Spectral characteristics of a nonlocal problem for two linear systems of partial differential equations

Full Text

Рассмотрим системы уравнений в частных производных вида Dt u1 - Dx u2 - εu2 = f 1 , Dt u2 + Dx u1 + εu1 = f 2 ; (1) -Dt u1 + Dx u2 + εu2 = f 1 , Dt u2 + Dx u1 + εu1 = f 2 , (2) где ui = ui (x, t), f i = f i (x, t), i = 1, 2; ε ∈ R; Dt - оператор дифференцирования по аргументу t; Dx - оператор дифференцирования по аргументу x. Системы (1) и (2) будем называть эллиптическими системами первого и второго типа соответственно. Пусть t ∈ Vt ≡ [0, T ], x ∈ Vx ≡ [a0 , b0 ] ⊂ R; Ht = L2 (Vt ), Hx = L2 (Vx ), H = Ht ⊗ Hx2 - гильбертовы пространства. В гильбертовом пространстве H вектор-функций u = u1 e1 + u2 e2 аргументов t и x системам (1) и (2) поставим в соответствие следующие дифференциально-операторные уравнения: aDt u(t) + bBu(t) = f (t) при a= 1 0 , 0 1 aDt u(t) + bBu(t) = f (t) при a= -1 0 , 0 1 b= b= 0 -1 , 1 0 (3) 0 1 . 1 0 (4) Здесь и далее аргумент x для удобства записи опущен. B : Hx → Hx - линейный замкнутый неограниченный оператор с плотной в Hx областью определения D(B), не зависящей от t ∈ Vt , для которого все элементы базиса Рисса {ϕs }, s ∈ S, пространства Hx являются собственным элементами оператора B: Bϕs = B(s)ϕs при любом s ∈ S (собственному значению B(s) соответствует собственный элемент ϕs ). Здесь и далее S - некоторое счетное множество индексов s, которыми нумеруются элементы ϕs базиса пространства Hx . Оператор, для которого существует полная система собственных элементов, образующая базис Рисса в Hx , принято называть M -оператором [1, 2]. В нашем случае оператор B = B(x, Dx ) - обыкновенный дифференциальный оператор на Vx , порождаемый сильно регулярными краевыми условиями [3]. Будем предполагать, что оператор B(x, Dx ) не имеет присоединенных функций. Положим B(S) = {B(s) : s ∈ S} и будем считать, что точечный спектр оператора B : Hx → Hx представим в виде P σ B = B(S). В дальнейшем системы (3) и (4) будем называть квазиэллиптическими (КЭ) системами первого и второго типа соответственно. К операторным уравнениям (3), (4) присоединим нелокальные краевые условия по t вида Γt u ≡ µu(0) - u(T ) = 0, µ = 0 ∈ C. (5) Пусть оператор L(Dt , B) ≡ aDt +bB определен на достаточно гладких вектор-функциях u : R → Hx2 , u = u(t), u(t) = (u1 (t), u2 (t)) ∈ Hx2 , ui (t) ∈ Hx , 424 Спектральные характеристики нелокальной задачи для двух линейных систем. . . i = 1, 2, принадлежащих для каждого t ∈ Vt области определения D(B) оператора B. Элемент u(t) ∈ H будем называть решением задачи (3)-(5), если найдется последовательность таких гладких и удовлетворяющих условиям (5) вектор-функций un (t) ∈ D(B), что lim un (t) = u(t), n→∞ lim L(Dt , B)un (t) = f (t). n→∞ Другими словами, мы имеем дело с задачей (3)-(5), понятие решения которой, как легко заметить, использует стандартную процедуру замыкания (расширения) оператора L(Dt , B) при условиях (5). Оператор L : H → H, определяемый как замыкание в H оператора L(Dt , B), первоначально заданного на гладких вектор-функциях, удовлетворяющих краевым условиям (5), называют сильным расширением оператора L(Dt , B) при условиях (5). В этом случае решение u = u(t) называют сильным решением задачи (3)-(5). Исследованию свойств задачи Дирихле для эллиптических (2×2)-систем посвящены работы А. В. Бицадзе [4, 5]; сильно и усиленно эллиптические системы изучали