On the “splitting” effect for multipoint differential operators with summable potential

Full Text

1. Постановка задачи. Исследуем дифференциальный оператор четвертого порядка, задаваемый дифференциальным уравнением вида y (4) (x) + q(x)y(x) = λy(x), 0 x π, (1) с многоточечными граничными условиями y (0) = 0; y (3) (0) = 0; y(π) = α1 y π + β2 y 3 16 α1 ∈ C; β2 = - α2 , 3 y (π) = β1 y β1 = - 10 - α1 , 3 π 2π + α2 y ; 3 3 2π ; 3 (2) α2 ∈ C. В уравнении (1) функция q(x) - потенциал, число λ ∈ C - спектральный параметр. Мы изучаем дифференциальный оператор (1), (2) в предположении, что потенциал q(x) является суммируемой функцией на отрезке [0; π]: x q(x) ∈ L1 [0; π] ⇔ = q(x) q(t)dt 0 (3) x почти для всех x из отрезка [0; π]. Многоточечные дифференциальные операторы пока что полностью не изучены даже для случая гладких коэффициентов дифференциальных уравнений, задающих эти операторы. В работе [1] автором для дифференциального оператора второго порядка с кусочно-гладкими коэффициентами был изучен эффект «расщепления» кратных в главном собственных значений. Цель статьи - найти примеры и изучить дифференциальные операторы четвертого порядка с суммируемым потенциалом, у которых наблюдается такой же эффект «расщепления». Дифференциальные операторы с суммируемыми коэффициентами начали бурно исследоваться в последнее время. В работах [2, 3] были исследованы спектральные свойства оператора Штурма-Лиувилля (второго порядка) с суммируемым потенциалом. В работах [4, 5] автор исследовал операторы четвертого и шестого порядков с суммируемыми коэффициентами с помощью методики, отличной от методики работ [2, 3]. Необходимо отметить, что с возрастанием порядка дифференциального оператора трудности его исследования увеличиваются многократно. И этот факт верен и для операторов с негладкими коэффициентами: фактически во всех работах этой тематики (см. [6-10]) рассматриваются операторы второго порядка. Нахождение асимптотики собственных значений необходимо при исследовании свойств собственных функций, а также для вычисления регуляризованных следов дифференциальных операторов (см. [11-13]). Заметим, что общая теория нахождения регуляризованных следов операторов с суммируемыми потенциалами пока не разработана, хотя появились работы, в которых вычислены следы операторов (опять-таки второго порядка) c потенциалом в виде δ-функции (см. [14, 15]). Для операторов четвертого и выше порядков случай, когда потенциал - δ-функция, пока не рассматривался. 250 Об эффекте «расщепления» для многоточечных дифференциальных операторов . . . 2. Асимптотика решений дифференциального √ уравнения (1) при больших значениях λ. Введем замену λ = s4 , s = 4 λ, причем для корректности дальнейших выкладок зафиксируем ту ветвь арифметического корня, √ для которой 4 1 = +1. Обозначим через wk (k = 1, 2, 3, 4) различные корни четвертой степени из единицы: wk4 = 1; k = 1, 2, 3, 4; 2πi (k - 1) , 4 w2 = i, w3 = -1, w4 = -i. wk = exp w1 = 1, (4) Для чисел wk (k = 1, 2, 3, 4) из (4) справедливы соотношения 4 4 wkp wkp = 4, p = 0, p = 4. = 0, p = 1, 2, 3; (5) k=1 k=1 Числа wk (k = 1, 2, 3, 4) из (4), (5) делят единичную окружность на четыре равные части. Методом вариации произвольных постоянных устанавливается следующее утверждение (см. [4, 5]). Лемма 1. Решение y(x, s) дифференциального уравнения (1) является решением интегрального уравнения Вольтерры: 4 Ck ewk sx - y(x, s) = k=1 1 4s3 4 x wk ewk sx q(t)e-wk st y(t, s)dt, (6) 0 k=1 где Ck - произвольные постоянные. Проверить справедливость формулы (6) можно непосредственным образом с учетом свойства (5) а также принимая во внимание, что из свойства (3) суммируемости потенциала следует формула x q(t)e-wk st y(t, s)dt 0 = q(x)e-wk sx y(x, s) x почти для всех x из отрезка [0; π]. Интегральное уравнение (6) решим методом последовательных приближений Пикара (как это сделано в работах [4] и [5]): найдем y(t, s) из (6), x подставим это выражение в q(t)e-wk st y(t, s)dt, произведем необходимые 0 вычисления и оценки, аналогичные оценкам работ [4, 5], [16, гл. 2], [17, гл. 1]. В результате получим следующее утверждение. Лемма 2. Общее решение дифференциального уравнения (1) представляется в виде 4 y(x, s) = 4 Ck yk (x, s); k=1 y (p) (p) (x, s) = Ck yk (x, s), p = 1, 2, 3, (7) k = 1, 2, 3, 4; (8) k=1 где Ck (k = 1, 2, 3, 4) - произвольные постоянные, yk (x, s) = ewk sx - e|Ims|x A3k (x, s) A6k (x, s) + + O , 4s3 16s6 s9 251 М и т р о х и н С. И. (p) yk (x, s) Ap3k (x, s) Ap6k (x, s) e|Ims|x p wk sx - , = w e + + O k sp 4s3 16s6 s9 k = 1, 2, 3, 4, p = 1, 2, 3; 4 x wn ewn sx ϕkn (x, s), A3k (x, s) = ϕkn (x, s) = q(x)e(wk -wn )st dt, 0 n=1 (9) (10) k = 1, 2, 3, 4; 4 Ap3k (x, s) wn wnp ewn sx ϕkn (x, s), = k = 1, 2, 3, 4, p = 1, 2, 3; (11) n=1 4 4 A6k (x, s) = x wm ewm sx wn n=1 x ψnmkn (x, s) = q(t)ψnmkn (x, s) , 0 m=1 t q(t)e(wn -wm )st dξ 0 q(ξ)e(wk -wn )sξ dξ dt, (12) 0 k = 1, 2, 3, 4; 4 Ap6k (x, s) = 4 p wm sx wm wm e ψnmkn (x, s) , wn n=1 m=1 k = 1, 2, 3, 4, (13) p = 1, 2, 3. При выводе асимптотических формул (8)-(13) в момент промежуточного интегрирования мы требовали выполнения следующих начальных условий: Ap3k (0, s) = Ap6k (0, s) = 0; A3k (0, s) = A6k (0, s) = 0; (p) yk (0, s) wkp sp , = k = 1, 2, 3, 4; yk (0, s) = 1; p = 1, 2, 3. (14) 3. Изучение граничных условий (2). В силу формул (7)-(14) из первых двух граничных условий (2) находим:   y (0, s)     s (2) s=0  y (3) (0, s)     s3 (7) = 0⇔ (2) s=0 4 Ck k=1 4 (7) = 0⇔ k=1 yk (0, s) (14) =0 ⇔ s 4 Ck wk = 0; k=1 (3) y (0, s) (14) Ck k 3 =0 ⇔ s 4 Ck wk3 = 0, k=1 откуда в силу соотношений (5) получаем: C3 = C1 , C4 = C2 . Поэтому при выполнении условий y (0) = y (3) (0) = 0 общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид: y(x, s) = C1 [y1 (x, s) + y3 (x, s)] + C2 [y2 (x, s) + y4 (x, s)], y 252 (p) (p) (p) (p) (p) (x, s) = C1 [y1 (x, s) + y3 (x, s)] + C2 [y2 (x, s) + y4 (x, s)], p = 1, 2, 3, (15) Об эффекте «расщепления» для многоточечных дифференциальных операторов . . . где C1 , C2 - произвольные постоянные. Подставляя формулы (15) в последние два из граничных условий (2), получаем:  2π π (15) (2)  y(π, s) = α1 y , s + α2 y , s ⇔ C1 [y1 (π, s) + y3 (π, s)]+   3 3   π π   +C [y (π, s) + y (π, s)] = α1 C1 y1 , s + y3 , s + 2 2 4   3 3   π π   +α C y ( , s) + y ( , s) + 1 2 2 4   3 3    2π 2π   , s + y3 ,s + α2 C1 y1   3 3     2π 2π   +α2 C2 y2 , s + y4 ,s ,   3 3    (16) y (2π/3, s) (15) y1 (π, s) y3 (π, s) y (π, s) (2) y (π/3, s)  = β + β ⇔ C + +  1 2 1   s2 s2 s2 s2 s2    y (π, s) y (π/3, s) (π, s) (π/3, s) y y   +C2 2 2 + 4 2 = β1 C1 1 2 + 3 2 +    s s s s    y (π/3, s) y4 (π/3, s)   +β1 C2 2 2 + +    s s2    y (2π/3, s) y3 (2π/3, s)   + + +β2 C1 1    s2 s2    y (2π/3, s) y4 (2π/3, s)   +β2 C2 2 + .  