Исследование задачи Коши для одного уравнения дробного порядка с оператором Римана–Лиувилля

Полный текст

1. Постановка задачи и основной результат

Рассмотрим задачу Коши для дробного дифференциального уравнения порядков $0<\alpha, \beta\leqslant 1$
\[ \begin{equation}
u_t+D_{0+,t}^{1-\alpha}u-D_{0+,t}^{1-\beta}u_{xx}=f(x,t),\quad 
x\in \mathbb{R},\quad 
0<t\leqslant T
\end{equation} \tag{1} \]
с начальным условием
\[ \begin{equation}
u(x,0)=\varphi(x),\quad x\in\mathbb{R},
\end{equation} \tag{2} \]
где $f(x,t)$ и $\varphi(x)$ — заданные функции и $(D_{0+,t}^{\gamma}g)(t)$ — дробная производная в смысле Римана–Лиувилля по переменной $t$, 
определяемая равенством [1, p. 69]:
\[ \begin{equation*}
(D_{0+,t}^{\gamma}g)(t)=\frac{1}{\Gamma(1-\gamma)}\frac{d}{d t}\int_0^t\frac{g(\tau)}{(t-\tau)^{\gamma}}d\tau,\quad 0<\gamma<1,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
D_{0+,t}^{\gamma}g(t)=g^{(\gamma)}(t),\quad \gamma\in\{0,1\}.
\end{equation*} \]

В данной работе мы рассмотрим следующую задачу.

Задача. Найти регулярное решение $u(x,t)$ уравнения (1) при $0<\alpha$, $\beta\leqslant 1$ в области $\mathbb{R}_T^2:=\{(x,t): x\in\mathbb{R}, 0<t\leqslant T\}$, удовлетворяющее (1), (2).

Определение. Функция $u(x,t) \in C_b( \mathbb{R};[0,T])$ называется классическим (регулярным) решением задачи (1), (2) для заданных $f\in C_b(\mathbb{R};[0,T])$ и $\varphi\in C_b(\mathbb{R})$ такая, что $\frac{\partial}{\partial t}u$, $D_{0+,t}^{1-\alpha} u$, $\frac{\partial^2}{\partial x^2} D_{0+,t}^{1-\beta} u \in C_b(\mathbb{R};(0,T])$. Здесь $C_b(\mathbb{R};(0,T])$ — пространство непрерывных ограниченных функций с sup-нормой по $x$ и непрерывной по $t$.

ВВ работах [2–5] были рассмотрены задачи по нахождению классического решения уравнений параболического типа, подобных (1), (2). В работе [2] исследовано дифференциальное уравнение дробной диффузии с оператором дискретно распределенного дифференцирования. Свойства фундаментального решения изучались с помощью функции Райта. В работе [3] построена функция Грина для уравнения (1) и показано, что в случае $\beta=1$ найденное решение переходит в ранее известное классическое решение. В работах [4, 5] рассмотрена видоизмененная задача Коши для нагруженного параболического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 

Исследования в работах [6, 7] направлены на получение явного решения $n$-мерного уравнения аномальной диффузии в бесконечной области с ненулевым начальным условием и условием обращения в нуль на бесконечности. Показано, что это уравнение может быть получено из параболического интегро-дифференциального уравнения с памятью, ядром которого является $t^{-\alpha}E_{1-\alpha,1-\alpha}(-t^{1-\alpha})$, $\alpha \in (0,1)$, где $E_{\alpha,\beta}$ — функция Миттаг–Леффлера. На основе преобразований Лапласа и Фурье, свойств $H$-функции Фокса и теоремы о свертке получено явное решение уравнения аномальной диффузии.

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть $0<\alpha, \beta\leqslant 1$, $\varphi(x)\in C_b(\mathbb{R})$ и $f(x,t)$ удовлетворяет условию Гельдера по крайней мере по одной из переменных. Тогда существует единственное регулярное решение уравнения (1) в области $\mathbb{R}_+^2$, удовлетворяющее начальному условию (2), и оно имеет вид
\[ \begin{equation*}
u(x,t)=\int_{\mathbb{R}}G(x-y,t)\varphi(y)dy+\int_0^td\tau\int_{\mathbb{R}}G(x-y,t-\tau)f(y,\tau)dy,
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
G(x,t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kt^{\alpha k}\int_{\mathbb{R}}E_{\beta, 1+\alpha k}^{k+1}(-\xi^2t^{\beta})e^{-i\xi x}d\xi.
\end{equation*} \]

2. Обозначения и вспомогательные сведения

Функцией Миттаг–Леффлера называется целая функция, определяемая рядом
\[ \begin{equation*}
E_{\alpha}(z)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{z^j}{\Gamma(\alpha j+1)},
\quad z, \alpha\in\mathbb{C},
\quad \Re (\alpha)>0.
\end{equation*} \]
Также функцией Миттаг–Леффлера называют сумму более общего ряда:
\[ \begin{equation*}
E_{\alpha,\beta}(z)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{z^j}{\Gamma(\alpha j+\beta)},
\quad z, \alpha,\beta\in\mathbb{C},
\quad \Re (\alpha)>0.
\end{equation*} \]
Таким образом, $E_{\alpha,1}(z)=E_{\alpha}(z)$.

Утверждение 1 [1, p. 26]. Пусть $0<\alpha<2$ и $\beta\in\mathbb{R}$ — произвольные постоянные. Предположим, что $\gamma$ удовлетворяет неравенству $\pi \alpha/2<\gamma<\min\{\pi,\pi\alpha\}$. Тогда существует такое постоянное $c=c(\alpha,\beta,\gamma)>0$, что
\[ \begin{equation*}
|E_{\alpha,\beta}(z) |\leqslant \frac{c}{1+|z|},\quad \gamma\leqslant | \operatorname{arg} (z)|\leqslant\pi.
\end{equation*} \]

Утверждение 2 [8, p. 47]. Для $0<\alpha<1$, $t>0$ имеем $0<E_{\alpha}(-t)<1$. Кроме того, $E_{\alpha}(-t)$ вполне монотонна: 
\[ \begin{equation*}
(-1)^n\frac{d^n}{dt^n}E_{\alpha}(-t)\geqslant 0,\quad \forall n\in\mathbb{N}_0:=\{0, 1, 2,\dots\}.
\end{equation*} \]

