Refined model of elastic-plastic behavior of longitudinally reinforced curved wall-beam under dynamic loading

Full Text

Введение. Армированные элементы конструкций находят все более ши- рокое применение в изделиях аэрокосмического назначения, в судо- и ма- шиностроении [1-4 и др.]. При этом тонкостенные композитные конструк- ции типа пластин и оболочек зачастую подкрепляются силовым набором из прямолинейных или искривленных стержневых элементов [5-7 и др.]. По- вреждаемость этих силовых элементов в значительной степени определяет возможность дальнейшего использования содержащих их конструкций, по- этому актуальной является проблема адекватного описания механического поведения композитных балок и стержней [7-10 и др.], в том числе и при динамическом их нагружении [7, 11-13 и др.]. Многие современные композитные изделия подвергаются высокоинтен- сивному нагружению, при котором материалы компонентов композиции ве- дут себя неупруго [7, 11, 13, 14 и др.]. В силу этого особый интерес вызывают вопросы, связанные с моделированием упругопластического поведения пря- молинейных и искривленных композитных балок. На сегодняшний день эта проблема, по сути, находится на стадии становления. Например, в работах [7, 8, 15 и др.] изучалось динамическое и статическое неупругое поведение композитных балок, однако исследования проводились на базе гипотез клас- сической теории, т. е. не учитывался поперечный сдвиг при изгибе. В случае слоистых упругопластический балок ослабленное их сопротивление попереч- ному сдвигу учитывалось в рамках первого варианта теории Тимошенко или на основе гипотезы ломаной линии [11, 12 и др.]. В работах [13, 16] было пока- зано, что и в случае продольно-армированных балок-стенок при их неупругом деформировании необходимо учитывать ослабленное сопротивление попереч- ному сдвигу как при квазистатическом, так и при динамическом их нагруже- нии. При этом исследования проводились на базе гипотез первого и второго вариантов теории Тимошенко. Однако в [14] было продемонстрировано, что по крайней мере в рамках деформационной теории пластичности при стати- ческом нагружении второй вариант теории Тимошенко (который с математи- ческой точки зрения является более точным, чем первый вариант [13]) не га- рантирует получения адекватных результатов расчетов неупругого изгибного поведения продольно-армированных балок-стенок и требуется использование уточненных теорий изгиба. Вопрос об адекватном описании динамического деформирования таких балок в рамках второго варианта теории Тимошенко, когда механическое поведение материалов фаз композиции описывается со- отношениями теории упругопластического течения, остается открытым, т. е. открытым остается вопрос: требуют ли уточнения решения, полученные в [13] на базе гипотез второго варианта теории Тимошенко? В связи с этим настоящее исследование посвящено построению уточненной (по сравнению со вторым вариантом теории Тимошенко) модели дина- мического деформирования гибких изогнутых балок-стенок, армированных в продольном направлении, упругопластическое поведение материалов фаз композиции которых описывается соотношениями теории течения с изотроп- ным упрочнением. Моделирование осуществляется на основе метода шагов по времени с привлечением численной схемы типа <крест». « « Постановка задачи. Рассматриваются прямолинейные (рис. 1, a) или искривленные в своей плоскости (рис. 1, b) продольно-армированные бал- ки-стенки длиной L, имеющие прямоугольные поперечные сечения высотой 2h = const и толщиной B = const, причем max(2h, B) L R, где R - радиус кривизны срединного слоя изогнутой балки-стенки (на рис. 1, b не изображен), т. е. такие балки обладают малой кривизной. a b Рис. 1. Продольно-армированные прямолинейная (a) и искривленная (b) балки-стенки [Figure 1. Longitudinally reinforced rectilinear (a) and curved (b) wall-beams] | | С балкой связана ортогональная система координат xi такая, что цилин- дрическая поверхность x1x2 (x3 = 0) является срединной ( x3 � h), а направ- ление Ox1 - продольное. В силу малой искривленности балки-стенки стрела подъема f (см. рис. 1, b) не должна превышать 1/5 ее длины L [17], при этом метрику в плоскости Ox1x3 приближенно можно отождествить с метрикой в декартовой прямоугольной системе координат (см. рис. 1, a). Гибридная композитная балка продольно усилена N семействами волокон с плотностями армирования ωs, причем структура армирования квазиодно- родна (ωs = const, 1 � s � N ). Внешние нагрузки предполагаются заданными в плоскости Ox1x3 (рис. 1) и не зависящими от переменной x2, поэтому и ре- шение исследуемой задачи предполагается не зависящим от координаты x2, перпендикулярной плоскости рис. 1. В силу продольного армирования рассматриваемых балок-стенок для адек- ватного описания их изгибного поведения необходимо учитывать ослабленное сопротивление поперечному сдвигу [5, 6, 13, 14, 16 и др.]