An inverse problem for a nonlinear Fredholm integro-differential equation of fourth order with degenerate kernel

Full Text

Постановка задачи. Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, часто приводит к необходимости изучения прямых и обратных задач для уравнений неклассической математической физики. С точки зрения физических приложений представляют большой интерес дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков. Многие задачи газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводят к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков [1]. Изучению уравнений в частных производных четвертого порядка посвящено большое количество работ (см., например, [2-10]). Теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление современной теории дифференциальных уравнений. Интенсивное исследование обратных задач обусловлено и необходимостью разработки математических методов решения прикладных проблем. Обратную задачу называют линейной, если функция восстановления входит в данное уравнение линейно. Линейные обратные задачи рассматривались, в частности, в [11-20]. Нелинейные обратные задачи рассматривались в работах [21-25]. В настоящей работе предлагается методика изучения обратной задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения типа Фредгольма в частных производных четвертого порядка с вырожденным ядром. Она является дальнейшим продолжением и совершенствованием методики работ [26-29]. Итак, в области Ω ≡ ΩT × Ωl , ΩT ≡ [0, T ], Ωl ≡ [0, l], рассматривается интегро-дифференциальное уравнение типа Фредгольма с вырожденным ядром: ∂ 4 u(t, x) +λ ∂t2 ∂x2 T K(t, s) 0 ∂ 2 u(s, x) ds = ∂s∂x T l = p(t)β(x) + f x, H(s, y)u(s, y)dyds 0 (1) 0 с условиями u(0, x) = ϕ1 (x), ut (0, x) = ϕ2 (x), x ∈ Ωl , u(t, 0) = ψ1 (t), utx (t, 0) = ψ2 (t), t ∈ ΩT , u(t0 , x) = η(x), 0 < t0 < T, x ∈ Ωl , (2) (3) (4) где p(t) ∈ C(ΩT ), ϕk (x) ∈ C 2 (Ωl ), ψ1 (0) = ϕ1 (0), f (x, γ) ∈ C(Ωl × R); ψk (t) ∈ C 2 (ΩT ), ψ1 (0) = ϕ2 (0), k = 1, 2; ψ2 (0) = ϕ2 (0); n K(t, s) = ai (t)bi (s), 0 < ai (t), bi (s) ∈ C(ΩT ); i=1 η(x) ∈ C 2 (Ωl ); β(x) ∈ C(Ωl ) - функция восстановления; λ - параметр; T l |H(t, x)|dxdt < ∞. 0< 0 0 Под решением обратной задачи (1)-(4) будем понимать пару функций u(t, x) ∈ C 2,2 (Ω), β(x) ∈ C(Ωl ) , удовлетворяющую уравнению (1) и условиям (2)-(4). 737 Ю л д а ш е в Т. К. 1. Начальная задача (1)-(3). В уравнении (1) сделаем замену utx (t, x) = = ϑ(t, x). Тогда оно приобретает вид ∂ 2 ϑ(t, x) +λ ∂t∂x T K(t, s)ϑ(s, x)ds = 0 T l H(s, y)u(s, y)dyds . (5) = p(t)β(x) + f x, 0 0 С помощью обозначения T ci (x) = bi (s)ϑ(s, x)ds (6) 0 уравнение (5) перепишется в следующем виде: ∂ 2 ϑ(t, x) = -λ ∂t∂x n T l ai (t)ci (x) + p(t)β(x) + f x, H(s, y)u(s, y)dyds . 