Обобщенная функция Миттаг–Леффлера определяется следующим образом:
\[ \begin{equation*}
E_{\alpha,\beta}^{\gamma}(z):=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(\gamma)_{k}}{\Gamma(\alpha k+\beta)}
\frac{z^k}{k!},\quad 
z, \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{C},\quad \Re(\alpha)>0.
\end{equation*} \]
Здесь 
\[ \begin{equation*}
(\gamma)_n=\frac{\Gamma(\gamma+n)}{\Gamma(\gamma)} \text{ и } 
(\gamma)_0\equiv 1 (\Re(z)>-n; n\in\mathbb{N}; z\not\in\{0, -1, -2, \dots\});
\end{equation*} \]
$H(z)$ — функция Фокса, которая определяется с помощью интеграла типа Меллина – Барнса следующим образом [8, p. 14]:
\[ \begin{equation*}
H(z)= H^{m,n}_{p,q}\left[ z\Big| \begin{matrix}
(a_p,A_p) \\
(b_q,B_q)
\end{matrix}\right]=\frac{1}{2\pi i} \int_L \Theta(s) z^{-s}ds,
\end{equation*} \]
где 
\[ \begin{equation*}
\Theta(s)=\frac{\prod\limits_{j=1}^{m} \Gamma(b_j+B_j s) \prod\limits_{j=1}^n \Gamma(1-a_j-A_js) }{\prod\limits_{j=m+1}^q\Gamma(1-b_j-B_js) \prod\limits_{j=n+1}^p\Gamma(a_j+A_j s)},
\end{equation*} \]
$L$ — некоторый контур, разделяющий полюса двух множителей в числителе; $0\leqslant n\leqslant p$, $1\leqslant m\leqslant q$, $A_l$, $B_j \in \mathbb{R_+}$, $a_l$, $b_j \in\mathbb{R}( \mathbb{C})$, $l=1, 2, \dots, p$, $j=1, 2, \dots,q$.

Свойство 1. Если одно из $(a_j,A_j) \quad j= 1, \dots,n$ равно одному из $(b_j,B_j)$, $j=m+1,\dots,q$, или одно из $(b_j,B_j)$, $j=1,\dots,m$, равно одному из $(a_j,A_j)$, $j=n+1,\dots,p$, то $H$-функция сводится к одному из низших порядков $p$ и $q$, а также $n$ (или $m$) уменьшаются на единицу, и при $n\geqslant 1$ и $q>m$ имеет вид
\[ \begin{equation*}
H^{m,n}_{p,q}\left[z\Big|
\begin{matrix}
(a_1,A_1),\dots,(a_p,A_p) \\
(b_1,B_1),\dots,(b_{q-1},B_{q-1}),(a_1,A_1)
\end{matrix}\right] =H^{m,n-1}_{p-1,q-1}\left[z\Big|
\begin{matrix}
(a_2,A_2),\dots,(a_p,A_p) \\
(b_1,B_1),\dots,(b_{q-1},B_{q-1})
\end{matrix} \right],
\end{equation*} \]
при $m\geqslant 1$ и $p>n$ имеет вид
\[ \begin{equation*}
H^{m,n}_{p,q}\left[z\Big|
\begin{matrix}
(a_1,A_1),\dots,(a_{p-1},A_{p-1}),(b_1,B_1) \\
(b_1,\dots,B_1),\dots,(b_q,B_q),
\end{matrix} \right]
=H^{m,n-1}_{p-1,q-1}\left[z\Big|
\begin{matrix}
(a_1,A_1),\dots,(a_{p-1},A_{p-1}) \\
(b_2,B_2),\dots,(b_q,B_q)
\end{matrix} \right].
\end{equation*} \]

Свойство 2. Имеет место равенство
\[ \begin{equation*}
H^{m,n}_{p,q}\left[z\Big|
\begin{matrix}
(a_p,A_p)\\
(b_q,B_q)
\end{matrix} \right]=
H^{m,n}_{p,q}\left[\frac{1}{z}\Big|
\begin{matrix}
(1-b_q,B_q)\\
(1-a_p,A_p)
\end{matrix} \right].
\end{equation*} \]

Свойство 3 [9, p. 11]. Если $\sigma \in \mathbb{C}$, то справедлива следующая формула:
\[ \begin{equation*}
z^{\sigma}H^{m,n}_{p,q}\left[z\Big| 
\begin{matrix}
(a_p,A_p)\\
(b_q,B_q)
\end{matrix} \right]=H^{m,n}_{p,q}\left[z\Big|
\begin{matrix}
(a_p+\sigma A_p,A_p)\\
(b_q+\sigma B_q,B_q)
\end{matrix} \right].
\end{equation*} \]

Обобщенная функция Миттаг–Леффлера $E_{\alpha,\beta}^{\gamma}(z)$ имеет следующее представления через $H$-функцию Фокса [9, p. 25, Eq. (1.137)]:
\[ \begin{equation*}
E_{\alpha,\beta}^{\gamma}(z)=\frac{1}{\Gamma(\gamma)}H^{1,1}_{1,2}
\left[-z\Big|
\begin{matrix}
(1-\gamma,1) \\
(0,1),(1-\beta,\alpha)
\end{matrix} \right]. 
\end{equation*} \]

Кроме того, справедливы следующие леммы.

Лемма 1. Преобразование Лапласа функции $t^{\beta-1} E^{\gamma}_{\alpha,\beta}(\pm \omega t^{\alpha})$ определяется следующей формулой:
\[ \begin{equation*}
L\bigl[t^{\beta-1} E^{\gamma}_{\alpha,\beta}(\pm \omega t^{\alpha}) \bigr](s)=
\int^{\infty}_{0} e^{-st} t^{\beta-1} E^{\gamma}_{\alpha,\beta}(\pm \omega t^{\alpha}) dt=
\frac{s^{\alpha \gamma -\beta}}{(s^{\alpha}\mp\omega)^{\gamma}},
\end{equation*} \]
где $|\omega/s^{\alpha}|<1$.

