Application of the energy-based criterion to the simulation of the fracture of the steel structures

Full Text

Введение. Появление новых материалов, в том числе металлов и сплавов, и использование их в нестандартных условиях требует создания универсальных подходов, пригодных для описания их механического поведения широкого класса материалов. Оценка момента разрушения элементов конструкций предполагает разработку критериев прочности, которые бы позволяли достоверно описывать разрушение при различных условиях нагружения. Настоящая работа посвящена описанию феноменологического подхода к моделированию неупругого поведения металлов и развитию на его основе энергетического критерия разрушения. В процессе пластического деформирования металлов наблюдается зарождение дефектов различных уровней, которые можно охарактеризовать введением параметра поврежденности. Впервые такой подход был предложен в работе Ю. Работнова [1] (Л. Качановым [2] был введен противоположный параметр - параметр сплошности). Параметр поврежденности определялся как отношение площади, занимаемой трещинами, к площади неповрежденного материала. В настоящее время предложены различные способы определения меры поврежденности, отличные от классического. Например, в работе [3] в качестве меры поврежденности было использовано отношение эффективного модуля Юнга к модулю Юнга материала в неповрежденном состоянии, в [4] рассматривалось отношение деформации материала в поврежденном и неповрежденном состояниях. G. Rosuselier [5, 6] в качестве такого параметра применял отношение массовой плотности поврежденного материала к начальной (неповрежденной). Некоторые исследователи предлагают вместо одной скалярной переменной, описывающей поврежденность, использовать две. Первый параметр отвечает за объемную поврежденность и определяется через эффективный модуль Юнга, а второй параметр - за сдвиговую поврежденность и определяется через модуль сдвига [7]. Обобщение скалярных мер поврежденности на более общий (тензорный) случай можно встретить в работах [8-12]. Современный обзор используемых мер поврежденности приведен в работе [13]. При использовании такого подхода часто полагают, что разрушение в материале наступает при достижении поврежденностью некоторого критического значения. Наиболее универсальными критериями разрушения с точки зрения авторов данной работы являются энергетические. Большой вклад в развитие энергетических критериев разрушения внесли отечественные ученые [14-17] В настоящей работе для построения критерия разрушения материала используется величина накопленной энергии. Накопленная энергия представляет собой разность работы пластической деформации и выделенного тепла. Первые попытки исследования этого явления можно встретить в [18, 19]. Ра657 К о с т и н а А. А., П л е х о в О. А., V e n k a t r a m a n B. боты [20-22] посвящены экспериментальному определению величины накопленной энергии. В [23] рассмотрен способ определения величины накопленной энергии с помощью результатов геометрического анализа экспериментально определяемой кривой зависимости напряжения от деформации. Однако, как показано в [24], таким способом может быть определена только часть энергии, связанная с неоднородной пластической деформацией. A. Benzerga [25] предложил способ расчета накопленной энергии с помощью модели дискретной дислокационной пластичности. В работах [26, 27] накопленная энергия определяется с помощью введения внутренней переменной, в роли которой выступает пластическая деформация. В [28, 29] в качестве таких переменных использовались параметры упрочнения. В работе В. Федорова [30] было показано, что критическая величина накопленной энергии является универсальным параметром, определяющим разрушение материала. Он предложил связывать этот параметр с одной из термодинамических характеристик материала (например, со скрытой теплотой плавления, энтальпией материала в твердом или жидком состояниях при температуре плавления), поскольку