим скачком уплотнения // Труды МФТИ, 2021. Т. 13, № 3. С. 144–147. https://doi.org/10.53815/20726759_2021_13_3_144.
- Сизых Г. Б. Второе интегральное обобщение инварианта Крокко для 3D-течений за отошедшим головным скачком // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2021. Т. 25, № 3. С. 588–595. https://doi.org/10.14498/vsgtu1861.
- Сизых Г. Б. Интегральный инвариант течений идеального газа за отошедшим скачком уплотнения // ПММ, 2021. Т. 85, № 6. С. 742–747. https://doi.org/10.31857/S0032823521060102.
- Prim R., Truesdell C. A derivation of Zorawski’s criterion for permanent vector-lines // Proc. Am. Math. Soc., 1950. vol. 1. pp. 32–34.
- Truesdell C. The Kinematics of Vorticity. Bloomington: Indiana Univ. Press, 1954. xx+232 pp.
- Фридман А. А. Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости. М.: ОНТИ, 1934. 368 с.
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)