Лемма 2. Для произвольных $\alpha$ и $\beta$, $ \mu>0$, и $a\in \mathbb{R}$ справедлива следующая формула:
\[ \begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^n}e^{-i\xi x} E^{(m)}_{\alpha,\beta}(-a|\xi|^{\mu})d\xi
=(2\pi)^{n/2} |x|^{1-n/2}\int_0^{\infty} |\xi|^{n/2} E^{(m)}_{\alpha,\beta} (-a|\xi|^{\mu})J_{ {n}/{2}-1}(|x||\xi|)d|\xi|,
\end{equation*} \]
где $\alpha>0$, $\beta$ — произвольное комплексное число, $J_{ {n}/{2}-1}(\cdot)$ — функция Бесселя, а $E^{(m)}_{\alpha,\beta}(\cdot)$ — $m$-ные производные функции типа Миттаг – Леффлера, которые могут быть выражены через $H$-функции Фокса [9]:
\[ \begin{equation*}
E_{\alpha,\beta}^{(m)}(z)=H^{1,1}_{1,2}\left[-z\Big|
\begin{matrix}
(-m,1) \\
(0,1),(1-(\alpha m +\beta),\alpha)
\end{matrix} \right]. 
\end{equation*} \]

Лемма 3 [9, p. 57]. Пусть $\gamma>0$ или $\gamma=\mu=0$ и $\Re(\kappa)<-1$, где
\[ \begin{equation*}
\gamma:=\sum\limits_{j=1}^nA_j-\sum\limits_{j=n+1}^pA_j+\sum\limits_{j=1}^mB_j-\sum\limits_{j=m+1}^qB_j,
\quad 
\mu:=\sum\limits_{j=1}^qB_j-\sum\limits_{j=1}^pA_j,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\kappa:=\sum\limits_{j=1}^qb_j-\sum\limits_{j=1}^pa_j+\frac{p-q}{2}.
\end{equation*} \]
Если $\rho$, $\nu$, $b\in\mathbb{C}$, $\sigma>0$ удовлетворяют условиям 
\[ \begin{equation*}
\Re(\rho)+ \nu+\sigma\min\limits_{1\leqslant j\leqslant m}
\Bigl[\frac{\Re(b_j)}{B_j}\Bigr]>-1
\end{equation*} \]
для $\Re(\nu)>- 1/2$ и
\[ \begin{equation*}
\Re (\rho)+\sigma\min\limits_{1\leqslant j\leqslant n}\Bigl[\frac{1}{A_j}-\frac{\Re(a_j)}{A_j}\Bigr]<\frac{3}{2},
\end{equation*} \]
то для $a$, $b>0$ имеет место следующее равенство:
\[ \begin{equation*}
\int_0^{\infty}x^{\lambda-1}J_{\nu}(ax)H_{p,q}^{m,n}
\left[bx^{\sigma}\Big|
\begin{matrix}
{(a_p,A_p)} \\
{(b_q,B_q)}
\end{matrix}
\right]dx
=\frac{2^{\lambda-1}}{a^{\lambda}}H_{p+2,q}^{m,n+1}
\left[
b\Bigl(\frac{2}{a}\Bigr)^{\sigma}
\Big|
\begin{matrix}
{(1-({\lambda+\nu})/{2}, {\sigma}/{2}),(a_p,A_p),
(1-({\lambda-\nu})/{2}, {\sigma}/{2})} \\
{(b_q,B_q)}
\end{matrix}
\right].
\end{equation*} \]

3. Фундаментальное решение и его свойства

Рассмотрим однородное уравнение
\[ \begin{equation}
u_t+D_{0+,t}^{1-\alpha}u-D_{0+,t}^{1-\beta}u_{xx}=0,\quad x\in \mathbb{R},\quad 0<t\leqslant T
\end{equation} \tag{3} \]
с начальным условием
\[ \begin{equation}
u(x,0)=\varphi(x),\quad x\in\mathbb{R}.
\end{equation} \tag{4} \]

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть $\varphi \in C_b(\mathbb{R})$. Тогда задача (3), (4) имеет единственное классическое решение, определяемое формулой
\[ \begin{equation}
u(x,t)=\int_{\mathbb{R}} G(x-y,t)\varphi(y)dy, \quad 0<t\leqslant T, \quad x\in \mathbb{R},
\end{equation} \tag{5} \]
где
\[ \begin{equation*}
G(x,t)=\frac{1}{2\pi}\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k t^{\alpha k}\int_{\mathbb{R}}E_{\beta,1+\alpha k}^{k+1}(-\xi^2t^{\beta})e^{-i\xi x}d\xi.
\end{equation*} \]

Перед доказательством теоремы 2 приведем некоторые свойства функции $G(x, t)$.

Функцию Грина $G(x,t)$ можно записать в следующем виде:
\[ \begin{equation*}
G(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \sum\limits_{k=0}^{\infty} 
\frac{(-1)^k t^{\alpha k -\beta/2}}{k!}H^{0,2}_{2,1}
\left[ \frac{4t^{\beta}}{x^2} \Big| 
\begin{matrix}
(1,1), (1/2-k,1) \\
(\beta/2-\alpha k,\beta)
\end{matrix}\right].
\end{equation*} \]

Действительно, сначала на основе работы [1, p. 43] обобщенную функцию типа Миттаг–Леффлера приведем к двухпараметрическому виду. Из леммы 2 следует, что 
\[ \begin{equation*}
G(x,t)=\frac{1}{2\pi}\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^kt^{\alpha k}
\int _{\mathbb{R}}
E_{\beta,1+\alpha k}^{k+1}(-\xi^2t^{\beta})e^{-i\xi x}d\xi
=\frac{1}{2\pi}\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k t^{\alpha k}}{k!}
\int _{\mathbb{R}}E_{\beta,1+\alpha k-\beta k}^{(k)}(-\xi^2t^{\beta})e^{-i\xi x}d\xi.
\end{equation*} \]

Отсюда, используя лемму 2 еще раз и заменив функцию Миттаг–Леффлера функцией $H$-Фокса, получим следующий вид для функции Грина: 
\[ \begin{equation*}
G(x,t)=\sqrt{\frac{|x|}{2\pi}}\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k t^{\alpha k}}{k!}
\int _{0}^{\infty} |\xi|^{1/2} E_{\beta,1+\alpha k-\beta k}^{(k)}(-\xi^2t^{\beta}) J_{-1/2}(|x||\xi|) d|\xi|
=\sqrt{\frac{|x|}{2\pi}}\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k t^{\alpha k}}{k!}
\int _{0}^{\infty} |\xi|^{1/2} H^{1,1}_{1,2}\left[ \xi^2 t^{\beta} \Big|
\begin{matrix}
 (-k,1) \\
(0,1),(-\alpha k,\beta)
\end{matrix} \right] J_{-1/2}(|x||\xi|) d|\xi|.
\end{equation*} \]