. С этой целью сред- нюю сдвиговую деформацию композиции ε13 аппроксимируем так [14]: 2 2 K 13 2h 13 1 2h 13 1 h2 3 13 1 (1) o (t, x) = x3 + h ε(+)(t, x ) - x3 - h ε(-)(t, x ) + h - x3 xkε(k)(t, x ), k=0 0 � x1 � L, |x3| � h, t ?: t0, x = {x1, x3}, где ε(±), ε(k) - функции продольной координаты x1 и времени t, причем ε(±) - 13 13 13 деформация поперечного сдвига на верхней и нижней (x3 = ±h) поверхностях балки-стенки, при ε(±) = 0 функция ε(0) определяет деформацию поперечно- 13 13 го сдвига в срединном слое (x3 = 0); K - целое число, которое определя- ет количество слагаемых, удерживаемых в частичной сумме; t0 - начальный момент времени. При задании K = 0 получаются соотношения, вытекающие из второго варианта теории Тимошенко [13, 16]. Согласно традиционной для балок кинематической гипотезе, изменяемо- стью перемещения u3(t, x) в направлении Ox3 пренебрегаем [11-16 и др.]: u3(t, x) = w(t, x1), 0 � x1 � L, |x3| � h, t ?: t0, (2) где w - прогиб точек отсчетной поверхности x3 = 0. Для слегка искривленных балок-стенок основные кинематические и дина- мические соотношения можно получить из соответствующих уравнений для пологих оболочек, поэтому на основании дифференциальных связей между деформациями и перемещениями (см. стр. 78 в [18]) с учетом равенств (1) и (2) в приближении Кармана получим K ( u1(t, x) = u(t, x1) - x3∂1w+ + 2 xk+1 h2 2 3 x 3 - (k) 13 x3 ( x3 + h (+) 13 h2 k=0 k + 1 k + 3 h 2 ε + o - - x3 ( x3 - h ε(-), 0 � x � L, |x | � h, t ?: t ; (3) h 2 13 1 3 0 1 K ( ε11(t, x) = ∂1u - x3∂2w+ + 2 xk+1 h2 2 3 x 3 - ∂1ε(k) + x3 ( x3 + h ∂1ε(+)- h2 13 13 k=0 k + 1 k + 3 h 2 h 2 1 13 R + 2 (∂1w) , 1 3 0 - x3 ( x3 - h ∂ ε(-) + w 1 2 0 � x � L, |x | � h, t ?: t , (4) где u1 - перемещение точек в продольном направлении; u - то же для то- чек срединного слоя x3 = 0; ∂1 - оператор частного дифференцирования по продольной координате x1. ≡ Не выписанные в (1) и (4) осредненные деформации композиции εij либо тождественно равны нулю (ε12 = ε23 0), либо однозначно определяются в процессе решения задачи, как это сделано в [13] при K = 0. 13 13 Таким образом, в соотношениях (1)- (4) неизвестны функции u, w, ε(±), ε(k) (0 � k � K), зависящие только от продольной координаты x1 и времени t. ≡ ≈ Как и в [13], предполагается, что материалы компонентов композиции од- нородны и изотропны, а их механическое поведение описывается определяю- щими уравнениями теории пластического течения с изотропным упрочнением (см. соотношения (1.6)-(1.9) в [13]). Используем равенство σ22 0, которое справедливо для рассматриваемых балок-стенок (см. рис. 1), и традицион- ную для тонкостенных элементов конструкций силовую гипотезу σ33 0 [5-7, 11-16, 18 и др.], после чего, повторяя рассуждения из [13] (см. там ра- венства (1.10)-(1.29)), получим следующие определяющие соотношения для продольно-армированного материала исследуемой балки-стенки: σ˙11 = A11ε˙11 - 2A13ε˙13, σ˙13 = -A13ε˙11 + A33ε˙13, (5) где σij - осредненные напряжения в композиции; точка означает производ- ную по времени t; коэффициенты Aij определяются по структурным фор- мулам (1.30) из [13]. На основании равенств (5) можно вычислить скорости всех силовых факторов, возникающих в балке-стенке (для разрабатываемой далее численной схемы это делать не обязательно). Средние напряжения σij должны удовлетворять уравнениям динамиче- ского равновесия элемента балки-стенки, которые в рассматриваемом здесь приближении (см. (2)) имеют вид (см. стр. 79 в [18]): ρu¨1(t, x) = ∂1(σ11 - σ13∂1w) + R-1σ13 + X1(t, x); (6) ρu¨3(t, x) = ∂1(σ13 + σ11∂1w) + ∂3σ33 - R-1σ11 + X3(t, x), 0 � x1 � L, |x3| � h, t ?: t0, (7) где ρ - объемная плотность композиции (см. первое равенство (1.39) в [13]); Xi - компоненты объемной нагрузки, действующей на армированный мате- риал (как и ρ, вычисляются по правилу простой смеси). Для получения уравнений движения балки, записанных через силовые 3 факторы, проинтегрируем равенство (6) по ее высоте с весом Bxl , а уравне- ние (7) - с весом B, тогда, учитывая приближенное равенство (2), получим1 1 11 13 13 33 ρu¨(l) = ∂1(M (l) - M (l)∂1w - lM (l-1) + lM (l-1)∂1w+ 13 13 33 33 + Bhl σ(+) - (-1)lσ(-) - Bhl σ(+) - (-1)lσ(-) ∂1w+ + R-1M (l) + X(l), 0 � l � K + 1; (8) 13 1 13 11 11 + B(σ(+) - σ(-) + X(0), 0 � x1 � L, t ?: t0, (9) 2hBρw¨ = ∂1(M (0) + M (0)∂1w - R-1M (0)+ где (l) 33 33 3 r h l Xi (t, x1) = B Xi(t, x)x3dx3, -h i3 r σ(±)(t, x1) = σi3(t, x1, ±h), ij M (l)(t, x1) = B h 3 σij(t, x)xl dx3, r -h (10) 1 u(l)(t, x1) = B h 3 u1(t, x)xl dx3, i = 1, 3. -h 11 11 Замечание 1. На основании третьих соотношений (10) получаем следую- щее: M (0) ≡ F11, M (1) ≡ M11 - продольная сила и изгибающий механический 13 момент в балке-стенке; M (0) ≡ F13 - поперечная сила; остальные силовые факторы - математические моменты высших порядков. 