Boundary value problems for matrix Euler-Poisson-Darboux equation with data on a characteristic

Full Text

В настоящее время имеется ряд монографий и статей, посвященных краевым задачам и их корректности для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и его обобщений. Так, в монографии Р. С. Хайруллина [1] получены общие решения для всех возможных вещественных значений параметров и построены решения задачи Коши. Ранее в работах [2-4] получены решения различных краевых задач для систем двух уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу методом Римана [5], обобщенным на системы дифференциальных уравнений в частных производных. Известно, что метод решения задач Коши-Гурса и Дарбу для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу Uxy - b a c Ux + Uy + U =0 x-y x-y (x - y)2 в случае a = b = 1/6, c = 0 С. Геллерстедт [6] впервые применил метод, носящий название метода Римана-Адамара. Позже этот метод был обобщен [7, 8] на один класс систем гиперболического типа второго порядка с двумя неизвестными переменными и кратными характеристиками - систему Эйлера- Пуассона-Дарбу. Рассмотрим следующую систему n дифференциальных уравнений в частных производных: ∂2U G ∂U G ∂U + - = 0, ∂ξ∂η η - ξ ∂ξ η - ξ ∂η (1) где U = (u1 , . . . , un ) , G - действительная n × n-матрица. В работе [7] построена матрица Римана и с её помощью получено решение задач Коши-Гурса и Дарбу для системы (1) при n = 2 и различных собственных значениях квадратной матрицы G из интервала (0; 1/2). В [9, 10] получены решения задачи Коши для случаев, когда собственные значения матрицы G ∈ Rn×n - комлексно-сопряжённые с действительной частью из интервала (-1/2; 1/2). Необходимо найти решение задач Коши-Гурса и Дарбу для системы (1) в случае, когда спектр квадратной матрицы G принадлежит интервалу (0; 1/2). Задача Коши-Гурса. Найти вектор-функцию U (ξ, η), удовлетворяющую следующим условиям: ¯ 1) U (ξ, η) ∈ C(D) ∩ C 2 (D), где D = {(ξ, η) : 0 < ξ < η < 1}; 2) U (ξ, η) удовлетворяет системе (1); 3) выполняются условия U (0, η) = ψ(η), η ∈ [0; 1] , η - ξ ∂U ∂U lim K - = ν(ξ), ξ ∈ (0; 1), η-ξ→-0 2 ∂ξ ∂η (2) (3) где ψ(η) = (ψ1 (η), . . . , ψn (η)) , ν(ξ) = (ν1 (ξ), . . . , νn (ξ)) , K(t) = t2G . Задача Дарбу. Найти вектор-функцию U (ξ, η), удовлетворяющую следующим условиям: ¯ 1) U (ξ, η) ∈ C(D) ∩ C 2 (D), где D = {(ξ, η) : 0 < ξ < η < 1}; 604 Краевые задачи для матричного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. . . 