Well-posedness of the Dirichlet and Poincaré problems for one class of hyperbolic equations in a multidimensional domain

Full Text

Введение. В работе [1] было показано, что одна из фундаментальных задач математической физики - изучение поведения колеблющейся струны - некорректна, когда краевые условия заданы на всей границе области. Как отмечено в работах [2, 3], задача Дирихле не является корректной не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений. В [4] показано, что решение задачи Дирихле существует в прямоугольных областях. В дальнейшем эта задача исследовалась методами функционального анализа [5], применение которых в приложениях затруднено. Статья cb Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования А л д а ш е в С. А. Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области для одного класса гиперболических уравнений // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 2. С. 209-220. doi: 10.14498/vsgtu1494. 209 А л д а ш е в С. А. В работах [6, 7] получены теоремы единственности решения задачи Дирихле для гиперболических уравнений в цилиндрической области. В работах [8-12] задачи Дирихле и Пуанкаре изучены для многомерных гиперболических уравнений, показано, что корректность этих задач существенно зависит от высоты рассматриваемой цилиндрической области. Естественно, возникает вопрос: имеются ли другие области, в которых решения исследуемых задач являются корректными? В данной работе приводится многомерная область внутри характеристического конуса, в которой задачи Дирихле и Пуанкаре однозначно разрешимы для одного класса гиперболических уравнений. 1. Постановка задачи и результат. Пусть D - конечная область евклидова пространства Em+1 точек (x1 , . . . , xm , t), ограниченная при t > 0 конической поверхностью K : t = ϕ(r), ϕ(0) = ϕ(1) = 0, ϕ(r) ∈ C 1 ([0, 1])∩C 2 ((0, 1)), |ϕ (r)| < 1, ϕ (r) = 0 и плоскостью t = 0, где r = |x| - длина вектора x = (x1 , . . . , xm ). Через S обозначим множество {t = 0, 0 < r < 1} точек из Em . В области D рассмотрим взаимно сопряженные многомерные гиперболические уравнения m Lu ≡ ∆x u - utt + ai (x, t)uxi + b(x, t)ut + c(x, t)u = 0, (1) i=1 m L∗ v ≡ ∆x v - vtt - ai vxi - bvt + dv = 0, (1∗ ) i=1 где ∆x - оператор Лапласа по переменным x1 , . . . , xm , m 2, d(x, t) = c - a - b . - m ix t i i=1 В качестве многомерных задач Дирихле и Пуанкаре для уравнения (1) рассмотрим следующие задачи. ¯ ∩ Задача 1. В области D найти решение уравнения (1) из класса C 1 (D) 2 C (D), удовлетворяющее краевым условиям u|S = τ (x), u|K = σ(x), (2) ut |S = ν(x), u|K = σ(x). (3) или Отметим, что корректность этой задачи для многомерного волнового уравнения получена в [13]. Перейдем от декартовых координат x1 , . . . , xm , t к сферическим r, θ1 , . . . , θm-1 , t, где r 0, 0 θ1 < 2π, 0 θi π, i = 2, 3, . . . , m - 1. k (θ)} - система линейно независимых сферических функций Пусть {Yn,m порядка n, где 1 k kn , (m - 2)!n!kn = (n + m - 3)!(2n + m - 2), θ = = (θ1 , . . . , θm-1 ), W2l (S), l = 0, 1, . . . - пространства Соболева. Имеет место следующая лемма [14]. 