Contractions on ranks and quaternion types in clifford algebras

Full Text

Введение. Алгебра Клиффорда была предложена в 1878 году У. Клиффордом [1]. В своих исследованиях он объединил идеи, связанные с кватернионами Гамильтона [2] и внешней алгеброй Грассмана [3]. В дальнейшем алгебра Клиффорда развивалась усилиями многих известных математиков - Р. Липшицем [4], Э. Картаном, Э. Уиттом, К. Шевалле [5], М. Риссом и другими. Существенное влияние на развитие теории алгебр Клиффорда оказало открытие уравнения Дирака для электрона в 1928 году [6]. В настоящее время алгебры Клиффорда широко применяются в различных разделах современной математики и физики - теории поля [7, 8], робототехнике, небесной механике, обработке сигналов и изображений, вычислительной технике, химии, геометрии. © 2015 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования Ш и р о к о в Д. С. Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. T. 19, № 1. С. 117-135. doi: 10.14498/vsgtu1387. 117 Ш и р о к о в Д. С. В настоящей статье мы рассматриваем выражения в алгебре Клиффорда вида eA U eA , eA = (eA )-1 , A∈S где eA - элементы базиса алгебры Клиффорда, S есть подмножество множества I всех упорядоченных мультииндексов A длины от 0 до n. Будем называть такие выражения свертками, или усреднениями, в алгебре Клиффорда. Отметим, что метод сверток напрямую связан с методом усреднения в теории представлений конечных групп [9, 10]. В работе автора [11] изучены полные свертки (случай S = I), простые свертки (множество S состоит из одного элемента) и свертки по сопряженным наборам мультииндексов. В настоящей работе продолжено изучение сверток в алгебрах Клиффорда. Рассматриваются четные и нечетные свертки (когда множество S содержит мультииндексы четной или нечетной длины), свертки по рангам (участвуют мультииндексы фиксированной длины), свертки по кватернионным типам. Доказываются теоремы о связи различных сверток с проекциями на выделенные подпространства алгебры Клиффорда. Даны решения систем коммутаторных уравнений в алгебрах Клиффорда eA X + XeA = q A , A ∈ S ⊆ I, ∈ C \ {0} для неизвестного элемента X ∈ C (p, q) и известных элементов q A ∈ C (p, q). Техника сверток напрямую связана с изучением различных уравнений теории поля. Так, в работе [12] рассматривается простейшее полевое уравнение и с помощью техники сверток найдено его общее решение. Там же с помощью техники сверток предложен новый класс решений уравнений Янга- Миллса. В работе [13] рассмотрены обобщенные свертки, построенные по двум наборам антикоммутирующих элементов алгебры Клиффорда. С помощью обобщенных сверток дано обобщение теоремы Паули [14] на случай алгебры Клиффорда [13] и решен ряд вопросов о связи спинорных и ортогональных групп [15-17]. 