Yang-Mills equations on conformally connected torsion-free 4-manifolds with different signatures

Full Text

Введение. Исследуются уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности с нулевым кручением. Такие многообразия задаются матрицей 6 × 6 конформной связности  0  ω0 ωi 0 Ω =  ωj ηik ωjk + ηjk ωik = 0 (1) ωij -η jk ωk  , k 0 0 -ηik ω -ω0 на каждой карте некоторого атласа. Элементы этой матрицы являются пфаффовыми формами от координат карты. Индексы i, j, k, l, p, q, m, n будут в дальнейшем принимать значения 1, 2, 3, 4; ηij = 0 при i = j, а ηii = ±1. Квадратичная форма ψ = ηij ω i ω j называется угловой метрикой. Сигнатура s угловой метрики есть разность между числом положительных и отрицательных ηii . На пересекающихся картах Uα ∩ Uβ = ∅ должна быть задана матрица перехода hαβ , которая связывает матрицы конформной связности Ωα и Ωβ следующей формулой: Ωβ = (hαβ )-1 dhαβ + (hαβ )-1 Ωα hαβ . (2) Переходные матрицы h принадлежат 11-параметрической группе H4,s , которая является подгруппой стационарности конформной группы C4,s . Группа H4,s называется калибровочной группой. На каждой карте Uα матрица связности задается с точностью до калибровочного преобразования h и изменяется по закону, аналогичному (2): Ωα = h-1 dh + h-1 Ωα h. (3) С помощью калибровочного преобразования нормализации на каждой карте можно добиться ω00 = 0, что мы и будем всегда далее предполагать. Матрица конформной связности (1) порождает матрицу конформной кривизны def Φ = dΩ + Ω ∧ Ω. (4) Алгебраическая структура матрицы Φ такая же, как у Ω:  0  Φ0 Φi 0 Φ =  Φj ηik Φkj + ηjk Φki = 0. Φji -η jk Φk  , k 0 0 -ηik Φ -Φ0 (5) Из (4) и (1) с учетом ω00 = 0 имеем Φ00 = ωk ∧ ω k , Φi = dωi + ωk ∧ ωik = ∇ωi , Φj = dω j + ωkj ∧ ω k = ∇ω j , Φji = dωij + ωkj ∧ ωik + ω j ∧ ωi + η jm ηik ωm ∧ ω k = = Rij + ω j ∧ ωi + η jm ηik ωm ∧ ω k , 634 (6) Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения. . . j ω k ∧ ω l - тензор кривизны квадратичной формы ηij ω i ω j , где Rij = 12 Rikl j а Rikl - тензор Римана. Внешнее дифференцирование (4) приводит к тождествам Бианки dΦ + Ω ∧ Φ - Φ ∧ Ω ≡ 0. (7) Внешнее дифференцирование (3) дает закон преобразования матрицы конформной кривизны на карте Uα относительно калибровочных преобразований h: Φα = h-1 Φα h. (8) Из ηik можно сконструировать величину def klpq εkl ij = δ1234 ηpi ηqj , (9) klpq - символ Кронекера. Оператор Ходжа обозначается ∗ и действует где δ1234 на внешнюю 2-форму θ = aij ω i ∧ ω j по правилу 1 k l ∗θ = aij εij kl ω ∧ ω . 2 Матрицы компонент ηij = η ij для сигнатур вид    1 0 0 0 -1 0  0 1 0 0   0 1 (ηij ) = ±  , ± 0 0 1 0  0 0 0 0 0 1 0 0 (10) ±4, ±2, 0 имеют, соответственно, 0 0 1 0  0 0  , 0  1  -1 0 0 0  0 -1 0 0  .  