Далее, используя лемму 3, свойства 1 и 3 $H$-функции Фокса, получим
\[ \begin{multline*}
G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{\pi}|x|} \sum\limits_{k=0}^{\infty} 
\frac{(-1)^k t^{\alpha k}}{k!}H^{1,2}_{3,2}
\left[ \frac{4t^{\beta}}{x^2} \Bigr|
\begin{matrix}
(1/2,1), (-k,1),(0,1) \\
(0,1),(-\alpha k,\beta)
\end{matrix} \right]=\frac{1}{\sqrt{\pi}|x|} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k t^{\alpha k}}{k!}H^{0,2}_{2,1}
\left[ \frac{4t^{\beta}}{x^2} \Bigr|
\begin{matrix}
(1/2,1), (-k,1) \\
(-\alpha k,\beta)
\end{matrix} \right]= {}
\\
{}
=\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k t^{\alpha k -\beta/2}}{k!}
H^{0,2}_{2,1}\left[ \frac{4t^{\beta}}{x^2} \Bigr|
\begin{matrix}
(1,1), (1/2-k,1) \\
(\beta/2-\alpha k,\beta)
\end{matrix} \right].
\end{multline*} \]

Лемма 4. Функция $G(x, t)$ удовлетворяет следующим равенствам:
\[ \begin{equation*}
 G_t(x,t)+D_{0+,t}^{1-\alpha}G(x,t)-D_{0+,t}^{1-\beta}G_{xx}(x,t)=0,
 \quad x\in \mathbb{R},\quad 0<t\leqslant T,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation}
 G(x,0)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-ix\xi}d\xi =\delta (x), 
 \quad x\in \mathbb{R},
\end{equation} \tag{6} \]
\[ \begin{equation}
 \int_{\mathbb{R}} G(x,t)dx=E_{\alpha}(-t^{\alpha}), \quad 0<t\leqslant T,
\end{equation} \tag{7} \]
где $\delta(x)$ — дельта-функция Дирака, а также при $|x| \to 0$ имеют место оценки 
\[ \begin{equation*}
|G(x,t)|\leqslant
 C \frac{|x|}{t^{\beta}}\exp{\Bigl(-\frac{t^{\alpha-\beta}x^2}{4}\Bigr)},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation}
|G_t(x,t)|\leqslant 
 C \frac{|x|}{t^{1+\beta}}\exp{\Bigl(-\frac{t^{\alpha-\beta}x^2}{4}\Bigr)},
\end{equation} \tag{8} \]
\[ \begin{equation*}
| D^{1-\alpha}_{0+,t}G(x,t)|\leqslant C\frac{|x|}{t^{1+\beta-\alpha}}\exp{\Bigl(-\frac{t^{\alpha-\beta}x^2}{4}\Bigr)},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
| D_{0+,t}^{1-\beta} G_{xx}(x,t) |\leqslant 
C\frac{|x|}{t^{1+\beta-\alpha}}\exp{\Bigl(-\frac{t^{\alpha-\beta}x^2}{4}\Bigr)}, 
\end{equation*} \]
при $|x| \rightarrow \infty$ — оценки
\[ \begin{equation*}
|G(x,t)|\leqslant
 \frac{ C}{|x|}\exp \Bigl[ -\Bigl(\frac{x^2}{4}\Bigr)^{ {\alpha}/{\beta}}\Bigr],
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
|G_t(x,t)|\leqslant 
 \frac{ C}{|x|^{1+ {2}/{\beta}}}\exp \Bigl[ -\Bigl(\frac{x^2}{4}\Bigr)^{ {\alpha}/{\beta}}\Bigr], 
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
| D^{1-\alpha}_{0+,t}G(x,t)|\leqslant 
\frac{C}{|x|^{1+ {2}/{\beta}- {2\alpha}/{\beta}}}
\exp\Bigl[ -\Bigl(\frac{x^2}{4}\Bigr)^{ {\alpha}/{\beta}}\Bigr],
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation}
| D_{0+,t}^{1-\beta} G_{xx}(x,t) |\leqslant 
\frac{C}{|x|^{1+ {2}/{\beta}- {2\alpha}/{\beta}}} 
\exp\Bigl[ -\Bigl(\frac{x^2}{4}\Bigr)^{ {\alpha}/{\beta}}\Bigr] 
\end{equation} \tag{9} \]
для $0<t_0\leqslant t \leqslant T$, $x\in \mathbb{R}$.

Доказательство теоремы 2. Сначала докажем равенство (7). Из свойства $E_{\alpha,\beta}^{\gamma}(0) = 1/ \Gamma (\beta)$ для $G (x, t)$ имеем равенство
\[ \begin{multline*}
\int_{\mathbb{R}} G(x,t)dx=
\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{2\pi}\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^kt^{\alpha k}
\int_{\mathbb{R}}E_{\beta,1+\alpha k}^{k+1}(-\xi^2t^{\beta})e^{-i\xi x}d\xi dx=
{}
\\
{}
= \frac{1}{2\pi}\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^kt^{\alpha k}
\int_{\mathbb{R}}E_{\beta,1+\alpha k}^{k+1}(-\xi^2t^{\beta})
\int_{\mathbb{R}}e^{-i\xi x} dx d\xi
=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^kt^{\alpha k}
\int _{\mathbb{R}}E_{\beta,1+\alpha k}^{k+1}(-\xi^2t^{\beta})\delta(\xi)d\xi=E_{\alpha}(-t^{\alpha} ).
\end{multline*} \]
Последнее равенство получено из определений дельта-функции Дирака и обобщенной функции типа Миттаг–Леффлера.

Используя теорему 1.2 из работы [9, p. 19] при $|x|\to 0$, получим
\[ \begin{equation*}
\left| H^{0,2}_{2,1}\left[ \frac{4t^{\beta}}{x^2} \Bigr|
\begin{matrix}
(1,1), (1/2-k,1) \\
(\beta/2-\alpha k,\beta)
\end{matrix} \right] \right|\leqslant C \Bigl( \frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr)^{1/2+k}.
\end{equation*} \]
Отсюда для функции Грина $G(x,t)$ имеем оценку
\[ \begin{equation*}
|G(x,t)|\leqslant \frac{C_1 }{2\sqrt{\pi}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}t^{\alpha k-\beta/2} 
\Bigl( \frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr)^{1/2+k}\leqslant
C \frac{|x|}{t^{\beta}}\exp \Bigl(-\frac{t^{\alpha-\beta}x^2}{4}\Bigr).
\end{equation*} \]
При $ |x|\to \infty$, используя неравенство
\[ \begin{equation*}
\left| H^{0,2}_{2,1}\left[ \frac{4t^{\beta}}{x^2} \Bigr| 
\begin{matrix}
(1,1), (1/2-k,1) \\
(\beta/2-\alpha k,\beta)
\end{matrix} \right] \right|
\leqslant C \Bigl( \frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr)^{ {1}/{2}- {\alpha k}/{\beta}},
\end{equation*} \]
имеем оценку
\[ \begin{equation*}
|G(x,t)|\leqslant 
\frac{C_1}{2\sqrt{\pi}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}t^{\alpha k-\beta/2} 
\Bigl( \frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr)^{ {1}/{2}- {\alpha k}/{\beta}}\leqslant
\frac{C}{|x|}\exp\Bigl[-\Bigl(\frac{x^2}{4}\Bigr)^{ {\alpha}/{\beta}}\Bigr].
\end{equation*} \]

