On a nonlocal boundary-value problem with constant coefficients for a multidimensional mixed type equation

Full Text

Введение и постановки задачи. Известно [1], что задача Дирихле для уравнения смешанного типа первого рода некорректна. Естественно возникает вопрос: нельзя ли заменить условия задачи Дирихле другими условиями, которые охватывали бы всю границу и обеспечивали корректность задачи? Впервые такие краевые задачи были предложены и изучены в работах Т. Ш. Кальменова [2, 3]. Как близкие по постановке изучаемых задач отметим также работы [4-7]. Краевые задачи с нелокальными условиями впервые возникли в работе Ф. И. Франкля при изучении газодинамической задачи об обтекании профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения [8]. В настоящей работе изучается корректность одной нелокальной краевой задачи с постоянными коэффициентами для многомерного уравнения смешанного типа первого рода второго порядка. Пусть Q = (0, T ) × ni=1 (αi , βi ) - (n + 1)-мерный параллелепипед Евклидова пространства Rn+1 точек (t, x) = (t, x1 , . . . , xn ); 0 < αi < βi < +∞ ∀i = 2, 3, . . . , n; α1 < 0 < β1 . В области Q рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка n Lu = K(x)utt - i,j=1 ∂ aij (x)uxj + α(x, t)ut + c(x, t)u = f (x, t), ∂xi (1) где x1 K(x) > 0 при x1 = 0, где x1 ∈ (α1 , β1 ), α1 < 0 < β1 . Здесь и всюду ниже предполагается, что все функции вещественнозначные и достаточно гладкие. Уравнение (1) относится к уравнениям смешанного типа первого рода, так как на знак функции K(x) по переменной x1 внутри области Q не налагается никаких ограничений [2, 9]. Предположим, что aij (x) = aji (x), aij (αk ) = aji (βk ) ∀k = 1, 2, . . . , n и ∀ξ ∈ Rn |ξ|2 = ni=1 ξi2 ; кроме этого, пусть выполнено одно из условий: n a) aij (x)ξi ξj a0 |ξ|2 , aij (x)ξi ξj a1 |ξ|2 , i,j=1 где a0 > 0 - const; n б) i,j=1 где a1 < 0 - const. Через W2l (Q) (1 l - натуральное число) обозначим пространство С. Л. Соболева со скалярным произведением ( , )l и нормой · l ; W20 (Q) = L2 (Q) - пространство квадратично-суммируемых функций. Рассматривается следующая Нелокальная краевая задача. Найти обобщенное решение уравнения (1) из пространства С. Л. Соболева W2l (Q), удовлетворяющее нелокальным краевым условиям γDtp u ηi Dxpi u t=0 xi =αi = Dtp u t=T = Dxpi u , xi =βi (2) , где p = 0, 1; γ и ηi - не равные нулю константы, i = 1, 2, . . . , n; Dtp u = Dt0 u = u. 598 (3) ∂pu ∂tp , Об одной нелокальной краевой задаче с постоянными коэффициентами. . . Пусть ν = (νt , νx1 , νx2 , . . . , νxn ) - единичный вектор внутренней нормали к границе ∂Q [10, 11], здесь νxi = cos(ν, xi ) ∀i = 1, 2, . . . , n. νt = cos(ν, t), При получении различных априорных оценок мы будем использовать неравенство Юнга σ p u2p v 2q uv + , 2p 2qσ q справедливое ∀u > 0, v > 0, σ > 0 и p > 1, q > 1 таких, что p1 + 1q = 1. Неравенство Юнга при p = q = 1 переходит в неравенство Коши с σ [11]. Определение. Слабым обобщенным решением задачи (1)-(3) будем называть функцию u(x, t) из W21 (Q), удовлетворяющую следующему интегральному тождеству: 1 (u, ϑ) ≡ exp - λt + 2 Q - n n µi xi K(x)ut ϑt - i=1 µj λ K(x)ut - 2 2 aij uxi ϑxi - i,j=1 n aij uxi + αut + cu ϑ dxdt = i,j=1 1 exp - λt + =- 2 Q n µi xi f ϑdxdt, i=1 где ϑ(x, t) ∈ W21 (Q) - любая периодическая по переменным x = (x1 , x2 , . . . , xn ) и времени t функция; λ, µ = const такие, что µ 0, а λ > 0 для случая a) и λ < 0 для случая б). 