1. Вещественные и комплексные алгебры Клиффорда, кватернионный тип элемента. Рассмотрим комплексную алгебру Клиффорда C (p, q) (или вещественную C R (p, q)), где p + q = n, n 1. Построение алгебры Клиффорда подробно приведено в [18] и [19]. Будем называть размерностью алгебры Клиффорда C (p, q) число n, хотя ее размерность как линейного пространства равна 2n . Единичный элемент обозначим через e, а генераторы алгебры Клиффорда C (p, q) через ea , a = 1, . . . , n. Генераторы удовлетворяют определяющим соотношениям ea eb + eb ea = 2η ab e, где η = η ab = ηab = diag(1, . . . , 1, -1, . . . , -1) - диагональная матрица с p единицами и q минус единицами на диагонали. Элементы ea1 ...ak = ea1 . . . eak , 118 a1 < . . . < ak , k = 1, . . . , n, Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда вместе с единичным элементом e образуют базис алгебры Клиффорда. Всего имеется 2n элементов базиса. Через I будем обозначать множество мультииндексов длины от 0 до n I = {-, 1, . . . , n, 12, 13, . . . , 1 . . . n}, где через - обозначен пустой мультииндекс, соответствующий единичному элементу алгебры Клиффорда. Итак, мы имеем базис алгебры Клиффорда {eA , A ∈ I}, где A есть произвольный упорядоченный мультииндекс. Обозначим длину мультииндекса A через |A|. Будем рассматривать различные подмножества S ⊆ I: IEven = {A ∈ I, |A| - четно}, Ik = {A ∈ I, Ik = {A ∈ I, IOdd = {A ∈ I, |A| - нечетно}, |A| = k}, |A| = k k = 0, 1, . . . , n, mod 4}, k = 0, 1, 2, 3. Индексы опускаются и поднимаются с помощью матрицы η, т.е. ea = ηab eb , = η ab eb . Мы пользуемся соглашением Эйнштейна о суммировании по повторяющемуся нижнему и верхнему индексу. Имеем ea ea1 ...ak = ηa1 b1 . . . ηak bk ebk . . . eb1 = eak . . . ea1 = (ea1 ...ak )-1 , a1 < . . . < ak . Произвольный элемент алгебры Клиффорда U ∈ C (p, q) может быть записан в виде U = ue + ua ea + ua1 a2 ea1 a2 + . . . + u1...n e1...n = uA eA , a1 k. Приведем несколько примеров (m = 2, 3, 4, n): eb1 b2 U eb1 b2 2 (Cn - 2k(n - k))πk (U ), = k b1 b2 b3 eb1 b2 b3 U e 3 2 3 (-1)k (Cn - 2(kCn-k + Ck ))πk (U ), = k b1 b2 b3 b4 eb1 b2 b3 b4 U e 4 3 3 (Cn - 2(kCn-k + (n - k)Ck ))πk (U ), = k e1...n U e 1...n (-1)k(n+1) πk (U ). = k Рассмотрим систему коммутаторных уравнений по рангам, сначала в частном случае - по генераторам. Верна следующая теорема. 121 Ш и р о к о в Д. С. Теорема 3. Пусть элемент X ∈ C (p, q) удовлетворяет следующей системе n уравнений для некоторых элементов q a ∈ C (p, q): [ea , X] = q a , a = 1, 2, . . . , n. Тогда система либо не имеет решения, либо имеет единственное с точностью до элемента центра решение вида  n  πk (q a ea )   + U0 , если n четно,   (-1)k (n - 2k) - n k=1 X=  n-1 πk (q a ea )   + U0 + Un , если n нечетно,   (-1)k (n - 2k) - n k=1 где U0 , Un - произвольные элементы рангов 0 и n соответственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Домножим уравнение справа на ea и просуммируем: ea Xea - Xea ea = q a ea . Отсюда получаем n (-1)k (n - 2k)πk (X) - nX = q a ea . k=0 n k=0 πk (X), Расписывая X = получаем n n k πk (q a ea ). ((-1) (n - 2k) - n)πk (X) = k=0 k=0 Выражение (-1)k (n - 2k) - n равняется нулю только при k = 0 и при k = n, если n нечетно. Отсюда получаем утверждение теоремы. m Теперь рассмотрим более общий случай, а именно систему Cn уравнеa1 ...am ∈ C (p, q) (число m ний для неизвестного X ∈ C (p, q) и известных q фиксировано) вида ea1 ...am X + Xea1 ...am = q a1 ...am , A = a1 . . . am ∈ Im , ∈ C \ {0}. Утверждение