0 i=1 0 В силу постановки задачи правая часть этого выражения суть непрерывные функции своих аргументов. Путем интегрирования по x и по t из последнего равенства получаем n t t E1 (s)ds - λ ϑ(t, x) = D1 (x) + 0 β(y)dy + t 0 ci (y)dy+ 0 i=1 x x + q(t) x ai (s)ds 0 T l f y, 0 H(θ, z)u(θ, z)dzdθ dy, (7) 0 0 где D1 (x) ∈ C 2 (Ωl ), E1 (t) ∈ C 2 (ΩT ) - произвольные функции, которые подлежат определению, t q(t) = p(s)ds. 0 Подставляя (7) в (6), имеем T ci (x) = n s 0 0 x β(y)dy + s 0 0 T ci (y)dy+ 0 l f y, 0 x ai (θ)dθ i=1 x + q(s) s E1 (θ)dθ - λ bi (s) D1 (x) + H(θ, z)u(θ, z)dzdθ dy ds. (8) 0 0 Обозначим T Bi (x) = s bi (s) D1 (x) + 0 E1 (θ)dθ+ 0 x + q(s) 0 738 x β(y)dy + s T l f y, 0 H(θ, z)u(θ, z)dzdθ dy ds. (9) 0 0 Обратная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма . . . Пусть T Aij = s bi (s) 0 ai (θ)dθds > 0. (10) 0 Тогда (8) запишем в виде следующей системы интегральных уравнений (СИУ): n x ci (x) + λ cj (y)dy = Bi (x), Aij i = 1, n. (11) 0 j=1 Функции, входящие в СИУ (11), являются непрерывно дифференцируемыми по x. Поэтому, дифференцируя систему (11) получим n ci (x) + λ Aij cj (x) = Bi (x), i = 1, n. (12) j=1 Вместо СИУ (11) рассмотрим систему дифференциальных уравнений (СДУ) (12). Будем решать СДУ (12) при выполнении следующего условия: ci (x) = -ωci (x), 0 < ω = const, i = 1, n. (13) Если условие (13) выполняется, то из СДУ (12), получим систему алгебраических уравнений (САУ) λ ci (x) - ω n j=1 1 Aij cj (x) = - Bi (x), i = 1, n. ω (14) САУ (14) однозначно разрешима при любых конечных Bi (x), если выполняется условие ∆(λ) = λ λ λ 1 - ω A11 - ω A12 . . . - ω A1n λ λ λ - ω A21 1 - ω A22 . . . - ω A2n . . . .. . . . . . . . λ λ λ - ω An2 . . . 1 - ω Ann - ω An1 = 0. (15) Определитель ∆(λ) в (15) есть многочлен относительно λ степени не выше n. Уравнение ∆(λ) = 0 имеет не более n различных корней. Эти корни являются собственными числами ядра интегро-дифференциального уравнения (1). Другие значения λ являются регулярными, при которых условие (15) выполняется. Для регулярных значений λ система (14) имеет единственное решение при любой конечной правой части. В настоящей работе для таких регулярных значений параметра λ устанавливается однозначная разрешимость поставленной обратной задачи (1)-(4). Решение системы алгебраических уравнений (14) запишем в виде ci (x) = ∆i (λ, x) , ∆(λ) i = 1, n, (16) 739 Ю л д а ш е в Т. К. где λ 1 - ω A11 λ - ω A21 . . . λ - ω A1(i-1) λ - ω A2(i-1) . . . 1 - ω B1 (x) 1 - ω B2 (x) . . . λ - ω A1(i+1) λ - ω A2(i+1) . . . ... ... .. . λ - ω A1n λ - ω A2n . . . λ - ω An1 ∆i (λ, x) = ... ... . . . ... λ - ω An(i-1) 1 λ - ω Bn (x) - ω An(i+1) ... λ 1 - ω Ann . Среди элементов определителей ∆i (λ, x) находятся функции Bi (x). В свою очередь, в составе функций Bi (x) находятся пока неизвестные функции D1 (x), u(t, x) и β(x). В самом деле, эти неизвестные функции находились в правой части САУ (14). Чтобы вывести их из знака определителей, продифференцируем (9), а полученное выражение запишем в следующем виде: T l Bi (x) = D1 (x)B1i + f x, H(θ, y)u(θ, y)dydθ B2i + β(x)B3i , 0 0 где T B1i = T bi (s)ds, B2i = T sbi (s)ds, 0 0 B3i = q(s)bi (s)ds. 0 В этом случае, согласно свойству определителей имеем T l ∆i (λ, x) = D1 (x)∆1i (λ) + f x, H(θ, y)u(θ, y)dydθ ∆2i (λ) + β(x)∆3i (λ), 0 0 где λ λ 1 λ λ 1 - ω A11 . . . - ω A1(i-1) - ω Bk1 - ω A1(i+1) . . . - ω A1n λ λ 1 λ λ - ω A21 . . . - ω A2(i-1) - ω Bk2 - ω A2(i+1) . . . - ω A2n . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . λ 1 λ λ λ - ω An1 . . . - ω An(i-1) - ω Bkn - ω An(i+1) . . . 