s2 s2 Однородная система (16) (из двух уравнений с двумя неизвестными C1 , C2 ) имеет ненулевые решения (C12 + C22 = 0) только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Поэтому справедлива следующая лемма. Лемма 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1), (2) с условием (3) суммируемости потенциала q(x) имеет следующий вид : h (s) h12 (s) = 0, (17) f (s) = 11 h21 (s) h22 (s) h11 (s) = y1 (π, s) + y3 (π, s) - α1 y1 π π , s + y3 ,s 3 3 - α2 y1 h12 (s) = y2 (π, s) + y4 (π, s) - α1 y2 π π , s + y4 ,s 3 3 - α2 y2 - 2π 2π , s + y3 ,s 3 3 , - 2π 2π , s + y4 ,s 3 3 , 253 М и т р о х и н С. И. h21 (s) = h22 (s) = y (π/3, s) y3 (π/3, s) y1 (π, s) y3 (π, s) - + - β1 1 2 + 2 2 s s s s2 y (2π/3, s) y3 (2π/3, s) - β2 1 , + s2 s2 y (π/3, s) y4 (π/3, s) y2 (π, s) y4 (π, s) - + - β1 2 2 + 2 2 s s s s2 y (2π/3, s) y4 (2π/3, s) - β2 2 . + s2 s2 Подставляя формулы (8)-(13) в уравнение (17), получившийся определитель разложим на сумму определителей по столбцам, в результате получим: f (s) = f0 (s) - f3 (s) f6 (s) 1 + +O 9 3 6 4s 16s s = 0, (18) f011 (s) f012 (s) , f021 (s) f022 (s) f0 (s) = (19) π π 2π 3 + ew3 s 2π 3 , π π 2π 3 + ew4 s 2π 3 , f011 (s) = ew1 sπ + ew3 sπ - α1 ew1 s 3 + ew3 s 3 - α2 ew1 s f012 (s) = ew2 sπ + ew4 sπ - α1 ew2 s 3 + ew4 s 3 - α2 ew2 s π π f021 (s) = w12 ew1 sπ + w32 ew3 sπ - β1 w12 ew1 s 3 + w32 ew3 s 3 - - β2 w12 ew1 s π 2π 3 + w32 ew3 s 2π 3 , 2π 3 + w42 ew4 s 2π 3 , π f022 (s) = w22 ew2 sπ + w42 ew4 sπ - β1 w22 ew2 s 3 + w42 ew4 s 3 - - β2 w22 ew2 s f3 (s) = f3,1 (s) + f3,2 (s), f3,1 (s) = w12 = w32 = 1, w22 = w42 = -1, (20) f3,1,11 (s) f3,1,12 (s) , f3,1,21 (s) f3,1,22 (s) (21) π π , s + A33 , s - 3 3 2π 2π - α2 A31 , s + A33 ,s 3 3 f3,1,11 (s) = A31 (π, s) + A33 (π, s) - α1 A31 π π f3,1,12 (s) = ew2 sπ + ew4 sπ - α1 ew2 s 3 + ew4 s 3 - α2 ew2 s 254 2π 3 + ew4 s 2π 3 , , Об эффекте «расщепления» для многоточечных дифференциальных операторов . . . π π , s + A233 , s - 3 3 2π 2π , s + A233 ,s - β2 A231 3 3 f3,1,21 (s) = A231 (π, s) + A233 (π, s) - β1 A231 π π f3,1,22 (s) = -ew2 sπ - ew4 sπ + β1 ew2 s 3 + ew4 s 3 + β2 ew2 s f3,2 (s) = 2π 3 + ew4 s 2π 3 , f3,2,11 (s) f3,2,12 (s) , f3,2,21 (s) f3,2,22 (s) π π f3,2,11 (s) = ew1 sπ + ew3 sπ - α1 ew1 s 3 + ew3 s 3 - α2 ew1 s , (22) 2π 3 2π 3 + ew3 s , π π , s + A34 , s - 3 3 2π 2π , s + A34 ,s - α2 A32 3 3 f3,2,12 (s) = A32 (π, s) + A34 (π, s) - α1 A32 π π f3,2,21 (s) = ew1 sπ + ew3 sπ - β1 ew1 s 3 + ew3 s 3 - β2 ew1 s 2π 3 + ew3 s 2π 3 , , π π , s + A234 ,s - 3 3 2π 2π - β2 A232 , s + A234 ,s 3 3 f3,2,22 (s) = A232 (π, s) + A234 (π, s) - β1 A232 , функцию f6 (s) можно вычислить аналогичным образом. Основное приближение уравнения (18)-(22) представляется в виде f0 (s)=0 и от корней этого уравнения зависит поведение корней уравнения (18)-(22). Для нахождения корней уравнения f0 (s) = 0 необходимо изучить индикаторную диаграмму этого уравнения (см. [18, гл. 12]). π Введем обозначение e 3 s = z = 0, тогда основное приближение уравнения (18)-(22) примет следующий вид: f0 (s) = m11 (s) m12 (s) = 0, m21 (s) m22 (s) (23) m11 (s) = z 3w1 - α2 z 2w1 - α1 z w1 - α1 z -w1 - α2 z -2w1 + z -3w1 , m12 (s) = z 3w2 - α2 z 2w2 - α1 z w2 - α1 z -w2 - α2 z -2w2 + z -3w2 , m21 (s) = z 3w1 - β2 z 2w1 - β1 z w1 - β1 z -w1 - β2 z -2w1 + z -3w1 , m22 (s) = -z 3w2 + β2 z 2w2 + β1 z w2 + β1 z -w2 + β2 z -2w2 - z -3w2 . Раскладывая определитель f0 (s) из (23) по столбцам на сумму определителей, получаем: f0 (s) = (-2)z 3w1 +3w2 + α2 + β2 z 3w1 +2w2 + α1 + β1 z 3w1 +w2 + + α1 + β1 z 3w1 -w2 + α2 + β2 z 3w1 -2w2 + - 2 z 3w1 -3w2 + 255 М и т р о х и н С. И. + α2 + β2 z 2w1 +3w2 - 2α2 β2 z 2w1 +2w2 + · · · + α2 + β2 z 2w1 -3w2 + + α1 + β1 z w1 +3w2 - α1 β2 + α2 β1 z w1 +2w2 + · · · + + α1 + β1 z w1 -3w2 + · · · + - 2 z -3w1 +3w2 + α2 + β2 z -3w1 +2w2 + + α1 + β1 z -3w2 +w2 + α1 + β1 z -3w1 -w2 + + α2 + β2 z -3w1 -2w2 + - 2 z -3w1 -3w2 = 0. (24) Индикаторная диаграмма уравнения (23), (24) - это выпуклая оболочка показателей экспонент, входящих в это уравнение. Учитывая формулы (4), видим, что индикаторная диаграмма уравнения (23), (24) имеет следующий вид: . (25) Индикаторная диаграмма представляет собой квадрат с вершинами в точках 3w1 + 3w2 , -3w1 + 3w2 , -3w1 - 3w2 и 3w1 - 3w2 . На стороне 3w1 - 3w2 ; 3w1 + 3w2 находятся точки (показатели экспонент) 3w1 - 2w2 , 3w1 - w2 , 3w1 + w2 , 3w1 + 2w2 , которые вместе с точкой 3w1 (не является показателем экспонент, входящих в (23), (24)) делят этот отрезок на шесть равных частей. Аналогичная ситуация с другими сторонами квадрата. Если бы точки (показатели экспонент) делили отрезки на несоизмеримые части, то корни уравнения (23), (24) и асимптотику корней уравнения (18)- (22) выписать было бы нельзя (см. [19, 20]). Корни уравнения (23), (24) (а также корни уравнения (18)-(22)) находятся в четырех секторах бесконечно малого раствора, заштрихованных на рисунке (25), биссектрисы которых являются срединными перпендикулярами к сторонам квадрата. Точки, находящиеся на сторонах квадрата (3w1 - 2w2 = 3 - 2i, 3w1 - w2 = 3 - i, 3w1 + w2 = 3 + i, . . . ), также будут оказывать влияние на поведение корней уравнений (23), (24) и (18)-(22). Точки, попадающие внутрь индикаторной диаграммы (25) (2w1 - 2w2 , 2w1 - w2 , 2w1 + w2 , 2w1 + 2w2 , w1 + 2w2 ,. . . ), на асимптотику корней уравнений (23), (24) и (18)-(22) влиять не будут. 4. Асимптотика собственных значений в секторе 1) индикаторной диаграммы (25). Изучим сектор 1) индикаторной диаграммы (25). Из 256 Об эффекте «расщепления» для многоточечных дифференциальных операторов . . . общей теории (см. [18, гл. 12], [19, 20]) следует, что в секторе 1) на асимптотику корней уравнений (23), (24) и (18)-(22) влияют только точки, находящиеся на отрезке [3w1 - 3w2 ; 3w1 + 3w2 ], т. е. точки 3w1 - 3w2 , 3w1 - 2w2 , 3w1 - w2 , 3w1 + w2 , 3w1 + 2w2 и 3w1 + 3w2 . Лемма 4. Основное приближение уравнения на собственные значения дифференциального оператора (1)-(3) в секторе 1) индикаторной диаграммы (25) имеет следующий вид : f0,1 (s) = (-2)z 3w1 +3w2 + (α2 + β2 )z 3w1 +2w2 + (α1 + β1 )z 3w1 +w2 + + (α1 + β1 )z 3w1 -w2 + (α2 + β2 )z 3w1 -2w2 + (-2)z 3w1 -3w2 = 0. (26) В уравнении (26), поделив на (-1)z 3w1 = 0, сделаем замену z w2 = x = 0. В итоге получим уравнение шестой степени: g1 (x) = 2x6 - (α2 + β2 )x5 - (α1 + β1 )x4 - (α1 + β1 )x2 - (α2 + β2 )x + 2 = 0, которое в силу граничных условий (2) (α1 + β1 = -10/3, α2 + β2 = 16/3) принимает следующий вид: g1 (x) = 2x6 - 16 5 10 4 10 2 16 x + x + x - x + 2 = 0. 3 3 x 3 (27) Уравнение (27) легко раскладывается на множители: 2 g1 (x) = (x - 1)4 (3x2 + 4x + 3) = 0 3 и имеет следующие корни: x1 = x2 = x3 = x4 = 1 (кратность равна четырем); √ √ 2 2 5 5 iϕ i = e , x6 = x ¯5 = - - i = e-iϕ , x5 = - + 3 3 3 √3 2 5 ϕ = arccos - = π - arcsin . 