для общего случая довольно громоздко, поэтому опишем лишь сам метод решения таких систем уравнений, который лучше применять уже для конкретных m и . В частности, при = -1 и m = 1 получаем утверждение из предыдущей теоремы. Домножая справа каждое уравнение системы на соответствующий обратный элемент и суммируя уравнения, получаем ea1 ...am Xea1 ...am + Xea1 ...am ea1 ...am = q a1 ...am ea1 ...am . Тогда n m i m-i m (-1)i Ck Cn-k πk (X) + XCn = q a1 ...am ea1 ...am . km (-1) k=0 122 i=0 Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда n k=0 πk (X), Подставляя X = n m n i m-i m (-1)i Ck Cn-k + Cn πk (X) = (-1)km k=0 получаем i=0 πk (q a1 ...am ea1 ...am ). k=0 Далее действуем так же, как при доказательстве предыдущей теоремы. Система либо не будет иметь решения (в зависимости от элементов q a1 ...am ), либо будет иметь решение, расписанное через сумму различных проекций. При этом решение будет единственным с точностью до прибавления произвольных элементов некоторых рангов. Эти ранги k определяются тем, при каких k выполнено m m i m-i (-1)i Ck Cn-k + Cn = 0 km (-1) i=0 и зависят, таким образом, от n, m и . 3. Четные и нечетные свертки. В работе [11] были рассмотрены полные свертки F (U ) = 21 eA U eA . Они проецируют произвольный элемент алгебры n Клиффорда на центр: F (U ) = 1 eA U eA = 2n если n четно; π0 (U ), π0 (U ) + πn (U ), если n нечетно. Теперь рассмотрим четные и нечетные свертки: 1 1 FEven (U ) = n-1 eA U eA , FOdd (U ) = n-1 2 2 A∈IEven eA U eA . A∈IOdd Теорема 4. Для произвольного элемента алгебры Клиффорда U ∈ C (p, q), n = p + q имеем 1 eA U eA = π0 (U ) + πn (U ), (3) FEven (U ) = n-1 2 A∈IEven FOdd (U ) = 1 2n-1 eA U eA = π0 (U ) + (-1)n+1 πn (U ). A∈IOdd 2 2 Рассматриваемые операторы являются проекторами FEven = FEven , FOdd = = FOdd . В случае нечетного n имеем F = FEven = FOdd . В случае четного n имеем F = 1 (FEven + FOdd ). 2 Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу линейности достаточно проверить, как действуют рассматриваемые свертки на произвольный элемент алгебры Клиффорда фиксированного ранга Uk ∈ C k (p, q), k = 0, . . . , n. Случай k = 0 тривиален, т.к. eA eA = eA eA = 2n-1 . A∈IEven A∈IOdd В случае нечетного k = n элементы ранга n лежат в центре, поэтому eA e1...n eA = A∈IEven eA e1...n eA = 2n-1 e1...n . A∈IOdd 123 Ш и р о к о в Д. С. В случае четного k = n элемент e1...n антикоммутирует со всеми нечетными элементами алгебры Клиффорда и коммутирует со всеми четными элементами алгебры Клиффорда, поэтому eA e1...n eA = 2n-1 e1...n . eA e1...n eA = - A∈IEven A∈IOdd Для всех остальных рангов k = 1, . . . , n - 1 можем воспользоваться (2), просуммировать по всем четным (или нечетным) m, перегруппировать слагаемые и получить eA Uk eA = i Cn-k - i Ck i-even i-even A∈IEven i Cn-k i Ck - Uk = i-odd i-odd = (2k-1 2n-k-1 - 2k-1 2n-k-1 )Uk = 0, eA Uk eA = (-1)k i-even A∈IOdd i Cn-k - i Ck i Ck - i-odd i-odd i Cn-k Uk = i-even k k-1 n-k-1 = (-1) (2 - 2k-1 2n-k-1 )Uk = 0. 