термодинамические свойства материала являются структурно-нечувствительными и не зависят от условий эксперимента. Кроме того, в работах В. Ивановой (см., например, [31]) отмечается энергетическое подобие процессов разрушения и плавления. Использование критерия разрушения, основанного на величине накопленной энергии, можно встретить в работах [32-35]. В данной работе накопление и эволюция дефектов описываются с помощью тензора плотности дефектов [36, 37]. Этот параметр имеет смысл дополнительной деформации, вызванной зарождением и ростом дефектов, и может быть использован в качестве независимого параметра в термодинамических потенциалах. Введение такой переменной позволяет оценивать значение накопленной энергии и формулировать критерий разрушения на его основе. 1. Определение структурно-чувствительного параметра. Термодинамическое состояние системы может быть описано набором внешних (т.е. наблюдаемых) и внутренних переменных (таких переменных, которые невозможно измерить прямыми методами). Выберем в качестве внешней переменной описывающей процесс необратимого деформирования, тензор полной скорости деформации ˙. Для определения независимой внутренней переменной, воспользуемся подходом, описанным в работе [38]. Предположим, что для рассматриваемой среды типичными дефектами будут являться микросдвиги, определяемые симметричным тензором s: 1 s = S(nl + ln), 2 где S - интенсивность сдвига, n - единичный вектор нормали к плоскости сдвига, l - направление сдвига. На макроскопическом уровне эти дефекты будут определяться тензором плотности дефектов p, определяемым осреднением тензора s по рассматриваемому объему: p=n s , где n - объемная концентрация дефектов. Параметр p имеет физический смысл дополнительной (структурной) деформации, вызванной зарождением и ростом дефектов, и может быть рассмотрен в качестве независимой 658 Использование накопленной энергии деформирования. . . термодинамической переменной для рассматриваемого процесса необратимой деформации. Таким образом, введение параметра p позволяет разделить неупругую деформацию на две части: «чистую» пластическую (диссиптаивную) деформацию, обусловленную движением дефектов, и структурную (недиссипативную), связанную с зарождением и ростом дефектов. 2. Построение определяющих соотношений неупругого деформирования металлов с помощью линейной термодинамики необратимых процессов. Рассмотрим вариант построения трехмерной модели неупргого деформирования металлов с использованием принципов линейной термодинамики необратимых процессов [39]. Второй закон термодинамики с учетом уравнения баланса энергии может быть записан в виде [27] 1 -F˙ - T˙ S + σ : ˙ + q · ∇T T (1) 0, где F - свободная энергия, S - энтропия, σ - тензор напряжений, T - температура, q - вектор потока тепла, ∇ - оператор Гамильтона, точка над буквой обозначает производную по времени. Предположим, что свободная энергия является функцией температуры T , упругих деформаций e и структурно-чувствительного параметра p: F = F ( e , T, p). Тогда производная свободной энергии по времени имеет вид ∂F ∂F ˙ ∂F : p˙ + · T. F˙ = e : ˙e + ∂ ∂p ∂T (2) Использование гипотезы аддитивности тензора полной скорости деформации ˙ позволяет представить ее в виде суммы скоростей упругой ˙e , пластической ˙p и структурной p˙ деформаций: (3) ˙ ˙ = ˙e + ˙p + p. Подстановка соотношений (2) и (3) в (1) позволяет записать неравенство (1) в следующем виде: σ- ∂F ∂ e : ˙e - ∂F ∂F 1 ˙ - + S · T˙ + σ : ( ˙p + p) : p˙ + q · ∇T ∂T ∂p T 0. (4) Требование справедливости выполнения этого неравенства для любых значений упругой деформации и температуры позволяет получить классические соотношения ∂F , ∂ e ∂F S=- . ∂T σ= (5) (6) 659 К о с т и н а А. А., П л е х о в О. А., V e n k a t r a m a n B. Подстановка (5) и (6) в (4) дает диссипативное неравенство в виде σ : ˙p + σ - ∂F ∂p : p˙ + 1 q · ∇T T (7) 0. В диссипативном неравенстве (7) величины ˙p и p˙ представляют собой термодинамические