1. Единственность решения нелокальной краевой задачи. Сначала рассмотрим случай l = 2. Предположим, что коэффициенты уравнения (1) являются достаточно гладкими функциями. Теорема 1. Пусть выполнены вышеуказанные условия для коэффициентов уравнения (1); кроме этого, пусть 2a + λK(x) δ1 > 0, λc - ct δ2 > 0, где λ = T2 ln |γ| > 0 при |γ| > 1 в случае a) и λ = T2 ln |γ| < 0 при |γ| < 1 в случае б); |ηi | 1, c(x, 0) c(x, T ). Тогда для любой функции f ∈ L2 (Q), если существует обобщенное решение задачи (1)-(3) из пространства W22 (Q), то оно единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть существует обобщенное решение задачи (1)- (3) u ∈ W 22 (Q). В силу условий теоремы 1 и неравенства Коши с σ [11] из задачи (1)-(3) интегрированием легко получить следующее неравенство: n Lu exp -λt - 2 Q µi xi ut dx dt i=1 599 Д ж а м а л о в С. З. n exp -λt - (2a + λK)u2t + λaij uxi uxj + (λc - ct )u2 dx dt- µi xi Q i=1 2 0 - σ ux - µ2 σ -1 ut 20 + n exp -λt - + ∂Q K(x)u2t νt - 2aij uxi ut νxi - µi xi i=1 - aij uxi uxj νt + cu2 νt ds, (4) где 0 µi = θ2i ln |ηi |, 0 < θi = (βi - αi ), σ - коэффициент из неравенства Коши с σ [11]. Условия теоремы 1 обеспечивают неотрицательность интегралов из (4) по области Q и по границе ∂Q. Так как u ∈ W22 (Q) удовлетворяет краевым условиям (2), (3), для последнего интеграла из (4) имеем n exp -λt - ∂Q K(x)u2t νt - 2aij uxi ut νxi - µi xi i=1 - aij uxi uxj νt + cu2 νt ds = = exp(-λT )γ 2 - 1 βi αi exp(-µi xi )K(x)(u2t (x, 0) + u2xi (x, 0))dx+ T + 2 exp(-µi βi )ηi2 - exp(µi αi ) exp(-λt)uxi (-αi , t)ut (-αi , t)dt+ 0 βi + 3 exp(-µi xi ) c(x, T )exp(-λT )γ 2 - c(x, 0) u2 (x, 0)dx = αi Ji , i=1 где Ji - граничные интегралы. Учитывая условия теоремы 1, получим, что граничные интегралы J1 = 0, J2 = 0, а J3 0. Тогда из неравенства (4), отбрасывая положительный граничный интеграл, получим следующее неравенство: n Lu exp -λt - 2 ∂Q µi xi ut dx dt i=1 n exp -λt - Q µi xi 2a + λK(x) u2t + λaτ u2xi + (λc - ct )u2 dxdt- i=1 - σ uxi 2 0 - µ2 σ -1 ut 20 , (5) где aτ = a0 в случае a), aτ = a1 в случае б). Выбирая коэффициенты λaτ - σ λ0 > 0, δ1 - µ2 σ -1 > δ0 > 0, из неравенства (5) получим необходимую первую оценку1 u 1 m f 0, 1 Через m здесь и далее обозначены положительные, вообще говоря, разные постоянные в аналогичных неравенствах. 600 Об одной нелокальной краевой задаче с постоянными коэффициентами. . . из которой следует единственность обобщенного решения задачи (1)-(3) из W22 (Q) [10, 11]. 2. Уравнения третьего порядка. Для доказательства существования решения задачи (1)-(3) из W22 (Q) используем метод «ε-регуляризации» в сочетании с методом Галеркина [4, 5, 9-11]. Рассмотрим нелокальную задачу для уравнения третьего порядка ∂ 3 uε + Luε = f (x, t), ∂t3 = Dtq uε t=T , q = 0, 1, 2, Lε uε ≡ -ε γDtq uε t=0 ηi Dxpi uε x =α i i = Dxpi uε x =β , i i (6) (7) p = 0, 1, (8) q где Dtq u = ∂∂tqu , q = 0, 1, 2; Dt0 u = u; ε - достаточно малое положительное число; ηi , γ - не равные нулю константы, причем |γ| > 1 в случае a), |γ| < 1 в случае б), |ηi | 1. Уравнение третьего порядка (6) будем использовать в качестве ε-регуляризирующего уравнения для уравнения (1) [4, 5, 9, 10]. Всюду ниже через V будем обозначать класс функций uε (x, t) ∈ W22 (Q), ∂ 3 uε ∈ L2 (Q), удовлетворяющих соответствующим условиям (7), (8). ∂t3 Определение. Регулярным решением задачи (6)-(8) будем называть функцию uε (x, t) ∈ V, удовлетворяющую уравнению (6). Теорема 2. Пусть выполнены вышеуказанные условия для коэффициентов уравнения (1), кроме того, пусть 2a + λK(x) λc - ct δ1 > 0, δ2 > 0, где λ = T2 ln |γ| > 0 при |γ| > 1 в случае a) и λ = T2 ln |γ| < 0 при |γ| < 1 в случае б); |ηi | 1, c(x, 0) = c(x, T ), a(x, 0) = a(x, T ). Тогда для любой функции f, ft ∈ L2 (Q), такой, что γf (x, 0) = f (x, T ), существует единственное регулярное решение задачи (6)-(8) и для нее справедливы следующие априорные оценки: ε ε ∂ 3 uε ∂t3 ∂ 2 uε ∂t2 2 0 + uε 2 0 + uε 2 2 2 1 m f m f 2 0 2 0, + ft (9) 2 0 . (10) Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство теоремы 2 осуществляется поэтапно с применением метода Галеркина с выбором специальной базисной функции. Доказательство первой априорной оценки (9) проводится так же, как и доказательство теоремы 1, из которой следуют единственность регулярного решения задачи (6)-(8) и существование слабого решения задачи (1) [11]. Рассмотрим следующие спектральные задачи: -∆x Xj = νj2 Xj (x); Dxpi Xj x =α = Dxpi Xj x =β , p = 0, 1; i i i (11) i 601 Д ж а м а л о в С. З. -Tj (t) = τj2 Tj (t); Dtp Tj t=0 = Dtp Tj t=T , p = 0, 1. (12) Через φj (x, t) = Xj (x)Tj (t) обозначим собственные функции, как решение задачи (11), (12). Из общей теории линейных самосопряженных эллиптических операторов [11, 12] известно, что последовательность функций φj (x, t) - собственных функций задачи (11), (12), образует фундаментальную систему в W22 (Q), ортогональную в L2 (Q). C помощью этих функций построим решение вспомогательной задачи exp - 1 λt + 2 n µi x i ωjt = φj , (13) i=1 γωj (x, 0) = ωj (x, T ), (14) где γ - не равная нулю константа такая, что |γ| > 1 в случае a) и |γ| < 1 1. Очевидно, что задача (13), (14) в случае б); 0 µi = θ2i ln |ηi |, |ηi | однозначно разрешима и её решение имеет вид ωj = -1 1 φj ≡ exp 2 n t µi x i λτ φj dτ + 2 exp 0 i=1 + T 1 γ-1 exp 0 λt φj dt . 2 Ясно, что функции ωj = ωj (x, t) ∈ W22 (Q) линейно независимы. Действительно, если для какого-нибудь набора функций ωj линейная комбинация N j=1 cj ωj = 0, то при действии оператором на эту сумму имеем N N cj ωj = j=1 cj φj = 0, j=1 отсюда следует, что для всех j = 1, 2, . . . , N коэффициенты cj = 0. Отметим, что из построения функции φj (x, t) следуют следующие условия на функции ωj (x, t): γDtq ωi t=0 = Dtq ωi ηi Dxpi ωi x =α i i = , q = 0, 1, 2; t=T p Dxi ωi x =β , i i (15) p = 0, 1. (16) Теперь приближенное решение задачи (6)-(8) будем искать в виде w = N uN ε ≡ j=1 cj ωj , где коэффициенты cj для любого j = 1, 2, . . . , N определяются как решение линейной алгебраической системы Lε uN ε Q 1 exp - λt + 2 n µi xi φj dxdt = i=1 1 = f exp - λt + 2 Q 602 n µi xi i=1 φj dxdt. (17) Об одной нелокальной краевой задаче с постоянными коэффициентами. . . Покажем