2) U (ξ, η) удовлетворяет системе (1); 3) выполняются условия (2) и U (ξ, ξ) = τ (ξ), ξ ∈ [0, 1] , (4) где τ (η) = (τ1 (η), . . . , τn (η)) , τ (0) = ψ(0). Известно [11], что для любой матрицы G существует матрица перехода Q к жорданову базису такая, что Q-1 GQ = Λ, где Λ - блочно-диагональная матрица, которая является жордановой формой матрицы G. Матрица Λ состоит из r жордановых клеток   Λ1 0 0 ... 0  0 Λ2 0 . . . 0  Λ= , r n, ... ... ... ... ...  0 0 0 . . . Λr   λk 1 0 ... 0 0  0 λk 1 . . . 0 0    Λk = . . . . . . . . . . . . . . . . . .    0 0 0 . . . λk 1  0 0 0 . . . 0 λk lk r k=1 lk = n, соответствующая собственному - жорданова клетка порядка lk , значению λk . Также известно [11], что одному собственному значению может соответствовать более одной жордановой клетки. Количество s жордановых клеток размера lk , соответствующих собственному значению λk , вычисляется по формуле из [12]: s = rank((G - λk E)lk -1 ) - 2 rank((G - λk E)lk ) + rank((G - λk E)lk +1 ). После преобразования Q-1 GQ = Λ система (1) примет вид ˜ ˜ ˜ Λ ∂U Λ ∂U ∂2U + - = 0, ∂ξ∂η η - ξ ∂ξ η - ξ ∂η (5) ˜ U = Q-1 U. (6) где Очевидно, система уравнений (5) распадается на r независимых систем уравнений вида ˜ LU(k) = ˜ ˜ ˜ ∂ 2 U(k) Λk ∂ U(k) Λk ∂ U(k) + - = 0; ∂ξ∂η η - ξ ∂ξ η - ξ ∂η (7) условия Коши-Гурса (2), (3) для уравнения (7) будут иметь вид ˜ ˜ U(k) (0, η) = ψ(k) (η), η ∈ [0; 1] , ˜ ψ = Q-1 ψ (8) 605 А н д р е е в А. А., М а к с и м о в а Е. А. ˜ ˜ ∂ U(k) ∂ U(k) - = ν(k) (ξ), ˜ ∂ξ ∂η ˜ ν = Q-1 ν, K(k) (t) = tΛk , ˜ η-ξ ˜ K(k) η-ξ→-0 2 lim ξ ∈ (0; 1), (9) ˜ ˜ где U(k) , ψ(k) , ν(k) - группы координат вектор-функций, соответствующих ˜ жордановой клетке Λk . Условия Дарбу (2), (4) примут вид (8) и ˜ U(k) (ξ, ξ) = τ(k) (ξ), ˜ ξ ∈ [0; 1] , τ = Q-1 τ. ˜ (10) Существенную роль при решении задач (7), (8), (9) и (7), (8), (10) играет так называемая матрица Римана-Адамара. Определение. Матрицей Римана-Адамара Wi (ξ, η, ξ0 , η0 ) задачи Коши- Гурса (i = 1) или Дарбу (i = 2) будем называть, следуя [7], квадратную матрицу-функцию порядка n Wi (ξ, η, ξ0 , η0 ) = R(ξ, η; ξ0 , η0 ), η > ξ0 , Vi (ξ, η; ξ0 , η0 ), η < ξ0 , i = 1, 2, удовлетворяющую следующим требованиям: 1) каждая строка матрицы Wi относительно переменных (ξ, η) является решением системы L∗ Wi = 0; 2) каждый столбец матрицы Wi относительно переменных (ξ0 , η0 ) является решением системы (7); 3) Wi (ξ0 , η0 ; ξ0 , η0 ) = E; 4) Wi (ξ, ξ; ξ0 , η0 ) = 0, причем для различных i порядок нуля различен. Λk ∂ [Wi ] + [Wi ] при η = ξ0 , где 5) ∂ξ η-ξ [Wi ] = lim {R(ξ, ξ0 + ε; ξ0 , η0 ) - Vi (ξ, ξ0 + ε; ξ0 , η0 )} ε→0 - скачок функции Wi (ξ, η; ξ0 , η0 ) на линии η = ξ; W1 (ξ, η; ξ0 , η0 ) = f1 (Λk ) = =Γ Λk 2Λk , E - Λk (η - ξ)2 (ξ - ξ0 )(η - η0 ) Λk 2 F1 Λk , Λk 1 , 2Λk σ , W2 (ξ, η; ξ0 , η0 ) = f2 (Λk ) = =Γ E - Λk 2E - 2Λk , Λk (η - ξ)(η0 - ξ0 )E-2Λk 2 F1 ((ξ - ξ0 )(η - η0 ))E-Λk где Γ - гамма-функция [13], 2 F1 функция Гаусса [14]. 