The oscillator's model with broken symmetry

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного автором на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). Введение. В ряде задач важную роль играют уравнения Хилла [2-6] 2 ∂0 x + Ω2 (t) x = 0, 2 где ∂0 x - вторая производная по времени t от координаты x, Ω2 (t) - некоторая периодическая функция. В частности, к уравнению такого вида приводит рассмотрение системы, движение которой задано функциями x1 = A1 , e-s1 ωt + α x2 = A2 , e-s2 ωt + α √ где A1 , A2 - амплитуды колебаний, ω - частота, s1 = a + a2 - 1, s2 = a - √ - a2 - 1, a ∈ C, α 1. Все экспоненты с таким включением параметра α называются битриальными [7]. Известно [7, 8], что данное решение имеет линейное уравнение второго порядка 2 p(t)∂0 x - ωq(t)∂0 x + ω 2 x = 0, (1) в котором функции p(t) и q(t) связаны следующими соотношениями: p(t) r(t) = s2 (1 + α exp (s1 ωt)) - s1 (1 + α exp (s2 ωt)) , q(t) r(t) = s2 (1 + α exp (s1 ωt)) 2 (1 - α exp (s2 ωt)) - (1 + α exp (s2 ωt)) - s2 (1 + α exp (s2 ωt)) 1 r(t) = s2 (1 - α exp (s1 ωt)) , (1 + α exp (s1 ωt)) (1 - α exp (s2 ωt)) (1 - α exp (s1 ωt)) - s1 . (1 + α exp (s2 ωt)) (1 + α exp (s1 ωt)) Уравнение (1) сводится к уравнению Хилла. Данная система совершает ангармонические колебания вокруг положения равновесия, смещенного относительно нуля. Такую систему мы будем называть m-гармоническим осциллятором. Здесь нас будут интересовать незатухающие колебания m-гармонического осциллятора: a = 0 (s1 = i, s2 = -i). 1. Отыскание лагранжианов и гамильтонианов к уравнениям движения подобного типа. Сначала опишем прием, который будет использоваться нами при отыскании лагранжианов к уравнениям движения такого типа на протяжении всей работы. Исходя из того, что лагранжиан L = e-2aωt x2 x2 ˙ - ω2 2 2 приводит к уравнению движения 2 (∂0 - 2aω∂0 + ω 2 )x = x - 2aω x + ω 2 x = 0 ¨ ˙ с частными решениями x1 = A1 es1 ωt и x2 = A2 es2 ωt , лагранжиан к (1) ищется в форме 1 x2 x2 ˙ L = e-2a(t)ωt - ω2 . 2 p(t) 2 Тогда искомый лагранжиан имеет вид L = exp -ω q(t) dt + C0 p(t) x2 ˙ 1 x2 - ω2 . 2 p(t) 2 Константу C0 можно без потери общности принять равной нулю. Производные по времени для краткости также будем обозначать точками над соответствующими величинами. ˙ По определению, p = ∂L/∂ x - обобщенный импульс, а H = pX - L - ˙ гамильтониан. 625 В о л о в Д. Б. 2. Три вида уравнений движения. 2.1. Нецентрированная (неунитарная) битриальная экспонента в решении. При a = 0 уравнение (1) существенно упрощается: 2 ∂0 x - αω 3 - α2 sin ωt + α sin(2ωt) ω 2 1 - α2 ∂0 x + x = 0, p (t) p (t) (2) p (t) = 1 + α 3 + α2 cos ωt + α2 (2 + cos(2ωt)) . Его частными решениями будут так называемые нецентрированные битриальные экспоненты [8]: x 1 = A1 1 - α2 , e-iωt + α x2 = A2 1 - α2 . eiωt + α Применяя формулы предыдущего раздела, находим лагранжиан к уравнению (2): Lx = 1 + 2α cos ωt + α2 1 + α cos ωt 2 1 - α 2 ω 2 x2 x2 ˙ - . 