однозначную разрешимость алгебраической системы (17). Умножая каждое уравнение из (17) на коэффициент 2cj и суммируя по индексу j от 1 до N , c учетом задач (13), (14) из (17) получим следующее тождество: 1 Lε w exp - λt + 2 Q n wt dxdt = µi xi i=1 f exp - = Q n 1 λt + 2 wt dxdt. (18) µi xi i=1 В силу условий теоремы 2, интегрируя (18), для приближенного решения задачи (6)-(8) получим первую априорную оценку (9). Отсюда вытекает разрешимость алгебраической системы (17), ибо для нее имеет место теорема единственности решения. В частности, из оценки (9) получим существование слабого обобщенного решения задачи (1)-(3) [10, 11]. Действительно, благодаря неравенству (9) по известной теореме о слабой компактности можно заключить, что из множества функций uN можно извлечь слабо сходящуюся ε N подпоследовательность функций в W21 (Q) такую, что uεjj → u при Nj → 0, εj → 0. На основании этого и в силу единственности решения нетрудно показать, что предельная функция u ∈ W21 (Q) из тождества (17) удовлетворяет интегральному тождеству в смысле распределения: exp - (u, ϑ) = - Q 1 λt + 2 n µi xi f ϑdxdt, i=1 где ϑ(x, t) ∈ W21 (Q) - любая периодическая по переменным x = (x1 , x2 , . . . , xn ) и времени t функция [10, 11]. Перейдем к доказательству второй априорной оценки (10). Дифференцируя уравнение (13) по переменной t два раза и учитывая условие задачи (15), (16), из тождества (17), получим - 1 τj2 Lε w exp - Q 1 λt + 2 =- n µi xi i=1 1 τj2 ∂ 2 ωj dxdt = ∂t2 f exp - 1 λt + 2 Q n µi xi i=1 ∂ 2 ωj dxdt. (19) ∂t2 Умножая каждое уравнение из (19) на 2τj2 cj и суммируя по индексу j от 1 до N, c учетом условий (15), (16) из (19) получим следующее тождество: -2 Lε w exp - Q 1 λt + 2 n µi xi i=1 = -2 ∂2 w dxdt = ∂t2 f exp - Q 1 λt + 2 n µi xi i=1 ∂2 w dxdt, (20) ∂t2 603 Д ж а м а л о в С. З. где ∂2 w 1 = exp - λt + 2 ∂t 2 n λ2 ∂3w - λw + wt . tt ∂t3 4 µi xi i=1 Учитывая условия теоремы 2 и краевые условия (15), (16), после интегрирования (20) и применения неравенства Юнга получим следующее неравенство: m ft 2 0 2 0 + f ∂3w ∂t3 ε 2 0 + n exp -λt - + Q 2 2 dxdt+ 2a + λK(x) wtt + λaτ wtx i µi xi i=1 n exp -λt - + µi xi ∂Q 2 K(x)wtt + 2awt wtt - 2aτ wxi xi wtt + 2cwwtt νt - i=1 - 2aij wtt wxi t νxi ds - σ wxi t 2 0 + wtt 2 0 - c(σ) w 2 1 = J1 + J2 , (21) где σ и c(σ) - коэффициенты неравенства Юнга; J1 - интеграл по области Q, J2 - интеграл по границе ∂Q. Учитывая условие теоремы 2 и краевые условия (15), (16), получим, что J1 > 0 и J2 = 0. Пусть δ3 = min{δ1 , λaτ }. Выбирая δ3 - σ > δ0 > 0, из неравенства (21) получим вторую необходимую оценку: ∂ 3 uN ε ∂t3 ε 2 0 + uN ε tt 2 0 2 0 + uN ε xi t 2 0 m f + ft 2 0 . (22) Следовательно, полученные оценки (9), (19)-(22) позволяют выполнить предельный переход при N → ∞ и заключить, что некоторая подпоследоваk тельность uN сходится в силу единственности (теорема 1) в L2 (Q) вместе ε Nk k с производными первого порядка и производными uN ε tt , uε xi t второго порядка к искомому регулярному решению uε = uε (x, t) задачи (6)-(8), обладающему свойствами, указанными в теореме 2. В силу единственности (теорема 1) на самом деле вся последовательность {uN ε } сходится к этому решению, т. е. для