An ordinary integro-differential equation with a degenerate kernel and an integral condition

Full Text

1. Постановка задачи. Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, часто приводит к изучению начальных и граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных. Такие задачи составляют основу математической физики. Большой интерес с точки зрения физических приложений представляют интегро-дифференциальные уравнения. Изучению обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ (см., например, [1-10]). В случаях, когда граница области протекания физического процесса недоступна для измерений, в качестве дополнительной информации, достаточной для однозначной разрешимости задачи, могут служить нелокальные условия в интегральной форме (см. [11-15]). 644 Обыкновенное интегро-дифференциальное уравнение. . . В настоящей работе предлагается методика изучения нелокальной краевой задачи для обыкновенного нелинейного интегро-дифференциального уравнения первого порядка с вырожденным ядром. Методы исследования интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с вырожденным ядром развивались в работах [16-20]. Итак, на отрезке [-T ; T ] рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение вида T u (t) + µ T K(t, s)u(-s) ds = η(t) -T T u(θ) dθ + f -T H(θ)u(θ) dθ (1) -T с интегральным условием T u(0) + (2) Θ(t)u(t) dt = ϕ, -T где η(t) ∈ C[-T ; T ], f (γ) ∈ C(R), Θ(t) ∈ C 1 [-T ; T ], ϕ = const, T 0< |H(t)| dt < ∞, -T m K(t, s) = ai (t)bi (s), ai (t), bi (s) ∈ C 1 [-T ; T ], i=1 0 < T < ∞, µ - действительный спектральный параметр. Здесь предполагается, что функции ai (t) и bi (s) являются линейно независимыми. 2. Нелинейное функционально-интегральное уравнение. В уравнении (1) в интегральном слагаемом сделаем замену переменной: s = -τ, ds = -dτ. Тогда уравнение (1) приобретает вид T m u (t) - µ T ai (t)bi (-τ )u(τ ) dτ = η(t) -T i=1 u(θ) dθ + f (γ), -T где T γ= H(θ)u(θ) dθ. -T С помощью обозначения T ci = bi (-τ )u(τ ) dτ (3) -T уравнение (11) перепишется в следующем виде: m u (t) = µ T ai (t)ci + η(t) i=1 u(θ) dθ + f (γ). (4) -T 645 Ю л д а ш е в Т. К. Пусть T Θ(t) dt = -1. -T Тогда интегрированием из (4) с учетом интегрального условия (2) получаем m T T Θ(t) µ u(t) = ϕh - h -T u(θ) dθ + tf (γ) dt+ qi (t)ci + p(t) -T i=1 m +µ T qi (t)ci + p(t) u(θ) dθ + tf (γ), (5) -T i=1 где -1 T h= 1+ Θ(t) dt t , p(t) = -T t η(τ ) dτ, qi (t) = 0 ai (τ ) dτ, i = 1, m. 0 Подстановка выражения (5) в (3) дает систему алгебраических уравнений (САУ) m ci + µ Aij cj = Bi , (6) i = 1, m, j=1 где T T T -T -T Θ(ξ)qj (ξ) dξdτ bi (-τ ) bi (-τ )qj (τ ) dτ + h Aij = - -T и T Bi = h T bi (-τ ) -T T Θ(ξ) p(ξ) -T u(θ) dθ + ξf (γ) dξdτ - -T T - T bi (-τ ) ϕh + p(τ ) -T u(θ) dθ + sf (γ) dτ. (7) -T САУ (6) однозначно разрешима при любых конечных Bi , если выполняется следующее условие: ∆(µ) = 1 + µA11 µA12 ... µA1m µA21 1 + µA22 . . . µA2m .. .. .. .. . . . . µAm1 µAm2 . . . 1 + µAmm = 0. (8) Определитель ∆(µ) в (8) есть многочлен относительно µ степени не выше m. Уравнение ∆(µ) = 0 имеет не более m различных корней. Эти корни являются собственными числами ядра интегро-дифференциального уравнения (1). Другие значения µ называются регулярными, при которых условие (8) выполняется. Для регулярных значений µ САУ (6) имеет единственное решение при любой конечной ненулевой правой части. В настоящей работе для 646 Обыкновенное интегро-дифференциальное уравнение. . . таких регулярных значений параметра µ устанавливается однозначная разрешимость поставленной нелокальной задачи (1), (2). Тогда решения САУ (6) записываются в виде ci = ∆i (µ) , ∆(µ) (9) i = 1, m, где ∆i (µ) = 1 + µA11 . . . µA1(i-1) B1 µA1(i+1) . . . µA1m µA21 . . . µA2(i-1) B2 µA2(i+1) . . . µA2m .