0 0 1 0  0 0 0 1  Ненулевые компоненты εkl ij (9) имеют вид: для s = ±2 - 24 ε34 ε23 12 = -1, ε13 = 1, 14 = -1, 14 13 ε23 = 1, ε24 = -1, ε12 34 = 1; для s = ±4 - ε34 12 = 1, ε14 23 = 1, для s = 0 - 23 ε24 13 = -1, ε14 = 1, 13 12 ε24 = -1, ε34 = 1; ε34 ε24 12 = 1, 13 = 1, 14 ε23 = -1, ε13 24 = 1, ε23 14 = -1, ε12 34 = 1. (11) (12) 2-форма θ называется автодуальной (антиавтодуальной), если ∗θ = θ (∗θ = -θ). Для s = ±2 имеем ∗2 = -id, а для s = ±4; 0 будет ∗2 = id. Это различие приводит к тому, что в случаях s = ±4; 0 существуют ненулевые автодуальные и антиавтодуальные 2-формы, а в случае s = ±2 их нет. Уравнением Янга-Миллса на 4-многообразии называется уравнение, аналогичное тождеству Бианки (7): d ∗ Φ + Ω ∧ ∗Φ - ∗Φ ∧ Ω = 0. (13) 2-формы Φj , компоненты матрицы (5), образуют геометрический объект, так как при преобразованиях (8) 2-формы Φj выражаются только через Φj . 635 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. Он называется кручением [1, стр. 169]. Мы изучаем уравнения Янга-Миллса только при нулевом кручении Φj = 0, (14) так как при ненулевом кручении они слишком сложные. При нулевом кручении 2-форма Φ00 также становится геометрическим объектом, который мы называем зарядом. В работе [2] уравнения Янга-Миллса изучались только при сигнатуре s = 2. При s = -2 все результаты идентичны. Но при сигнатурах s = ±4; 0 ввиду наличия автодуальных (антиавтодуальных) 2-форм некоторые результаты оказываются существенно другими. В частности, в [2] было доказано, что когда тензор Вейля угловой метрики ηij ω i ω j равен нулю или когда угловая метрика эйнштейнова, электромагнитное поле (то есть заряд Φ00 = 21 b[ij] ω j ∧ ω i ) при s = 2 равно нулю. В настоящей статье мы эти результаты усиливаем, вычислив всю матрицу кривизны. При нулевом тензоре Вейля уравнения Янга-Миллса (13) выполняются только в случае нулевой матрицы кривизны, Φ = 0. А в случае эйнштейновой метрики матрица кривизны вычисляется только через тензор Вейля, подтверждая тем самым, что электромагнитное поле равно нулю. При s = ±4; 0 уравнения Янга-Миллса в случае нулевого тензора Вейля или эйнштейновой угловой метрики имеют решения с ненулевым тензором заряда b[ij] . В случае нулевого тензора Вейля вся матрица кривизны вычисляется через заряд, причем она автодуальна или антиавтодуальна, а уравнения Янга-Миллса сводятся к уравнениям Максвелла на компоненты тензора заряда b[ij] . В случае эйнштейновой метрики матрица Φ вычисляется через тензор заряда и тензор Вейля. При этом 2-формы Φ00 и Φi автодуальны или антиавтодуальны. Но вся матрица кривизны этим условиям не удовлетворяет. Отметим, что (анти)автодуальность на римановых 4-многообразиях изучалась многими авторами с разных точек зрения [3-5]. 1. Уравнения Янга-Миллса. Подробная запись уравнений Янга-Миллса (13) в пространстве без кручения, при Φj = 0, такова: d ∗ Φ00 - ∗Φk ∧ ω k = 0, ∗Φ00 ∧ ω i - ∗Φik ∧ ω k = 0, ∇ ∗ Φi + ωk ∧ ∗Φki - ∗Φ00 ∧ ωi = 0, ∇ ∗ Φji + ω j ∧ ∗Φi - ηin η jm ∗ Φm ∧ ω n = 0. (15) В [2] была доказана главная формула пространства Янга-Миллса (многообразия конформной связности без кручения, в котором выполнены уравнения Янга-Миллса) при s = 2: 1 Φq . (16) ∗Φji = εjp 2 iq p Эта формула верна и для всех остальных сигнатур, доказательство аналогичное. Как и в статье [2], с помощью (16) можно показать, что система (15) при любой сигнатуре эквивалентна dΦ00 = 0, ∧ ω - ∗Φjk ∧ ω k = 0, Φi + ωk ∧ ∗Φki - ∗Φ00 ∧ ωi = ∗Φ00 ∇∗ 636 d ∗ Φ00 = 0, (17) j (18) 