On a new Lagrangian view on the evolution of vorticity in spatial flows

Full Text

Введение. В середине прошлого столетия был создан бессеточный метод расчета пространственных вихревых течений идеальной несжимаемой жидкости (метод дискретных вихрей [1-3]), основанный на теоремах Гельмгольца о вихрях. Этот метод успешно применяется до сих пор (см., например, [4–6]). Позже теоремы Гельмгольца были обобщены на случай вязкой несжимаемой жидкости, но только для двумерных (плоскопараллельных [7] и незакрученных осесимметричных [8]) течений, и были найдены формулы для скорости $U$ переноса вихревых трубок с сохранением их интенсивности. Обе формулы статей [7, 8], используя принятые обозначения для скорости потока, завихренности и кинематического коэффициента вязкости, можно представить в виде $U=V-\nu (\Omega \times rot\Omega )/{\Omega }^2.$

В работе [9] был предложен численный метод исследования двумерных вязких течений, так называемый "метод вязких вихревых доменов" (ВВД), в котором используется представление о движении вихревых трубок постоянной интенсивности со скоростью $U$, полученной в [7, 8]. Исчерпывающее объяснение этого метода приводится, например, в [10], а краткое — в [11]. Являясь бессеточным методом, ВВД обладает рядом преимуществ, в частности, возможностью удовлетворить граничным условиям в неограниченных пространственных течениях [12], что необходимо при моделировании природных явлений (циклоны, океанические течения и т. д.). Однако использование метода ВВД сопряжено с трудностями, такими как неограниченный рост общего числа рассматриваемых доменов, генерируемых на каждом расчетном шаге. В настоящее время ограничение общего числа доменов производится путем перераспределения их положений и интенсивностей [13-15]. В качестве одного из способов "борьбы" с неограниченным ростом числа доменов в работе [16] была предложена новая формула скорости переноса вихревых трубок для любого наперед заданного закона изменения их интенсивности во время движения, которая в случае экспоненциального закона убывания со временем позволяет пренебречь каждым доменом спустя некоторое конечное число шагов по времени и тем самым ограничить количество учитываемых в расчете доменов. Внедрение такой скорости в метод ВВД представляет собой отдельную содержательную задачу вычислительной гидродинамики и требует времени, а статья [16] опубликована недавно. Поэтому, несмотря на отсутствие примеров использования скорости [16], авторы настоящей статьи выражают уверенность в том, что это отсутствие временное, и результат [16] будет полезен для развития метода ВВД.

Как сказано выше, метод ВВД и разработанная для этого метода в [16] новая скорость позволяют рассчитывать только двумерные течения. Более точно формулы для скорости [16] работают только в таких течениях, в которых завихренность и ее ротор ортогональны. Следует заметить, что идеи работ [7, 8] удалось распространить на закрученные осесимметричные течения благодаря раздельному рассмотрению эволюции завихренностей радиально-осевой и окружной скоростей в [17, 18]. При таком раздельном взгляде роторы этих завихренностей ортогональны им. Поэтому формулы [16] можно применять для каждого из двух полей завихренности (при этом даже можно задать различными законы убывания интенсивностей вихревых трубок каждой из них). В общем пространственном случае такое распространение невозможно, поскольку (как уже было сказано) в двумерных течениях завихренность и ее ротор ортогональны, вследствие чего допускаются такие преобразования уравнений Навье– Стокса (использованные в [7, 8]), которые невозможны в общем пространственном случае, где завихренность и ее ротор могут быть не ортогональны (подробно см. [7, 8]). Поэтому длительное время после опубликования работ [7, 8] среди известных авторам исследователей считалось, что в общем пространственном случае скорость $U$ не существует. Уверенность в этом вселяла статья [19], в которой было "доказано" отсутствие скорости $U$ в общем пространственном случае. Однако потом в [19] была обнаружена ошибка. Это произошло после того, как в [11] было доказано, что в общем пространственном случае скорость $U$ все-таки существует, причем для течений жидкостей всех типов: от идеальной несжимаемой жидкости до вязкого газа. Неточность [19] состоит в том, что решение одного из уравнений, имеющее в этой статье номер (22), не единственно в ограниченных областях, в то время как предложенное авторами решение уравнения (22) единственно только в неограниченном случае, когда значение искомой функции полагается равным нулю на бесконечности (данное указание на ошибку [19] публикуется впервые).