1При выводе уравнений (8) использовали формулу интегрирования по частям. i3 Согласно второму равенству (10), напряжения σ(±) известны из силовых граничных условий, которые задаются на верхней и нижней поверхностях балки-стенки: x3 = ±h. (Например, на рис. 1, а изображен случай, когда σ(±) > 0, σ(±) < 0). Так как высота балки предполагается много меньше ее 13 33 « длины (2h L) и в силу того что исследуется ее динамическое поведение как гибкой тонкостенной механической системы (явления типа ударных волн не рассматриваются [13]), напряжение σ33(t, x) в уравнении (7) с приемлемой для инженерных приложений точностью можно аппроксимировать линейно по переменной x3: σ(+)(t, x1) - σ(-)(t, x1) σ(+)(t, x1) + σ(-)(t, x1) σ33(t, x) = 33 33 2h x3 + 33 33 , 2 (11) 0 � x1 � L, |x3| � h, t ?: t0. Используя третье соотношение (10) (при i = j = 3) и выражение (11), вычислим в уравнениях (8) сомножитель 33 lM (l-1)(t, x1) = Bl h r 3 σ33(t, x)xl-1dx3 = -h = Bhl ( 2 (+) (-) l σ33 + σ33 (1 - (-1) )+ l + 1 33 33 + l (σ(+) - σ(-) (1 + (-1)l) , 0 � l � K + 1. (12) К уравнениям движения (8), (9) нужно присоединить два силовых граничных условия на верхней и нижней поверхностях балки-стенки (см. (1), (4), (5) и (10)): A(±)(t, x1)ε˙(±)(t, x1) - A(±)(t, x1)ε˙11(t, x1, ±h) = σ˙ (±)(t, x1), 33 13 13 13 0 � x1 � L, t ?: t0, (13) i3 ( ≡ ± где A(±)(t, x1) Ai3 t, x1, h , i = 1, 3. Правые части в (13) известны в дан- ный момент времени. 13 В случае K = 0, R-1 = 0, σ(±) = 0 и Xi = 0 уравнения (8) и (9) с учетом (10), (12) при соответствующих переобозначениях (см. замечание 1) совпадают с уравнениями движения (1.36), (1.41) и (1.43) из [13]. Для однозначного интегрирования рассматриваемой начально-краевой за- дачи необходимо задать начальные и граничные условия. Если к торцевой поверхности балки-стенки с координатой x1 = x∗1 = const приложены поверхностные нагрузки p1 и p3, то в рамках принятого здесь приближения (см. (2)) имеют место следующие силовые граничные условия: n1(x∗1)(σ11 - σ13∂1w) = p1(t, x∗1, x3), (14) n1(x∗1)(σ13 + σ11∂1w) = p3(t, x∗1, x3); (15) x∗1 = 0 и/или x∗1 = L, |x3| � h, t ?: t0, 1 +1, x∗1 = L. где n1 (x∗) = (-1, x∗1 = 0, (16) Если же в точках торцевой поверхности x1 = x∗1 заданы кинематические граничные условия, то (см. (2) и (3)) w(t, x∗1) = u∗3(t, x∗1), (17) u1(t, x∗1, x3) = u∗1(t, x∗1, x3); (18) x∗1 = 0 и/или x∗1 = L, |x3| � h, t ?: t0, ∗ ∗ ∗ где u 3 - заданный в сечении x1 = x∗1 прогиб; u 1 - заданное на торцевой поверхности x1 = x1 продольное перемещение. В момент времени t = t0 необходимо задать начальные условия (см. (2), (3)): w(t0, x1) = u03(x1), w˙ (t0, x1) = v03(x1), 0 � x1 � L; (19) u1(t0, x) = u01(x), u˙1(t0, x) = v01(x), 0 � x1 � L, |x3| � h, (20) где u01, u03 и v01, v03 - известные в начальный момент времени t0 перемеще- ния и скорости точек балки. 3 Для получения силовых граничных условий в силовых факторах (см. (8)- (10)) проинтегрируем (15) по высоте балки-стенки с весом B, а равенство (14) проинтегрируем по x3 с весами Bxl , тогда с учетом (16) будем иметь 1 1 11 13 1 x1=x∗1 n (x∗)(M (l) - M (l)∂ w 1 1 1 1 1 13 11 1 = P (l)(t, x∗) (0 < l � K + 1), 3 1 n (x∗)(M (0) + M (0)∂ w 1 = P (0)(t, x∗), (21) x1=x∗1 где x∗1 = 0 и/или x∗1 = L, t ?: t0, (l) ∗ r h ∗ l Pi (t, x1) ≡ B pi(t, x1, x3)x3dx3, j = 1, 3; (22) -h P (l), P (0) - заданные в сечении x1 = x∗ силовые факторы, причем (см. за- 1 3 1 мечание 1) P (0) и P (0) - заданные продольная и поперечная силы, а P (1) - 1 3 1 заданный изгибающий момент (см. (22)), остальные же величины в правых частях (21) (при 2 � l � K + 1) - заданные математические моменты высших порядков. Так как разложения (3) являются конечными суммами по степеням пе- ременной x3, кинематические граничные условия (18) и начальные условия ∗ (20) в общем случае не удается удовлетворить в каждой точке x балки-стенки (см. (20)) или ее торцевой поверхности x1 = x∗1 (см. (18)) при произвольных зависимостях