2 p (t) 2 (3) Для обозначения величин, относящихся к нецентрированным экспонентам, здесь и далее будем пользоваться индексом “x”. Пренебрегая членами второго порядка малости по α, из (3) получим L ≈ (1 + α cos ωt)2 1 ω 2 x2 x2 ˙ - , 2 1 + 3α cos ωt 2 и тогда (2) переходит в уравнение Матье [9]: 2 ∂0 x - 3αω sin ωt∂0 x + ω 2 [1 - 3α cos ωt] x ≈ 0. Действительно, заменой Q(t) = exp 1 2 t 0 q(τ ) dτ x(t) p(τ ) уравнение (2) сводится к уравнению Хилла, которое, в свою очередь, ввиду малости параметра α приближенно соответствует уравнению Матье [9] 2 2 ∂0 Q + ωn [1 + f0 sin ωp t] Q = 0, (4) где f0 = const, ωn - собственная частота, ωp - частота изменения параметра системы. Уравнение (4) хорошо изучено [9, 10]. В частности, известно, что главный параметрический резонанс наблюдается на частоте, близкой к удвоенной собственной частоте колебаний системы ωp ≈ 2ωn . Все последующие резонансы происходят на частотах, близких к ωp ≈ 2ωn /n, n = 2, 3, . . . , с резким снижением ширины резонанса ∆ωp и амплитуды колебаний при увеличении n [10]. В случае уравнения (2) резонанс наблюдается на ωp ≈ ωn и приводит к незатухающим колебаниям в линейной системе, описываемой 626 Модель осциллятора с нарушением симметрии этим уравнением. Роль «вязких» членов при ∂0 в уравнении (2) сводится к «подпитке» энергией системы на первом полупериоде и диссипации ее на втором, так что в итоге колебания не затухают. Отыскивая гамильтониан и обобщенный импульс к уравнению (2), имеем 1 - α2 p2 x Hx = + (1 + 2α cos ωt + α2 )2 2 1 + 2α cos ωt + α2 p (t) 1 + α cos ωt 2 ω 2 x2 , 2 где px = 1 + 2α cos ωt + α2 1 + α cos ωt 2 x. ˙ В квантовом случае ([x, px ] = i) для операторов рождения и уничтожения a, a† , полагая [a, a] = a† , a† = 0 и учитывая, что 1 + 2α cos ωt + α2 = eiωt + α e-iωt + α , после ряда громоздких преобразований находим, что a, a† = 1/ 2ω 1 - α2 2 = f (t). Эта величина не зависит от времени и будет отличаться от соответствующего выражения для обычных экспонент (без α в решениях) только лишь 2 множителем 1 - α2 . Данное свойство при соответствующей нормировке делает возможным интерпретацию квантовых уровней нецентрированного mгармонического осциллятора в терминах частиц. Но здесь мы ограничимся рассмотрением классического варианта. 2.2. Центрированная (унитарная) битриальная экспонента в решении. Для центрированных решений y1 = A1 1 + αe-iωt iωt e , 1 + αeiωt y2 = A2 1 + αeiωt -iωt e 1 + αe-iωt (5) уравнения 2 ∂0 y - 2αω sin ωt 1 - α2 ∂ y+ 2 0 1 + 2α cos ωt + α 1 + 2α cos ωt + α2 2 ω 2 y = 0, (6) получаемых из (2) заменой y = α + x, лагранжиан имеет вид Ly = 1 + 2α cos ωt + α2 y2 ˙ 1 - α2 - 2 1 + 2α cos ωt + α2 2 ω2y2 2 , а гамильтониан - Hy = p2 1 ω2y2 y + (1 - α2 )2 , 1 + 2α cos ωt + α2 2 2 где py = 1 + 2α cos ωt + α2 y. ˙ 627 В о л о в Д. Б. В работе [8] приводится общее доказательство унитарности центрированных экспонент. Для величин, связанных с ними, будем использовать индекс “y”. В квантовом случае после ряда трудоемких выкладок находим, что a, a† = 1/ -2ω 1 - α2 = f (t). Эта величина опять не зависит от времени, так что представление в терминах частиц может быть проведено и в унитарном случае. 2.3. «Экспонента Хилла» в решении. Известно [9], что уравнение (6) как уравнение вида 2 ∂0 y + p1 (t)∂0 y + p2 (t)y = 0 приводится заменой z = y exp 1 2 p1 (t)dt к уравнению Хилла 2 ∂0 z + P (t)z = 0, (7) где 1 1 P (t) = p2 (t) - ∂0 (p1 (t)) - p2 (t). 