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . µAm1 . . . µAm(i-1) Bm µAm(i+1) . . . 1 + µAmm = . Среди элементов определителей ∆i (µ) находятся величины Bi . В их составе, в свою очередь, находится неизвестная функция u(t). В самом деле, эта неизвестная функция находилась в правой части САУ (6). Чтобы вывести эту функцию из знака определителей, выражение в (7) перепишем в следующем виде: T Bi = B1i + B2i u(θ) dθ + B3i f (γ), -T где T T B1i = ϕh bi (-τ ) dτ, B2i = T bi (-τ ) -p(τ ) + h -T -T T B3i = Θ(ξ)p(ξ) dξ dτ, -T T bi (-τ ) -τ + h -T ξΘ(ξ) dξ dτ. -T В этом случае, согласно свойствам определителя, имеем T ∆i (µ) = ∆1i (µ) + ∆2i (µ) u(θ) dθ + ∆3i (µ)f (γ), -T где ∆ki (µ) = = 1 + µA11 . . . µA1(i-1) Bk1 µA1(i+1) . . . µA1m µA21 . . . µA2(i-1) Bk2 µA2(i+1) . . . µA2m .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . µAm1 . . . µAm(i-1) Bkm µAm(i+1) . . . 1 + µAmm , k = 1, 2, 3. Тогда формула (9) принимает вид ci = ∆1i (µ) ∆2i (µ) + ∆(µ) ∆(µ) T u(θ) dθ + -T ∆3i (µ) f (γ), ∆(µ) i = 1, m. (10) 647 Ю л д а ш е в Т. К. Подставляя (10) в (5), получаем следующее нелинейное функциональноинтегральное уравнение (НФИУ): T u(t) = 1 (t; u) T u(θ) dθ + Φ(t)f ≡ Q(t) + G(t) -T где m T Θ(t) Q(t) = hϕ - µh -T H(θ)u(θ)dθ , (11) -T qi (t) i=1 ∆1i (µ) dt + µ ∆(µ) m qi (t) i=1 ∆1i (µ) , ∆(µ) T Θ(t)p(t) dt- G(t) = p(t) - h -T m T - µh Θ(t) -T i=1 ∆2i (µ) qi (t) dt + µ ∆(µ) m qi (t) ∆2i (µ) , ∆(µ) qi (t) ∆3i (µ) . ∆(µ) i=1 T Φ(t) = t - h Θ(t)t dt- -T m T - µh Θ(t) -T qi (t) i=1 ∆3i (µ) dt + µ ∆(µ) m i=1 3. Однозначная разрешимость нелинейного функционально-интегрального уравнения. Рассмотрим множество функций u(t) | u(t) ∈ C[-T ; T ] . С введением нормы u(t) = max u(t) t∈[-T ;T ] оно становится банаховым пространством. Теорема 1. Пусть выполняется условие (8) и 1) β1 = Q(t) < ∞; β2 = G(t) < ∞; β3 = Φ(t) < ∞; 2) M = f (γ) < ∞; |f (γ1 ) - f (γ2 )| L|γ1 - γ2 |, 0 < M, L = const; T 3) ρ = 2β2 T + Lδ2 β3 < 1; δ2 = |H(t)| dt < ∞. -T Тогда НФИУ (11) имеет единственное решение на отрезке [-T ; T ]. Это решение может быть найдено из следующего итерационного процесса: u0 (t) = Q(t), uj+1 (t) = 1 (t; uj ), j = 0, 1, 2, . . . , t ∈ [-T ; T ]. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим шар S(u0 ; r1 ) с радиусом r1 = β1 + 648 β3 M . 1 - 2β2 T (12) Обыкновенное интегро-дифференциальное уравнение. . . Для нулевого приближения в силу первого условия теоремы 1 из (12) имеем u0 (t) (13) β1 . В силу условий теоремы 1 и неравенства (13) из (12) для первой разности получаем оценку u1 (t) - u0 (t) 2 Q(t) β2 T + β3 f (γ) = 2β1 β2 T + β3 M. (14) В силу условий теоремы 1 и оценки (14) из (12) для разности u2 (t) - u0 (t) получим u2 (t) - u0 (t) 2(2β1 β2 T + β3 M )β2 T + β3 M = β1 (2β2 T )2 + (2β2 T + 1)β3 M. (15) Далее из (12) с учетом (15) имеем u3 (t) - u0 (t) (2β1 β2 T + β3 M )(2β2 T )2 + (2β2 T + 1)β3 M = = β1 (2β2 T )3 + (2β2 T )2 + 2β2 T + 1 β3 M. (16) Продолжая этот процесс, аналогично (16) получаем uj (t) - u0 (t) β1 (2β2 T )j + (2β2 T )j-1 + (2β2 T )j-2 + . . . + + (2β2 T )2 + 2β2 T + 1 β3 M. (17) Из последнего условия теоремы 1 следует, что 2β2 T < 1. Поэтому из (17), переходя к пределу при j → ∞, имеем lim uj (t) - u0 (t) j→∞ lim β1 (2β2 T )j + (2β2 T )j-1 + (2β2 T )j-2 + . . . + j→∞ + (2β2 T )2 + 2β2 T + 1 β3 M , откуда получаем оценку u∞ (t) - u0 (t) < β1 + β3 M = r1 . 