М. И. Вишик [6], А. П. Солдатов [7, 8]. В настоящей работе проводится сравнительное изучение спектральных свойств краевых задач (3), (5) и (4), (5). Говоря о спектре оператора, мы будем следовать терминологии, принятой в монографии [1]. Резольвентное множество, спектр, точечный (дискретный) спектр и непрерывный спектр оператора L будем обозначать соответственно через ρ L, σ L, P σ L и Cσ L. Обозначим s-проекцию [1, 2] оператора L через Ls . Исследуем свойства операторов Ls , s ∈ S. Имеет место следующая лемма. Лемма 1. Если 0 ∈ P σ B, то есть B(s) = 0, то спектр σ Ls оператора Ls : Ht2 → Ht2 совпадает с его точечным спектром P σ Ls . Точечный спектр оператора Ls дается формулой λk = 1 ln |µ| + i arg µ + i2πk , T k ∈ Z. Собственному значению λk оператора Ls соответствуют две собственные вектор-функции: um,k (t) = v(t)ekm (t), m = 1, 2, где v(t) = exp t 1 i2πkt (ln |µ| + i arg µ) , ekm (t) = ek (t)em , ek (t) = √ exp . T T T Система собственных вектор-функций {um,k (t) : m = 1, 2; k ∈ Z} (6) оператора Ls в пространстве Ht2 образует а) ортонормированный базис, если µ = 1; б ) базис Рисса, если µ = 1. m δk , Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть µ = 1. Из равенства (um,k , um ,k )Ht2 = δm k где δkk - функция Кронекера, следует ортонормированность в Ht2 системы собственных вектор-функций (6) оператора Ls . 425 К о р н и е н к о Д. В. Предположим, что множество (6) неполно в Ht2 . Тогда существует векторфункция f ∈ Ht2 , f = f 1 (t)e1 + f 2 (t)e2 , f = 0 в Ht2 , ортогональная всем вектор-функциям (6). Так как {ek (t) : k ∈ Z} - полная ортонормированная в Ht система, из равенства (f, ekm )Ht2 = (f m , ek )Ht2 следует противоречие: f = 0 в Ht2 и, следовательно, полнота в Ht2 системы (6). Пусть теперь µ = 0. Оператор T : Ht2 → Ht2 - оператор умножения на непрерывную функцию v(t) является ограниченным и ограниченно обратимым в Ht2 , то есть 0 ∈ ρ T -1 ∩ ρ T . Из равенств um,k (t) = T ekm (t) следует, что система (6) образует базис Рисса в Ht2 , а оператор L является M -оператором в Hx2 . Аналогично доказывается следующая лемма. Лемма 2. Спектр σ Ls оператора Ls : Ht2 → Ht2 совпадает c его точечным спектром P σ Ls . Точечный спектр оператора Ls дается формулой λm,k,s = 1 (ln |µ| + i arg µ + i2πk) + i(-1)m B(s), T m = 1, 2; k ∈ Z. Собственному значению λm,k,s соответствует собственная вектор-функция e1 + i(-1)m+1 e2 √ (7) um,k (t) = v(t)ek (t) 2 оператора Ls . Система {um,k (t) : m = 1, 2; k ∈ Z} собственных векторфункций оператора Ls образует в пространстве Ht2 а) ортонормированный базис, если µ = 1; б ) базис Рисса, если µ = 1. Теперь мы можем сформулировать свойства нелокальной задачи для КЭ системы первого типа. Теорема 1. Спектр σ L оператора L : H → H состоит из замыкания на комплексной плоскости точечного спектра P σ L оператора L. Множество Cσ L = σ L\P σ L образует непрерывный спектр оператора L. Точечный спектр оператора L дается формулой: λm,k,s = vk + i(-1)m B(s), m = 1, 2; k ∈ Z; s ∈ S, где 1 (ln |µ| + i arg µ + i2πk). T Собственному значению λm,k,s соответствует собственная вектор-функция оператора L: vk = ϕs um,k (t), где um,k (t) = exp(vk t) e1 + i(-1)m+1 + e2 √ . 2 Система {ϕs um,k (t) : m = 1, 2; k ∈ Z; s ∈ S} (8) собственных вектор-функций оператора L образуют базис Рисса в пространстве H. 426 Спектральные характеристики нелокальной задачи для двух линейных систем. . . Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу леммы 2 система вектор-функций (7) является базисом в Ht2 . Следовательно, система вектор-функций (8) является базисом в H. Поэтому достаточно доказать, что базис (8) является базисом Рисса в H. Любая вектор-функция f ∈ H единственным образом раскладывается в ряд f= fm,k,s ϕs um,k , где fm,k,s ∈ C. s m k Так как система {ϕs : s ∈ S} образует базис Рисса в Hx , справедливо неравенство C12 fm,k,s um,k s m 2 Ht2 f 2 H C22 fm,k,s um,k s k m 2 Ht2 , k в котором константы 0 < C1 C2 < +∞ не зависят от выбора векторфункции f ∈ H. Осталось заметить, что T -1 -1 um,k Ht2 T , и воспользоваться определением базиса Рисса. Исследуем свойства задачи (4), (5). Аналогично лемме 1 доказывается лемма 3. Отметим различия в структуре спектра сравниваемых задач. Лемма 3. Если 0 ∈ P σ B, то есть B(s) = 0, то спектр σ Ls оператора Ls : Ht2 → Ht2 совпадает с его точечным спектром P σ Ls . Точечный спектр оператора Ls дается формулой 1 λm,k = (-1)m (ln |µ| + i arg µ + i2πk), T m = 1, 2; k ∈ Z. Собственному значению λm,k оператора Ls соответствует собственная вектор-функция um,k (t) = v(t)ekm (t), где v(t) = exp t (ln |µ| + i arg µ) , T ekm (t) = ek (t)em , 1 i2πkt ek (t) = √ exp . T T Система {um,k (t) : m = 1, 2; k ∈ Z} собственных вектор-функций оператора Ls образует в пространстве Ht2 а) ортонормированный базис, если µ = 1; б ) базис Рисса, если µ = 1. Наиболее существенно отличия соответствующих задач проявляются при внимательном сопоставлении результатов леммы 2 и результатов нижеследующих лемм 4, 5. Лемма 4. Пусть 0 ∈ P σ B. Спектр σ Ls оператора Ls : Ht2 → Ht2 совпадает с его точечным спектром P σ Ls . Точечный спектр оператора Ls дается формулой λm,k,s = (-1)m vk2 + B 2 (s), m = 1, 2; k ∈ Z, (9) 427 К о р н и е н к о Д. В. где vk = 1 (ln |µ| + i arg µ + i2πk), T причем в (9) по определению λm,k,s = (-1)m B(s) при µ = 1 и k = 0. Собственному значению λm,k,s оператора Ls соответствует собственная вектор-функция um,k,s (t) = u1k (t)e1 + u2m,k,s (t)e2 , (10) где u1k (t) = v(t)ek (t), u2m,k,s (t) λm,k,s + vk v(t)ek (t), B(s) причем в (10) по определению u2m,k,s (t) = i(-1)(m+1) v(t)ek (t), при B(s) = i(-1)m v(k) и λm,k,s = 0, то есть собственному значению λm,k,s = 0 соответствует одна собственная вектор-функция независимо от значения m. Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость формулы (9), описывающей распределение собственных значений оператора Ls на комплексной плоскости C, и представлений (10) соответствующих им собственных функций проверяется достаточно просто. Если λ ∈ / P σ Ls , то решение us = us (t) уравнения Ls u = λu + f для f = f (t) ∈ C(Vt ) дается формулой T Rλ f (t) = Gs (t, τ, λ)f (τ )dτ, 0 где матрица Грина Gs (t, τ, λ) принадлежит классу L2 (Wt ), Wt = Vt × Vt . Аналогично доказательству теоремы 3 в работе [11] получаем включение λ ∈ σ Ls . Определим последовательность {ˆ u1k (t)}∞ k=0 по правилу u ˆ12k (t) = u1k (t), k = 0, 1, 2, . . . ; u ˆ12k-1 (t) = u1-k (t), k = 1, 2, 3, . . . . (11) Точно так же построим последовательность {ˆ u2m,k,s (t)}∞ k=0 . Выясним базисные свойства этих последовательностей. Лемма 5. Последовательность {ˆ u1k (t)}∞ k=0 образует в пространстве Ht а) ортонормированный базис, если µ = 1; б ) базис Рисса, если µ = 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Ортонормированность в Ht элементов упорядоченного множества {ˆ ek (t)}∞ k=0 проверяется непосредственно. Полнота этого множества в Ht вытекает, например, из [9]. Следовательно, {ˆ u1k (t)}∞ k=0 образует ортонормированный базис в пространстве Ht , если µ = 1. При µ = 1 в обозначениях леммы 1 мы имеем u ˆ1k (t) = T eˆk (t). Осталось заметить, что в Ht оператор T является ограниченным и ограниченно обратимым. Доказательство закончено. 