Найдем оценки для $G_t(x, t)$. Поскольку подынтегральные функции в $G(x, t)$ непрерывны, с помощью свойства [8, p. 99]
\[ \begin{equation*}
 \frac{d}{dz} \bigl[ z^{\beta -1} E_{\alpha, \beta}^{\gamma} (a z^{\alpha}) \bigr]=z^{\beta-2} E_{\alpha,\beta-1}^{\gamma} (a z^{\alpha} )
\end{equation*} \]
получим
\[ \begin{multline*}
G_t(x,t)=\frac{\partial}{\partial t}
\biggl(\frac{1}{|x|\sqrt{\pi}} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k t^{\alpha k -\alpha}}{k!}H^{0,2}_{2,1}\left[ \frac{4t^{\beta}}{x^2} \Bigr|
\begin{matrix}
(1/2,1), (-k,1)\\
(-\alpha k-\alpha, \beta)
\end{matrix} \right]
\biggr)=\frac{\partial}{\partial t}
\biggl(
\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k t^{\alpha k -\beta/2}}{k!}\frac{1}{2\pi i} \int_{L}\frac{\Gamma(-s)\Gamma(1/2+k-s)}{\Gamma(\alpha k+1-\beta/2-\beta s)}
\Bigl( \frac{4t^{\beta}}{x^2} \Bigr)^{-s}ds\biggr)=
\\
=\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k t^{\alpha k -\beta/2-1}}{k!}H^{0,2}_{2,1}
\left[ \frac{4t^{\beta}}{x^2} \Bigr|
\begin{matrix}
(1,1), (1/2-k,1) \\
(1+\beta/2-\alpha k,\beta)
\end{matrix} \right].
\end{multline*} \]

Далее, применяя теорему 1.2 из работы [9, p. 19], получим оценку при $|x|\to \infty$:
\[ \begin{equation*}
\left| H^{0,2}_{2,1}\left[ \frac{4t^{\beta}}{x^2} \Bigr|
\begin{matrix}
(1,1), (1/2-k,1) \\
(1+\beta/2-\alpha k,\beta)
\end{matrix}\right] \right|
\leqslant C \Bigl( \frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr)^{ {1}/{2}- {\alpha k}/{\beta}+ {1}/{\beta}},
\end{equation*} \]
используя которую, получаем следующую оценку:
\[ \begin{equation*}
|G_t(x,t)|\leqslant C_1\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k t^{\alpha k-\beta/2-1}}{k!} 
\Bigl( \frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr)^{ {1}/{2}- {\alpha k}/{\beta}+ {1}/{\beta}}\leqslant
\frac{C }{|x|^{1+ {2}/{\beta}}}\exp\Bigl[-\Bigl(\frac{x^2}{4}\Bigr)^{ {\alpha}/{\beta}}\Bigr].
\end{equation*} \]
При $|x|\to 0$ находим оценку
\[ \begin{equation*}
\left| H^{0,2}_{2,1}\left[ \frac{4t^{\beta}}{x^2} \Bigr| 
\begin{matrix}
(1,1), (1/2-k,1) \\
(1+\beta/2-\alpha k,\beta)
\end{matrix} \right] \right|\leqslant C \Bigl( \frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr)^{-{1}/{2}-k}
\end{equation*} \]
и следующую оценку для функции Грина $G_t(x,t)$:
\[ \begin{equation*}
|G_t(x,t)|\leqslant 
\frac{ C_1 }{2\sqrt{\pi}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k t^{\alpha k-\beta/2-1}}{k!}
\Bigl( \frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr)^{- {1}/{2}-k}\leqslant
C \frac{|x|}{t^{\beta+1}}\exp\Bigl[-\frac{x^2 t^{\alpha-\beta}}{4}\Bigr].
\end{equation*} \]

Для вычисления производной дробного порядка воспользуемся следующим свойством функции Миттаг–Леффлера [8, p. 99]:
\[ \begin{equation*}
\bigl( D_{0+,t}^{\alpha} \bigl[ t^{\gamma-1} E_{\beta, \gamma}^{\delta} (a t^{\beta})\bigr] \bigr)(x)=
x^{\gamma-\alpha-1} E_{\beta,\gamma-\alpha}^{\delta}(a x^{\beta}).
\end{equation*} \]

Для дальнейших исследований нам понадобится дробная производная функции $t^{\alpha k-\beta/2-\beta s}$ порядка $1-\alpha$ по $t$: 
\[ \begin{equation*}
D^{1-\alpha}_{0+,t} t^{\alpha k-\beta/2-\beta s}=
\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{d}{d t} \int_0^t \tau^{\alpha k-\beta/2-\beta s}(t-\tau)^{\alpha-1}d \tau
=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\frac{d}{d t} t^{\alpha k-\beta/2- \beta s+\alpha} 
\frac{\Gamma(\alpha k-\beta/2-s\beta+1) \Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha k-\beta/2-s\beta+\alpha+1)}
=t^{\alpha k-\beta/2 \beta s+\alpha-1} \frac{\Gamma(\alpha k-\beta/2-s\beta+1) }{\Gamma(\alpha k-\beta/2-s\beta+\alpha)}.
\end{equation*} \]
Отсюда для дробной производной порядка $1-\alpha$ по $t$ функции Грина получим 
\[ \begin{equation*}
D^{1-\alpha}_{0+,t}G(x,t)
=\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k t^{\alpha k -\beta/2+\alpha-1}}{2\pi i k!} \int_{L}\frac{\Gamma(-s)\Gamma(1/2+k-s)}{\Gamma(\alpha k+\alpha-\beta/2-\beta s)}
\Bigl( \frac{4t^{\beta}}{x^2} \Bigr)^{-s}ds
=\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k t^{\alpha k -\beta/2+\alpha-1}}{k!}H^{0,2}_{2,1}
\left[ \frac{4t^{\beta}}{x^2} \Bigr|
\begin{matrix}
(1,1), (1/2-k,1) \\
(1-\alpha+\beta/2-\alpha k,\beta)
\end{matrix} \right].
\end{equation*} \]