функции uε в силу (22) справедливо неравенство ε ∂ 3 uε ∂t3 2 0 + uε tt 2 0 + uε xi t 2 0 m f 2 0 + ft 2 0 . (23) Далее, семейство функций {uε } (ε > 0) удовлетворяет эллиптическому уравнению n Euε ≡ - (aij uε xi )xj = f + ε i,j=1 ∂ 3 uε - K(x)uε tt - auε t - cuε = Fε ∂t3 с условиями (7), (8). Из априорной оценки (23) следует, что семейство функций {Fε } (ε > 0) равномерно ограничено в норме пространства L2 (Q), т. е. имеет место неравенство Fε 604 2 0 m f 2 0 + ft 2 0 m f 2 1. (24) Об одной нелокальной краевой задаче с постоянными коэффициентами. . . На основании априорных оценок для эллиптических уравнений [9, 11] и неравенства (24) получим uε 22 m f 21 . Объединяя неравенства (23) и (24), получим необходимую вторую априорную оценку (10). Тем самым доказана теорема 2. 3. Существование решения задачи (1)-(3). Теперь с помощью метода «ε-регуляризации» покажем разрешимость задачи (1)-(3). Теорема 3. Пусть выполнены все условия теоремы 2. Тогда обобщенное решение задачи (1)-(3) из пространства W22 (Q) существует и единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Единственность обобщенного решения задачи (1)- (3) из W22 (Q) доказана в теореме 1. Теперь докажем существование обобщенного решения задачи (1)-(3) из W22 (Q). Для этого в области Q рассмотрим уравнение (6) с краевыми условиями (7), (8) при ε > 0. Так как выполнены все условия теоремы 2, существует единственное регулярное решение задачи (6)-(8) при ε > 0 и для нее справедливы априорные оценки (9) и (10). Отсюда по известной теореме о слабой компактности [11] следует, что из множества функций {uε } (ε > 0) можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность функций в V такую, что {uεi } → u при εi → 0. Покажем, что предельная функция u(x, t) удовлетворяет уравнению (1) почти всюду. В самом деле, так как последовательность {uεi } слабо сходится в W22 (Q) и последо∂3u вательность ∂t3εi линейный, имеем (ε > 0) равномерно ограничена в L2 (Q), а оператор L - Lu - f = Lu - Luεi + εi ∂ 3 uεi ∂ 3 uεi = L(u - u ) + ε . ε i i ∂t3 ∂t3 (25) Переходя в (25) к пределу при εi → 0, получаем единственность обобщенного решение задачи (1)-(3) из W22 (Q) [9, 11]. Таким образом, теорема 3 доказана. 4. Гладкость обобщенного решения. Теперь рассмотрим более общий случай, когда l 3. Всюду ниже для простоты предполагаем, что коэффициенты уравнения (1) бесконечно дифференцируемы в замкнутой области Q. Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3, кроме того, пусть Dtp a t=0 = Dtp a t=T , Dtp c t=0 = Dtp c t=T . Тогда для любой функции f (x, t) такой, что f ∈ W2p (Q), Dtp+1 f ∈ L2 (Q), γDtp f t=0 = Dtp f t=T , p = 0, 1, 2, . . . , m - 1 существует, и притом единственное, обобщенное решение задачи (1)-(3) из пространства W2m+1 (Q), где m = 1, 2, 3, . . . Д о к а з а т е л ь с т в о. Из гладкости решения задачи (11)-(14) возникает следующее условие для приближенного решения задачи (6)-(8): ∞ w = uN ε ∈ C (Q); 605 Д ж а м а л о в С. З. γDtq w t=0 = Dtq w ηi Dxpi w x =α i i = , q = 0, 1, 2, . . . ; t=T Dxpi w x =β , i i p = 0, 1. Учитывая условия теоремы 2 при ε > 0 и нелокальные условия при t = 0, t = T , из равенства exp - λt Lε uε 2 t=T t=0 = = -ε exp - λt ∂ 3 uε λt + exp - Luε 3 2 ∂t 2 t=T t=0 = = exp - λt f (x, t) 2 t=T t=0 получим γuε ttt (x, 0) - uε ttt (x, T ) const. 0 Отсюда следует, что функция vε (x, t) = uε t (x, t) принадлежит классу V и удовлетворяет следующему уравнению: Pε vε ≡ Lε vε = ft - at uε t - ct uε = Fε . Из теоремы 2 следует, что семейство функций {Fε } равномерно ограничено в пространстве L2 (Q), т. е. Fε 0 m f 2 0 + ft 2 0 . Из условий теоремы 3 легко получить, что оператор Pε (ε > 0) удовлетворяет условиям теоремы 4, отсюда на основании оценок (9), (10) теоремы 2 для функции vε получим аналогичные оценки: ∂ 2 vε ∂t2 ∂ 3 vε ε ∂t3 ε 2 0 2 0 + vε 2 1 m f 2 0 + ft 2 0 , + vε 2 2 m f 2 1 + ftt 2 0 . Далее, функция uε удовлетворяет параболическому (или обратно параболическому) уравнению n Πuε ≡ uε t - aij uε xi xj = i,j=1 =f +ε ∂ 3 uε - K(x)uε tt - (a - 1)uε t - cuε = Φε ∂t3 с условиями (7), (8); причем Φε ∈ L2 (Q), а в силу выше доказанного семейство функций {Φε } равномерно ограничено в пространстве W22 (Q), т. е. Φε 606 2 1 m f 2 1 + ftt 2 0 m f 2 2. (26) Об одной нелокальной краевой задаче с постоянными коэффициентами. . . На основании априорных оценок для параболических уравнений [11] и неравенства (26) получим uε 2 3 m f 2 2. Аналогично доказываются неравенства uε 2 p+2 m f 2 p+1 , p = 1, 2, 3, . . . Замечание. Видно, что знак квадратичной формы в постановке задачи (1)-(3) существенной роли не играет, хотя в случае a) в класс уравнений (1) входят параболические уравнения, а в случае б) - обратно-параболические уравнения. Тем не менее для задачи (1)-(3) в обоих случаях получены аналогические результаты, которые отличаются лишь ограничением на γ: в случае a) |γ| > 1, а в случае б) |γ| < 1. Следующие примеры показывают, что ограничения на γ являются существенными и при невыполнении этих условий единственность решения задачи (1)-(3) нарушается. Пример 1. В прямоугольнике Q = (0, l) × (0, T ) рассмотрим следующую модельную задачу: P1 u ≡ ut - uxx = 0, γu(x, 0) = u(x, T ), u(0, t) = u(l, t) = 0. Решая эту задачу методом Фурье, найдем γk = exp(-λk T ) < 1, λk = 2πk/l, k = 0, 1, 2, . . . . Нетрудно проверить, что все условия теоремы 1 выполнены, но несмотря на это функции uk = Ck exp(-λk t) sin(λk x) (где Ck - произвольные постоянные) - нетривиальные решения этой краевой задачи. Пример 2. В прямоугольнике Q рассмотрим такую модельную задачу: P2 u ≡ ut + uxx = 0, γu(x, 0) = u(x, T ), u(0, t) = u(l, t) = 0. Решая эту задачу методом Фурье, убеждаемся, что нетривиальными решениями этой задачи являются функции uk = Ck exp(λk t) sin(λk x) с произвольными Ck . В этом случае γk = exp(λk T ) > 1. Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования. Благодарность. Я благодарен анонимному рецензенту за тщательное прочтение статьи и ценные замечания, а также редакционной коллегии журнала за подготовку рукописи к печати. 607

About the authors

Sirojiddin Z Dzhamalov

V. I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences

Email: siroj63@mail.ru
http://orcid.org/0000-0002-3925-5129 Cand. Phys. & Math. Sci., Professor; Senior Researcher; Dept. of Differential Equations 81, Mirzo Ulugbek st., Tashkent, 100041, Uzbekistan

References

Supplementary files