1 - 2β2 T (18) Из (18) следует, что оператор в правой части (11) отображает шар S(u0 ; r1 ) в себя. Теперь для произвольной разности uj+1 (t)-uj (t) получим следующую оценку: uj+1 (t) - uj (t) [2β2 T + Lδ2 β3 ] uj (t) - uj-1 (t) = = ρ uj (t) - uj-1 (t) < uj (t) - uj-1 (t) . (19) В силу последнего условия теоремы 1 из оценки (19) следует, что оператор в правой части (11) является сжимающим. Из оценок (13), (18) и (19) мы 649 Ю л д а ш е в Т. К. заключаем, что для оператора (11) существует единственная неподвижная точка (см., напр. [21, стр. 389-401]). Следовательно, на отрезке [-T ; T ] НФИУ (11) имеет единственное решение u(t). Кроме того, для скорости сходимости справедлива оценка ρj+1 2β1 β2 T + β3 M . 1-ρ uj+1 (t) - u(t) Дифференцируя НФИУ (11), имеем T u (t) = 2 (t; u) ≡ Q (t) + G (t) T u(θ) dθ + Φ (t)f -T H(θ)u(θ) dθ , (20) -T где Q (t) ∈ C 1 [-T ; T ], G (t) ∈ C 1 [-T ; T ], Φ (t) ∈ C 1 [-T ; T ]. Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и 1) N0 = Q (t) < ∞; 2) N1 = G (t) β2 ; 3) N2 = Φ (t) β3 . Тогда u (t) ∈ C[-T ; T ]. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим шар S (d/dt)u0 ; r2 с радиусом r2 = max N0 ; N1 T β1 + 1 1 - 2β2 T + N2 M < ∞. Для оператора (20) рассмотрим следующий итерационный процесс:    d u0 (t) = Q (t), dt (21) d   uj+1 (t) = 2 (t; uj ), j = 0, 1, 2, . . . . dt Покажем, что последовательные приближения (21) не выходят из шара S (d/dt)u0 ; r2 . В силу первого условия теоремы 2 из (21) для нулевого приближения имеем d 0 u (t) N0 . (22) dt Для первой разности в силу условий теоремы 2 и неравенства (13) из (21) получаем оценку d d 1 u (t) - u0 (t) dt dt 2N1 β1 T + N2 M. Для разности (d/dt)u2 (t) - (d/dt)u 0 (t) в силу условий теоремы 2 и оценки (14) из (21) получим d 2 d u (t) - u0 (t) dt dt 650 2(2β1 β2 T + β3 M )N1 T + N2 M. Обыкновенное интегро-дифференциальное уравнение. . . Далее из (21) с учетом (15) имеем d 3 d u (t) - u0 (t) dt dt N1 T β1 (2β2 T )2 + (2β2 T + 1)β3 M + N2 M. (23) Продолжая этот процесс, аналогично (23) получаем d d j u (t) - u0 (t) dt dt N1 T β1 (2β2 T )j + (2β2 T )j-1 + (2β2 T )j-2 + . . . + + (2β2 T )2 + 2β2 T + 1 β3 M + N2 M. (24) Из последнего условия теоремы 1 следует, что 2β2 T < 1. Поэтому из (24) при переходе к пределу при j → ∞ имеем d 1 d ∞ u (t) - u0 (t) < N1 T β1 + dt dt 1 - 2β2 T + N2 M r2 . (25) Из (22) и (25) заключаем, что оператор в правой части (20) отображает шар S (d/dt)u0 ; r2 в себя. Аналогично (19) для произвольной разности (d/dt)uj+1 (t) - (d/dt)uj (t) справедлива следующая оценка: d j+1 d u (t) - uj (t) < uj (t) - uj-1 (t) . dt dt Кроме этого, для скорости сходимости также справедлива следующая оценка: d d j+1 u (t) - u(t) dt dt ρj+1 (2β1 N1 T + N2 M ). 1-ρ Отсюда следует, что u (t) ∈ C[-T ; T ]. Декларация о финансовых и других взаимоотношениях. Исследование не имело спонсорской поддержки. Автор несет полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена автором. Автор не получал гонорар за статью. ORCID Турсун Камалдинович Юлдашев: http://orcid.org/0000-0002-9346-5362

About the authors

Tursun K Yuldashev

M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University

Email: tursun.k.yuldashev@gmail.com
(Cand. Phys. & Math. Sci.; tursun.k.yuldashev@gmail.com), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics 31, pr. “Krasnoyarski Rabochiy”, Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation

References

Supplementary files