2 Теорема доказана. Теорема 5. Для произвольного элемента U ∈ C (p, q) в случае четного n = p + q имеем π0 (U ) = 1 2n πn (U ) = 1 2n eA U eA + A∈IEven eA U eA A∈IOdd eA U eA - A∈IEven = 1 eA U eA , 2n eA U eA . A∈IOdd Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя (3), получаем утверждение теоремы. Итак, в случае четного n проекцию элемента на подпространства рангов 0 и n можно получить как линейную комбинацию двух рассматриваемых сверток. Если n нечетно, то можем получить только проекцию на центр (с помощью любой из трех рассматриваемых сверток): πcenter (U ) = 1 2n-1 eA U eA = A∈IEven 1 2n-1 eA U eA = A∈IOdd где πcenter - проекция на центр алгебры Клиффорда. 124 1 eA U eA , 2n Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда Теперь рассмотрим системы коммутаторных уравнений по четным и нечетным мультииндексам. Теорема 6. Пусть элемент X ∈ C (p, q) удовлетворяет следующей системе 2n-1 уравнений для некоторых элементов q A ∈ C (p, q): eA X + XeA = q A , |A| - even, ∈ C \ {0}. Тогда в случае = -1 (случай коммутатора) система либо не имеет решения, либо имеет решение (единственное с точностью до прибавления произвольных элементов рангов 0 и n): X=- 1 q A e A + U0 + Un . 2n-1 |A|-even В случае = -1 система либо не имеет решения, либо имеет единственное решение: X= 1 q A eA - 2n-1 |A|-even 1 (π0 (q A eA ) + πn (q A eA ) . ( + 1) Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем eA XeA + X |A|-even eA eA = q A eA , |A|-even |A|-even откуда 2n-1 (π0 (X) + πn (X)) + 2n-1 X = q A eA . |A|-even Расписывая элемент по рангам X = n k=0 πk (X), получаем решение. Теорема 7. Пусть элемент X ∈ C (p, q) удовлетворяет следующей системе 2n-1 уравнений для некоторых элементов q A ∈ C (p, q): eA X + XeA = q A , |A| - odd, ∈ C \ {0}. Тогда в случае = -1 (случай коммутатора) система либо не имеет решение, либо имеет решение (единственное с точностью до прибавления элементов заданных рангов) вида X=- 1 2n-1 |A|-odd 1 q A eA - πn ( 2 q A eA ) + U0 |A|-odd в случае четного n и X=- 1 2n-1 q A e A + U0 + Un |A|-odd в случае нечетного n. 125 Ш и р о к о в Д. С. В случае = 1 (случай антикоммутатора) система либо не имеет решения, либо имеет решение вида (единственное с точностью до прибавления элементов заданных рангов) вида X= 1 2n-1 |A|-odd 1 q A eA - πn 2 q A eA + Un |A|-odd в случае четного n и X= 1 2n-1 |A|-odd 1 q A eA - π0 2 1 - πn 2 q A eA |A|-odd q A eA |A|-odd в случае нечетного n. В случае = ±1 система либо не имеет решения, либо имеет единственное решение вида X= 1 2n-1 q A eA - |A|-odd 1 π0 +1 q A eA + |A|-odd 1 πn -1 q A eA |A|-odd в случае четного n и X= 1 2n-1 q A eA - |A|-odd 1 π0 +1 q A eA - |A|-odd 1 πn +1 q A eA |A|-odd в случае нечетного n. Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем eA XeA + X |A|-odd eA eA = |A|-odd q A eA . |A|-odd Отсюда в случае четного n имеем n-1 2n-1 ( + 1)π0 (X) + ( - 1)πn (X) + 2n-1 q A eA , πk (X) = |A|-odd k=1 а в случае нечетного n - n-1 2n-1 ( + 1)π0 (X) + ( + 1)πn (X) + 2n-1 q A eA . πk (X) = k=1 |A|-odd Рассматривая всевозможные случаи, получаем утверждение теоремы. 