2 4 1 Тогда в нашем случае z=y и P (t) = ω 2 1 - 1 + 2α cos ωt + α2 3α α + 1 + α2 cos ωt + α cos2 ωt (1 + 2α cos ωt + α2 )2 (8) . В соответствии с (8) и (5) получаем, что решения уравнения Хилла (7) здесь даются выражениями z 1 = A1 1 + αe-iωt iωt e +α , 1 + αeiωt z2 = A2 1 + αeiωt e-iωt + α , 1 + αe-iωt которые мы будем называть «экспонентами Хилла». Для величин, связанных экспонентой Хилла, будем использовать индекс “z”. Поскольку уравнение (7) не содержит первых производных по времени, лагранжиан и гамильтониан к нему записываются наиболее просто (pz = z): ˙ z2 ω2z2 ˙ - P (t), 2 2 p2 ω 2 z 2 Hz = z + P (t). 2 2 Lz = В квантовом случае, проводя необходимые преобразования, находим, что a, a† = 1/2ω 1 - α2 = f (t). 628 Модель осциллятора с нарушением симметрии Так что трактовка в терминах частиц будет возможна и в случае диагонализированных уравнений (7). 3. Канонические преобразования. В механике при изучении уравнения вида (6) его сначала приводят (путем рассмотренного выше преобразования) к виду, не содержащему первой производной по времени, то есть к уравнению Хилла. По сути, уравнения (6) и (7) являются одним и тем же уравнением, выраженным в разных обобщенных координатах и импульсах. Поэтому такие уравнения должны быть связаны каноническим преобразованием. Однако прямое нахождение производящей функции F приводит к громозд∂F ким малоинформативным выражениям = Hz - Hy . К счастью, для ∂t подтверждения того факта, что преобразования являются каноническими, достаточно удостовериться в выполнении правил для скобок Пуассона [10] в каждом из трех случаев, а затем учесть, что все три вида координат связаны явными выражениями. Таким образом, убеждаемся, что для всех трех уравнений (2), (6), (7) и их гамильтонианов справедливо каноническое преобразование {x, px } → {y, py } → {z, pz } . В первом из этих уравнений координата x совпадает с декартовой, во втором (y = α+x) - решения выражаются в унитарной форме, в третьем уравнении импульс pz = z и гамильтониан с лагранжианом выражаются в наиболее ˙ простом виде. Преимущества использования того или иного вида обобщенных координат и импульсов проявляются в решении данной конкретной задачи, но всегда можно выполнить каноническое преобразование от одних координат к другим. При α = 0 различие в этих трех случаях вообще исчезает, а mгармонический осциллятор превращается в обычный гармонический. Поскольку теперь ясно, что уравнение одно и то же, представление его в той или иной форме не затрагивает свойств коммутации и в квантовом случае, что и следовало ожидать. 4. Полная ортонормированная система решений и уравнения к ней. Итак, все три рассмотренных уравнения оказались связанными каноническими преобразованиями. Однако, если иметь в виду их приближения к уравнениям Матье типа (4), можно заметить, что найденные уравнения и их точные решения соответствуют лишь одному резонансному значению ωp ≈ ωn в диаграмме Айнса-Стретта [9]. Чтобы найти решения для любого собственного значения n системы, нужно несколько модифицировать полученные ранее уравнения. Воспользуемся тем, что битриальные экспоненты вида y1 = A1 (n) 1 + αe-iω0 t iω0 t e 1 + αeiω0 t n , y2 = A2 (n) 1 + αeiω0 t -iω0 t e 1 + αe-iω0 t n , (9) где n ∈ Z, образуют полную ортонормированную систему функций [7]. Восстанавливая через вронскиан уравнения движения к этим функциям, как это делалось в [8], получим уравнение, отличающееся от (6) только множителем n2 перед третьим членом: 2 ∂0 y - 2αω0 sin ω0 t 1 - α2 2 ∂ 0 y + n 2 ω0 1 + 2α cos ω0 t + α2 1 + 2α cos ω0 t + α2 2 y = 0. (10) 629 В о л о в Д. Б. Теперь, ввиду того, что мы расширили