3 3 (28) Формула (28) задает корни основного приближения уравнения (18)-(22) в секторе 1) индикаторной диаграммы (25) (т. е. корни уравнений (26) и (27)). Из общей теории (см. [18, гл. 12]) нахождения корней квазиполиномов вида (18)-(22) следует, что в секторе 1) надо оставить только те экспоненты, которые соответствуют правому вертикальному отрезку индикаторной диаграммы (25). Поэтому для сектора 1) уравнение (17) принимает следующий вид: f1 (s) = b11 = z 3w1 - b11 b12 = 0, b21 b22 A31 (π, s) 1 + O 6 + o¯(1), 4s3 s π z = e 3 s = 0, 257 М и т р о х и н С. И. A231 (π, s) 1 + O 6 + o¯(1), 3 4s s 2 w1 = 1, w1 = 1, A32 (2π/3, s) 1 A32 (π, s) - α2 z 2w2 - +O 6 +O b12 = z 3w2 - 4s3 s 4s3 A34 (π/3, s) A32 (π/3, s) 1 - α1 z -w2 - -α1 z w2 - +O 6 +O 3 4s s 4s3 A34 (2π/3, s) A34 (π, s) 1 -α2 z -2w2 - + z -3w2 - +O 6 +O 4s3 s 4s3 b21 = w12 z 3w1 - w2 = i, 1 s6 1 s6 1 s6 w4 = -w2 = -i, - - , (29) A232 (π, s) 1 A232 (2π/3, s) 1 2 2w2 + O - β w z - +O 6 - 2 2 4s3 s6 4s3 s 1 1 A2 (π/3, s) A2 (π/3, s) -β1 w22 z w2 - 32 3 +O 6 - β1 w42 z -w2 - 34 3 +O 6 - 4s s 4s s 2 2 1 A (2π/3, s) 1 A (2π/3, s) +O 6 + w42 z -3w2 - 34 3 +O 6 , -β2 w42 z -2w2 - 34 3 4s s 4s s b22 = w22 z 3w2 - w22 = w42 = -1. Изучая определитель f1 (s) из (29), сделаем необходимые преобразования и убедимся в справедливости следующего утверждения. Лемма 5. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(3) в секторе 1) индикаторной диаграммы (25) имеет следующий вид : f3,1 (s) f6,1 (s) 1 + + O 9 = 0, (30) 4s3 16s6 s z 3w2 - α2 z 2w2 - α1 z w2 - α1 z -w2 - α2 z -2w2 + z -3w2 , (31) -z 3w2 + β2 z 2w2 + β1 z w2 + β1 z -w2 + β2 z -2w2 - z -3w2 f3,1 = f3,1,1 (s) + f3,1,2 (s), (32) f1 (s) = f0,1 (s) - f0,1 (s)= f3,1,1 (s)= f3,1,2 (s)= z 3w1 z 3w1 A31 (π, s) z 3w2 -α2 z 2w2 -α1 z w2 -α1 z -w2 -α2 z -2w2 +z -3w2 , (33) A231 (π, s) -z 3w2 +β2 z 2w2 +β1 z w2 +β1 z -w2 +β2 z -2w2 -z -3w2 z 3w1 A32 (π, s)-α2 A32 2π 3 ,s -α1 A32 π3 , s -α1 A34 π3 , s - -α2 A34 2π 3 , s +A34 (π, s) z 3w1 A232 (π, s)-β2 A232 2π 3 ,s -β1 A232 π3 , s -β1 A234 π3 , s - 2 -β2 A234 2π 3 , s +A34 (π, s) . (34) Действительно, раскладывая определитель f1 (s) из (30) по столбцам на сумму определителей и упорядочивая величины по росту s, получаем (30)- (34), величины A31 (π, s), A231 (π, s), A32 (π, s), . . . , A234 (π, s) определены формулами (12), (13). 258 Об эффекте «расщепления» для многоточечных дифференциальных операторов . . . Основное приближение уравнения (30)-(34) имеет вид f0,1 (s) = 0, где f0,1 (s) определено формулой (31), и это уравнение преобразуется к виду f0,1 (s) = z 3w1 (-2)z 3w2 + α2 + β2 z 2w2 + α1 + β1 z w2 + α1 + β1 z -w2 + + α2 + β2 z -2w2 + (-2)z -3w2 = 0, z 3w1 = 0. Это уравнение при выполнении условия (2) принимает следующий вид: 3z 3w2 - 8z 2w2 + 5z w2 + 5z -w2 - 8z -2w2 + 3z -3w2 = 0, 3x6 - 8x5 + 5x4 + 5x2 - 8x + 3 = 0, π x = z w2 = ea 3 w2 s = 0, т. е. совпадает с уравнением g1 (x) = 0 из (27), которое имеет корни, описываемые формулой (28). Изучим сначала наиболее интересный случай: π x1 = x2 = x3 = x4 = 1 (кратность 4) ⇔ e 3 w2 s = 1 = e2πik , 6ki (4) k ∈ N ⇔ sk,1,осн = = 6k (кратность 4), k ∈ N. w2 (35) В формуле (35) у серии корней sk,1,осн индекс 1 показывает, что мы рассматриваем сектор 1) индикаторной диаграммы (25), «осн» означает «основное приближение». Из общей теории нахождения корней квазиполиномов вида (30)-(34) в случае условия (28) (см. [18, гл. 12], [11, 13, 20]) следует справедливость следующего утверждения. Теорема 1. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(3) в секторе 1) индикаторной диаграммы (25) имеет вид sk,1,p = 6k + d4kp d1kp d2kp d3kp 1 + 6/4 + 9/4 + 12/4 + O 15/4 , 3/4 k k k k k p = 1, 2, 3, 4. (36) Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства теоремы 1 необходимо показать, что коэффициенты d1kp , d2kp , d3kp , . . . (p = 1, 2, 3, 4) формулы (36) находятся в явном виде единственным образом. Применяя формулы Маклорена, имеем z ±w2 π sk,1,p = e±s 3 w2 Mkp = z ±2w2 sk,1,p =1± sk,1,p =1± π π2 2 π3i 3 iMkp - Mkp ∓ M + 3 9 27 kp π4 4 π5i 5 + Mkp ± M - ..., 81 243 kp d1kp d2kp d3kp d4kp 1 + 6/4 + 9/4 + 12/4 + O 15/4 , 3/4 k k k k k (37) 2π 4π 2 2 8π 3 3 iMkp - Mkp ∓ iMkp + 3 9 27 259 М и т р о х и н С. И. + z ±3w2 sk,1,p 16π 4 4 32π 5 3 Mkp ± iMkp - . . . , (38) 81 243 2 3 4 5 = 1 ± πiMkp - π 2 Mkp ∓ π 3 iMkp + π 4 Mkp ± π 5 iMkp - ..., 1 s3 sk,1,p 1 s6k,1,p = 1 63 k 3 1 = 6 6 6 k 3d1kp 1 + O 10/4 7/4 6k k 6d1kp 1 1 - 7/4 + O 10/4 6k k 1- (39) , (40) . Подставляя формулы (37)-(40) и (36) в уравнение (30)-(34), видим, что 0 , M 1 , M 2 , M 3 равны нулю в силу уравнения (27), коэффициенты при Mkp kp kp kp 4 4 равен - 160π . В итоге мы получаем коэффициент при Mkp 81 - 160π 4 4 6 5 + ···- + γ6 Mkp Mkp + 0 · Mkp 81 3d1kp 1 1 - 1 - 7/4 + O 10/4 G3 (s) 3 24k 6k k sk,1,k,p +O 1 k6 = 0, γ6 = 0, (41) π q(t)dta11 - 2 · z 3w2 + α2 + β2 z 2w2 + α1 + β1 z w2 + G3 (s) = 0 + α1 + β1 z -w2 + α2 + β2 z -2w2 - 2 · z -3w2 + G2 (s), (42) G2 (s) = (-2)w2 z 3w2 ϕ22 (π, s) - 2w4 z -3w2 ϕ24 (π, s)+ 2π 2π , s + α2 + β2 w4 z -2w2 ϕ24 ,s + + α2 + β2 w2 z 2w2 ϕ22 3 3 π π + α1 + β1 w2 z w2 ϕ22 , s + α1 + β1 w4 z -w2 ϕ24 , s + 3 3 π π w2 -w2 + α1 + β1 w2 z ϕ42 , s + α1 + β1 w4 z ϕ44 , s + 3 3 2π 2π + α2 + β2 w2 z 2w2 ϕ42 , s + α2 + β2 w4 z -2w2 ϕ44 ,s - 3 3 - 2w2 z 3w2 ϕ42 (π, s) - 2w4 z -3w2 ϕ44 (π, s), (43) где 10 (2) 16 , α2 + β2 = , 3 3 а функции ϕkn (x, s) определены формулой (10). Подставляя формулы (37)-(39) в формулу (43), имеем (4) w2 = i, G2 (s) sk,1,p (4) w4 = -i; (2) α1 + β1 = - 2 3 + O(Mkp ) ϕ22 (π, ssk,1,p )+ = (-2)w2 1 + πiMkp - π 2 Mkp 2 3 + 2w2 1 - πiMkp - π 2 Mkp + O(Mkp ) ϕ44 (π, ssk,1,p )+ 260 Об эффекте «расщепления» для многоточечных дифференциальных операторов . . . 2π 4π 2 2 3 ) ϕ22 Mkp + O(Mkp , ssk,1,p - 9 3 4π 2 2 2π 3 Mkp + O(Mkp ) ϕ44 , ssk,1,p + 9 3 + · · · + H2 (s) s , p = 1, 2, 3, 4, (44) 2π iMkp - 3 2π iMkp - - α 2 + β 2 w2 1 - 3 + α 2 + β 2 w2 1 + k,1,p H2 (s) = 2w2 z -3w2 ϕ24 π, ssk,1,p - z 3w2 ϕ42 π, ssk,1,p sk,1,p - 2π 2π , ssk,1,p - z 2w2 ϕ42 , ssk,1,p + 3 3 2π π + α1 + β1 w2 z -w2 ϕ24 , ssk,1,p - z w2 ϕ42 , ssk,1,p . (45) 3 3 - α2 + β2 w2 z -w2 ϕ24 Проведя в формуле (44) необходимые вычисления и преобразования и учитывая, что (10) π (10) ϕ22 (π, s) = ϕ42 (π, s) = q(t)dt, 0 получим G2 (s) sk,1,p 8 = w2 πi 9 π q(t)dt 0 d1kp d2kp 1 + + O 9/4 + H2 (s) k 3/4 k 6/4 k sk,1,p . (46) π Учитывая, что z = e 3 s , w2 = i, w4 = -i, и подставляя sk,1,p из (36) в формулу (45), имеем z -3w2 ϕ24 (π, s) - z 3w2 ϕ42 (π, s) (10) = sk,1,p π πi (-3) 6k + Mkp q(t) exp w2 - w4 6k + Mkp t dt- 3 0 π πi 3 6k + Mkp q(t) exp - w2 - w4 6k + Mkp t dt = - exp 3 0 = exp π q(t) sin 12kt + (2t - π)Mkp dt. (47) = 2i 0 Аналогичным образом выводятся формулы z -2w2 ϕ24 2π 2π , s - z 2w2 ϕ42 ,s 3 3 sk,1,p = 2π/3 q(t) sin 12kt + 2t - = 2i 0 z -w2 ϕ24 π π , s - z w2 ϕ42 , s 3 3 sk,1,p 2π Mkp dt; (48) 3 = π/3 q(t) sin 12kt + 2t - = 2i 0 π Mkp dt. (49) 3 261 М и т р о х и н С. И. Подставляя формулы (47)-(49) в (45), получаем π H2 (s) sk,1,p q(t) sin 12kt + (2t - π)Mkp dt+ = (-4) 0 + 2π/3 32 3 q(t) sin 12kt + 2t - 0 + 2π Mkp dt+ 3 π/3 20 3 q(t) sin 12kt + 2t - 0 π Mkp dt. (50) 3 Подставляя формулы (46), (50) в (41), (42), находим d41kp k 12/4 + 4d31kp d2kp k 15/4 = + +O 1 = k 18/4 d1kp 1 34 πiw2 3/4 (-4) 8 12/4 15 · 2 k k 20 3 π/3 π q(t)dt + 0 2π/3 32 3 q(t)dt+ 0 20 π 32 2π v1 , k + v1 , k - 4v1 (π, k) + 3 3 3 3 π 32 2π 1 , k + v3 , k - 4v4 (π, k) + O 6/4 , (51) 3 3 3 k q(t)dt + 0 d1kp 20 v2 + 3/4 3 k где введены следующие обозначения: b v1 (b, k) = q(t) sin(12kt)dt; 0 b π cos(12kt)dt; 3 0 b 2π cos(12kt)dt; v3 (b, k) = q(t) 2t - 3 0 b 3π v4 (b, k) = q(t) 2t - cos(12kt)dt. 3 0 Приравнивая в формуле (51) коэффициенты при k -12/4 , получим q(t) 2t - v2 (b, k) = 3wp d1kp = √ 2 4 15 Fk (q) = 20 3 4 Fk (q), k ∈ N, p = 1, 2, 3, 4, wp = e 2πi (p-1) 4 , (52) π/3 q(t) sin(12kt)dt+ 0 + 32 3 2π/3 π q(t) sin(12kt)dt - 4 0 q(t) sin(12kt)dt. 0 Таким образом, мы видим, что кратные в главном приближении корни (35) x1 = x2 = x3 = x4 = 1 (кратности 4) (и sk,1,осн = 6k кратности 4) «расщепляются» на четыре серии однократных собственных значений вида (36), (52). 262 Об эффекте «расщепления» для многоточечных дифференциальных операторов . . . Приравнивая в формуле (51) коэффициенты при k -15/4 и проводя необходимые преобразования и упрощения, выводим d2kp = - 1 27 2 8 20 · 2 d1kp 20 3 40 v5 3 π 20 - v6 3 3 + π/3 q(t)dt + 0 32 3 π 2π/3 q(t)dt - 4 q(t)dt + 0 0 π 64 2π , k + v5 , k - 8v5 (π, k) - 3 3 3 π 64 2π , k + v6 , k - 12v6 (π, k) , 3 3 3 k ∈ N, p = 1, 2, 3, 4, (53) где b v5 (b, k) = b tq(t) cos(12kt)dt, v6 (b, k) = 0 q(t) cos(12kt)dt, 0 а величины d1kp определены формулой (52). Получение формул (52), (53) завершает доказательство теоремы 1. Нахождение асимптотики собственных значений, соответствующих корням x5,6 = e±iϕ формулы (28) (кратности 1), происходит согласно методике, продемонстрированной автором в работах [4, 21, 22]. Справедлива следующая теорема. Теорема 2. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(3) (в секторе 1) индикаторной диаграммы (25), соответствующих однократным корням x5,6 = e±iϕ уравнения (28), имеет следующий вид : sk,1,m = 6k˜ + 1 d3km d6km + +O , k˜3 k˜6 k˜9 ϕ , k˜ = k ± 2π m = 5, 6. (54) Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, уравнение на собственные значения оператора (1)-(3) в секторе 1) имеет вид (30)-(34), основное приближение которого (уравнение (27)) имеет корни, заданные формулой (28): x1 = x2 = = x3 = x4 = 1 (кратность 4, случай уже разобран в (36), (52), (53)) и x5 = eiϕ , √ x6 = e-iϕ , ϕ = arccos(- 23 ) = π - arcsin( 35 ) ∈ ( π2 ; π), кратность равна 1, (26) π x = z w2 = e 3 is = 0. Поэтому π x5,6 = e±iϕ ⇔ e 3 w2 s = e±iϕ e2πik , k ∈ N, 3ϕ ˜ k˜ = k ± ϕ , k ∈ N, m = 5, 6. = 6k, π 2π Значит, из общей теории нахождения корней квазимногочленов вида (30)- (34) (см. [11, 13, 20]) следует, что асимптотику собственных значений необходимо искать в виде (54). Для нахождения коэффициентов d3km (m = 5, 6) в явном виде действуем аналогично выкладкам (37)-(53). Используя формулы Тейлора, имеем w2 = i ⇔ sk,1,m = 6k ± 263 М и т р о х и н С. И. z ±nw2 π sk,1,m = e±n 3 w2 s sk,1,m = π π d3km 1 = exp ±n w2 6k˜ exp ±n w2 +O 3 3 k˜3 k˜6 d nπw 1 2 3km = e±niϕ 1 ± +O , 3 k˜3 k˜6 = n = 1, 2, 3. (55) Подставляя формулы (54), (55) в уравнение (30)-(34), видим, что коэффициент при k˜0 равен нулю в силу того, что x5,6 = e±iϕ являются корнями уравнений (27) и f0,1 = 0 из (30), (31). Приравнивая коэффициенты при k˜-3 , находим √ 81 5 G3 (s) d3km = , m = 5, m = 6, (56) 3 20π · 6 · 424 z 3w1 sk,1,m,осн где функция G3 (s) определена в (41)-(43). Произведя необходимые преобразования в (56), получаем d3km √ 3 5 4 sin(3ϕ) = 160 · 424π + q(t)dt - 0 π/3 20 sin ϕ 3 32 sin(2ϕ) 3 π q(t)dt - 4 0 + - π 2π/3 q(t)dt+ 0 ˜ - 3ϕ dt+ q(t) sin 12kt 0 2π/3 32 3 20 3 0 π/3 ˜ - 2ϕ dt- q(t) sin 12kt ˜ - ϕ dt , q(t) sin 12kt m = 5, m = 6. (57) 0 Если в уравнении (30)-(34) вести вычисления с точностью формул (12), (13) (а не только (10), (11)), то можно в явном виде вычислить коэффициенты d6km формулы (54). Получение формул (57) завершает доказательство теоремы 2 (доказано, что коэффициенты d3km формулы (54) находятся единственным образом и приведены явные формулы для их вычисления). Изучая аналогичным образом сектора 2), 3), 4) индикаторной диаграммы (25), доказываем следующее утверждение. Теорема 3. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(3) в секторах 2), 3), 4) индикаторной диаграммы (25) подчиняется следующим законам: 1) πi sk,n,p = sk,1,p e 2 (n-1) , n = 2, 3, 4, p = 1, 2, 3, 4; λk,n,p = s4k,n,p , (58) sk,1,p определены формулами (36), (52), (53); 2) sk,n,m = sk,1,m e 2πi (n-1) 4 , n = 2, 3, 4, m = 5, m = 6; λk,n,m = s4k,n,m , (59) sk,1,m определены формулами (54), (57). 264 Об эффекте «расщепления» для многоточечных дифференциальных операторов . . . Формулы (36), (52)-(54), (57)-(59) позволяют вычислить асимптотику собственных функций многоточечного дифференциального оператора (1)-(3). Аналогичное поведение спектра (с эффектом «расщепления» кратных в главном приближении собственных значений) наблюдается у дифференциального оператора, задаваемого дифференциальным уравнением (1) с граничными условиями π 2π + α2 y ; 3 3 π 2π y (π) = β1 y + β2 y ; 3 3 β1 = 2 - α1 , α1 ∈ C; β2 = -α2 , α2 ∈ C, y (3) (0) = 0; y (0) = 0; y(π) = α1 y (60) с условием (3) суммируемости потенциала q(x). В этом случае уравнение (26), (27) (основное приближение уравнения (18)-(22)) принимает следующий вид: g2 (x) = 2x6 - 2x4 - 2x2 + 2 = 0, π x = z w2 = e 3 is = 0. (61) Уравнение (61) имеет следующие корни (g2 (x) = 2(x - 1)2 (x + 1)2 (x2 + 1)): x1 = x2 = 1 (кратность 2), x3 = x4 = -1 (кратность 2), x5 = i (кратность 1), x6 = -i (кратность 1). Поэтому корни уравнения (18)-(22) (в основном приближении) имеют следующий вид: π x1 = x3 = 1 ⇔ e 3 is = 1 = e2πik ⇔ sk,j,осн = 6k кратность 2, k ∈ N, j = 1, 2; π x3 = x4 = -1 ⇔ e 3 is = -1 = eπi e2πik ⇔ sk,j,осн = 6k + 3 кратность 2, k ∈ N, j = 3, 4; π π 3 x5,6 = ±i ⇔ e 3 is = e±i 2 e2πik ⇔ sk,j,осн = 6k ± кратность 1, 2 k ∈ N, j = 5, 6. Справедливы утверждения, аналогичные теоремам 1, 2, 3. Теорема 4. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1), (60), (3) в секторах 1), 2), 3), 4) индикаторной диаграммы (25) имеет следующий вид : 1) d1kj d2kj d3kj 1 + 6/2 + 9/2 + O 12/2 , 3/2 k k k k πi (n-1) k ∈ N, j = 1, 2; sk,n,j = sk,1,j e 2 , n = 1, 2, 3, 4; sk,1,j = 6k + (62) λk,n,j = s4k,n,j , j = 1, 2; n = 1, 2, 3, 4; 2) sk,1,j = 6k + 3 + d1kj d2kj + + 3/2 (6k + 3) (6k + 3)6/2 d3kj 1 + +O , 9/2 (6k + 3) (6k + 3)12/2 (63) 265 М и т р о х и н С. И. k ∈ N, j = 3, 4; λk,n,j = 3) πi sk,n,j = sk,1,j e 2 (n-1) , s4k,n,j , j = 3, 4; n = 1, 2, 3, 4; n = 1, 2, 3, 4; d2kj 1 1 ˜ d1kj ˜ sk,1,j = 6k˜ + + +O , k˜ = k + , ˜ ˜ ˜ 4 k˜3 k˜6 k˜12/2 πi j = 5, 6; sk,n,j = sk,1,j e 2 (n-1) , n = 1, 2, 3, 4; (64) λk,n,j = s4k,n,j , j = 5, 6; n = 1, 2, 3, 4. Коэффициенты разложений (62)-(64) находятся аналогично получению формул (52), (53), (57). Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Sergey I Mitrokhin

Lomonosov Moscow State University

Email: mitrokhin-sergey@yandex.ru
Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Senior Researcher; Research Computing Center Vorob’evy gory, Moscow, 119899, Russian Federation

References

Supplementary files