210 Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области. . . Лемма 1. Пусть f (r, θ) ∈ W2l (S). Если l ∞ m - 1, то ряд kn k fnk (r)Yn,m (θ), f (r, θ) = (4) n=0 k=1 а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p l-m+1, сходятся абсолютно и равномерно. Лемма 2. Для того чтобы f (r, θ) ∈ W2l (S), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам ∞ |f01 (r)| kn n2l |fnk (r)|2 c1 , c2 , c1 , c2 = const. n=1 k=1 Через a ˜kin (r, t), akin (r, t), ˜bkn (r, t), c˜kn (r, t), d˜kn (r, t), ρkn , τ¯nk (r), ν¯nk (r), σ ¯nk (r) обозначим коэффициенты разложения ряда (4), находящиеся соответственно перед функциями ai (r, θ, t)ρ(θ), ai xri ρ, b(r, θ, t)ρ, c(r, θ, t)ρ, d(r, θ, t)ρ, ρ(θ), τ (r, θ), ν(r, θ), σ(r, θ), причем i = 1, 2, . . . , m, ρ(θ) ∈ C ∞ (H), H - единичная сфера в Em . p Теорема 1. Пусть ai (r, θ, t), b(r, θ, t), c(r, θ, t) ∈ W2 (D) ⊂ C(D), i = = 1, 2, . . . , m, p m + 1 и τ (r, θ) = r3 τ ∗ (r, θ), ν(r, θ) = r3 ν ∗ (r, θ), σ(r, θ) = = r3 σ ∗ (r, θ); τ ∗ (r, θ), ν ∗ (r, θ), σ ∗ (r, θ) ∈ W2l (S), l > 3m/2 + 4. Тогда задача 1 разрешима. Теорема 2. Решение задачи (1), (2) единственно. Если выполняется условие b(r, θ, 0) = 0 ∀ (r, θ) ∈ S, то решение задачи (1), (3) также единственно. 2. Разрешимость задачи 1 (доказательство теоремы 1). Уравнение (1) в сферических координатах имеет вид Lu ≡ urr + 1 m-1 ur - 2 δu - utt + r r m ai (r, θ, t)uxi + b(r, θ, t)ut + c(r, θ, t)u = 0, i=1 (5) где m-1 δ≡- 1 m-j-1 j=1 g1 = 1, gj sin ∂ ∂ sinm-j-1 θj , ∂θj θj ∂θj gj = (sin θ1 . . . sin θj-1 )2 , j > 1. Известно [14], что спектр оператора δ состоит из собственных чисел λn = n(n + m - 2), n = 0, 1, . . . , каждому из которых соответствует kn ортонормиk (θ). рованных собственных функций Yn,m Искомое решение задачи 1 будем искать в виде ∞ kn k u ¯kn (r, t)Yn,m (θ), u(r, θ, t) = (6) n=0 k=1 где u ¯kn (r, t) - подлежащие определению функции. 211 А л д а ш е в С. А. Подставив (6) в (5), затем умножив полученное выражение на ρ(θ) = 0 и проинтегрировав его по единичной сфере H для u ¯kn , получим [11, 12] ρ10 u ¯10rr - ρ10 u ¯10tt + ∞ m-1 1 ρ0 + r m a1i0 u ¯10r + b10 u ¯10t + c10 u ¯10 + i=1 kn m-1 k ρn + r ρkn u ¯knrr - ρkn u ¯kntt + + n=1 k=1 + ckn - ρk λn n2 r m akin u ¯knr + bkn u ¯knt + i=1 m (akin-1 - nakin ) u ¯kn = 0. (7) + i=1 Рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений m-1 1 1 ρ0 u ¯0r = 0, r m-1 k k λ1 ρk1 u ¯k1rr - ρk1 u ¯k1tt + ρ1 u ¯1r - 2 ρk1 u ¯k1 = r r m 1 =- a1i0 u ¯10r + b10 u ¯10t + c10 u ¯10 , n = 1, k1 ρ10 u ¯10rr - ρ10 u ¯10tt + (8) k = 1, k1 , (9) i=1 m-1 k k λn ρkn u ¯knrr - ρkn u ¯kntt + ρn u ¯nr - 2 ρkn u ¯kn = r r 1 =- kn kn-1 m akin-1 u ¯kn-1r + bkn-1 u ¯kn-1t + k=1 i=1 m + ckn-1 + (akin-2 - (n - 1)akin-1 ) u ¯kn-1 , k = 1, kn , n = 2, 3, . . . . (10) i=1 Суммируя уравнения (9) от 1 до k1 , а уравнения (10) - от 1 до kn , а затем складывая полученные выражения с (8), приходим к уравнению (7). Отсюда n следует, что если {¯ ukn }kk=1 , n = 0, 1, . . . , - решение системы (8)-(10), то оно является решением уравнения (7). Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (8)-(10) можно представить в виде u ¯knrr - u ¯kntt + m-1 k λn k k u ¯nr - 2 u ¯n = f n (r, t), r r (11) k где функции f n (r, t) определяются из предыдущих уравнений этой системы, 1 при этом f 0 (r, t) ≡ 0. Из краевых условий (2) и (3) в силу (6) будем иметь 212 u ¯kn (r, 0) = τ kn (r), u ¯kn (r, ϕ(r)) = σ ¯nk (r), k = 1, kn , n = 0, 1, . . . , (12) u ¯knt (r, 0) u ¯kn (r, ϕ(r)) k = 1, kn , n = 0, 1, . . . . (13) = ν¯nk (r), = σ ¯nk (r), Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области. . . Сначала рассмотрим задачу (11), (12). Произведя в (11), (12) замену u ¯kn (r, t) = r и положив затем ξ= (1-m) 2 (r + t) , 2 ukn (r, t) (r - t) , 2 η= получим [(m - 1)(3 - m) - 4λn ] k un = fnk (ξ, η), 4(ξ + η)2 ¯ ukn (ξ, ξ) = τnk (ξ), ukn (ξ, γ(ξ)) = σnk (ξ), ξ ∈ J, uknξη + (14) (15) где fnk (ξ, η) = (ξ + η) (m-1) 2 f¯nk (ξ + η, ξ - η), σnk (ξ) = (ξ + γ(ξ)) (m-1) 2 τnk (ξ) = (2ξ) (m-1) 2 τ¯nk (2ξ), σ ¯nk (ξ + γ(ξ)), а функция η = γ(ξ) является решением уравнения η = ξ - ϕ(ξ + η). Здесь и ниже J означает интервал (0, 1/2). Функция η = γ(ξ) обладает следующими свойствами: 1) она осуществляет топологическое отображение сегмента J¯ в себя, оставляя неподвижными ее концы; 2) справедлива оценка для производной γ (ξ) = 1 - ϕ (r) > 0, 1 + ϕ (r) γ (ξ) = 1, ¯ ξ ∈ J. (16) В работе [15] c использованием общего решения уравнения (14) [2] показано, что решение задачи Коши для уравнения (14) имеет вид τ k (ξ) τnk (η) R(ξ, ξ; ξ, η) + n R(η, η; ξ, η)+ 2 2 ξ 1 ∂ +√ νnk (ξ1 )R(ξ1 , ξ1 ; ξ, η) - τnk (ξ1 ) R(ξ1 , η1 ; ξ, η) ∂N 2 η ukn (ξ, η) = ξ ξ1 =η1 dξ1 + η fnk (ξ, η)R(ξ1 , η1 ; ξ, η)dξ1 dη1 , (17) + 1/2 γ(ξ) где R(ξ1 , η1 ; ξ, η) = Pµ (ξ1 - η1 )(ξ - η) + 2(ξ1 η1 + ξη) (ξ1 + η1 )(ξ + η) - функция Римана уравнения (14) [16], а Pµ (z) - функция Лежандра с µ = = n+(m-3) , 2 νnk (ξ1 ) = ∂ukn ∂N ⊥ ξ1 =η1 = ∂ξ1 ∂ukn ∂η1 ∂ukn + ∂N ⊥ ∂η1 ∂N ⊥ ∂ξ1 ξ1 =η1 , 213 А л д а ш е в С. А. где N ⊥ - нормаль к прямой ξ = η в точке (ξ1 , η1 ), направленная в сторону полуплоскости η ξ. Из уравнения (17) с учетом краевого условия (15) при η = γ(ξ) после дифференцирования по ξ получим функционально-интегральное уравнение ¯ ξ ∈ J, ψnk (ξ) = νnk (ξ) - γ (ξ)νnk (γ(ξ)), (18) где ξ [γ 2 (ξ) - ξ12 + γ (ξ)(ξ 2 - ξ12 )] Pµ (z)dξ1 , ξ1 (ξ + γ(ξ))2 γ(ξ) d k h (ξ), gnk (ξ) = dξ n ξ √ 1 1 τnk (ξ1 ) (ξ - γ(ξ)) 1 hkn (ξ) = 2σnk (ξ) - √ τnk (ξ) - √ τnk (γ(ξ)) + √ Pµ (z)dξ1 , 2 2 2 γ(ξ) ξ1 (ξ + γ(ξ)) ψnk (ξ) = gnk (ξ) - νnk (ξ1 ) Pµ (z) = Pµ ξ12 + ξγ(ξ) . ξ1 (ξ + γ(ξ)) Из (16) следует ¯ ξ ∈ J. 1 - γ (ξ)γ (γ(ξ)) = 0, (19) В [17] показано, что при выполнении условия (19) функциональное уравнение (18) имеет единственное решение и оно имеет вид ψnk (ξ) + γ (ξ)ψnk (γ(ξ)) = µkn (ξ) + 1 - γ (ξ)γ (γ(ξ)) νnk (ξ) = ξ γ 2 (ξ) Gn (ξ, ξ1 )νnk (ξ1 )dξ1 , (20) где µkn (ξ) = Gn (ξ, ξ1 )= gnk (ξ) - γ (ξ)gnk (γ(ξ)) , 1 - γ (ξ)γ (γ(ξ)) µkn (ξ) = ξ µ ¯kn (ξ),  3 2 2 2 1 )] γ (ξ)[γ (ξ)-ξ1 +γ (γ(ξ))(γ2 (ξ)-ξ Pµ 2 [γ (ξ)γ (γ(ξ))-1][γ(ξ)+γ (ξ)] ξ1  [γ 2 (ξ)-ξ12 +γ [γ (ξ)γ Так как |Pµ (z)| (ξ)(ξ 2 -ξ12 )] (γ(ξ))-1](ξ+γ(ξ))2 ξ 1 Pµ ξ12 +γ 3 (ξ) ξ1 (γ(ξ)+γ 2 (ξ)) ξ12 +ξγ(ξ) ξ1 (ξ+γ(ξ)) , ¯ µ ¯kn (ξ) ∈ C(J). , γ 2 (ξ) γ(ξ) ξ1 ξ1 γ(ξ), ξ. (21) C = const (см. [18]), ядро Gn (ξ, ξ1 ) (21) допускает оценку |Gn (ξ, ξ1 )| C1 , ξ1 C1 = const. (22) Решение интегрального уравнения (20) будем искать в виде ряда ∞ ν(ξ) = νl (ξ), l=0 214 (23) Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области. . . где ξ ν0 (ξ) = µkn (ξ), νl (ξ) = Gn (ξ, ξ1 )νl-1 (ξ1 )dξ1 , l = 1, 2, . . . . γ 2 (ξ) Из (22) получим следующие оценки: |ν0 (ξ)| ξ 2 max |¯ µkn (ξ1 )| = mξ 2 , |ν1 (ξ)| J¯ mC1 ξ, |ν2 (ξ)| ξ mC1 , 2 и вообще, mC1 . 2l |νl (ξ)| Тогда для ряда (23) будем иметь ∞ |ν(ξ)| ∞ |νl (ξ)| mξ 2 + mC1 l=0 l=1 1 = mξ 2 + mC1 2l m(1 + C1 ). Таким образом, интегральное уравнение (20), а также (18), имеют единственное решение. Отметим, что решение функционального уравнения (18), как в [13], можно построить методом итерации. Следовательно, сначала решив задачу (8), (12) (n = 0), а затем (9), (12) (n = 1) и т. д., найдем последовательно все u ¯kn (r, t), k = 1, kn , n = 0, 1, . . . . Итак, показано, что ρ(θ)Lu dH = 0. (24) H Пусть f (r, θ, t) = R(r)ρ(θ)T (t), причем R(r) ∈ V0 , V0 плотно в L2 ((0, 1)); ρ(θ) ∈ C ∞ (H), C ∞ (H) плотно в L2 (H); T (t) ∈ V1 , V1 плотно в L2 ((0, ϕ(1/2))). Тогда f (r, θ, t) ∈ V , V = V0 ⊗ Γ ⊗ V1 - плотно в L2 (D) [19]. Отсюда и из (24) следует f (r, θ, t)Lu dD = 0 D и Lu = 0 ∀ (r, θ, t) ∈ D. Таким образом, задача (1), (2) имеет решение вида ∞ kn u(r, θ, t) = r (1-m) 2 k ukn (r, t)Yn,m (θ), (25) n=0 k=1 где функции ukn (r, t) определяются из формулы (17), в которой функции νnk (ξ) находятся из (20). Следовательно, решение задачи (1), (2) построено. Теперь рассмотрим задачу (1), (3), решение которой также будем искать в виде (6). Тогда приходим к задаче (11), (13), которая переходит к краевой задаче для (14) с условием ∂ukn ∂N ξ=η = νnk (ξ), ukn (ξ, γ(ξ)) = σnk (ξ), ¯ ξ ∈ J, (26) 215 А л д а ш е в С. А. νnk (ξ) = √ 2(2ξ) (m-1) 2 ν¯nk (2ξ), k = 1, kn , n = 0, 1, . . . . Далее из (17) при η = γ(ξ) с учетом (26) получим функционально-интегральное уравнение ξ Gn (ξ, ξ1 )τnk (ξ1 )dξ1 , τnk (ξ) + τnk (γ(ξ)) = gnk (ξ) + (27) γ(ξ) где gnk (ξ) = 2σnk (ξ) - √ ξ νnk (ξ1 )Pµ 2 γ(ξ) Gn (ξ, ξ1 ) = ξ12 + ξγ(ξ) dξ1 , ξ1 (ξ + γ(ξ)) ξ 2 + ξγ(ξ) ξ - γ(ξ) Pµ 1 , ξ1 (ξ + γ(ξ)) ξ1 (ξ + γ(ξ)) ¯ gnk (ξ) ∈ C(J), |Gn (ξ, ξ1 )| M. Так как интегральный оператор, стоящий в правой части равенства (27), вполне непрерывен, функциональное уравнение (27), как показано в [17], имеет единственное решение. Следовательно, функция (25) является решением задачи (1), (3), где ukn (r, t), k = 1, kn , n = 0, 1, . . . , определяются из решения (17), в котором функции τnk (ξ) находятся из (27). Учитывая ограничения на заданные функции τ (r, θ), ν(r, θ), σ(r, θ), леммы 1, 2, и формулы (из [18]) dm Γ(µ + m + 1) 1-z Pµ (z) = m F 1 + m + µ, m - µ, m + 1, , m dz 2 Γ(µ - m + 1) 2 Γ(z + α) 1 = z α-β 1 + (α - β)(α - β - 1) + o(z -2 ) , Γ(z + β) 2z (28) а также оценки (из [14]) c1 nm-2 , |kn | k (θ) ∂ q Yn,m ∂θjq m c2 n 2 +q-1 , j = 1, m - 1, q = 0, 1, . . . , (29) где F (a, b, c, z) - гипергеометрическая функция, Γ(z) - гамма-функция, α, β - произвольные действительные числа, как в [11, 12], можно показать, что 2 (D). Таким образом, ¯ полученное решение (25) принадлежит классу C 1 (D)∩C теорема 1 доказана. 