Найдем оценку для $D^{1-\alpha}_{0+,t} G(x,t)$ при $|x|\to \infty$ и $|x|\to 0$. Применяя теорему 1.2 из работы [9, p. 19], получим
\[ \begin{equation*}
\left| H^{0,2}_{2,1}\left[ \frac{4t^{\beta}}{x^2} \Bigr|
\begin{matrix}
(1,1), (1/2-k,1) \\
(1+\beta/2-\alpha-\alpha k,\beta)
\end{matrix} \right] \right|\leqslant 
C \Bigl( \frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr)^{ {1}/{2}- ({1-\alpha-\alpha k})/{\beta}}, \quad |x|\to \infty,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\left| H^{0,2}_{2,1}\left[ \frac{4t^{\beta}}{x^2} \Bigr| 
\begin{matrix}
(1,1), (1/2-k,1) \\
(1+\beta/2-\alpha-\alpha k,\beta)
\end{matrix} \right] \right|\leqslant C \Bigl( \frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr)^{-{1}/{2}-k}, \quad |x|\to 0;
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
|D^{1-\alpha}_{0+,t}G(x,t)|\leqslant C_1 \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k t^{\alpha k-\beta/2+\alpha-1}}{k!} 
\Bigl( \frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr)^{ {1}/{2}-({1-\alpha-\alpha k})/{\beta}}\leqslant 
\frac{ C }{|x|^{1+ {2}/{\beta}- {2\alpha}/{\beta}}}\exp \Bigl[-\Bigl(\frac{x^2}{4}\Bigr)^{ {\alpha}/{\beta}}\Bigr],
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
|D^{1-\alpha}_{0+,t}G(x,t)|\leqslant C_1 \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k t^{\alpha k-\beta/2+\alpha-1}}{k!} \Bigl( \frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr)^{- {1}/{2}-k}
\leqslant C \frac{|x|}{t^{1+\beta -\alpha}}\exp \Bigl[-\frac{t^{\alpha-\beta}x^2}{4}\Bigr]. 
\end{equation*} \]

Вычислим вторую производную по $x$ от функции Грина: 
\[ \begin{equation*}
G_{xx}(x,t)=\frac{1}{8\sqrt{\pi}} 
\sum\limits_{k=0}^{\infty} 
\frac{(-1)^k t^{\alpha k - {3\beta}/{2}}}{k!} H^{2,1}_{3,2}
\left[ \frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr|
\begin{matrix}
(-2,2),(1- {3\beta}/{2}+\alpha k,\beta) \\
(-1,1), (-1/2+k,1),(0,2)
\end{matrix} \right],
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
H^{2,1}_{3,2}\left[ \frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr|
\begin{matrix}
(-2,2),(1- {3\beta}/{2}+\alpha k,\beta) \\
(-1,1), (-1/2+k,1),(0,2)
\end{matrix} \right]
=\frac{1}{2\pi i}\int_{L}\frac{\Gamma(-1+s)\Gamma(k-1/2+s)\Gamma(3-2s)}{\Gamma(1-2s)\Gamma(\alpha k-3\beta/2+\beta s+1)}\Bigl( \frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr)^{-s} ds,
\end{equation*} \]
и дробную производную функции $G_{xx}(x,t)$:
\[ \begin{multline*}
D^{1-\beta}_{0+,t}G_{xx}(x,t) 
=\frac{1}{8\sqrt{\pi}}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2\pi i k!}\cdot
\int_L \frac{\Gamma(-1+s)\Gamma(k-1/2+s)\Gamma(3-2s)}{\Gamma(1-2s)\Gamma(\alpha k-3\beta/2+\beta s+1)}\Bigl( 
\frac{x^2}{4} \Bigr)^{-s}D^{1-\beta}_{0+,t}t^{\alpha k- {3\beta}/{2}+\beta s} ds=
\\
=\frac{1}{8\sqrt{\pi}}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k t^{\alpha k- {\beta}/{2}-1}}{2\pi i k!} \cdot
\int_L \frac{\Gamma(-1+s)\Gamma(k-1/2+s)\Gamma(3-2s)}{\Gamma(1-2s)\Gamma(\alpha k-\beta/2+\beta s)}\Bigl( 
\frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr)^{-s} ds=
\\
=\frac{1}{8\sqrt{\pi}}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k t^{\alpha k- {\beta}/{2}-1}}{ k!} H^{2,1}_{3,2}
\left[ \frac{x^2}{4t^{\beta}} \Bigr|
\begin{matrix}
(-2,2),(\alpha k- {\beta}/{2},\beta) \\
(-1,1), (-1/2+k,1),(0,2)
\end{matrix} \right].
\end{multline*} \]

Теперь перейдем к непосредственному доказательству теоремы 2. 

Применяя преобразования Фурье и Лапласа к задаче (3), (4) по переменным $x$ и $t$, получаем
\[ \begin{equation*}
s \hat{\tilde{u}}(\xi,s)-\tilde{u}(\xi,0)+s^{1-\alpha}\hat{\tilde{u}}+\xi^2 s^{1-\beta} \hat{\tilde{u}}=0, \quad \xi \in \mathbb{R}, \; s>0,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\tilde{u}(\xi,0)=\tilde{\varphi}(\xi).
\end{equation*} \]
Отсюда имеем
\[ \begin{equation}
\hat{\tilde{u}}=\frac{\tilde{\varphi}(\xi)}{s+s^{1-\alpha}+\xi^2 s^{1-\beta}}.
\end{equation} \tag{10} \]