потоки, а величины σ и (σ - ∂F /∂p) - термодинамические силы. Предположение о локальном равновесии рассматриваемой среды с дефектами позволяет записать линейные связи между термодинамическими силами и потоками ∂F , ∂p (8) + Γσp σ, (9) ˙p = Γσ σ + Γσp σ - p˙ = Γp σ - ∂F ∂p где Γσ , Γp , Γσp - кинетические коэффициенты, на которые накладываются следующие ограничения: Γσ 0, Γσp 0, Γp 0, Γp Γσ - Γ2σp 0. Одним из возможных видов записи кинетических коэффициентов в предположении независимости процессов пластического и структурного деформирования могут служить выражения 1 1 , τσ 1 + exp - |σ|-σ2 a2 1 1 , Γp = τp 1 + exp - H(|σ|,|p|,δ)-σ1 (10) Γσp = 0, (12) Γσ = (11) a1 где τσ , τp - характерные времена релаксации; √ σ1 , σ2 - параметры материала; a1 , a2 - нормирующие множители; |σ| = σ : σ - интенсивность тензора √ напряжений; |p| = p : p - интенсивность тензора структурной деформации. Функция H(|σ|, | p|, δ) характеризует степень отклонения системы от состояния равновесия и может быть определена выражением H(|σ|, | p|, δ) = 2G(δ[f1 (|p|) + |p|] - |p|), (13) где δ = L3n /L3c - параметр структурного скейлинга, представляющий собой куб отношения характерного размера дефекта Ln и радиуса взаимодействия между дефектами Lc [36]; G - модуль сдвига. Функция f1 (|p|) характеризует степенное упрочнение и определяется, как f1 (|p|) = m|p|n , (14) где параметры m и n - постоянные материала. Соотношения (10)-(14) были предложены на основании анализа поведения системы дефектов в случае одночастичного приближения [36] и с учетом 660 Использование накопленной энергии деформирования. . . переменной концентрации дефектов [40]. Подстановка (10)-(12) в (8), (9) дает определяющие соотношения для эволюции тензоров пластической и структурной деформаций в виде ˙p = σ 1 p˙ = τp 1 + exp (15) , 2 τσ 1 + exp - |σ|-σ a2 σ- 1 - H(|σ|,|p|,δ)-σ a1 ∂F . ∂p (16) Использование гипотезы соосности тензоров σ и p позволяет записать для термодинамической силы (σ - ∂F /∂p) соотношение σ- 1 1 f1 (|p|) ∂F = σ+p - + 1 p. ∂p δ 2G |p| (17) 3. Модификация определяющих соотношений для описания поведения материалов, слабо чувствительных к изменению скорости деформирования. Соотношение (15) описывает вязкое поведение материалов, характеризующееся чувствительностью к изменению скорости деформирования. Однако металлы при квазистатическом нагружении слабо чувствительны к изменению скорости деформации. Для модификации соотношения (15) воспользуемся подходом, описанным в работе [41]. Предположим, что рассматриваемый процесс неупругого деформирования металлов описывается двумя внутренними переменными - тензором p и скалярным параметром r, отвечающим за изотропное упрочнение. Неравенство Клаузиуса-Дюгема в изотермическом случае принимает вид σ : ˙p + σ - ∂F ∂p : p˙ - ∂F r˙ ∂r 0. Введем следующие обозначения: R≡ ∂F , ∂r P ≡ σ- ∂F . ∂p Определим вектор термодинамических сил X и потоков J: X = {σ, P , -R}, ˙ r}. J = { ˙p , p, ˙ Постулируем существование выпуклой функции Ψ от термодинамических сил такой, что вектор термодинамических потоков определяется так: J = Λ˙ ∂Ψ , ∂X (18) где Λ˙ - неопределенный множитель. Предположение о независимости процессов пластического и структурного деформирования позволяет записать для функции Ψ разложение p Ψ = Ψ(σ, P , R) = Ψ + Ψp , (19) 661 К о с т и н а А. А., П л е х о в О. А., V e n k a t r a m a n B. p где функция Ψ определяет процесс пластического деформирования, а функция Ψp - процесс эволюции структуры материала. Подстановка термодинамических сил X и потоков J, а также соотношения (19) в (18) позволяет получить определяющие соотношения для эволюции параметра изотропного упрочнения, а также пластической и структурной деформации в виде p ∂Ψ , ∂σ p p ∂Ψ , r˙ = -Λ˙ ∂R ∂Ψp p˙ = Λ˙ p . ∂P ˙p = Λ˙ p (20) (21) (22) Соотношения (20)-(22) характеризуют тот факт, что величины ˙p , r, ˙ p˙ определяются внешней нормалью к поверхности Ψ = 0, т.