0. (19) Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения. . . Компонентная запись уравнений (18) имеет вид [2, стр. 438] Φij + b[ij] = 0, (20) где def Φij = Φkijk , def Φji = 1 j k Φ ω ∧ ωl , 2 ikl def ωi = bik ω k , def b[ij] = bij - bji . (21) Из (6)4 и (21) следует Φij = Rij - 2bij - bηij , def k - тензор Риччи квадратичной формы угловой метрики ψ = где Rij = Rijk def = ηij ω i ω j , b = η ij bij , поэтому равенство (20) можно переписать в виде Rij = b(ij) + bηij , def b(ij) = bij + bji , (22) что представляет собой уравнения Эйнштейна. Свертка (22)1 с η ij дает R = = 6b. Таким образом, (18) - уравнения Эйнштейна, а (17) - уравнения Максвелла. Пространства конформной связности без кручения, где Φ00 = 0 и выполняется условие (20), Картан назвал нормальными [1, стр. 178]. Для уравнений (19) в [2, стр. 444] была получена компонентная запись p η mn -b(ij)|mn + b(pm) R(ij)n + 2b[im] b[jn] - 2bb(ij) + b|(ij) - 2Qηij = 0, def где Q = η ij η mn bim bjn . Эта формула также верна для любых сигнатур. Так как в силу (22) величины b(ij) выражаются только через тензор Риччи квадратичной формы угловой метрики ψ, для физических применений эту формулу целесообразно переписать, оставив слева только слагаемые, выражающиеся через ψ: 1 p η mn b(mp) R(ij)n - b(ij)|mn + b|(ij) - 2bb(ij) - η pq η mn b(pm) b(qn) ηij = 2 1 pq mn = ηij η η b[pm] b[qn] - 2η mn b[im] b[jn] . (23) 2 Здесь слева стоит тензор Баха Bij квадратичной формы угловой метрики ψ, а справа - тензор энергии-импульса внешней 2-формы Φ00 = 21 b[ij] ω j ∧ ω i , который мы определили по аналогии с тензором энергии-импульса для электромагнитного поля [6, формула 33,1]. Другая форма записи для тензора Баха: Bij = 2 ∇k ∇k Pij - ∇k ∇i Pkj + 2P kl Cikjl , (24) где Cikjl - тензор Вейля, def Pij = 1 1 1 Rηij - Rij = - b(ij) 12 2 2 (25) (использовали (22) и R = 6b). Если тензор энергии-импульса обозначить через Tij , то уравнение (23) (то же, что и (19)) запишется в виде Bij = Tij . (26) 637 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. 2. Уравнения Янга-Миллса при нулевом тензоре Вейля. Всякий кососимметрический тензор Fij в псевдоевклидовом пространстве с метрическим тензором ηij может быть записан в виде  0 E1 E2 E3 0 -H3 H2   -E1 . (Fij ) =  -E2 H3 0 -H1  -E3 -H2 H1 0  (27) По аналогии с электромагнитным полем тензором энергии-импульса кососимметрического тензора Fij назовем def Tij = 1 ηij F pq Fpq - 2η pq Fip Fjq . 2 (28) При сигнатуре s = ±2 элемент T11 имеет, соответственно, вид T11 = ∓ (E1 )2 + (E2 )2 + (E3 )2 + (H1 )2 + (H2 )2 + (H3 )2 . Отсюда ясно, что из Tij = 0 (при всех i, j) следует Fij = 0. Но для других сигнатур это не так. Рассмотрим 2-форму 1 F = Fij dxi ∧ dxj , 2 где x1 , x2 , x3 , x4 - координаты псевдоевклидова пространства, а Fij задаются формулой (27). Лемма. Для сигнатур s = ±4; 0 тензор Tij обращается в нуль тогда и только тогда, когда 2-форма F = 21 Fij dxi ∧ dxj автодуальна или антиавтодуальна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Выпишем все Tij (28) при s = 4 (ηii = η ii = 1): T11 T22 T33 T44 T12 T14 T24 = - (E1 )2 - (E2 )2 - (E3 )2 + (H1 )2 + (H2 )2 + (H3 )2 , = - (E1 )2 + (E2 )2 + (E3 )2 + (H1 )2 - (H2 )2 - (H3 )2 , = (E1 )2 - (E2 )2 + (E3 )2 - (H1 )2 + (H2 )2 - (H3 )2 , = (E1 )2 + (E2 )2 - (E3 )2 - (H1 )2 - (H2 )2 + (H3 )2 , = 2 (E2 H3 - E3 H2 ) , T13 = 2 (E3 H1 - E1 H3 ) , = (E1 H2 - E2 H1 ) , T23 = 2 (H1 H2 - E1 E2 ) , = 2 (H1 H3 - E1 E3 ) , T34 = 2 (H2 H3 - E2 E3 ) . Отсюда нетрудно убедиться, что равенство Tij = 0 при всех i, j возможно только при E1 = H1 , E2 = H2 , E3 = H3 , = ±1. С помощью (10) и (11) убеждаемся, что ∗F = ±F. При s = -4 вычисления идентичные, т. к. компоненты Tij отличаются лишь знаком. 638 Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения. . . При s = 0 (η11 = η22 = -1, а η33 = η44 = 1) будем иметь T11 T22 T33 T44 T12 T14 T24 = (E1 )2 - (E2 )2 - (E3 )2 - (H1 )2 + (H2 )2 + (H3 )2 , = (E1 )2 + (E2 )2 + (E3 )2 - (H1 )2 - (H2 )2 - (H3 )2 , = (E1 )2 + (E2 )2 - (E3 )2 - (H1 )2 - (H2 )2 + (H3 )2 , = (E1 )2 - (E2 )2 + (E3 )2 - (H1 )2 + (H2 )2 - (H3 )2 , = 2 (E2 H3 - E3 H2 ) , T13 = 2 (E3 H1 + E1 H3 ) , = -2 (E1 H2 + E2 H1 ) , T23 = 2 (H1 H2 + E1 E2 ) , = 2 (H1 H3 + E1 E3 ) , T34 = 2 (E2 E3 - H2 H3 ) . Если все Tij = 0, то E1 = H1 , E2 = - H2 , E3 = - H3 , = ±1. С помощью (10) и (12) снова убеждаемся, что ∗F = ±F, что и доказывает лемму. Применим этот результат для решений уравнений Янга-Миллса (17)-(19) на 4-многообразии конформной связности при равенстве нулю тензора Вейля Cikjl = 0. В этом случае квадратичная форма ψ = ηij ω i ω j угловой метрики конформно евклидова. Путем калибровочного преобразования перенормировки она может быть преобразована в евклидову квадратичную форму. Следовательно, ее тензор Римана Rikjl станет нулевым. Значит, нулевым будет и тензор Баха (24). Поэтому уравнение Янга-Миллса (26) сведется к Tij = 0, где Tij - тензор энергии-импульса тензора b[ij] , компонент 2-формы (6)1 Φ00 = ωi ∧ ω i = 21 b[ij] ω j ∧ ω i . (29) Отсюда в случае сигнатуры s = ±2, как мы показали в начале этого раздела, следует, что b[ij] = 0, т. е. Φ00 = 0. Так как Rij = 0, в силу (22) b(ij) = 0. Поэтому все bij = 0, следовательно, ωi = bik ω k = 0. Из (6)2,4 с учетом j Rij = 12 Rikl ω k ∧ ω l = 0 следует, что Φi = Φji = 0. Поэтому все элементы матрицы кривизны (5) равны нулю, и уравнения (17)-(19) удовлетворяются тривиальным образом. Итак, доказана Теорема 1. В случае равенства нулю тензора Вейля Cikjl = 0 и при сигнатурах s = ±2 уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности выполняются только при нулевой матрице кривизны. Теперь исследуем пространства Янга-Миллса при нулевом тензоре Вейля для остальных сигнатур s = ±4; 0. В этих случаях тензор Баха снова будет нулевым, и поэтому уравнение (23) сведется к Tij = 0, где Tij - тензор энергии-импульса тензора b[ij] , компонент 2-формы Φ00 = 21 b[ij] ω j ∧ ω i . Но теперь из Tij = 0 не вытекает равенство Φ00 = 0, а, согласно лемме, следует лишь, что ∗Φ00 = ±Φ00 . (30) Величины bij уже не нулевые, а лишь кососимметричные, т. е. b(ij) = 0, bij = 12 b[ij] . Из (6)4 с учетом Rij = 0 получим Φji = ω j ∧ ωi + η jm ηik ωm ∧ ω k = bik ω j ∧ ω k + η jm ηik bmp ω p ∧ ω k . 