3. Доказательство теоремы 2. Сначала рассмотрим задачу (1), (2) и докажем единственность ее решения. Для этого сначала построим решение задачи Дирихле для уравнения (1∗ ) с данными v S k = τ (r, θ) = τ¯nk (r)Yn,m (θ), v K = 0, k = 1, kn , n = 0, 1, . . . , (30) где τ¯nk (r) ∈ G, G - множество функций τ (r) из класса C 1 ([0, 1]) ∩ C 2 ((0, 1)). Множество G плотно всюду в L2 ((0, 1)) [19]. Решение задачи (1∗ ), (30) будем искать в виде (6), где функции v¯nk (r, t) будут определены ниже. Тогда, аналогично п. 2, функции v¯nk (r, t) удовлетворяют системе уравнений (8)-(10), где 216 Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области. . . a ˜kin , akin , ˜bkn заменены соответственно на -˜ akin , -akin , -˜bkn , а c˜kn на d˜kn , i = 1, . . . , m, k = 1, kn , n = 0, 1, . . . . Далее из краевого условия (30) в силу (6) получим v¯nk (r, 0) = τ kn (r), v¯nk (r, ϕ(r)) = 0, k = 1, kn , n = 0, 1, . . . . (31) Ранее отмечено, что каждое уравнение системы (8)-(10) представимо в виде (11). В п. 2 показано, что задача (11), (31) имеет единственное решение. Таким образом, построено решение задачи (1∗ ), (30) в виде ряда (25), которое ¯ ∩ C 2 (D). в силу формул (28) и оценок (29) принадлежит классу C 1 (D) Из определения сопряженных операторов L, L∗ [19] имеем vLu - uL∗ v = -vP (u) + uP (v) - uvQ, где m m ⊥ P (u) = ⊥ uxi cos(N , xi )-ut cos(N , t), i=1 ai cos(N ⊥ , xi )+b cos(N ⊥ , t), Q= i=1 а N ⊥ - внутренняя нормаль к границе ∂D, по формуле Грина будем иметь (vLu - uL∗ v)dD = D v ∂D ∂u ∂v -u M + uvQ ds, ∂N ∂N (32) при этом ∂ = ∂N m cos(N ⊥ , xi ) i=1 ∂ ∂ -cos(N ⊥ , t) , ∂xi ∂t m cos2 (N ⊥ , xi )+cos2 (N ⊥ , t). M2 = i=1 Из (32), принимая во внимание однородные граничные условия (2) и условия (30), получим τ (r, θ)ut (r, θ, 0)ds = 0. (33) S k (θ)} плотна в Поскольку линейная оболочка системы функций {¯ τnk (r)Yn,m L2 (S) [19], из (33) заключаем, что ut (r, θ, 0) = 0 ∀ (r, θ) ∈ S. Следовательно, в силу единственности решения задачи Коши u(x, 0) = ut (x, 0) = 0 для уравнения (1) [20] будем иметь u(x, t) = 0 ∀ (x, t) ∈ D. Таким образом, единственность решения задачи (1), (2) показана. Справедливость единственности решения для задачи (1), (3) устанавливается аналогично. Теорема 2 доказана. Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования. 217 А л д а ш е в С. А.

About the authors

Serik A Aldashev

Kazakh National Pedagogical University

Email: aldash51@mail.ru
Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of the Dept.; Dept. of Fundamental and Applied Mathematics 114, prosp. Dostyk, Almaty, 480100, Kazakhstan

References

Supplementary files