1 - ω Ann ∆ki (λ) = , k = 1, 3. Тогда формула (16) переписывается в виде ci (x) = D1 (x) ∆1i (λ) + ∆(λ) T l + f x, ∆2i (λ) ∆3i (λ) + β(x) , ∆(λ) ∆(λ) H(θ, y)u(θ, y)dydθ 0 0 i = 1, n. (17) Итак, решена САУ (14): ci (x) - λ ω n Aij cj (x) = j=1 =- 740 1 D1 (x)B1i + f ω T l x, H(θ, y)u(θ, y)dydθ B2i + β(x)B3i , 0 0 Обратная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма . . . i = 1, n, a решения представлены в виде функций (17). Чтобы получить решение СДУ (12), функции (17) подставим в условие (13): ∆1i (λ) + ∆(λ) ci (x) = -ω D1 (x) T l ∆2i (λ) ∆3i (λ) , + β(x) ∆(λ) ∆(λ) H(θ, y)u(θ, y)dydθ + f x, 0 0 i = 1, n. (18) В (6) учтем второе условие из (3). Тогда из (6) получим следующее начальное условие для интегрирования функций (18): T ci (0) = i = 1, n. bi (s)ψ2 (s)ds, 0 Из (18) интегрированием получаем решение системы неоднородного дифференциального уравнения (12): T bi (s)ψ2 (s)ds - ω D1 (x) ci (x) = 0 x + T f ∆1i (λ) + ∆(λ) l y, ∆2i (λ) + ∆(λ) x ∆3i (λ) + β(y)dy , i = 1, n. (19) ∆(λ) 0 H(θ, z)u(θ, z)dzdθ dy 0 0 0 Подстановка (19) в (7) дает следующее выражение: t utx (t, x) = D1 (x) + E1 (s)ds+ 0 n t +λ i=1 + ωD1 (y) x 0 ∆1i (λ) +ω ∆(λ) bi (s)ψ2 (s)ds+ 0 0 y T f H(θ, ξ)u(θ, ξ)dξdθ 0 +ω 0 l z, 0 y 0 ∆3i (λ) β(z)dz ∆(λ) x + q(t) T - ai (s)ds x 0 dy+ T β(y)dy + t f l y, 0 ∆2i (λ) + ∆(λ) H(θ, z)u(θ, z)dzdθ dy. (20) 0 0 Интегрированием по x и по t из (20) получаем t u(t, x) = D2 (x) + n x E2 (s)ds + t 0 t i=1 0 (t - s)E1 (s)ds+ 0 0 T x (t - s)ai (s)ds +λ t D1 (y)dy + x (x - y) - 0 bi (s)ψ2 (s)ds+ 0 741 Ю л д а ш е в Т. К. + ωD1 (y) y ∆1i (λ) +ω ∆(λ) y +ω 0 T f H(θ, ξ)u(θ, ξ)dξdθ 0 0 0 (x - y)β(y)dy+ dy + q(t) 0 T x t2 2 ∆2i (λ) + ∆(λ) x ∆3i (λ) β(z)dz ∆(λ) + l z, (x - y)f l H(θ, z)u(θ, z)dzdθ dy, (21) y, 0 0 0 где D2 (x) ∈ C 2 (Ωl ), E2 (t) ∈ C 2 (ΩT ) - произвольные функции, которые подлежат определению; t D2 (0) = E2 (0) = 0, q(t) = q(s)ds. 0 Используя условия (2) и (3), из (21) приходим к следующим равенствам: t ϕ1 (x) = D2 (x), ψ1 (t) = E2 (s)ds, 0 x ϕ2 (x) = t D1 (y)dy, ψ2 (t) = 0 E1 (s)ds. 0 Тогда интегральное уравнение (21) запишется в виде x u(t, x) = Q(t, x) + y F1 (t, x, y) β(y) + β(z)dz dy+ 0 0 x + T F2 (t, x, y) f l y, H(θ, z)u(θ, z)dzdθ + 0 0 0 T y f + l H(θ, ξ)u(θ, ξ)dξdθ dz dy, (22) z, 0 0 0 где t Q(t, x) = ϕ1 (x) + ψ1 (t) + tϕ2 (x) + x ψ2 (s)ds- 0 n t -λ x (t - s)ai (s)ds i=1 0 T (x - y) bi (s)ψ2 (s)ds - ωϕ2 (y) 0 0 F1 (t, x, y) = µ(t)(x - y), F2 (t, x, y) = ν(t)(x - y), n t (t - s)ai (s)ds µ(t) = q(t) + ωλ i=1 t2 ν(t) = + ωλ 2 742 0 n t (t - s)ai (s)ds i=1 0 ∆3i (λ) , ∆(λ) ∆2i (λ) . ∆(λ) ∆1i (λ) dy, ∆(λ) Обратная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма . . . Итак, начальная задача (1)-(3) свелась к интегральному уравнению (22). Уравнение (22) относительно основной неизвестной функции u(t, x) является интегральным уравнением типа Вольтерра второго рода, а относительно функции восстановления β(x) является интегральным уравнением типа Вольтерра первого рода. 2. Теорема об однозначной разрешимости обратной задачи. Учет дополнительного условия (4) в (22) дает x y F1 (t0 , x, y) β(y) + β(z)dz dy+ 0 0 x + T F2 (t0 , x, y) f