функций u 1, u01 и v01 от переменной x3. Поэтому кинематиче- ские граничные условия (18) и начальные условия (20) по аналогии с сило- выми граничными условиями (см. (14), (15), (21) и (22)) будем удовлетворять лишь в интегральном смысле, т. е. равенства (18) и (20) проинтегрируем по 3 высоте балки-стенки с весами Bxl , после чего, учитывая последнее соотношение (10), получим u(l)(t, x∗) = u(l)(t, x∗), 0 � l � K + 1, 1 1 ∗1 1 (23) x∗1 = 0 и/или x∗1 = L, t ?: t0; u(l)(t0, x1) = u(l)(x1), u˙(l)(t0, x1) = v(l)(x1), 1 01 1 01 (24) 0 � l � K + 1, 0 � x1 � L, где (l) ∗ r h ∗ l (l) r h l r u∗1 (t, x1) ≡ B u∗1(t, x1, x3)x3dx3, u01 (x1) ≡ B -h u01(x)x3dx3, -h (25) 01 v(l)(x1) ≡ B h 3 v01(x)xl dx3, 0 � l � K + 1, 0 � x1 � L; -h u(l) и u(l), v(l) - известные функции времени t или переменной x1. ∗1 01 01 ∈ Таким образом, для однозначного интегрирования рассматриваемой на- чально-краевой задачи в каждой точке x1 [0, L] в момент времени t0 необхо- димо задать начальные условия (19), (24) с учетом обозначений (25), а в кон- цевых сечениях (x1 = x∗1 = 0, L) - силовые граничные условия (21) или ки- нематические граничные условия (17), (23) с учетом соотношений (16), (22) и (25). Возможно использование и смешанных из (17), (21), (23) граничных условий, например при свободном (шарнирном) опирании концевого сечения балки. Замечание 2. На рис. 1 изображен случай жесткого закрепления точек обеих торцевых поверхностей x∗1 = 0, L, т. е. имеют место кинематические граничные условия (17), (23) при учете (25) и u∗1 ≡ 0, u∗3 ≡ 0. 3 Проинтегрируем выражение (3) по высоте балки-стенки с весами Bxl (0 � l � K + 1), тогда с учетом последнего равенства (10) получим матричное соотношение Cε = U + W∂1w - E(+)ε(+) + E(-)ε(-), (26) где 13 13 1 1 1 1 1 (27) U = u(0), u(1), u(2), . . . , u(K), u(K+1)1Т, 13 13 13 13 ε = u, ε(0), ε(1), . . . , ε(K-1), ε(K)1Т; i × { } { } C = (cij) - (K + 2) (K + 2)-матрица, W = wi , E(±) = e(±) - (K + 2)компонентные вектор-столбцы, элементы которых вычисляются так: cl+1,1 = hl+1 B 1 + ( 1)l , w l + 1 l+1 = hl+2 B (1 - (-1)l , ( - l + 2 c =2Bhl+k+2(1-(-1)l+k 1 - 1 , el+1 = Bh 2(l + 3) ± , 0 � l � K + 1, 0 � k � K; l+1,k+2 (±) l+2 1 + (-1)l (k + 1)(l + k + 2) 1 - (-1)l l + 2 (k + 3)(l + k + 4) (28) символ Т означает операцию транспонирования. Согласно (28), элементы матрицы C и вектор-столбцов W, E(±) достаточ- но вычислить один раз, поэтому уравнение (26) удобно преобразовать к виду ε = C-1U + W¯ ∂1w - E¯ (+)ε(+) + E¯ (-)ε(-), 0 � x1 � L, (29) где 13 13 W¯ = C-1W, E¯ (±) = C-1E(±); (30) C-1 - матрица, обратная C. Если в данный момент времени t из каких-то соображений известны зна- чения функций w, ε(±), u(l) (0 � l � K +1), то на основе матричного равенства 13 1 (29) с учетом соотношений (27), (28), (30) можно определить значения функ- 13 ций u, ε(k) (0 � k � K), задающих продольное перемещение (3) и осредненные деформации композиции (1), (4) в балке-стенке. Часто динамические нагрузки, в частности взрывного типа [19-21 и др.], таковы, что на тонкостенную конструкцию действуют в основном только рас- пределенные поверхностные нормальные нагрузки типа избыточного давле- 33 ния (например, σ(±) на рис. 1), а касательными поверхностными нагрузками при этом можно пренебречь (см. рис. 1) 13 σ(±)(t, x1) = σ13(t, x1, ±h) ≈ 0, 0 � x1 � L, t ?: t0. (31) В работе [13] показано (см. там соотношения (1.31)-(1.35)), что при выполне- нии равенств (31) получаем 13 ε(±)(t, x1) = ε13(t, x1, ±h) ≈ 0, 0 � x1 � L, t ?: t0. (32) Таким образом, при задании только нормальных внешних поверхностных на- 13 грузок (см. (31)) осредненные деформации поперечного сдвига ε(±) в равен- ствах (1), (3), (4), (26), (29) известны и тождественно равны нулю.2 Метод расчета. Численное интегрирование рассматриваемой динами- ческой задачи изгиба упругопластической армированной балки-стенки будем строить на основе метода шагов по времени [11-13, 15, 19 и др.], т. е. реше- ние задачи будем разыскивать в дискретные моменты времени tn+1 = tn + τ (n = 0, 1, 2, . . .), где τ = const > 0 - шаг по времени. Предполагаем, что при t = tm уже известны значения следующих функ- ций: m m(l) (l) m(±) (±) w(x1) ≡ w(tm, x1), u1 (x1) ≡ u1 (tm, x1), σj3 (x1) ≡ σj3 (tm, x1), m(±) (±) m m(s) (s) σ˙ 13 (x1) ≡ σ˙13 (tm, x1), σ1j(x) ≡ σ1j(tm, x), σ1j (x) ≡ σ1j (tm, x), (33) m m(±) (±) Xj(x) ≡ Xj(tm, x), ε 13 (x1) ≡ ε13 (tm, x1), j = 1, 3, m = n - 1, n, 0 � l � K + 1, 0 � s � N, 0 � x1 � L, |x3| � h, где σ(s), σ(s) - напряжения в s-том компоненте композиции балки (индекс 11 13 s = 0 соответствует связующему материалу, а s = 1, 2, . . . , N - арматуре s- того семейства). Используя третье равенство в (10), согласно предположению (33), в мо- мент времени tn с учетом (12) можем вычислить все внутренние силовые ij факторы M (l), входящие в правые части уравнений (8), (9) и в силовые гра- ничные условия (21). Все производные по времени t далее будем аппроксимировать центральными разностями [11-13, 22, 23 и др.]