Для вычисления скорости $U$ в общем пространственном случае в [11] был предложен так называемый нелокальный метод, требующий интегрирования вдоль вихревых линий. Это делает расчеты очень громоздкими, и теоретический результат [11] несколько лет не применялся для развития метода ВВД, который оставался двумерным. Однако недавно появился первый пространственный вариант метода ВВД [20], основанный на обобщении [11] двумерных вязких аналогов теорем Гельмгольца [7, 8] на общий пространственный случай. Сложилась ситуация, подобная той, которая была недавно разрешена в [16] для двумерных течений. Появилась проблема неограниченного роста количества вихревых трубок в процессе расчета, но уже в пространственном случае. В настоящей статье с целью преодоления этой проблемы предпринята попытка в общем пространственном случае найти аналог скорости $U$ работы [16], при которой интенсивность вихревых трубок во время движения менялась бы со временем по заданному закону.

1. Представление динамического уравнения движения жидкости и газа. Поле скорости течения жидкости и газа (от идеальной несжимаемой жидкости до вязкого газа) в общем пространственном случае подчиняется уравнению вида

$\partial V/\partial t+\Omega \times V=F-\nabla f,$ (1)

где $t$ — время, $F$ — удельная плотность всех непотенциальных сил, а $f$ — некоторое скалярное поле, содержащее в качестве слагаемого удельную кинетическую энергию $V^2/2$. Ниже считаем все параметры течения достаточно гладкими для обоснованности выкладок и рассуждений. Пусть $\alpha =\alpha \left(t\right)$ — произвольная гладкая функция времени.

Воспользуемся идеей доказательства существования скорости переноса вихревых трубок с сохранением их интенсивности, которое было предложено и применено Г. Б. Сизых в работе [11] (вклад другого соавтора [11], В. В. Маркова, состоит в обнаружении неоднозначности такой скорости). В пространственной области вихревого течения ($\Omega \ne 0$ ) рассмотрим такую плоскую область $\sigma$, нормаль к которой во всех точках имеет острый угол с вихревыми линиями, пересекающими $\sigma$ в течение некоторого отрезка времени $[t_1,t_2]$. Выделим пространственный односвязный фрагмент $G_{\sigma }$, который принадлежит пересечению всех вихревых трубок, проходящих через $\sigma$ в различные моменты времени $t\in [t_1,t_2]$, и содержит $\sigma$. Пусть на поверхности $\sigma$ задана любая не зависящая от времени функция $g_{\sigma }$. Интегрированием вдоль вихревых линий для каждого $t$ из $[t_1,t_2]$ продолжим $g_{\sigma }$ из $\sigma$ в $G_{\sigma }$ функцией $g(x,y,z,t)$, градиент которой удовлетворяет равенству

$\Omega \cdot \nabla g=\Omega \cdot (F+\alpha V).$ (2)

Рассмотрим векторное произведение

$\Omega \times (\Omega \times (F+\alpha V-\nabla g\left)\right)=\Omega (\Omega \cdot (F+\alpha V-\nabla g\left)\right)-(F+\alpha V-\nabla g){\Omega }^2,$

из которого с учетом (312) получим

$F=-\Omega \times \frac{\Omega \times (F+\alpha V-\nabla g)}{{\Omega }^2}-\alpha V+\nabla g.$ (3)

Подставляя (313) в (311), после перегруппировки слагаемых имеем

$\partial V/\partial t+\Omega \times U=-\alpha V+\nabla (g-f),$ (4)

где

$U=V+\frac{\Omega \times (F+\alpha V-\nabla g)}{{\Omega }^2}.$ (5)

2. Критерий Зоравского. Далее воспользуемся представлением о движении частиц воображаемой жидкости, впервые предложенном в [11, 21] и продуктивно использующимся в последнее время [22-28]. Для этого сформулируем критерий Зоравского [29, 30], который также известен как теорема Фридмана [31], в терминах движения вихревых трубок вместе с частицами воображаемой среды.

Пусть $G$ — область пространства, заполненная одновременно двумя воображаемыми жидкостями, которые никак не взаимодействуют между собой (и не препятствуют движению друг друга). Частицы первой воображаемой жидкости движутся со скоростью $U(x,y,z,t)$, а частицы второй — со скоростью $V(x,y,z,t)$. Течение второй воображаемой жидкости является вихревым ($\tilde{\Omega }=rotV\ne 0$) в течение некоторого интервала времени $(t_1,t_2)$. Пусть в области $G$ при $t\in (t_1,t_2)$ завихренность второй воображаемой жидкости $\tilde{\Omega }$ и скорость первой воображаемой жидкости $U$ связаны уравнением

$\partial \tilde{\Omega }/\partial t+rot(\tilde{\Omega }\times U)=0.$ (6)

Тогда, как следует из критерия Зоравского, при $t\in (t_1,t_2)$ вихревые линии и вихревые трубки $\tilde{\Omega }$ двигаются со скоростью $U$, а интенсивность вихревых трубок (равная циркуляции $\tilde{\Gamma }$ скорости $V$ по любому контуру, единожды опоясывающему трубку поля $\tilde{\Omega }$) сохраняется, пока эти частицы находятся внутри $G$.

Это следствие будет использовано ниже при исследовании связи поля завихренности реальной жидкости $\tilde{\Omega }$ с полями скоростей частиц некоторых воображаемых жидкостей.

3. Движение вихревых трубок. В этом разделе для применения критерия Зоравского будем рассматривать сразу две воображаемые жидкости с использованием поля скорости реальной жидкости $V$. Считаем, что частицы первой воображаемой жидкости движутся со скоростью $U$, определяемой через $V$ по формуле (5), а частицы второй воображаемой жидкости — со скоростью $V=V\exp \left({\int }_{t_1}^t\alpha \right(\tau \left)d\tau \right).$ Подставляя $V=V\exp (-{\int }_{t_1}^t\alpha (\tau \left)d\tau \right)$^[1] в (314), получаем

$\frac{\partial V}{\partial t}+\tilde{\Omega }\times U=\nabla (g-f)\exp \left({\int }_{t_1}^t\alpha \right(\tau \left)d\tau \right).$ (7)

Применяя оператор ротации к левой и правой частям (7), приходим к уравнению, имеющему вид (6): $\partial \tilde{\Omega }/\partial t+rot(\tilde{\Omega }\times U)=0$. Следовательно (критерий Зоравского), вихревые трубки $\tilde{\Omega }$ перемещаются вместе с частицами первой воображаемой жидкости, движущимися со скоростью (5). При этом циркуляция $\tilde{\Gamma }$ скорости $V$ второй воображаемой жидкости по контурам, перемещающимся вместе с частицами первой воображаемой жидкости со скоростью (5), сохраняется с течением времени и равна $\tilde{\Gamma }\left(t\right)=\tilde{\Gamma }\left(t_1\right)$. Учитывая, что завихренность второй воображаемой жидкости $\tilde{\Omega }$ и завихренность реальной жидкости $\Omega$ связаны соотношением $\Omega =\tilde{\Omega }\exp (-{\int }_{t_1}^t\alpha (\tau \left)d\tau \right)$, приходим к основному результату. Вихревые линии и вихревые трубки поля скорости (реальной) жидкости перемещаются вместе с частицами воображаемой жидкости, движущимися со скоростью (5), и при этом перемещении интенсивность всех вихревых трубок меняется по закону

$\Gamma \left(t\right)=\Gamma \left(t_1\right)\exp (-{\int }_{t_1}^t\alpha (\tau \left)d\tau \right).$ (318)

Таким образом, установлено, что в пространственном случае существует аналог скорости [16], с которой движутся вихревые трубки, а их интенсивность меняется по заданному закону (8). По известной функции $\alpha =\alpha \left(t\right)$ эта скорость определяется формулой (5), где $g=g(x,y,z,t)$ получается с помощью интегрирования уравнения (2) вдоль вихревых линий. Должный выбор $g_{\sigma }$ позволяет менять в некотором диапазоне величину и направление скорости частиц воображаемой жидкости $U$. Различным $\alpha$ и $g_{\sigma }$ будут соответствовать различные скорости $U$ и, как следствие, различные точки зрения на эволюцию завихренности, которые, согласно [11], все равноправны.

Как и в [16], предлагаемый новый способ вычисления скорости $U$ представляет собой обобщение способа [11], поскольку совпадает с последним при $\alpha =0$.

4. Вязкая несжимаемая жидкость. Уравнение Навье– Стокса для несжимаемой жидкости имеет вид (1), в котором скалярное поле $f$ может быть представлено как $f=p/\rho +V^2/2+\Pi$, где $p/\rho$ — отношение давления к плотности, $\Pi$ — потенциал объемных сил, а функция $F=-\nu rot\Omega$. Поэтому, согласно (5), имеем

$U=V-\nu (\Omega \times rot\Omega )/{\Omega }^2+\alpha (\Omega \times V)/{\Omega }^2+(\Omega \times \nabla g)/{\Omega }^2.$