606 Λk , Λk 1 ,σ 2Λk E - Λk , E - Λk 1 , , 2E - 2Λk σ - гипергеометрическая Краевые задачи для матричного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. . . ˜ Если U(k) (ξ, η) является решением (7), а Wi (ξ, η, ξ0 , η0 ) - матрица Римана-Адамара этой системы, то, используя свойства матрицы Римана и векторный аналог тождества Грина [15], получаем ˜ ˜ ∂ U(k) ∂ U(k) - - ε→0 0 ∂η ∂ξ Λk ˜ ∂Wi ∂Wi - - 4Wi U dξ- - ∂η ∂ξ η - ξ (k) η = ξ + ε 0 ˜ ∂ U(k) ∂Wi Λk ˜ ˜ - Wi - U(k) - 2Wi U dξ- ∂ξ ∂ξ η - ξ (k) η = ξ0 - ε ξ0 -2ε ε ˜ ∂ U(k) ∂Wi Λk ˜ ˜ - Wi - U(k) - 2Wi U dη+ ∂η ∂η η - ξ (k) ξ = 0 ξ0 -ε η0 ˜ ∂ U(k) ∂Wi Λk ˜ ˜ + Wi - U(k) - 2Wi U dη- ∂η ∂η η - ξ (k) ξ = ξ0 - 2ε ξ0 +ε 0 ˜ ∂ U(k) ∂Wi Λk ˜ ˜ Wi - - U(k) - 2Wi U dξ+ ∂ξ ∂ξ η - ξ (k) η = η0 ξ0 -2ε ξ0 +ε ˜ ∂ U(k) ∂Wi Λk ˜ ˜ - U - 2Wi U dη- + Wi ∂η ∂η (k) η - ξ (k) ξ = 0 η0 ξ0 -2ε ˜ ∂ U(k) ∂Wi Λk ˜ ˜ - Wi - U(k) - 2Wi U dξ . ∂ξ ∂ξ η - ξ (k) η = ξ0 + ε 0 ˜ U(k) (ξ0 , η0 ) = lim ξ0 -2ε Wi ˜ Очевидно, U(k) (ξ0 , η0 ) можно записать в виде lk ˜ U(k) (ξ0 , η0 ) = I(λk , u(k)j )ej , (11) j=1 где ej = (ej1 , ej2 , . . . , ejlk ) ; eji = 0, i = j; ejj = 1; u(k)j - компоненты векто˜ ра U(k) ; lk - размер жордановой клетки Λk ; ξ0 -2ε ∂u(k)j ∂u(k)j - - ε→0 0 ∂η ∂ξ ∂fi (Λk ) ∂fi (Λk ) Λk - - - 4fi (Λk ) u dξ- ∂η ∂ξ η - ξ (k)j η = ξ + ε 0 ∂u(k)j ∂fi (Λk ) Λk - u(k)j - 2fi (Λk ) u dξ- - fi (Λk ) ∂ξ ∂ξ η - ξ (k)j η = ξ0 - ε ξ0 -2ε ε ∂u(k)j ∂fi (Λk ) Λk - fi (Λk ) - u(k)j - 2fi (Λk ) u dη+ ∂η ∂η η - ξ (k)j ξ = 0 ξ0 -ε η0 ∂u(k)j ∂fi (Λk ) Λk + fi (Λk ) - u(k)j - 2fi (Λk ) u dη- ∂η ∂η η - ξ (k)j ξ = ξ0 - 2ε ξ0 +ε I(Λk , u(k)j ) = lim Wi 607 А н д р е е в А. А., М а к с и м о в а Е. А. 0 fi (Λk ) ∂u(k)j ∂fi (Λk ) Λk - u(k)j - 2fi (Λk ) u ∂ξ ∂ξ η - ξ (k)j η = η0 fi (Λk ) - ∂u(k)j ∂fi (Λk ) Λk - u(k)j - 2fi (Λk ) u ∂η ∂η η - ξ (k)j ξ=0 ξ0 -2ε ξ0 +ε + η0 ξ0 -2ε - fi (Λk ) 0 ∂u(k)j ∂fi (Λk ) Λk - u(k)j - 2fi (Λk ) u ∂ξ ∂ξ η - ξ (k)j dξ+ dη- η = ξ0 + ε dξ . (12) Известно [16], что если Λk - жорданова клетка, то функция от матрицы I(Λk , u(k)j ) может быть записана в виде  Iλ (λk ,u(k)j ) . . . k  I(λk , u(k)j ) 1!   . I(Λk , u(k)j ) =  0 I(λk , u(k)j ) . .   ..  . ... ... 0 0 ... (l -1) Iλ j (λk ,u(k)j ) k (lj -1)! (lj -2) (λk ,u(k)j ) Iλ k (lj -2)! ... I(λk , u(k)j )     .    (13) Подставляя (13) в (11), после некоторых преобразований получаем lk -1 ˜ ˜ U(k) (ξ0 , η0 ) = EI(λ, U(k) ) + j=1 где Hlk - lk × lk -матрица вида  0 1 0 0  0 0 1 0  Hlk =  . . . . . . . . . . . .  0 0 0 0 0 0 0 0 Hljk j! (j) ˜ Iλk (λk , U(k) ), ... 0 ... 0 ... ... ... 1 ... 0    .  Подстановкой в тождество (12) собственного значения λk матрицы W1 Римана-Адамара задачи Коши-Гурса с существенным использованием свойств этой матрицы и применением соответствующих краевых условий (8), (9) предельным переходом при ε → 0 получим ξ ˜ I(λk , U(k) ) = 22λk -1 K1 (λk ) ν(t) (η - t)(t - ξ) -λk dt+ 0 ξ + K1 (λk )ξ -λk t2 λk λk λk , λk t(η - ξ) ψ(t) ; dt+ 2 F1 2λk t η-t ξ(η - t) λk λk , 1 - λk ξ(η - t) ψ (t) + ψ(t) tλk 2 F1 ; dt. 2λk t t(η - ξ) ψ (t) + 0 η + (η - ξ)-λk ξ ˜ Для задачи Дарбу функция I(λk , U(k) ) будет иметь вид 608 Краевые задачи для матричного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. . . ξ ˜ I(λk , U(k) ) = 2(1 - 2λk )K2 (λk )(η - ξ)1-2λ τ (t) (η - t)(ξ - t) λk -1 dt+ 0 + K2 (λk ) (η - ξ)1-2λk ξ 1-λk + (η - ξ)-λk ξ λk ψ(t) × t 0 t 1 - λk , 1 - λk t(η - ξ) F ; dt+ × 1-λk 2 1 2 - 2λk ξ(η - t) (η - t) η λk λk , 1 - λk ξ(η - t) ψ (t) + ψ(t) tλk 2 F1 dt, ; 2λk t t(η - ξ) ξ ψ (t) + где K1 (λk ) = Γ(1 - 2λk ) , Γ(1 - λk )Γ(1 - λk ) K2 (λk ) = Γ(2λk ) . Γ(λk )Γ(λk ) Решение задачи Коши-Гурса и Дарбу уравнения (5) можно записать в виде прямой суммы [17] решений вспомогательных систем (7): r ˜ U (ξ, η) = ⊕ ˜ U(k) (ξ, η). k=1 Выполняя в полученных выражениях замену (6), получим решения исходных задач. Полученный результат согласуется с результатами А. А. Андреева [7] для системы двух уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в том, что полученные решения удовлетворяют уравнению и начальным данным. Из самого способа получения решений и их вида следует единственность решения поставленных задач. Таким образом, справедлива Теорема. Если τ (x) ∈ C 3 [0; 1] и ν(x) ∈ C 2 (0; 1), то полученные решения есть классические решения задач Коши-Гурса и Дарбу для уравнения (1) и они корректны по Адамару. ORCID Александр Анатольевич Андреев: http://orcid.org/0000-0002-6611-6685 Екатерина Алексеевна Максимова: http://orcid.org/0000-0002-8839-9620

About the authors

Aleksander A Andreev

Samara State Technical University

Email: andre01071948@yandex.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; andre01071948@yandex.ru; Corresponding Author), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Ekaterina A Maksimova

Samara State Technical University

Email: ekamaks@bk.ru
Assistant, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files