е. ассоциированным законом пластического течения. Для модификации соотношения (15) построим аппроксимацию поверхp ности текучести Ψ аналогично ассоциативной теории пластического течения [41] в виде выражения Ψ p = 2a2 be-0.5x ey + ex ln e0.5x + √ 1 + ey-x √ ey + ex +R-2 √ b a2 ln 1 + 1 + ey , c где x = |σ|/a2 , y = σ2 /a2 , а b, c - параметры материала. p Параметр Λ˙ определим из условия согласования, выражаемого соотношением p p ∂Ψ ˙ ∂Ψ p ˙ : σ˙ + R = 0. Ψ = ∂σ ∂R p Подстановка параметра Λ˙ в соотношения (20) и (21) позволяет получить окончательный вид для определения ˙p и r: ˙ σ : σ˙ ˙p = τσ 1 + exp r˙ = - σ 1 , |σ| 2G |σ| 2 - |σ|-σ a2 σ : σ˙ √ 2 cτσ 1 + exp - |σ|-σ a2 1/2 |σ| 1 , 2G где τσ = c/b. Для определения параметра Λ˙ p воспользуемся подходом к построению определяющих соотношений для материалов с механическим поведением, зависящим от скорости деформирования, описанным в работе [41]. В этом случае Λ˙ p определяется соотношением Λ˙ p = 662 Ψp k v , Использование накопленной энергии деформирования. . . где Ψp = |P | - часть функции Ψ, связанная с изменением структуры материала. Соотношение (22) позволяет получить уравнение для определения эволюции структурного параметра: Ψp k p˙ = v ∂Ψp . ∂P (23) Для получения эволюционного уравнения (16) представим v и k в виде следующих выражений: v = 1, k(|σ|, |p|, δ) = τp 1 + exp - H(|σ|, |p|, δ) - σ1 a1 . Подстановка выражений для определения v, k(|σ|, |p|, δ), ∂Ψp /∂P и Ψp в (23) ˙ аналогичное уравнению (16): позволяет получить уравнение для p, 1 p˙ = τp 1 + exp 1 - H(|σ|,|p|,δ)-σ a1 σ- ∂F . ∂p Вклад в свободную энергию параметра r по сравнению со вкладом структурного параметра p будем считать малым и в дальнейшем будем им пренебрегать. Таким образом, использование подхода, описанного в работе [41], позволило нам переписать соотношение для определения эволюции пластической деформации, не изменяя вида уравнения для определения эволюции структурной составляющей. 4. Описание баланса энергии при неупругом деформировании металлов. Уравнение баланса энергии с учетом соотношений (2), (3) и (5), (6) принимает следующий вид: ∇ · q + r + Q˙ e + Q˙ p = cT˙ , ∂2F , ∂T 2 ∂σ e Q˙ e = -T : ˙ , ∂T ∂F ˙ p - E˙ s . Q˙ p = σ : ( ˙p + p) ˙ - : p˙ = W ∂p c = -T Здесь r - мощность источников тепла, c - удельная теплоемкость, Q˙ e - мощность источников тепла, связанная с термоупругим эффектом, Q˙ p - мощность неупругого вклада в генерацию тепла. Первое слагаемое в выражении для определения Q˙ p представляет собой скорость работы неупругой дефор˙ p , второе слагаемое - скорость накопления энергии E˙ s . Расчет вемации W личины накопленной энергии позволяет сформулировать критерий разрушения материала, заключающийся в достижении величины накопленной энергии некоторого критического значения. Данный критерий будет использован в дальнейшем для моделирования разрушения материала. 663 К о с т и н а А. А., П л е х о в О. А., V e n k a t r a m a n B. 5. Моделирование распространения трещины при циклическом кручении цилиндрических образцов и опоры подшипника. Рассмотрим циклическое кручение трех сплошных цилиндрических образцов в режиме ультрамалоцикловой усталости, соответствующей 20 циклам нагружения, с коэффициентом асимметрии цикла R = Fmin /Fmax = 0 и Fmax = 80 кН. Постановка задачи аналогична постановке, приведенной в [42]. В начальный момент времени каждый из моделируемых образцов содержит поверхностную трещину длиной 10 мм и глубиной 7 мм, ориентированную к оси цилиндра под разными углами: 15◦ , 45◦ , 75◦ (рис. 1). В качестве граничных условий при решении этой задачи было использовано жесткое закрепление левого конца цилиндра и задание крутящего момента на правом конце, как показано на рис. 1. Рис. 1. Схема приложения граничных условий и расположение трещины в начальный момент времени [Figure 1. Boundary conditions and initial crack orientation] Предполагается, что полная скорость деформации представима в виде суммы упругой, пластической и структурной составляющих, т.