A construction of analog of Fredgolm theorems for one class of first order model integro-differential equation with logarithmic singularity in the kernel

Full Text

Введение. Многие задачи прикладного характера, например задача Вольтерра о крутильных колебаниях [1], задача Прандтля расчёта крыла самолета [2, 3], задача об изучении кинетического уравнения Больцмана, приводят к изучению интегро-дифференциальных уравнений. Существует большое количество работ для изучения обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений с регулярными коэффициентами [4, 5]. Также в последние годы в силу своей прикладной важности изучаются прямые и обратные задачи Статья cb Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования З а р и п о в С. К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с логарифмической особенностью в ядре // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 2. С. 236-248. doi: 10.14498/vsgtu1515. 236 Построение аналога теоремы Фредгольма. . . для интегро-дифференциальных уравнений, а также разрабатываются методы для приближённого решения этих уравнений [6-11]. Одним из важных разделов теории интегро-дифференциальных уравнений являются уравнения с сингулярными коэффициентами [2, 3, 12] или с сингулярно возмущенными коэффициентами [13, 14]. Также бурно развивается изучение сингулярных интегро-дифференциальных уравнений с фредгольмовыми операторами в банаховых пространствах [15-17]. Но важно заметить, что в этих сингулярных интегро-дифференциальных уравнениях существующие интегралы понимаются в смысле главного значения по Коши и поэтому для решения этих уравнений применяются методы теории аналитических функций. В случае, когда в сингулярных интегро-дифференциальных уравнениях интегралы понимаются в обычном смысле Римана, т. е. когда рассматривается уравнение вида x B A y(x) + y(t)dt = f (x), (1) y (x) + x-a (t - a)α+1 a где α = 1 или α > 1, исследователи не обращали особого внимания на решения таких уравнений. Это происходило потому, что ядро уравнений в этих случаях будет нефредгольмовым и поэтому изучение таких уравнений считалось неактуальным. Но оказывается, что в зависимости от класса, в котором ищутся решения уравнения (1), вопрос о его изучении становится актуальным, причём даёт такие эффекты, которые в существующей теории не наблюдались. Заметим, что впервые в монографии [18] была предложена новая методика изучения интегральных уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, которая потом в работах [19, 20] обобщалась на случай многомерных интегральных уравнений. Эта методика нами была использована для изучения интегро-дифференциальных уравнений вида (1). Например, в работах [21, 22] исследовано уравнение вида (1) в случае, когда α = 1 или α > 1. Следующим этапом в развитии теории уравнений вида (1) является случай, когда в ядро этого уравнения добавляется логарифмическая особенность. Ниже мы будем исследовать именно такое уравнение. Постановка задачи и ее решение. Пусть Γ = {x : a < x < b} - множество точек на вещественной оси. На Γ рассмотрим модельное интегро-дифференциальное уравнение вида (1) с логарифмической особенностью в ядре при α = 1, т. е. рассмотрим уравнение вида y (x) + P0 y(x) + x-a x P1 + P2 ln a x-a t-a y(t) dt = f (x), (t - a)2 (2) где P0 , P1 , P2 - заданные постоянные числа, f (x) - заданная функция, y(x) - искомая функция. Прежде всего, через Ca [a, b] обозначим класс таких функций, которые имеют производную первого порядка и в точке x = a обращаются в нуль с асимптотическим поведением y(x) = o[(x - a)γ1 ], γ1 > 1. 