Применяя обратные преобразования Фурье и Лапласа к уравнению (10), получим
\[ \begin{multline*}
\frac{\tilde{\varphi}(\xi)}{s+s^{1-\alpha}+\xi^2 s^{1-\beta}}=\frac{1}{s+s^{1-\alpha}}\cdot \frac{\tilde{\varphi}(\xi)}{1+\xi^2 \frac{s^{1-\beta}}{s+s^{1-\alpha}} }
=\frac{\tilde{\varphi}(\xi)}{s+s^{1-\alpha}}\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-\xi^2)^n \frac{s^{(1-\beta)n}}{(s+s^{1-\alpha})^n}
=\tilde{\varphi}(\xi) \sum_{n=0}^{\infty} (-\xi^2)^n \frac{s^{\alpha(n+1)-(\beta n+1)}}{(s^{\alpha}+1)^{n+1}}=
\\
=\tilde{\varphi}(\xi) \sum_{n=0}^{\infty} L \bigl\{ t^{\beta n} E_{\alpha, \beta n +1}(-t^{-\alpha}) \bigr\}
=\tilde{\varphi}(\xi) L
\biggl\{ \sum_{n=0}^{\infty} (-\xi^2 t^{\beta} )^n \sum_{k=0} \frac{(n+1)_k (-t^{\alpha})^k}{\Gamma (\alpha k+\beta n+1) n!} \biggr\}
=\tilde{\varphi}(\xi) L
\biggl\{ \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\frac{\Gamma(n+k+1)}{\Gamma(n+1)} (-t^{\alpha})^k (-\xi^2 t^{\beta})^n}{\Gamma(\alpha k+\beta n+1)\Gamma(k+1)} 
\biggr\}=
\\
=\tilde{\varphi}(\xi) L
\biggl\{ \sum_{k=0}^{\infty} (-t^{\alpha})^k \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(k+1)_n (-t^{\beta \xi^2 })^n}{\Gamma(\alpha k+\beta n+1) n!} \biggr\}
=\tilde{\varphi}(\xi) L
\biggl\{ \sum_{k=0}^{\infty} (-t^{\alpha})^k E_{\beta, \alpha k+1}^{k+1}(-t^{\beta} \xi^2) \biggr\};
\end{multline*} \]

\[ \begin{multline}
u(x,t)=\frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} \sum_{k=0}^{\infty} (-t^{\alpha})^k E_{\beta, \alpha k+1}^{k+1}(-t^{\beta} \xi^2) \tilde{\varphi}(\xi) e^{-ix\xi} d \xi
=\frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} e^{-ix\xi} \sum_{k=0}^{\infty} (-t^{\alpha})^k E_{\beta, \alpha k+1}^{k+1}(-t^{\beta} \xi^2) \int_{\mathbb{R}} e^{i\xi y} \varphi(y)dy d\xi=
\\
=\int_{\mathbb{R}} \biggl[ \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} e^{-i\xi(x-y)} \sum_{k=0}^{\infty} (-t^{\alpha})^k E_{\beta, \alpha k+1}^{k+1}(-t^{\beta} \xi^2) d\xi \biggr]\varphi(y)dy
=\int_{\mathbb{R}} G(x-y,t)\varphi(y)dy.
\end{multline} \tag{11} \]

Заметим, что если в (11) $t = 0$, то в силу (6) имеем
\[ \begin{equation*}
u(x,0)=\int_{\mathbb{R}} G(x-y,0)\varphi(y)dy=\int_{\mathbb{R}} \delta(x-y)\varphi(y)dy=\varphi(x).
\end{equation*} \]

Теперь покажем, что полученное выше решение является классическим. Применяя (7) в (5), имеем
\[ \begin{equation*}
|u(x,t)|=\biggl| \int_{\mathbb{R}} G(x-y,t)\varphi(y)dy \biggr|\leqslant
\|\varphi\|_{C_b(\mathbb{R})} \biggl| \int_{\mathbb{R}} G(x-y,t)dy \biggr|\leqslant
\|\varphi \|_{C_b(\mathbb{R})}.
\end{equation*} \]
Отсюда
\[ \begin{equation*}
 \| u \|_{C(\mathbb{R}; [0,T])}\leqslant \| \varphi \|_{C_b(\mathbb{R})}.
\end{equation*} \]

Поскольку $\varphi \in C_b(\mathbb{R})$, с учетом (9) получим следующую оценку:
\[ \begin{equation*}
|u_t(x,t)|\leqslant \int_{\mathbb{R}} \left| \frac{\partial}{\partial t} G(x-y,t) \right| |\varphi(y)|dy\leqslant C \int_{\operatorname{supp}(\varphi)}|\varphi(y)|dy\leqslant C\| \varphi \|_{C_b (\mathbb{R})}.
\end{equation*} \]
Это означает, что
\[ \begin{equation}
\|u_t\|_{C(\mathbb{R}; [0,T])}\leqslant \| \varphi \|_{C_b(\mathbb{R})}.
\end{equation} \tag{12} \]
Аналогичным образом получим
\[ \begin{equation}
\bigl\|D_{0+,t}^{1-\alpha} u\bigr\|_{C(\mathbb{R}; [0,T])}\leqslant \| \varphi\|_{C_b(\mathbb{R})},
\quad
\Bigl\| \frac{\partial^2}{\partial x^2} D_{0+,t}^{1-\alpha} u\Bigr\|_{C(\mathbb{R}; [0,T])}\leqslant \| \varphi\|_{C_b(\mathbb{R})}.
\end{equation} \tag{13} \]

Теорема 2 доказана. $\square$

Теорема 3. Пусть $f(x,t)\in C_b(\mathbb{R};[0,T])$. Тогда единственное классическое решение уравнения
\[ \begin{equation}
\omega_t(x,t;\tau)+D_{\tau+,t}^{1-\alpha} \omega(x,t;\tau) -D_{\tau+,t}^{1-\beta} \omega_{xx}(x,t;\tau)=0, \quad x\in\mathbb{R},\; 0<\tau<t\leqslant T,
\end{equation} \tag{14} \]
удовлетворяющее условию
\[ \begin{equation}
\omega(x,t;\tau)\big|_{t=\tau}=f(x,\tau),
\end{equation} \tag{15} \]
имеет вид
\[ \begin{equation*}
\omega(x,t;\tau)=\int_{\mathbb{R}} G(x-y,t-\tau)f(y,\tau)dy,
\end{equation*} \]
где $G$ определяется, как в теореме 2.

Доказательство теоремы 3 проводится с использованием результатов теоремы 2 и леммы 1.

4. Принцип Дюамеля

Рассмотрим неоднородную начальную задачу
\[ \begin{equation}
 u_t+D_{0+,t}^{1-\alpha}u-D_{0+,t}^{1-\beta}u_{xx}=f(x,t),\quad x\in \mathbb{R},\; 0<t\leqslant T,
\end{equation} \tag{16} \]
\[ \begin{equation}
 u(x,0)=0,\quad x\in\mathbb{R}.
\end{equation} \tag{17} \]

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4 (Принцип Дюамеля). Пусть $f \in C_b(\mathbb{R};[0,T])$. Тогда единственное классическое решение задачи (16), (17) задается формулой
\[ \begin{equation}
u(x,t)=\int_0^t \omega(x,t;\tau)d \tau,
\end{equation} \tag{18} \]
где $\omega(x,t;\tau)$ — классическое решение задачи (14), (15).