е. удовлетворяет соотношению (3). Тензор напряжений связан с тензором деформации законом Гука в скоростной форме (24) (25) σ˙ 0 = K ˙e0 , σ˙ d = 2G ˙ed , где 1 σ0 = σ : E, 3 1 σd = σ - σ, 3 e 0 = 1 3 e : E, e d = e - 1 3 e : E, E - единичный тензор, K - модуль всестороннего сжатия, G - модуль сдвига. Для определения скорости пластических и структурных деформаций воспользуемся соотношениями (15) и (16). Тензор полных деформаций подчиняется геометрическому соотношению 1 = (∇u + ∇u ). 2 (26) Система уравнений (13)-(17), (24)-(26) дополняется уравнением равновесия ∇ · σ = 0. При расчете были использованы следующие значения материальных постоянных, соответствующих стали 08Х18Н10 (AISI 304 steel): τσ = 0.027, τp = 3, δ = 1, σ1 = 29 · 107 , a1 = 106 , a2 = 4 · 107 , σ2 = 56 · 107 , m = 10, n = 1. Идентификация этих параметров осуществлялась с помощью эксперимента по одноосному квазистатическому растяжению плоского образца. Более подробное описание этой процедуры можно найти в работе [43]. 664 Использование накопленной энергии деформирования. . . Начальные условия для рассматриваемой задачи имеют следующий вид: e 0 t=0 = 0, e d t=0 = 0, p t=0 = 0, p t=0 = 0. Граничные условия для рассматриваемой задачи могут быть представлены в виде n·σ ΓF = F, u ΓU = 0, где n - вектор внешней нормали к поверхности, u - вектор перемещений, F - вектор поверхностных сил, ΓF - правая граница цилиндра, ΓU - левая граница цилиндра. В рамках данной работы предполагается, что распространение трещины происходит при достижении ею в некотором объеме материала V ∗ критического значения: E S = EcS . (27) Здесь EcS - критическое значение накопленной энергии. Согласно оценке, проведенной в работе [30], для стали 08Х18Н10 V ∗ ≈ 2 Дж/м3 . Для связи этого объема с объемом конечного элемента V el воспользуемся соотношением V ∗ = kV el . Для рассматриваемой задачи k = 4·10-4 . Как было отмечено выше, величина EcS коррелирует с величиной энтальпии материала при температуре плавления H. Для стали 08Х18Н10 H ≈ 5 · 109 Дж/м3 . Тогда критерий разрушения для рассматриваемой задачи может быть выражен так: EcS = kH. Подстановка величин k и H позволяет получить критическое значение накопленной энергии, примерно равное 2 · 106 Дж/м3 . Численное моделирование проводилось в конечно-элементном пакете Simulia Abaqus с использованием академической лицензии. Для реализации определяющих соотношений в конечно-элементном пакете была использована функция UMAT. Для реализации критерия разрушения (27) была использована функция UDMGINI. Для определения нормали к плоскости разрушения вычислялись главные значения и направления тензора плотности дефектов p. Компоненты нормали совпадали с главным направлением максимального главного значения p. Для моделирования зарождения и распространения трещины применялся расширенный метод конечных элементов, основная идея которого заключается в использовании дополнительных функций, в качестве которых выступают разрывные функции, описывающие скачок вектора перемещений через берега трещины, и асимптотические функции, характеризующие перемещения в вершине трещины. Результаты расчета пути распространения трещины и распределение напряжений по Мизесу в образце на основе предложенного критерия представлены на рис. 2 и 3. Как можно заметить, трещина, расположенная в начальный момент времени под углом 45◦ , остается в той же плоскости при распространении, в то 665 К о с т и н а А. А., П л е х о в О. А., V e n k a t r a m a n B. for angle 15◦ for angle 45◦ for angle 75◦ Рис. 2. Путь распространения трещины [Figure 2. Crack path in a shaft] время как трещины, расположенные под углами 15◦ и 75◦ , поворачиваются. Эти результаты согласуются с данными, представленными в работе [44]. В качестве второго примера применения разработанной модели и критерия разрушения рассмотрим моделирование зарождения трещины в реальной конструкции, геометрия которой изображена на рис. 4. Деталь нагружалась статически одновременным действием