237 З а р и п о в С. К. Решение однородного уравнения (2) будем искать в классе Ca [a, b], т. е. в виде y(x) = (x - a)λ , λ > 1. Тогда для определения λ получим алгебраическое уравнение λ + P0 + P2 P1 = 0, + λ - 1 (λ - 1)2 (3) которое назовем его характеристическим уравнением, соответствующим однородному уравнению (2). Исследуем уравнение (2) в зависимости от корней характеристического уравнения (3). Случай I.1. Пусть корни характеристического уравнения (3) являются вещественными и разными и они обозначены через λ1 , λ2 , λ3 . Кроме этого, пусть эти корни удовлетворяют условию 1 < λ1 < λ2 < λ3 , тогда, согласно общей теории, общее решение однородного уравнения (2) даётся при помощи формулы y(x) = (x - a)λ1 c1 + (x - a)λ2 c2 + (x - a)λ3 c3 , где c1 , c2 , c3 - произвольные постоянные числа. Используя метод вариации произвольных постоянных, решение неоднородного уравнения (2) легко находим в таком виде: y(x) = (x - a)λ1 c1 + (x - a)λ1 c2 + (x - a)λ1 c3 - x x - a λ1 1 ∆1 (λ1 - 1)2 + - ∆0 P2 a t-a x-a x - a λ2 + ∆1 (λ2 - 1)2 + ∆3 (λ3 - 1)2 t-a t-a где 1 1 1 λ2 λ3 , ∆0 = λ 1 1 λ1 -1 1 λ2 -1 λ3 f (t)dt, (4) 1 λ3 -1 ∆1 , ∆2 , ∆3 - алгебраические дополнения элементов последней строки определителя ∆0 . Для сходимости интегралов в правой части (4) требуем, чтобы функция f (x) в точке x = a обращалась в нуль с асимптотическим поведением: f (x) = o (x - a)δ1 , δ1 > λ3 - 1. (5) Заметим, что если выполняется неравенство 1 < λ1 < λ2 < λ3 , то полученное решение (4) принадлежит классу Ca [a, b]. Подставляя выражение (4) в уравнение (2), легко находим, что оно в действительности удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 1. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (2) коэффициенты P0 , P1 , и P2 такие, что корни характеристического уравнения (3) являются вещественными и разными и 1 < λ1 < λ2 < λ3 . Функция f (x) ∈ C[a, b] и f (a) = 0 с асимптотическим поведением (5). Тогда однородное уравнение (2) имеет три линейно независимых решения, а неоднородное уравнение (2) в классе функций y(x) ∈ Ca [a, b], обращающихся в нуль в точке x = a, 238 Построение аналога теоремы Фредгольма. . . всегда разрешимо и его общее решение содержит три произвольных постоянных и даётся при помощи формулы (4). Случай I.2. Теперь пусть λ1 < 1 < λ2 < λ3 . В этом случае из выражения (4) следует, что если решение уравнения (2) при λ1 < 1 существует, то для того, чтобы оно принадлежало классу Ca [a, b], произвольная постоянная c1 должна быть равной нулю, т. е. в этом случае решение уравнения (2) имеет вид x 1 x - a λ1 + ∆1 (λ1 - 1)2 ∆0 P2 a t-a x - a λ2 x - a λ3 f (t)dt. (6) + ∆3 (λ3 - 1)2 t-a t-a y(x) = (x - a)λ1 c2 + (x - a)λ1 c3 - + ∆1 (λ2 - 1)2 В этом случае для сходимости интегралов в правой части (6) функция f (x) также должна обращаться в нуль с асимптотическим поведением (5). Таким образом, имеет место следующая теорема. Теорема 2. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (2) коэффициенты P0 , P1 , и P2 такие, что корни характеристического уравнения (3) являются вещественными и разными и λ1 < 1 < λ2 < λ3 . Функция f (x) ∈ C[a, b] и f (a) = 0 с асимптотическим поведением (5). Тогда однородное уравнение (2) имеет два линейно независимых решения, а неоднородное уравнение (2) в классе функций y(x) ∈ Ca [a, b], обращающихся в нуль в точке x = a, всегда разрешимо и его общее решение содержит две произвольные постоянные и даётся по формуле (6). Случай I.3. Таким же образом доказывается, что в случае, когда λ1 < < λ2 < 1 < λ3 или λ1 < λ2 < λ3 < 1б имеют место следующие теоремы. Теорема 3. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (2) коэффициенты P0 , P1 , и P2 такие, что корни характеристического уравнения (3) являются вещественными и разными и λ1 < λ2 < 1 < λ3 . Функция f (x) ∈ C[a, b] и f (a) = 0 с асимптотическим поведением (5). Тогда однородное уравнение (2) имеет одно линейно независимое решение, а неоднородное уравнение (2) в классе функций y(x) ∈ Ca [a, b], обращающихся в нуль в точке x = a, всегда разрешимо и его общее решение содержит одну произвольную постоянную и даётся по формуле y(x) = (x - a)λ1 c3 - 1 ∆0 P2 x ∆1 (λ1 - 1)2 a + ∆1 (λ2 - 1)2 x-a t-a λ2 x-a t-a λ1 + + ∆3 (λ3 - 1)2 x-a t-a λ3 f (t)dt. (7) Теорема 4. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (2) коэффициенты P0 , P1 , и P2 такие, что корни характеристического уравнения (3) являются вещественными и разными и λ1 < λ2 < λ3 < 1. Функция f (x) ∈ C[a, b]. Тогда однородное уравнение (2) имеет только нулевое решение, а неоднородное уравнение (2) в классе функций y(x) ∈ Ca [a, b] имеет единственное решение, которое даётся при помощи формулы 239 З а р и п о в С. К. y(x) = - x 1 ∆0 P2 x - a λ1 + t-a x - a λ2 x-a + ∆3 (λ3 - 1)2 t-a t-a ∆1 (λ1 - 1)2 a + ∆1 (λ2 - 1)2 λ3 f (t)dt. (8) Заметим, что в последнем случае для сходимости интеграла в правой части (8) от функции f (x) никаких условий кроме её непрерывности не требуется. Таким образом, объединяя вышеприведенные результаты для интегродифференциального уравнения (2), можно построить аналог теоремы об альтернативе Фредгольма в таком виде. Аналог теоремы об альтернативе Фредгольма для интегро-дифференциального уравнения (2), когда корни характеристического уравнения (3) являются вещественными и разными. Если корни характеристического уравнения (3) удовлетворяют условию λ1 < λ2 < λ3 < 1, то однородное уравнение (2) имеет только тривиальное решение, а неоднородное уравнение (2) для каждой функции f (x) ∈ C[a, b] имеет решение, и притом единственное, которое даётся по формуле (8). Если корни характеристического уравнения (3) удовлетворяют одному из условий λ1 < λ2 < 1 < λ3 , λ1 < 1 < λ2 < λ3 или 1 < λ1 < λ2 < λ3 , то однородное уравнение (2) имеет нетривиальные решения и его общее решение содержит либо одну, либо две, либо три произвольных постоянных, а неоднородное уравнение (2) разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет условию (5). В этих случаях неоднородное уравнение (2) имеет бесконечное число решений и его общее решение содержит либо одну, либо две, либо три произвольных постоянных и дается соответственно при помощи формулы (7), (6) или (4). Случай II.1. Пусть корни характеристического уравнения (3) являются вещественными и равными λ1 = λ2 = λ3 = λ и λ > 1, тогда легко можно показать, что общее решение однородного уравнения (2) задаётся формулой y(x) = (x - a)λ c4 + (x - a)λ ln(x - a)c5 + (x - a)λ ln2 (x - a)c6 , где c4 , c5 , c6 - произвольные постоянные числа. Используя метод вариации произвольных постоянных, после простых вычислений решение неоднородного уравнения (2) находим в таком виде: y(x) = (x - a)λ c4 + (x - a)λ ln(x - a)c5 + (x - a)λ ln2 (x - a)c6 - - (λ - 1)3 2P2 x a x-a t-a λ x-a + t-a x-a + 4(λ - 1) ln + 2 f (t)dt. (9) t-a (λ - 1)2 ln2 Если поведение функции f (x) в точке x = a определяется из асимптотической формулы f (x) = o (x - a)δ2 , δ2 > λ - 1, когда x → a, (10) то интеграл в правой части (9) будет сходящимся. Таким образом, имеет место следующая теорема. 240 Построение аналога теоремы Фредгольма. . . Теорема 5. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (9) коэффициенты P0 , P1 , и P2 такие, что корни характеристического уравнения (3) являются вещественными и равными и λ > 1. Функция f (x) ∈ C[a, b] и f (a) = 0 с асимптотическим поведением (10). Тогда однородное уравнение (2) имеет три линейно независимых решения, а неоднородное уравнение (2) в классе функций y(x) ∈ Ca [a, b] всегда разрешимо и его общее решение содержит три произвольных постоянных и даётся по формуле (9). Случай II.2. Если λ < 1, то для того, чтобы решение вида (9) принадлежало классу Ca [a, b], произвольные постоянные c4 , c5 и c6 должны равняться нулю. Отсюда следует, что в этом случае уравнение (2) имеет только единственное решение и оно имеет вид y(x) = - (λ - 1)3 2P2 x a x-a t-a λ x-a + t-a x-a + 4(λ - 1) ln + 2 f (t)dt. (11) t-a (λ - 1)2 ln2 Таким образом, имеет место следующая теорема. Теорема 6. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (2) коэффициенты P0 , P1 , и P2 такие, что корни характеристического уравнения (3) являются вещественными и равными и λ < 1. Функция f (x) ∈ C[a, b]. Тогда однородное уравнение (2) имеет только нулевое решение, а неоднородное уравнение (2) в классе функций y(x) ∈ Ca [a, b] имеет единственное решение, которое даётся формулой (11). Теперь построим аналог теоремы об альтернативе Фредгольма для уравнения (2). Аналог теоремы об альтернативе Фредгольма для интегро-дифференциального уравнения (2), когда корни характеристического уравнения (3) являются вещественными и равными. Если корни характеристического уравнения (3) удовлетворяют условию λ < 1, то однородное уравнение (2) имеет только тривиальное решение, а неоднородное уравнение (2) для каждой функции f (x) ∈ C[a, b] имеет единственное решение, которое даётся формулой (11). Если λ > 1, то однородное уравнение (2) имеет три линейно независимых решения, а неоднородное уравнение (2) разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет условию (10). В этом случае неоднородное уравнение (2) имеет бесконечное число решений, его общее решение содержит три произвольных постоянных и даётся формулой (9). Случай III.1. Пусть среди корней характеристического уравнения (3) существуют комплексно-сопряженные корни. Эти корни обозначим через λ1 = λ и λ2,3 = α±iβ. Если, не ограничивая общности, предположить, что 1 < λ < α, то частными решениями однородного уравнения (2) будут функции y1 (x) = (x - a)λ , y2 (x) = (x - a)α cos β ln(x - a) , y3 (x) = (x - a)α sin β ln(x - a) 241 З а р и п о в С. К. и его общее решение согласно общей теории можно записать в таком виде: y1 (x) = (x - a)λ c7 + (x - a)α cos β ln(x - a) c8 + (x - a)α sin β ln(x - a) c9 . Как и выше, используя метод вариации произвольных постоянных, решение неоднородного уравнения (2) находим в виде y(x) = (x - a)λ c7 + (x - a)α cos β ln(x - a) c8 + (x - a)α sin β ln(x - a) c9 - - (λ - 1)2 D1 P2 x a x-a t-a × α1 sin β ln λ x-a t-a x x-a t-a a x-a + β1 sin β ln t-a f (t)dt - 1 D1 P2 β α × f (t)dt, (12) где α1 = (α - 1)2 (α - λ) + β 2 (α + β - 2), β1 = (α - 1)β(2λ - α - 1) - β 3 . Для сходимости интеграла в правой части (12) от функции f (x) потребуем, чтобы она в точке x = a обращалась в нуль с асимптотическим поведением f (x) = o (x - a)δ3 , δ3 > α - 1, когда x → a. (13) Таким образом, имеет место следующая теорема. Теорема 7. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (2) коэффициенты P0 , P1 , и P2 такие, что среди корней характеристического уравнения (3) существуют комплексно-сопряженные корни и выполняется условие 1 < λ < α. Функция f (x) ∈ C[a, b] и f (a) = 0 с асимптотическим поведением (13). Тогда однородное уравнение (2) имеет три линейно независимых решения, а неоднородное уравнение (2) в классе функций y(x) ∈ Ca [a, b] всегда разрешимо и его общее решение содержит три произвольных постоянных и даётся при помощи формулы (12). Случай III.2. Если выполняется условие λ < 1 < α, то в общем решении (12) произвольная постоянная c7 должна быть равной нулю. В этом случае решение уравнения (2) имеет вид y(x) = (x - a)α cos β ln(x - a) c8 + (x - a)α sin β ln(x - a) c9 - - (λ - 1)2 D1 P2 x a x-a t-a × α1 sin β ln λ x-a t-a x x-a t-a a x-a + β1 sin β ln t-a f (t)dt - 1 D1 P2 β α × f (t)dt. (14) Очевидно, что при выполнении условия (13) интегралы в правой части (14) будут сходящимися. В этом случае имеет место следующая теорема. Теорема 8. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (2) коэффициенты P0 , P1 , и P2 такие, что среди корней характеристического уравнения (3) существуют комплексно-сопряженные корни и выполняется условие λ < 1 < α. Функция f (x) ∈ C[a, b] и f (a) = 0 с асимптотическим поведением (13). Тогда однородное уравнение (2) имеет два линейно независимых 242 Построение аналога теоремы Фредгольма. . . решения, а неоднородное уравнение (2) в классе функций y(x) ∈ Ca [a, b] всегда разрешимо и его общее решение содержит две произвольных постоянных и даётся при помощи формулы (14). Случай III.3. В случае, когда выполняется условие λ < α < 1, в общем решении (12) все произвольные постоянные должны равняться нулю и поэтому уравнение (2) имеет единственное решение, которое даётся формулой y(x) = - (λ - 1)2 D1 P2 x a x-a t-a λ f (t)dt - × α1 sin β ln x-a t-a x x-a α × t-a a x-a + β1 sin β ln t-a 1 D1 P2 β f (t)dt. (15) В этом случае от функции f (x) никаких условий кроме её непрерывности не требуется. Таким образом, имеет место следующая теорема. Теорема 9. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (2) коэффициенты P0 , P1 , и P2 такие, что среди корней характеристического уравнения (3) существуют комплексно-сопряженные корни и выполняется условие λ < α < 1. Функция f (x) ∈ C[a, b]. Тогда однородное уравнение (2) имеет только тривиальное решение, а неоднородное уравнение (2) в классе функций y(x) ∈ Ca [a, b] имеет единственное решение, которое даётся формулой (15). Объединяя эти результаты, построим аналог теоремы об альтернативе Фредгольма для уравнения (2). Аналог теоремы об альтернативе Фредгольма для интегро-дифференциального уравнения (2), когда среди корней характеристического уравнения (3) существуют комплексно-сопряженные корни. Если корни характеристического уравнения (3) удовлетворяют условию λ < α < 1, то однородное уравнение (2) имеет только тривиальное решение, а неоднородное уравнение (2) для каждой функции f (x) ∈ C[a, b] имеет единственное решение, которое даётся формулой (15). Если λ < 1 < α, то однородное уравнение (2) имеет два линейно независимых решения, а неоднородное уравнение (2) разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет условию (13). В этом случае неоднородное уравнение (2) имеет бесконечное число решений и его общее решение содержит две произвольные постоянные и выражается формулой (14). Если 1 < λ < α, то однородное уравнение (2) имеет три линейно независимых решения, а неоднородное уравнение (2) разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет условию (13). В этом случае неоднородное уравнение (2) имеет бесконечное число решений, его общее решение содержит три произвольных постоянных и выражается формулой (12). Заключение. В заключение заметим, что в общей теории число произвольных постоянных, входящих в решение интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра, равно наибольшему порядку производной, присутствующей в этих уравнениях, и эти произвольные постоянные легко находятся с помощью постановок различных начальных и краевых задач. В отличие от этого мы установили, что решение уравнения (2) в общем случае содержит три произвольные постоянные. Также имеются случаи, когда уравнение 243 З а р и п о в С. К. (2) содержит либо одну, либо две произвольные постоянные или выделяется случай, когда уравнение (2) имеет единственное решение без использования каких-либо начальных или краевых задач. Отсюда вытекает, что только в одном случае найденное нам решение согласуется с существующей теорией, а присутствие других случаев показывает новизну данной работы. Далее эти эффекты дают нам возможность построить аналог теоремы Фредгольма для уравнения (2). Заметим, что раньше для интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра такие аналоги не строились. Другая особенность уравнения (2) заключается в том, что в ядро этого уравнения добавляется логарифмическая особенность, за счёт которой число линейно независимых решений однородного уравнения (2) не уменьшается, а увеличивается. Далее интегральные представления, полученные в данной статье, могут быть использованы для постановки и решения различных начальных и краевых задач. Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Место выполнения работы. Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Таджикского национального университета. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Sarvar K Zaripov

Tajik National University

Email: sarvar8383@list.ru
Cand. Phys. & Math. Sci.; Senior Lecturer; Dept. of Mathematics Analysis and Function Theory 17, av. Rudaky, Dushanbe, 734025, Tajikistan

References

Supplementary files