При перемещении контуров (доменов) с такой скоростью их интенсивность будет изменяться по закону (8). При реализации метода ВВД с использованием данной скорости функции $\alpha$ и $g_{\sigma }$ должны удовлетворять определенным условиям гладкости в течение одного временного шага. Эти требования, вообще говоря, неизвестны, и их определение на сегодняшний день представляет собой актуальную задачу математической физики. Однако для справедливости представленных рассуждений, как следует из курса дифференциальных уравнений, указанные функции должны быть как минимум непрерывно дифференцируемыми в исследуемой области течения. При этом допускается скачкообразное изменение этих функций при переходе от одного временного шага к другому, поскольку это будет соответствовать смене "старой" лагранжевой точке зрения на "новую". Слова "старая" и "новая" взяты в кавычки, потому что эти точки зрения существовали и продолжают существовать на всех временных шагах, но одна из них применяется раньше, а другая — позже. Возможные варианты для выбора  предложены, например, в [16].

5. Неоднозначность скорости U. С математической точки зрения, формула (5) отражает не все возможные варианты скоростей переноса (убывающей) завихренности $U$, удовлетворяющие уравнению (4). А именно, следует внести добавок $\gamma \Omega$, коллинеарный вектору завихренности $\Omega$ ( $\gamma$ — произвольная гладкая функция времени и пространства), так как на общий вид (4) это не повлияет.

Однако принципиальная неоднозначность в вычислении скорости (5) возникает из-за наличия слагаемого с функцией $g(x,y,z,t)$, которая получается путем интегрирования $g_{\sigma }$ вдоль вихревых линий $\Omega$ для каждого момента времени в область вихревого фрагмента жидкости и, таким образом, определяется с точностью до некоторого скалярного поля $W(x,y,z)$, постоянного вдоль этих же вихревых линий: $\Omega \cdot \nabla W=0$ (аналогичные рассуждения были применены в работе [11]). Поэтому, опуская детальные выкладки, (5) может быть обобщена как

$U=V+\frac{\Omega \times (F+\alpha V-\nabla g+\nabla W)}{{\Omega }^2}+\gamma \Omega .$

Заключение. Новая точка зрения на эволюцию завихренности в течениях жидкости и газа, предложенная в [16] для двумерных течений, распространена на общий пространственный случай. Эта точка зрения состоит в представлении эволюции завихренности в виде такого движения вихревых линий и вихревых трубок, при котором интенсивность вихревых трубок меняется по любому наперед заданному временному закону, в частности, при $\alpha =1$ она экспоненциально убывает. Разумеется, разным законам изменения интенсивности, т. е. разным $\alpha =\alpha \left(t\right)$, будут соответствовать разные скорости движения вихревых линий и вихревых трубок. С точки зрения сложности реализации предложенного подхода, связанной с необходимостью интегрирования вдоль вихревых линий, никаких дополнительных проблем по сравнению c [11] не возникает, поскольку в обоих случаях вдоль вихревых линий интегрируется уравнение типа (2).

Предлагаемая новая точка зрения на эволюцию завихренности в пространственных модификациях метода ВВД может быть использована для ограничения количества учитываемых в расчетах векторных трубок.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имеем.

Авторский вклад и ответственность. Вклад авторов: И. А. Максименко — 50%, В. В. Марков — 50%. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

Благодарность. Авторы благодарны рецензентам за тщательное прочтение статьи и ценные предложения и комментарии.

^[1] Таким образом, $\Omega =\tilde{\Omega }\exp (-{\int }_{t_1}^t\alpha (\tau \left)d\tau \right)$.

About the authors

Ivan A. Maksimenko

Technical University of Munich

Author for correspondence.
Email: maksimenko.ia@phystech.edu
ORCID iD: 0000-0001-8159-8531
http://www.mathnet.ru/person181505

Student; Dept. of Civil, Geo and Environmental Engineering

Germany, 21, Arcisstraße, Munich, 80333

Vladimir V. Markov

Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences; Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics; Scientific Research Institute of System Analysis

Email: markov@mi-ras.ru
ORCID iD: 0000-0003-2188-2201
SPIN-code: 7387-8336
Scopus Author ID: 7201577279
ResearcherId: B-1239-2014
http://www.mathnet.ru/person17485

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Leading Researcher; Dept. of Mechanics²; Lab. of Gas Dynamics of Explosion and Reacting Systems³; Dept. of Computational Mathematics⁴

Russian Federation, 8, Gubkina st., Moscow, 119991; 1, Michurinsky prospekt, Moscow, 119192; 36, Nakhimovsky Ave., Moscow, 117218

References

Supplementary files