крутящего момента и внутреннего давления. Для четырех отверстий, предназначенных для фиксации опоры, были использованы кинематические граничные условия жесткого закрепления, соответствующие нулевым перемещениям. На рис. 4, b представлена конечноэлементная модель рассматриваемой конструкции. При расчете использовались призматические конечные элементы. На рис. 5 показаны результаты распределения накопленной энергии при разрушении опоры. Эти результаты указывают на то, что наиболее слабым местом конструкции при таких условиях нагружения является соединение ее корпуса с цилиндрической частью. В этом месте опоры происходит зарождение и развитие трещины. Заключение. Данная работа посвящена применению критерия разрушения, основанного на величине накопленной энергии, для моделирования разрушения стали 08Х18Н10. Преимуществом критериев разрушения, основанных на энергетических принципах, является то, что они не требуют детального знания структуры и процессов, протекающих в деформируемом материале. Анализ литературы, посвященной исследованию термодинамики неупругого деформирования металлов, показывает, что наиболее универсальным и адекватным критерием разрушения является критерий достижения накопленной энергией в некотором объеме материала критического значения. Для описания деформационного поведения материала используется оригинальная модель, основанная на статистико-термодинамическом описании среды с дефектами. Эволюция ансамблей дефектов описывается с помощью переменной, совпадающей по смыслу с деформацией, вызванной зарождением и ростом дефектов. Введение такого параметра позволяет использовать его в качестве независимой переменной в термодинамическом потенциале системы и рассчитывать величину накопленной энергии. В работе рассмотрен вывод определяющих соотношений для пластической деформации и деформации, обусловленной дефектами, с помощью методов неравновесной термодинамики и теории пластического течения. Показано, что теория пластического течения позволяет обобщить определяющие уравнение для описания поведения материалов, слабо зависящих от скорости деформации. Кроме расчета напряженно-деформированного состояния, предложенная модель позволяет определять величину накопленной энергии. Применение 666 Использование накопленной энергии деформирования. . . for angle 15◦ for angle 45◦ for angle 75◦ Рис. 3. Распределение напряжений по Мизесу в образце с трещиной (онайн в цвете) [Figure 3. Von Mises stress distribution (color online)] a b Рис. 4. Граничные условия (a), используемые при моделировании, и конечно-элементная модель опоры подшипника (b) [Figure 4. Boundary conditions (a) and finite-element model of the bearing bracket (b)] Рис. 5. Распределение накопленной энергии в опоре подшипника (онайн в цвете) [Figure 5. Stored energy distribution (color online)] 667 К о с т и н а А. А., П л е х о в О. А., V e n k a t r a m a n B. этого подхода для моделирования процессов разрушения проиллюстрировано на примерах зарождения и распространения трещины при сложном нагружении. Полученные соотношения могут быть применены для определения наиболее опасных мест при эксплуатации конструкций в реальных условиях. Декларация о финансовых и других взаимоотношениях.

About the authors

Anastasiya A Kostina

Institute of Continuous Media Mechanics, Ural Branch of RAS

Email: kostina@icmm.ru
(kostina@icmm.ru; Corresponding Author), Junior Research Scientist 1, Akad. Korolyova st., Perm, 614013, Russian Federation

Oleg A Plekhov

Institute of Continuous Media Mechanics, Ural Branch of RAS

Email: poa@icmm.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; poa@icmm.ru), Deputy Director 1, Akad. Korolyova st., Perm, 614013, Russian Federation

Balasubramaniam Venkatraman

Indira Gandhi Centre for Atomic Research

Email: bvenkat@igcar.gov.in
(M.Sci. (Phy) PGDCA, Ph.D.; bvenkat@igcar.gov.in), Condensed Matter Physics Division Kalpakkam, Tamil Nadu, 603102, India

References

Supplementary files