. Согласно этому, конечно-разностные аналоги уравнений движения (8) и (9) с учетом обозначений, аналогичных (33), примут следующий вид: 2В этом случае граничные условия (13) выполняются тождественно [13]. w -2w + w 2hρ (n+1 τ 2 n n-1 ( n (0) n (0) n -1 n (0) (n (+) n (-) n (0) = ∂1 M 13 +M 11 ∂1w M 11 +B +X3 , u 1 - 2u1 + u 1 = ∂1 ρ (n+1(l) τ 2 n(l) n-1(l) ( n (l) n (l) n n (l-1) n (l-1) n -R σ33 -σ33 M 13 + Bh σ13 1) σ13 Bh σ33 1) σ33 ∂1w + X1 , + R-1 n (l) l n (+) - (- l n (-) - l n (+) - (- l n (-) n n (l) M 11 - M 13 ∂1w - lM 13 + lM 33 ∂1w+ 0 � l � K + 1, 0 � x1 � L, n = 1, 2, 3, . . . . (34) На основании соотношений (10) и (33) получаем, что правые части в урав- нениях (34) в момент времени tn известны, поэтому, добавляя к ним соответ- ствующие граничные условия (17), (21) и (23), можем вычислить по явной схеме значения неизвестных функций n+1 и n+1(l) (0 � l � K +1) при t = t . w u 1 n+1 Аппроксимируем в (13) производные по времени от деформаций централь- ными разностями, тогда с учетом обозначений, аналогичных (33), получим n (±)n+1(±) n (±)n+1 n (±) n (±)n-1(±) A33 ε 13 - A13 o 11(x1, ±h) = 2τ σ˙ 13 + A33 o 13 - - n (±)n-1 n (±) A13 o 11(x1, ±h) ≡ S13 (x1), 0 � x1 � L, (35) где, согласно (4), (29) и (33) с учетом (27), правые части, обозначенные как (±) n 1 ± 2 S13 , известны в момент времени tn. Подставим в левую часть равенства (35) выражение (4) и учтем соотношение (29), тогда после очевидных преобразо- ваний получим A13 n (±)г (+) K hk (±) (+) ( 1 ∂1 ε 13 - n+1(+) e¯k+2 ∓ h k=0 K e¯1 + - A13 e¯1 + n (±)г (-) (±) (-) ( 1 n+1(-) n (±)n+1(±) k=0 = S n (±) 13 hk e¯k+2 ± h 1 ∓ 2 ∂1 + A13 w¯1 ∓ h + n (±)гf (±) k k=0 n+1 1 ε 13 + A33 ε 13 = n+1 1 2 n+1 13 k 1 f где K+2 + l=1 c¯1,l + K k u 1 h w¯k+2 1 K k=0 ∂2 w + R-1 w + h(±) c¯k+2,l ∂ n+1(l-1) (∂1 w )2+ , 0 � x1 � L, (36) k k + 1 k + 3 h(±) = 2(±h)k+1( 1 - 1 , 0 � k � K; (37) i c¯i,j и w¯i, e¯(±) - компоненты матрицы C-1 и вектор-столбцов W¯ , E¯ (±) соот- ветственно (см. (30)). Так как значения функций n+1, n+1(l) (0 � l � K + 1) предполагаются уже w u 1 известными из уравнений (34), правые части в (36) с учетом (37) известны. При этом два равенства (36) представляют собой замкнутую относительно n+1(+) n+1(-) o 13 и ε 13 систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, для однозначного интегрирования которой необходимо задать по одному краевому условию для каждой функции n+1(+) и n+1(-). Эти краевые o 13 ε 13 ∈ - значения могут быть определены из разных соображений. Например, если в некоторой точке x1 [0, L] при x3 = h или x3 = h выполняются равенства (31), то, как уже отмечалось, из него следует равенство (32), которое может быть использовано в качестве краевого условия для n+1(+) или n+1(-). С друo 13 ε 13 гой стороны, если при t = tn+1 известно, что в некоторой точке x1 ∈ [0, L] при x3 = h или x3 = -h все материалы фаз композиции ведут себя упруго, то, как показано в [13], при этом n+1(±)(x ) = 0 и n+1(±) - удвоенный эффек- A 13 1 A 33 тивный модуль упругости второго рода рассматриваемой композиции. Но тогда имеет место соотношение n+1(±)n+1(±) n+1(±), из которого однозначно A 33 o 13 = 13 определяется требуемое краевое значение n+1(+) или n+1(-), необходимое для интегрирования системы (36), и т. д. 13 13 В случае задания нагрузки взрывного типа, когда выполняются равенства (31), функции n+1(±) однозначно определяются соотношениями (32). o 13 Следует отметить, что в тех случаях, когда необходимо интегрировать краевую задачу для системы (36), не удается построить явной численной схемы. При нагрузках же взрывного типа, когда функции n+1(±) определяются o 13 из равенств (32), можно получить явную схему (как это было сделано в [13] при K = 0, т. е. в рамках второго варианта теории Тимошенко). При исполь- зовании же первого варианта теории Тимошенко или теории, основанной на гипотезе ломаной линии, всегда можно построить явную численную схему [11, 12 и др.], но при этом нельзя удовлетворить граничные условия (13) (см. [13]). Далее предполагаем, что в момент времени t значения функций n+1(±) n+1 o 13 уже известны из (32) или из