428 Спектральные характеристики нелокальной задачи для двух линейных систем. . . Базис Рисса является безусловным базисом. В дальнейшем считаем, что 1 система {u∗1 k (t) : k ∈ Z} биортогональна системе {uk (t) : k ∈ Z} и, следовательно, в силу теоремы Банаха [10] является базисом Рисса гильбертова пространства Ht . Лемма 6. Пусть 0 ∈ / P σ B. При фиксированных значениях m, s последовательность {ˆ u2m,k,s (t)}∞ k=0 образует базис в пространстве Ht ; этот базис не является базисом Рисса гильбертова пространства Ht для любого µ = 0 ∈ C. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим u∗2 m,k,s (t) = λm,k,s - vk B(s) v -1 (t) ek (t), k ∈ Z. Отметим, что собственному значению λm,k,s = 0 соответствует одна собственная вектор-функция - либо u1,k,s (t), либо u2,k,s (t). Поэтому, если λm,k,s = 0, то m+1 -1 v (t) ek (t), u∗2 m,k,s (t) = i(-1) причем либо m = 1, либо m = 2. Последовательность {ˆ u2m,k,s (t)}∞ k=0 , построенная из элементов множества ∗2 {um,k,s (t) : k ∈ Z} по правилу (11), биортогональна последовательности k u2m,k,s , u {ˆ u2m,k,s (t)}∞ ˆ∗2 k=0 , то есть (ˆ m,k ,s )Ht = δk для любых k, k = 0, 1, 2, . . . . Составим для u ∈ Ht формальный ряд ∞ ˆ2m,k,s . (u, u ˆ∗2 m,k,s )Ht u u∼ (12) k=0 Выпишем частичную сумму n (u, u ˆ∗2 ˆ2m,k,s m,k,s )Ht u Sn u = un = k=0 ряда (12) и покажем его сходимость в Ht : lim un - u n→∞ Ht = 0. Так как множество {u2m,k,s (t) : k ∈ Z} полно в Ht , для произвольного числа ε > 0 линейную комбинацию N cˆk u ˆ2m,k,s aN = k=0 выберем так, чтобы u - aN Ht < ε/2. Для любого n ∈ N имеем n Sn u 2 Ht T |(T -1 u, eˆk )Ht |2 2 u 2 Ht , k=0 429 К о р н и е н к о Д. В. а при n > N очевидно Sn aN = aN . Следовательно, u - un Ht u - aN Ht + aN - Sn u Ht <ε и коэффициенты ряда (12) определены однозначно. Если последовательность {ˆ u2m,k,s (t)}∞ k=0 является базисом Рисса, то существуют такие константы Cq , q = 1, 2, что +∞ > C2 C1 > 0 и для любой функции u(t) = v(t)ˆ e2k (t), k = 0, 1, 2, . . . , независимо от значения k имеем C1 |(u, u ˆ∗2 m,k,s )Ht | u C2 |(u, u ˆ∗2 m,k,s )Ht |. Ht (13) Так как |(u, u ˆ∗2 m,k,s )Ht | = λ2,k,s - vk λ1,k,s - vk λm,k,s - vk , lim = 0, lim = +∞, k→∞ k→∞ B(s) B(s) B(s) в силу (13) неизбежно Cq = Cq (k) и, следовательно, lim C2 (k) = +∞, k→∞ lim C1 (k) = 0. k→∞ Полученное противоречие доказывает требуемое. Таким образом, при фиксированных значениях m, s выделенные нами множества {u1k (t) : k ∈ Z} и {u2m,k,s (t) : k ∈ Z} полны в Ht . Вместе с тем имеет место следующее утверждение. Лемма 7. Пусть 0 ∈ / P σ B. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. При фиксированных значениях m, s множество {um,k,s (t) : k ∈ Z} собственных вектор-функций оператора Ls : Ht2 → Ht2 неполно в Ht2 для любого µ = 0 ∈ C. 2. Для любого фиксированного s множество {um,k,s (t) : m = 1, 2; k ∈ Z} собственных вектор-функций оператора Ls : Ht2 → Ht2 полно в Ht2 тогда и только тогда, когда 0 ∈ / P σ Ls . Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Вектор-функция fm (t) = ek (t) v -1 (t) e1 + vk - λm,k,s B(s) e2 = 0 в Ht2 и ортогональна всем элементам множества {um,k,s (t) : k ∈ Z} при любом фиксированном значении s и для любого µ = 0 ∈ C. В силу критерия полноты получаем требуемое. 2. Пусть вектор-функция f (t) = f 1 (t)e1 + f 2 (t)e2 ортогональна всем элементам множества {um,k,s (t) : m = 1, 2; k ∈ Z} собственных вектор-функций оператора Ls : Ht2 → Ht2 . Предположим, что 0 ∈ / P σ Ls и f (t) = 0 в Ht2 . Из представлений +∞ f (t) = l=-∞ 430 +∞ fl1 u∗1 l (t), 1 fl2 u∗1 l (t) 2 f (t) = l=-∞ (14) Спектральные характеристики нелокальной задачи для двух линейных систем. . . и из условия ортогональности получаем условия согласования fk1 + λm,k,s + vk B(s) fk2 = 0, k∈Z (15) коэффициентов fk1 , fk2 разложения скалярных функций f 1 (t), f 2 (t) в ряды по биортогональным в Ht системам функций {u1k (t) : k ∈ Z}, справедливые при m = 1, 2. Из (15) в силу (14) получаем f 2 (t) = 0 и, следовательно, в силу (15) f (t) = 0 в Ht2 . Противоречие. Положив f (t) = u∗1 k (t), получим вектор-функцию, ортогональную всем элементам множества {um,k,s (t) : m = 1, 2; k ∈ Z}. Таким образом, в силу доказанной леммы 7 из системы (10) собственных вектор-функций оператора Ls : Ht2 → Ht2 может быть выделен базис пространства Ht2 только в случае, когда 0 ∈ / P σ Ls . Лемма 8. Пусть 0 ∈ / P σ B. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Система (10) собственных вектор-функций оператора Ls : Ht2 → Ht2 минимальна в гильбертовом пространстве Ht2 . 2. Если 0 ∈ / P σ Ls , то система (10) собственных вектор-функций оператора Ls : Ht2 → Ht2 образует базис в пространстве Ht2 ; этот базис не является базисом Рисса в гильбертовом пространстве Ht2 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства первого утверждения леммы положим λm,k,s + vk u∗m,k,s (t) = Cm,k,s v -1 (t) ek (t) e1 + e2 , B(s)  2  B(s)  m 2 2 , B(s) = i(-1) vk , Cm,k,s = λm,k,s + vk + B(s)   1/2, B(s) = i(-1)m vk , где m = 1, 2; k ∈ Z. Система {u∗m,k,s (t) : m = 1, 2; k ∈ Z} биортогональна m δ k для системе {um,k,s (t) : m = 1, 2; k ∈ Z}, то есть (um,k,s , u∗m ,k ,s )Ht2 = δm k любых m, m = 1, 2; k, k = 0, ±1, ±2, . . . . Осталось воспользоваться критерием минимальности [9, 10]. Рассмотрим вопрос о базисности. Составим для u ∈ Ht2 формальный ряд 2 +∞ (u, u∗m,k,s )Ht2 um,k,s u∼ (16) m=1 k=-∞ и выпишем частичную сумму 2 n (u, u∗m,k,s )Ht2 um,k,s Sn u = un = m=1 k=-n ряда (16). Повторяя рассуждения, использованные при доказательстве леммы 6, получаем lim un - u Ht2 = 0. n→∞ 431 К о р н и е н к о Д. В. Так как коэффициенты ряда (16) определены однозначно, упорядоченная методом суммирования система (10) является базисом Ht2 . Предположим, что построенный базис является базисом Рисса. Тогда найдутся такие константы C2 , C1 , что +∞ > C2 C1 > 0 и для любой векторфункции u = u(t) ∈ Ht2 справедливо неравенство 2 +∞ 2 |(u, u∗m,k,s )Ht2 |2 C12 2 Ht2 u +∞ |(u, u∗m,k,s )Ht2 |2 . C22 m=1 k=-∞ (17) m=1 k=-∞ Если положим u = uk = uk (t) = v(t)ek (t) e1 + λ2,k,s + vk e2 , B(s) то получим вполне очевидное противоречие неравенству (17): 2 lim uk k→∞ Ht2 +∞ |(u, u∗m,k,s )Ht2 |2 = 1. =∞и m=1 k=-∞ Теперь мы можем сформулировать свойства нелокальной задачи для КЭ системы второго типа. Начнем со свойств упорядоченных и неупорядоченных подмножеств, составленных из координат собственных вектор-функций соответствующего ей оператора L : H → H. Лемма 9. Система {u1k (t)ϕs : k ∈ Z; s ∈ S} является базисом Рисса в гильбертовом пространстве Htx = Ht ⊗ Hx для любого µ = 0 ∈ C. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {ek : k ∈ N} и {es : s ∈ S} - ортонормированные базисы пространств Ht и Hx соответственно и A : Ht → Ht - линейные ограниченные обратимые операторы, для которых 0 ∈ ρ A∩ρ B; Aek = u1k , k ∈ N; Bes = ϕs , s ∈ S. Тогда {ek ⊗ es : k ∈ N, s ∈ S} - ортонормированный базис в Htx , оператор A ⊗ B : Htx → Htx является линейным ограниченным оператором, (A ⊗ B)(ek ⊗ es ) = u1k ⊗ ϕs , причем 0 ∈ ρ(A ⊗ B). Тем самым требуемое доказано. В силу лемм 6-8 получаем нижеследующие свойства нелокальной задачи для КЭ системы второго типа. Лемма 10. Для m = 1, 2 и для любого µ ∈ C последовательность {u2m,k,s (t)ϕs : k ∈ Z; s ∈ S} (18) (при любом упорядочении по индексу s; по индексу k - см. (11)) является базисом в гильбертовом пространстве Htx = Ht ⊗Hx ; этот базис не является базисом Рисса в пространстве Htx . Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу леммы 3 и леммы 6 последовательность (18) - базис в Htx . При u ˜ = uϕs , u = v(t)ˆ e2k , из неравенств C1 |(u, u ˆ∗2 m,2k,s )Ht | u ˜ Htx C2 |(u, u ˆ∗2 m,2k,s )Ht | следует, что система (18) заведомо не является базисом Рисса в Htx . 432 Спектральные характеристики нелокальной задачи для двух линейных систем. . . Теперь мы можем сформулировать основной результат о базисных свойствах системы собственных вектор-функций нелокальной задачи для квазиэллиптической системы второго типа. Положим 1 N = i(-1)m (ln |µ| + i arg µ + i2πk) : m = 1, 2; k ∈ Z \{0}. T Теорема 2. Зависимость свойств системы собственных вектор-функций оператора L : H → H от параметров задачи (4), (5) следующая. 1. Система собственных вектор-функций оператора L минимальна в гильбертовом пространстве H. 2. Система собственных вектор-функций оператора L полна в гильбертовом пространстве H тогда и только тогда, когда множество N ∩ P σ B пусто, то есть 0 ∈ / P σ L. 3. Если множество N ∩ P σ B пусто, то система собственных векторфункций оператора L образует базис в гильбертовом пространстве H; этот базис не является базисом Рисса в H. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Так как система {ϕs : s ∈ S} биортогональна системе {ψ s : s ∈ S}, система {ϕs um,k,s (t), ψ s u∗m,k,s (t) : m = 1, 2; k ∈ Z; s ∈ S} является биортонормированной системой в H на основании результатов леммы 8. В силу критерия минимальности получаем требуемое. 2. Если множество N ∩ P σ B непусто, то B(s) = i(-1)m vk = 0 и, следовательно, λm,k,s = 0 ∈ P σ L при некоторых m, k, s. В этом случае вектор-1 s функция f (t) = u∗1 k (t)(e1 - B(s)vk e2 )ψ ортогональна системе {ϕs um,k,s (t) : m = 1, 2; k ∈ Z; s ∈ S} (19) собственных вектор-функций оператора L, то есть (19) не является полной в H. Если множество N ∩P σ B пусто, то из условия B(s) = 0 следует λm,k,s = 0. В этом случае в силу леммы 3 и леммы 7 система собственных вектор-функций оператора Ls полна в Ht2 для любого s ∈ S. Таким образом, используя результаты [11, 12], получаем полноту системы (19). 3. Доказательство этого предложения проводится как в лемме 10 на основе работ [11, 12] и леммы 8. Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Dmitriy V Kornienko

I. A. Bunin Elets State University

Email: dmkornienko@mail.ru
Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 28, Kommunarov st., Elets, Lipetskaya obl., 399770, Russian Federation

References

Supplementary files