4. Cвертки по кватернионным типам. Несложно подсчитать размерности 4k+m , подпространств (1) кватернионных типов dm (n) = dim C m (p, q) = k Cn m = 0, 1, 2, 3: d0 (n) = 2n-2 + 2 126 n-2 2 cos πn , 4 d1 (n) = 2n-2 + 2 n-2 2 sin πn , 4 Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда n-2 πn πn , d3 (n) = 2n-2 - 2 2 sin . 4 4 Будем рассматривать следующие свертки по кватернионным типам (нормировать на множители dm (n) в дальнейшем иногда не будем): d2 (n) = 2n-2 - 2 1 d0 (n) F0 (U ) = 1 F2 (U ) = d2 (n) n-2 2 cos 1 d1 (n) eA U eA , F1 (U ) = eA U eA , 1 F3 (U ) = d3 (n) A∈I0 A∈I2 eA U eA , A∈I1 eA U eA . A∈I3 Теорема 8. Пусть Uk - элемент алгебры Клиффорда C (p, q) ранга k. При k = 1, . . . , n - 1 свертки равны следующим величинам: eA Uk eA = 2 n-2 2 cos A∈I0 eA Uk eA = (-1)k+1 2 πk πn - Uk , 2 4 n-2 2 A∈I1 eA Uk eA = -2 n-2 2 cos A∈I2 eA Uk eA = (-1)k 2 A∈I3 n-2 2 sin πk πn - Uk , 2 4 πk πn - Uk , 2 4 sin (4) πk πn - Uk . 2 4 При k = 0 и k = n имеем (для m = 0, 1, 2, 3) eA eA = dm (n)e, eA e1...n eA = (-1)m(n+1) dm (n)e1...n . A∈Im (5) A∈Im Заметим, что формулы (5) не являются частным случаем формул (4). Как следствие теоремы, имеем следующие формулы для сверток по кватернионным типам от произвольного элемента алгебры Клиффорда U ∈ C (p, q): 3 A eA U e = A∈I0 2 n-2 2 cos k=0 πk πn - πk (U ) + 2n-2 π0 (U ) + πn (U ) , 2 4 3 eA U eA = A∈I1 (-1)k+1 2 n-2 2 k=0 sin πk πn - πk (U )+ 2 4 + 2n-2 π0 (U ) + (-1)n+1 πn (U ) , (6) 3 eA U eA = A∈I2 -2 k=0 n-2 2 cos πk πn - πk (U ) + 2n-2 π0 (U ) + πn (U ) , 2 4 127 Ш и р о к о в Д. С. 3 eA U eA = (-1)k 2 A∈I3 n-2 2 sin k=0 πk πn - πk (U )+ 2 4 + 2n-2 π0 (U ) + (-1)n+1 πn (U ) . Д о к а з а т е л ь с т в о. Формулы для рангов k = 0 и k = n очевидны и следуют из формул для размерности соответствующих подпространств. Для остальных k = 1, . . . , n - 1, используя (2), имеем eA Uk eA = i Ck A∈I0 i=0 mod 4 i=0 i Cn-k i Ck - i=1 i Cn-k - i=3 mod 4 mod 4 mod 4 i Ck i=3 mod 4 i=1 i=2 i Cn-k i=2 mod 4 - i Cn-k - i Ck + mod 4 Uk = mod 4 = d0 (k)d0 (n - k) - d1 (k)d3 (n - k) + d2 (k)d2 (n - k) - d3 (k)d1 (n - k) Uk . Далее, пользуясь формулами для коэффициентов и тригонометрическими тождествами, получаем первое из утверждений теоремы. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Согласно доказанной теореме, свертки по мультииндексам фиксированных кватернионных типов сводятся к операциям проецирования на подпространства кватернионных типов и операциям проецирования на ранги 0 и n. Однако в случае четного n верно и обратное: можно выразить операции проецирования на подпространства кватернионных типов через четыре рассматриваемые свертки и две дополнительные свертки по рангам 0 и n. А именно, имеет место следующая теорема. Теорема 9. Для произвольного элемента U ∈ C (p, q) в случае четного n = p + q имеем π0 (U ) = 2 -n-2 2 3 (-1)k cos k=0 π1 (U ) = 2 3 -n-2 2 sin k=0 π2 (U ) = 2 -n-2 2 πk πn - 2 4 3 (-1)k cos k=0 π3 (U ) = 2 -n-2 2 3 (-1) sin k=0 πk πn - 2 4 eA U eA + 2-2 (U + e1...n U e1...n ), A∈Ik eA U eA + 2-2 (U - e1...n U e1...n ), A∈Ik πk πn - 2 4 πk πn - 2 4 eA U eA + 2-2 (U + e1...n U e1...n ), A∈Ik eA U eA + 2-2 (U - e1...n U e1...n ). A∈Ik Д о к а з а т е л ь с т в о. Добавляем к рассматриваемым выше четырем урав128 Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда нениям (6) два следующих уравнения: 3 3 πk (U ), eU e = e1...n U e 1...n (-1)k πk (U ). = k=0 k=0 Получающаяся квадратная матрица размера 6 рассматриваемой линейной системы уравнений имеет вид n-2 n-2 n-2 n-2 2 2 cos( πn ) 2 2 sin( πn ) -2 2 cos( πn ) -2 2 sin( πn ) 2n-2 4 4 4 4 n-2 n-2 n-2  2 n-2 sin( πn ) 2 2 2 cos( πn ) -2 2 sin( πn ) -2 2 cos( πn ) 2n-2  n-2 4 4 4 4 n-2 n-2 n-2  2 2 sin( πn ) 2n-2 -2 2 cos( πn ) -2 2 sin( πn ) 2 2 cos( πn ) 4 4 4 4  n-2 n-2 n-2 n-2  -2 2 sin( πn ) -2 2 cos( πn ) 2 2 sin( πn ) 2 2 cos( πn ) 2n-2 4 4 4 4  1 1 1 1 0 1 -1 1 -1 0   2n-2 -2n-2    2n-2  .  -2n-2   0 0 Определитель этой матрицы равен 23n cos2 πn πn - sin2 4 4 . В случае нечетного n определитель равен нулю и матрица необратима. В случае n = 0 mod 4 определитель равен 23n , а в случае n = 2 mod 4 определитель равен -23n и матрица обратима. Можем записать в случае четного n, что определитель матрицы равен (-1)n/2 23n . Обратная матрица имеет вид -n-2 -n-2 -n-2 -n-2 2 2 cos( πn ) -2 2 sin( πn ) -2 2 cos( πn ) 2 2 sin( πn ) 2-2 4 4 4 4 -n-2 -n-2  -2 -n-2 sin( πn ) 2 -n-2 cos( πn ) 2 2 2 2 sin( πn ) -2 2 cos( πn ) 2-2  -n-2 4 4 4 4 -n-2 -n-2 -2 2 cos( πn ) 2 -n-2 sin( πn ) 2 2 2 cos( πn ) -2 2 sin( πn ) 2-2  4 4 4 4 -n-2 -n-2 -n-2  -n-2  2 2 sin( πn ) -2 2 cos( πn ) -2 2 sin( πn ) 2 2 cos( πn ) 2-2 4 4 4 4  2-n 2-n 2-n 2-n 0 2-n -2-n 2-n -2-n 0   2-2 -2-2   2-2  .   -2-2   0 0 Таким образом, получаем в случае четного n связь между проекциями на кватернионные типы и свертками, указанную в формулировке теоремы. Заметим, что в случае нечетного n выписанная матрица необратима. Более того, имеем eA U eA = A∈I0 eA U eA , A∈I3 eA U eA = eA U eA , A∈I2 A∈I1 =2 eA U eA + а значит eA U eA = 2 eA U eA + A∈I0 eA U eA A∈I2 eA U eA + =2 A∈I0 A∈I1 eA U eA A∈I1 eA U eA eA U eA + =2 A∈I2 = A∈I3 eA U eA . A∈I3 129 Ш и р о к о в Д. С. Теперь рассмотрим системы коммутаторных уравнений по кватернионным типам, как это делалось выше для рангов, четных и нечетных сверток: eA X + XeA = q A , |A| = m mod 4, ∈ C \ {0}. m = 0, 1, 2, 3, В силу громоздкости получающегося утверждения в общем случае рассмотрим в следующий теореме только случай = -1 (случай коммутатора). В других случаях система уравнений решается аналогично. Теорема 10. Пусть элемент X ∈ C (p, q) алгебры Клиффорда размерности p + q = n 5 удовлетворяет следующей системе уравнений для некоторых элементов q A ∈ C (p, q): [eA , X] = q A , ∀|A| = m mod 4, m = 0, 1, 2, 3. Тогда система либо не имеет решения, либо имеет решение вида (единственное с точностью до прибавления указанных произвольных элементов фиксированных рангов) n-1 1 X= 2 n-2 2 k=1 πk cos( πk - 2 πn 4 ) mod 4 q |A|=0 Ae A - cos( πn ) - 2 4 + U0 + Un n-2 2 в случае m = 0, n-1 1 X= 2 n-2 2 πk (-1)k+1 sin( πk - 2 k=1 mod 4 q |A|=1 πn 4 ) Ae A - sin( πn ) - 2 4 - - n-2 2 πn A mod 4 q eA n 2 2 sin( πn ) 4 |A|=1 2n-1 + + U0 в случае m = 1 и четного n, n-1 1 X= 2 n-2 2 k=1 πk mod 4 q |A|=1 (-1)k+1 sin( πk - 2 πn 4 ) Ae A - sin( πn ) - 2 4 n-2 2 + U0 + Un в случае m = 1 и нечетного n, 1 X= 2 n-2 2 n-1 k=1 πk mod 4 q |A|=2 - cos( πk - 2 πn 4 ) Ae A + cos( πn ) - 2 4 n-2 2 + U0 + Un в случае m = 2, 1 X= 2 n-2 2 n-1 k=1 πk (-1)k sin( πk 2 |A|=3 - mod 4 q πn 4 ) + Ae A sin( πn ) 4 -2 - 130 n-2 2 πn - A mod 4 q eA n 2 2 sin( πn ) 4 |A|=3 2n-1 - + U0 Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда в случае m = 3 и четного n, 1 X= 2 n-2 2 n-1 k=1 πk |A|=3 (-1)k sin( πk - 2 mod 4 q πn 4 ) Ae A + sin( πn ) - 2 4 n-2 2 + U0 + Un в случае m = 3 и нечетного n. Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем для m = 0, 1, 2, 3 eA XeA - X |A|=m mod 4 eA eA = |A|=m mod 4 q A eA . |A|=m mod 4 Пользуясь (4) и (5), получаем для случая m = 0 n-1 n 2 2 -1 cos k=1 n-2 + 2 +2 n-2 2 n-2 πk πn πn - πk (X) + 2n-2 + 2 2 cos π0 (X)+ 2 4 4 n-2 πn πn πn (X)- 2n-2 +2 2 cos X= cos 4 4 |A|=0 q A eA . mod 4 В случаях m = 1, 2, 3 действуем аналогично. Далее рассматриваем всевозможные случаи. Заметим, что выражения, стоящие в формулировке теоремы в знаменателях, не обращаются в ноль ни для какого k при n 5. Отметим, что можно сформулировать аналог этой теоремы и для случая n 4. В этом случае некоторые коэффициенты из доказательства предыдущей теоремы будут обнуляться для фиксированных рангов k. В таком случае решение будет содержать в качестве слагаемого вместо проекции на соответствующий ранг - произвольный элемент указанного ранга. Например, для m = 0 коэффициент обнуляется при n = 4 и k = 2: cos n-2 πn πk πn - - cos - 2 2 = 0, 2 4 4 а значит, вместо проекции π2 в качестве слагаемого будет присутствовать произвольный элемент U2 . Заметим, что в случае размерностей n 3 понятие кватернионного типа совпадает с понятием ранга элемента алгебры Клиффорда, поэтому все сводится к рассмотрению коммутаторных уравнений по рангам (см. рассуждения в конце параграфа 2). Заключение. В настоящей статье представлены и доказаны утверждения для сверток в алгебрах Клиффорда разного вида, построенных с помощью фиксированного базиса алгебры Клиффорда. Доказанные утверждения могут непосредственно применяться при решении уравнений в формализме алгебр Клиффорда, как это было сделано в работе [12] при изучении уравнений Янга-Миллса и простейшего полевого уравнения. Заметим, что во всех теоремах настоящей статьи мы могли рассматривать не генераторы алгебры Клиффорда ea , а произвольный набор элементов алгебры Клиффорда γ a ∈ C (p, q), который удовлетворяет определяющим соотношениям γ a γ b + γ b γ a = 2η ab e. Этот набор может порождать другой базис γ A 131 Ш и р о к о в Д. С. алгебры Клиффорда C (p, q), но в некоторых случаях нечетной размерности n этот набор может не порождать новый базис C (p, q) (см. более подробно [13]). В работе [13] рассматриваются обобщенные свертки, построенные по двум таким наборам γ a , β a .

About the authors

Dmitry S Shirokov

A. A. Kharkevich Institute for Information Transmission Problems, Russian Academy of Sciences

Email: dm.shirokov@gmail.com
(Cand. Phys. & Math. Sci.; dm.shirokov@gmail.com), Scientific Researcher, Lab. 7 “Bioelectric Information Processing” 19, Bolshoy Karetny per., Moscow, 127994, Russian Federation

References

Supplementary files