решения краевой задачи для системы уравнений (36). Используя равенство (29) с учетом выражений (28), (30) и введенных обозначений (27), при уже известных n+1, n+1(±) и n+1(l) (0 � l � K + 1) w ε 13 u 1 можно определить функции n+1, n+1(k) (0 � k � K), после чего на основании u ε 13 формул (1), (4) вычисляются значения осредненных деформаций композиции n+1 и o 11 13 в каждой точке балки-стенки в момент времени tn+1. После этоn+1 го решение рассматриваемой задачи строится так же, как подробно описано в [13] (см. там соотношения (1.48)-(1.52) и пояснения к ним). В силу самой структуры левых частей уравнений (34) для начала расчета по разрабатываемой численной схеме необходимо знание не только функций 0 0 (l) 1 1 (l) w и u1 , известных из начальных условий (19) и (24), но и w, u1 (см. (34) при n = 1). Значения этих функций можно вычислить по формуле Тейлора с учетом начальных данных (19), (24) и уравнений (8), (9) при t = t0 [23]: 1 0 0 τ 2 0 3 w(x1) = w(x1) + τ w˙ (x1) + 2 w¨(x1) + O(τ ) ≈ 0, (38) 1 (l) 0 (l) 0 (l) τ 2 0 (l) 3 u1 (x1) = u1 (x1) + τ u˙1 (x1) + 2 u¨1 (x1) + O(τ ) ≈ 0, 0 � l � K + 1. Приближенные равенства в этих соотношениях выполняются с точностью порядка τ 3, причем нулевые значения получаются в случае начальных усло- вий, соответствующих естественному состоянию балки-стенки, когда в мо- мент времени t0 она покоится (u0i ≡ 0, v0i ≡ 0; см. начальные условия (19) i3 и (20)), а внешние нагрузки отсутствуют (σ(±) ≡ 0, Xi(t0, x) ≡ 0, i = 1, 3; см. равенства (8)-(10)). · Аппроксимируя в соотношениях (34), (36) и (21) производную ∂1( ) по переменной x1 ее конечно-разностным аналогом, получим соответствующую численную схему. Если внешние поверхностные нагрузки являются взрывны- ми, т. е. имеют место равенства (31), то вместо дифференциальных уравнений выполняются соотношения (32). В этом случае после указанной дискре- тизации рассматриваемой задачи по продольной координате x1 получим яв- ную численную схему типа <крест» [11, 12] (в случае K = 0 - второй вариант теории Тимошенко - реализация этой схемы подробно описана в [13]). Необходимые условия устойчивости схемы типа <крест» вытекают из усло- вия Куранта-Фридрихса-Леви [22] и для рассматриваемой армированной балки-стенки, согласно [11, 12], определяются соотношениями (1.61)-(1.63) из [13], накладывающими ограничения на шаг по времени τ при заданном шаге ∆x1 дискретизации задачи по продольной переменной x1 и заданной высоте балки 2h. L Обсуждение результатов расчетов. В качестве конкретных при- меров исследуем поведение балок-стенок, изображенных на рис. 1, имеющих длину L = 1 м и высоту 2h = 2 см. Балки могут быть прямолинейными (см. рис. 1, a) или искривленными (см. рис. 1, b), причем их кривизна по- стоянна (R = const). В последнем случае стрела подъема балки f связана с радиусом кривизны ее срединного слоя соотношением ( L/2 +f 2 2 R = 2f , 0 � f � 5 , L « R. (39) ± ≡ Для изогнутых балок-стенок в расчетах примем f = 12 см, т. е., согласно (39), при L = 1 м такие балки действительно обладают малой кривизной [17]. Объемные нагрузки не учитываем, т. е. Xi 0, i = 1, 3 (см. (10)). Ка- сательные нагрузки на верхней и нижней поверхностях (x3 = h) балки- стенки пренебрежимо малы (см. (31)), поэтому имеют место приближенные равенства (32). Конструкция нагружается избыточным давлением, вызван- ( ным приходом взрывной волны [19]: где p(t) = pmaxt/tmax, 0 � t � tmax, pmax exp[-α(t - tmax)], t > tmax, (40) α = - ln(0.01)/(tmin - tmax) > 0, tmin » tmax, (41) - которое прикладывается к верхней (x3 = h) или нижней (x3 = h) поверх- ности балки-стенки (см. (8), (9), (12) и (34)), причем (см. рис. 1) 33 0, pmax < 0, σ(-)(t) = (-p(t), pmax > 0, σ(+)(t) = (0, pmax > 0, (42) | | | | 33 p(t), pmax < 0. Здесь tmax - момент времени, в который давление p(t) достигает по модулю максимального значения pmax ; tmin - момент времени, при котором избыточ- ное давление p(t) по модулю становится пренебрежимо малым в сравнении с pmax (так, формула (41) соответствует случаю p(tmin) = 0.01pmax). Исполь- зуя экспериментальные данные из [19, 21], в расчетах примем tmax = 0.1 мс и tmin = 2 мс. Согласно равенствам (42), при pmax > 0 давление (40) при- кладывается к нижней (вогнутой) поверхности (см. рис. 1), а при pmax < 0 - к верхней (выпуклой) поверхности балки-стенки. Балки изготовлены из эпоксидной смолы, отвержденной ароматическим аммиаком, и продольно армированы одним (N = 1) семейством стекловолок- ном марки S-994 с плотностью армирования ω1 = 0.3. Упругопластическое поведение