H(θ, z)u(θ, z)dzdθ + 0 y + 0 l T f l y, z, 0 H(θ, ξ)u(θ, ξ)dξdθ dz dy = g(x), (23) 0 0 0 где g(x) = η(x) - Q(t0 , x). Двукратным дифференцированием из (23) для функции восстановления β(x) получаем следующее соотношение: x T β(y)dy = g(x) - F (t0 ) f β(x) + H(θ, z)u(θ, z)dzdθ + 0 0 T x + l x, f 0 l y, H(θ, z)u(θ, z)dzdθ dy , (24) 0 0 0 где g(x) = g (x)/µ(t0 ), F (t0 ) = ν(t0 )/µ(t0 ). Подставляя (24) в (22), относительно основной неизвестной функции u(t, x) окончательно получим следующее интегральное уравнение типа Вольтерра второго рода: x u(t, x) = h(t, x) + T Φ(t, x, y) f H(θ, z)u(θ, z)dzdθ + 0 0 T y f + l y, 0 l z, 0 H(θ, ξ)u(θ, ξ)dξdθ dz dy, (25) 0 где 0 x h(t, x) = Q(t, x) + F1 (t, x, y)g(y)dy, 0 Φ(t, x, y) = F2 (t, x, y) - F (t0 )F1 (t, x, y). Для произвольной функции l(t, x) ∈ C 2,2 (Ω) рассматривается следующая норма: l(t, x) C = max l(t, x) : (t, x) ∈ Ω . Теорема. Пусть 1) выполняются условия условия (10), (13), (15), µ(t0 ) = 0; 2) σ = max h(t, x) : (t, x) ∈ Ω < ∞; 743 Ю л д а ш е в Т. К. y x f (z, γ) dz dy : (t, x) ∈ Ω Φ(t, x, y) f (y, γ) + 3) M = max 0 0 x l H(t, x) dxdt < ∞; 0 y |Φ(t, x, y)| L(y) + 5) δ2 = max T L(x) γ1 - γ2 , δ1 = |γ| 4) f (x, γ1 ) - f (x, γ2 ) 0 < ∞; 0 L(z)dz dy : (t, x) ∈ Ω < ∞, 0 ρ = δ1 δ2 < 1. Тогда существует единственная пара решений C(Ωl ) обратной задачи (1)-(4). u(t, x) ∈ C 2,2 (Ω), β(x) ∈ Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим следующий итерационный процесс для уравнения (25): u0 (t, x) = 0, uk+1 (t, x) = h(t, x)+ T x Φ(t, x, y) f + 0 y + T f (26) H(θ, z)uk (θ, z)dzdθ + 0 l z, 0 l y, 0 H(θ, ξ)uk (θ, ξ)dξdθ dz dy, k = 0, 1, 2, . . . . 0 0 В силу условий теоремы из (26) получаем следующие оценки: u1 (t, x) - u0 (t, x) uk+1 (t, x) - uk (t, x) C σ + M, (27) C y x |Φ(t, x, y)| L(y) + δ1 max L(z)dz × 0 0 × uk (t, y) - uk-1 (t, y) C dy : (t, x) ∈ Ω ρ uk (t, x) - uk-1 (t, x) C . (28) В силу последнего условия теоремы из оценки (28) следует, что оператор в правой части (25) является сжимающим. Из оценок (27) и (28) заключаем, что для оператора (25) существует единственная неподвижная точка (см., например, [30, стр. 389-401]). Следовательно, в области Ω интегральное уравнение (25) имеет единственное решение. Кроме того, справедлива оценка скорости сходимости ρk+1 uk+1 (t, x) - u(t, x) C (σ + M ). 1-ρ Подставляя решение уравнения (25) в формулу (24), получим интегральное уравнение для однозначного восстановления вторую неизвестную функцию β(x): x β(x) + β(y)dy = α(x), 0 744 (29) Обратная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма . . . где T α(x) = g(x) - F (t0 ) f l H(θ, z)u(θ, z)dzdθ + x, 0 0 T x + f 0 l y, H(θ, z)u(θ, z)dzdθ dy . 0 0 Поскольку α(x) ∈ C(Ωl ), интегральное уравнение (29) имеет единственное решение на отрезке Ωl .

About the authors

Tursun K Yuldashev

M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University

Email: tursunbay@rambler.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; tursunbay@rambler.ru), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics 31, pr. “Krasnoyarski Rabochiy”, Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation

References

Supplementary files