область решений до n = 1, нам пришлось заменить ω из уравнения (6) на ω0 и принять n = ω/ω0 . Анализ решений (9) уравнения (10) в рядах Фурье показывает, что оно имеет непрерывные периодические решения при значениях n ∈ Q. При α = 0 экспоненты (9) переходят в обычные ∼ e±iωt = e±iω0 nt . Несмотря на простоту включения параметра n в (10), для нас более важна диагональная форма уравнения, переходящая в (7) при n = 1. Действуя аналогичным [8] образом, получаем 2 ∂0 z + 2 ω0 n2 1 - α 2 2 + α cos ω0 t · 1 + α cos ω0 t + α2 + α2 (1 + 2α cos ω0 t + α2 )2 z = 0. (11) Его решениями будут функции 1 + αe-iω0 t iω0 t n e 1 + 2α cos ω0 t + α2 , 1 + αeiω0 t 1 + αeiω0 t -iω0 t n e 1 + 2α cos ω0 t + α2 , z2 = A2 (n) 1 + αe-iω0 t z1 = A1 (n) (12) в чем легко убедиться прямой подстановкой. Важно, что при n = 1/2 уравнение (11) и, соответственно, его решения (12) перестают зависеть от α, что на первый взгляд неочевидно. Однако это свойство легко доказывается подстановкой условия n = 1/2 в уравнения (11) или решения (12). Для дальнейших исследований представляют интерес многомерные аналоги рассмотренных уравнений. Так, например, в трехмерном евклидовом случае уравнение (11) соответствует стационарному уравнению Шредингера для задачи о движении электрона в периодическом поле решетки твердого тела [11]. Однако в данной работе мы не будем касаться этих вопросов. 5. Линейные однородные и неоднородные уравнения с решениями в битриальных экспонентах. Вернемся к уравнениям при n = 1. Линейная комбинация y = A1 y1 + A2 y2 центрированных битриальных экспонент y1 = α + 1 - α2 , e-iωt + α y2 = α + 1 - α2 eiωt + α одновременно является решением однородного уравнения 2 ∂0 y - 2αω sin ωt 1 - α2 ∂ y+ 2 0 1 + 2α cos ωt + α 1 + 2α cos ωt + α2 2 ω2y = 0 и неоднородного уравнения 2 ∂0 y - αω 3 - α2 sin ωt + α sin(2ωt) ω 2 1 - α2 ∂0 y + y= p (t) p (t) = (A1 + A2 ) p (t) = 1 + α 3 + α2 cos ωt + α2 2 + cos(2ωt) . 630 αω 2 1 - α2 , p (t) Модель осциллятора с нарушением симметрии Линейная комбинация x = A1 x1 + A2 x2 нецентрированных битриальных экспонент 1 - α2 1 - α2 x1 = -iωt , x2 = iωt e +α e +α одновременно является решением однородного уравнения 2 ∂0 x - αω 3 - α2 sin ωt + α sin(2ωt) ω 2 1 - α2 ∂0 x + x=0 p (t) p (t) и неоднородного уравнения 2 ∂0 x - 1 - α2 2αω sin ωt ∂0 x + 1 + 2α cos ωt + α2 1 + 2α cos ωt + α2 2 = - (A1 + A2 ) αω 2 ω2x = 1 - α2 1 + 2α cos ωt + α2 2 . В этом нет ничего удивительного, поскольку решение неоднородного уравнения есть сумма решений однородного и неоднородного, а y1 = x1 + α, y2 = x2 + α. Тогда лагранжиан взаимодействующего нецентрированного осциллятора Lint = Ln + yJ равен лагранжиану свободного центрированного осциллятора L, где J - источник. 6. Выводы. Таким образом, при построении модели колебаний ангармонического осциллятора специального вида найдены уравнения движения и их точные решения, а также лагранжианы и гамильтонианы к ним. Поскольку уравнения линейные, их полная ортонормированная система решений может быть использована в качестве базиса пространства функций.

About the authors

Dmitry B Volov

Samara State Transport University

Email: volovdm@mail.ru
(Dr. Tech. Sci.; volovdm@mail.ru), Professor, Dept. of Physics and Chemistry 18, First Bezimyanniy per., Samara, 443066, Russian Federation

References

Supplementary files