компонентов композиции при активном нагружении аппроксимируем билинейной диаграммой [24]: σ(n) = n s s n (E ε(n), |ε(n)| � ε(n) = σ(n)/E , s s s s sign(ε(n))σ(n) + E(n)(ε(n) - sign(ε(n))ε(n) , |ε(n)| > ε(n), 0 � n � N, где σ(n), ε(n) - осевое напряжение и деформация при растяжении - сжатии где σ(n), ε(n) - осевое напряжение и деформация при растяжении - сжатии s материала n-ной фазы композиции; En, E(n) - модули Юнга и линейного s s упрочнения того же материала; σ(n), ε(n) - предел текучести и соответствующая ему деформация материала n-ного компонента композиции. Физико- механические характеристики материалов фаз рассматриваемой композиции балок-стенок приведены в таблице, где ν - коэффициент Пуассона, a - ско- рость звука, рассчитанная для каждой фазы композиции по формуле, анало- гичной (1.61) из [13]. Физико-механические характеристики материалов фаз композиции балок-стенок [25, 26] [Physical and mechanical characteristics of materials for beams-walls [25, 26]] Materials ρ, kg/m3 ν σs, MPa E, HPa Es, HPa a, m/s Epoxy Fiberglass S-994 1210 2520 0.4 0.25 20 4500 2.8 86.8 1.114 6.230 1521.2 5868.9 ≡ Концевые сечения балок-стенок жестко закреплены (см. рис. 1 и замеча- ние 2). В начальный момент времени t = t0 = 0 балки находятся в естествен- ном состоянии (см. начальные условия (19), (24) с учетом (25) при u0i 0, ≡ v0i 0, i = 1, 3), внешняя же нагрузка, согласно (40), отсутствует, поэтому имеют место равенства (38). ∈ Расчеты проводились при разбивке интервала x1 [0, L] равномерной сет- кой с шагом ∆x1 = L/100 = 1 см, шаг по времени τ принимался равным 1 мкс. Согласно такой дискретизации, для рассматриваемых балок-стенок получаем ∆x1/τ = 10 км/c и 2h/τ = 20 км/c. Обе эти величины существенно превосхо- дят значения скоростей звука a, приведенные в таблице для материалов ком- понентов композиции, поэтому данные отношения будут значительно превос- ходить скорости звука в продольном и поперечном направлениях композиции балки-стенки. Следовательно, необходимые условия устойчивости используе- мой численной схемы будут заведомо выполнены с запасом (см. (1.61)-(1.63) в [13]). ∗ - На рис. 2-4 приведены зависимости w (t) = w(t, L/2), характеризующие поперечные колебания точек центрального сечения балок (x1 = L/2), рас- считанные по второму варианту теории Тимошенко (см. рис. 2, a, рис. 3, a, рис. 4, a) и по уточненной теории при K = 7 (см. рис. 2, b, рис. 3, b, рис. 4, b). На рис. 2 изображены осцилляции центрального сечения прямолинейной бал- ки-стенки (f = 0, см. (39)) при Bpmax = 4 МН/м, а на рис. 3 и 4 - изогнутой балки (f = 12 см) при Bpmax = 5 МН/м (рис. 3) и Bpmax = 5 МН/м (рис. 4). Так как в расчетах принято tmin = 2 мс (см. (41)), при t > 2 мс колебания исследуемых балок-стенок можно рассматривать как свободные. Рис. 2. Осцилляции центрального поперечного сечения прямолинейной балки-стенки, на- груженной давлением снизу: a - расчет по второму варианту теории Тимошенко; b - рас- чет по уточненной теории [Figure 2. Oscillations of the central cross-section of a rectilinear beam-wall (f = 0, see Eq. (39)) loaded with pressure from below (Bpmax = 4 MN/m): a-calculation by the second Рис. 3. Осцилляции центрального поперечного сечения искривленной балки-стенки, нагру- женной давлением снизу: a - расчет по второму варианту теории Тимошенко; b - расчет по уточненной теории [Figure 3. Oscillations of the central cross-section of a curved beam-wall (f = 12 sm, see Eq. (39)) loaded with pressure from below (Bpmax = 5 MN/m): a-calculation by the second version of the Timoshenko’s theory; b-calculation by the refined theory] Рис. 4. Осцилляции центрального поперечного сечения искривленной балки-стенки, нагру- женной давлением сверху: a - расчет по второму варианту теории Тимошенко; b - расчет по уточненной теории [Figure 4. Oscillations of the central cross-section of a curved beam-wall (f = 12 sm, see Eq. (39)) loaded with pressure from below (Bpmax = -5 MN/m): a-calculation by the second Сравнение кривых, приведенных на рис. 2-4, показывает, что второй ва- риант теории Тимошенко (K = 0; см. (1), (3), (4)) обеспечивает приемлемую точность расчетов лишь в малой окрестности начального момента времени: до значений времени t порядка нескольких десятков микросекунд для изо- гнутых балок (см. рис. 3, 4) и до нескольких сотен микросекунд в случае прямолинейной балки (см. рис. 2). При больших временах (порядка десятых долей секунды) точность второго варианта теории Тимошенко становится неприемлемой даже для относительно невысоких