Доказательство. Поскольку $\omega(x,t;\tau)$ — классическое решение начальной задачи (14), (15), из условий (12), (13) следует, что функции $\omega$, $\omega_t$, $\frac{\partial^2 }{\partial x^2} D_{\tau+,t}^{1-\beta}\omega$, $D_{\tau+,t}^{1-\alpha}\omega \in C(\mathbb{R}\times(0,T])$ ограничены. Таким образом, в дальнейшем мы можем дифференцировать функцию (18) под интегралом.

Покажем, что
\[ \begin{equation*}
u(x,t)=\int_0^t \omega(x,t;\tau)d \tau
\end{equation*} \]
является решением начальной задачи (16), (17). Продифференцируем последнее равенство по $t$:
\[ \begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t} u(x,t)=
\omega(x,t;\tau)\bigr|_{\tau=t}+
\int_0^t \frac{\partial}{\partial t} \omega(x,t;\tau)d\tau. 
\end{equation} \tag{19} \]
Поскольку $\omega, \omega_t, D^{1-\alpha}_{0+,t}\omega, \frac{\partial^2}{\partial x^2} D^{1-\beta}_{0+,t}\omega$ — непрерывны и ограничены, применяя теорему Фубини, получаем
\[ \begin{equation*}
D^{1-\alpha}_{0+,t}u(x,t)=D^{1-\alpha}_{0+,t} \int_0^t \omega(x,t;\tau)d\tau=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\frac{\partial}{\partial t} \int_0^t \int_{\tau}^t \omega(x,s,\tau)(t-s)^{\alpha-1}ds.
\end{equation*} \]
Обозначим
\[ \begin{equation*}
W(x,t;\tau)=\int_{\tau}^t \omega(x,s;\tau)(t-s)^{\alpha-1}ds.
\end{equation*} \]
Применяя к $\displaystyle\int_0^t W(x,t;\tau)d\tau$ формулу (19), имеем
\[ \begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial t} \int_0^t W(x,t;\tau)d\tau=W(x,s;\tau)\bigr|_{\tau=t}+\int_0^t \frac{\partial}{\partial t} W(x,t;\tau)d\tau.
\end{equation*} \]
Так как $\omega(x,t;\tau)$ — непрерывная функция, 
\[ \begin{equation*}
W(x,t;\tau)\bigr|_{\tau=t}=\lim_{\tau \to t} \int_{\tau}^t \omega(x,s;\tau)(t-s)^{\alpha-1}ds=0.
\end{equation*} \]
Из теоремы 3 следует, что функция $\omega$ является классическим решением задачи (14), (15), тогда
\[ \begin{equation}
 D^{1-\alpha }_{0+,t}u(x,t)=\int_0^t D^{1-\alpha }_{\tau+,t}\omega(x,t;\tau)d\tau,
\end{equation} \tag{21} \]
\[ \begin{equation}
 \frac{\partial^2}{\partial x^2} D^{1-\beta }_{0+,t}u(x,t)=\int_0^t \frac{\partial^2}{\partial x^2} D^{1-\beta }_{\tau+,t}\omega(x,t;\tau)d\tau.
\end{equation} \tag{22} \]

С использованием (19), (20) и (21) уравнение (16) сводится к виду
\[ \begin{multline*}
u_t+D_{0+,t}^{1-\alpha}u-D_{0+,t}^{1-\beta}u_{xx} =\omega(x,t;\tau)\bigr|_{\tau=t} + 
\int_0^t \frac{\partial}{\partial t} \omega(x,t;\tau)d\tau +
\int_0^t D^{1-\alpha }_{\tau+,t}\omega(x,t;\tau)d\tau
-\int_0^t \frac{\partial^2}{\partial x^2} D^{1-\beta }_{\tau+,t}\omega(x,t;\tau)d\tau = 
\\
= \omega(x,t;\tau) \bigr|_{\tau=t} +\int_0^t \Bigl[
\frac{\partial}{\partial t} \omega(x,t;\tau) + D^{1-\alpha }_{\tau+,t}\omega(x,t;\tau)
- \frac{\partial^2}{\partial x^2} D^{1-\beta }_{\tau+,t}\omega(x,t;\tau) \Bigr]d\tau =f(x,t) .
\end{multline*} \]
При этом $u(x,0) = 0$. Следовательно,
\[ \begin{equation*}
u(x,t)=\int_0^t \omega(x,t;\tau)d\tau
\end{equation*} \]
является решением задачи (16), (17).

Покажем регулярность решения. Применяя (7) в (18), имеем
\[ \begin{equation*}
|u(x,t)|\leqslant 
\|f\|_{C_b(\mathbb{R};[0,T])} \biggl|\int_0^t \int_{\mathbb{R}} G(x-y,t-\tau) dy d\tau\biggr|
\leqslant |tE_{\alpha,2}(-t^{\alpha})|\cdot\|f\|_{C_b(\mathbb{R};[0,T])} \leqslant C\|f \|_{C_b(\mathbb{R};[0,T])}
\end{equation*} \]
при $0\leqslant t\leqslant T$. Аналогично доказывается регулярность $u_t$, $D_{0+,t}^{1-\alpha}u$ и $D_{0+,t}^{1-\beta}u_{xx}$ с использованием свойств (8), (9). Теорема 4 доказана. $\square$

Таким образом, в теореме 2 доказаны существование и единственность решения однородного уравнения с неоднородным начальным условием (3), (4), в теореме 3 приведено решение вспомогательной задачи (14), (15), а в теореме 4 доказана разрешимость неоднородного уравнения с однородным начальным условием (16), (17). Из этих трех теорем следует существование и единственность решения неоднородного уравнения с неоднородным начальным условием (1), (2), т.е. теорема 1 доказана.

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.
Благодарность. Авторы благодарны рецензентам за тщательное прочтение статьи, ценные предложения и комментарии.

Об авторах

Иброхим Ихтиёрович Хасанов

Бухарский государственный университет

Email: ihasanov998@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-9634-5550

преподаватель; каф. дифференциальных уравнений

Узбекистан, 705018, Бухара, ул. Мухаммада Икбала, 11

Дилшода Исроил кизи Акрамова

Бухарский государственный университет

Email: akramova.shoda@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-9596-9401

преподаватель; каф. математического анализа

Узбекистан, 705018, Бухара, ул. Мухаммада Икбала, 11

Аскар Ахмадович Рахмонов

Институт математики имени В.И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан

Автор, ответственный за переписку.
Email: araxmonov@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-7641-9698
SPIN-код: 2647-3705
Scopus Author ID: 57202852322

кандидат физико-математических наук; старший научный сотрудник

Узбекистан, 100174, Ташкент, ул. Университетская, 46

Список литературы

Дополнительные файлы