композитных балок-стенок (2h/L = 1/50). Расчеты, проведенные при K ?: 8, показали, что в рассматриваемых слу- чаях используемая численная схема (см. раздел 2) неустойчива. По-видимому, это объясняется тем, что для относительно невысоких балок-стенок матрица C в соотношении (26) (см. (28)) при K ?: 8 становится плохо обу- словленной (даже при использовании двойной точности), поэтому обращение матрицы C (см. равенства (29), (30)) порождает значительные ошибки, по- следнее же обстоятельство негативно сказывается на устойчивости построен- ной численной схемы. ∗ - ∗ - ∗ Согласно (42), на рис. 2 изображены зависимости w (t) для прямоли- нейной балки-стенки, когда избыточное давление (40) прикладывается снизу (x3 = h). В этом случае изменение знака нагрузки, т. е. приложение давле- ния p(t) к верхней поверхности балки-стенки (x3 = h), приведет к тому, что кривые на рис. 2 зеркально отразятся относительно оси абсцисс w = 0. По- этому соответствующие кривые w (t) при Bpmax = 4 МН/м не изображены. Сравнение же кривых на рис. 3, a, рис. 4, a и рис. 3, b, рис. 4, b показывает, что в отличие от прямолинейных балок динамический отклик искривленных гибких балок-стенок существенно зависит от того, к какой поверхности (выпуклой или вогнутой) прикладывается избыточное давление. ∗ Поведение кривой на рис. 3, б свидетельствует о том, что при t > 60 мc происходит резкое уменьшение амплитуды колебаний изогнутой балки-стен- ки. Это объясняется механической диссипацией энергии, вызванной вторич- ной знакопеременной пластичностью, активно развивающейся с течением вре- мени в материале связующей матрицы (подобный, хотя и не столь яркий, ре- зультат ранее был получен и в [15]). Аналогичное поведение характерно и для кривой, изображенной на рис. 4, a. Однако эта зависимость была рассчитана по второму варианту теории Тимошенко (K = 0) и при t > 20 мс сильно отличается от кривой, приведенной на рис. 4, b, построенной по уточненной теории (K = 7). Поэтому зависимость w (t) на рис. 4, a нельзя признать качественно верной при t > 20 мс. В работе [13] было показано, что для построенной там (и используемой в настоящем исследовании) структурной модели в данный дискретный мо- мент времени tn в каждой точке балки-стенки (независимо от соседних то- чек) необходимо организовать итерационный процесс, аналогичный итераци- онной процедуре посадки напряженного состояния на поверхность текучести [11, 12 и др.]. Проведенные расчеты продемонстрировали, что на каждом ша- ге по времени достаточно сделать две итерации. Вторая итерация позволяет уточнить деформации в материалах фаз композиции примерно на 10 %. По- следующие итерации практически не приводят к дальнейшему уточнению решения. Заключение. Ранее в работе [13] было продемонстрировано, что первый вариант теории Тимошенко, основанный на гипотезе независимой ротации плоского поперечного сечения, непригоден для адекватного расчета упругопластического поведения относительно высоких продольно-армированных гибких балок-стенок, и там было рекомендовано использовать второй вариант теории Тимошенко, учитывающий депланацию поперечных сечений балок, а значит, являющийся более точным с точки зрения математического модели- рования. Расчеты же, проведенные в настоящем исследовании, показали, что при изучении динамического поведения продольно-армированных прямоли- нейных и искривленных балок-стенок, деформируемых упругопластически, использование второго варианта теории Тимошенко на интервалах времени, превышающих несколько десятых долей секунды, может приводить к суще- ственному отличию от решения, полученному на базе уточненной теории, даже для относительно невысоких балок. Наиболее ярко различие решений сказывается при расчете деформированного состояния в фазах композиции таких конструкций. Нелинейность рассматриваемых задач приводит к тому, что динамиче- ский отклик гибких искривленных композитных балок-стенок зависит от то- го, к какой внешней поверхности (вогнутой или выпуклой) прикладывается распределенная нагрузка взрывного типа. При этом изменяется не только амплитуда, но и частота свободных колебаний балки при снятии внешней нагрузки. Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование не имело финансирования.

About the authors

Andrei P Yankovskii

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: lab4nemir@rambler.ru
Dr. Phys. & Math. Sci.; Leading Research Scientist; Lab. of Fast Processes Physics 4/1, Institutskaya st., Novosibirsk, 630090, Russian Federation

References

Supplementary files