639 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. Таким образом, все элементы матрицы Φ (5) конформной кривизны выражаются через компоненты bij = 21 b[ij] 2-формы заряда Φ00 : Φ00 = bij ω j ∧ ω i , Φji = bik ω j ∧ ω k + η jm ηik bmp ω p ∧ ω k , Φ i = ωi = bij ω j = bij|k ω k ∧ ω j . (31) Последнее равенство следует из (6)3 и (14). Покажем, что из равенства (30) вытекает такое же равенство и для всей матрицы кривизны ∗Φ = ±Φ. (32) Доказательство одинаковое как для сигнатур s = ±4, так и для сигнатуры s = 0. Из (31)1 и b(ij) = 0 следует Φ00 = -2 b12 ω 1 ∧ ω 2 + b13 ω 1 ∧ ω 3 + b14 ω 1 ∧ ω 4 + + b23 ω 2 ∧ ω 3 + b24 ω 2 ∧ ω 4 + b34 ω 3 ∧ ω 4 . Будем для определенности считать, что s = ±4 и ∗Φ00 = Φ00 . Тогда, согласно (11), ∗ Φ00 = -2 b12 ω 3 ∧ ω 4 - b13 ω 2 ∧ ω 4 + b14 ω 2 ∧ ω 3 + + b23 ω 1 ∧ ω 4 - b24 ω 1 ∧ ω 3 + b34 ω 1 ∧ ω 2 . В компонентах ∗Φ00 = Φ00 означает, что b23 = b14 , b34 = b12 , b24 = -b13 , (33) тогда Φ00 = -2 b12 ω 1 ∧ ω 2 + b13 ω 1 ∧ ω 3 + b14 ω 1 ∧ ω 4 + + b14 ω 2 ∧ ω 3 - b13 ω 2 ∧ ω 4 + b12 ω 3 ∧ ω 4 . (34) Так как выполняются уравнения Максвелла (17) dΦ00 = 0, это приводит к следующим соотношениям на компоненты b12 , b13 и b14 : b12|3 - b13|2 + b14|1 = 0, b13|4 - b14|3 + b12|1 = 0, b12|4 - b14|2 - b13|1 = 0, b14|4 + b13|3 + b12|2 = 0. (35) Покажем, например, что ∗Φ1 = Φ1 . В силу (31)3 Φ1 = b12|1 ω 1 ∧ ω 2 + b13|1 ω 1 ∧ ω 3 + b14|1 ω 1 ∧ ω 4 + b13|2 - b12|3 ω 2 ∧ ω 3 + + b14|2 - b12|4 ω 2 ∧ ω 4 + b14|3 - b13|4 ω 3 ∧ ω 4 . Из (10) и (11) имеем ∗ Φ1 = b12|1 ω 3 ∧ ω 4 - b13|1 ω 2 ∧ ω 4 + b14|1 ω 2 ∧ ω 3 + b13|2 - b12|3 ω 1 ∧ ω 4 - - b14|2 - b12|4 ω 1 ∧ ω 3 + b14|3 - b13|4 ω 1 ∧ ω 2 . 640 Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения. . . В силу равенств (35) получаем ∗Φ1 = Φ1 . Аналогично доказывается ∗Φi = Φi для любых i. Докажем теперь, что ∗Φji = Φji . Формула (16) в подробной записи дает ∗Φ21 = Φ43 , ∗Φ31 = -Φ42 , ∗Φ41 = Φ32 , ∗Φ32 = Φ41 , ∗Φ42 = -Φ31 , ∗Φ43 = Φ21 . (36) Из (31)2 и (33) имеем Φ21 = b13 ω 2 ∧ ω 3 + b14 ω 2 ∧ ω 4 - b14 ω 1 ∧ ω 3 + b13 ω 1 ∧ ω 4 , Φ43 = b13 ω 1 ∧ ω 4 + b14 ω 2 ∧ ω 4 - b14 ω 1 ∧ ω 3 + b13 ω 2 ∧ ω 3 , т. е. Φ21 = Φ43 . Отсюда в силу (36) получим ∗Φ21 = Φ21 и ∗Φ43 = Φ43 . Аналогично проверяются все остальные равенства ∗Φji = Φji . Итак, доказана формула (32) и Теорема 2. В случае равенства нулю тензора Вейля Cikjl = 0 и при сигнатурах s = ±4; 0 уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности имеют только автодуальные или антиавтодуальные решения, ∗Φ = ±Φ, причем вся матрица кривизны Φ вычисляется только через компоненты b[ij] 2-формы заряда Φ00 = 21 b[ij] ω j ∧ ω i . Уравнения Янга-Миллса (13) при условии (32) выполняются автоматически вследствие тождеств Бианки (7), поэтому уравнения Янга-Миллса сводятся к условиям дуальности, имеющим вид (33) и (35), на шесть кососимметричных функций bij (при сигнатуре s = 0 или антиавтодуальности матрицы Φ уравнения (33) и (35) заменяются аналогичными, получить которые не составляет никакого труда; мы их не записываем). 3. Автодуальные и антиавтодуальные решения уравнений Максвелла в евклидовом и псевдоевклидовом (сигнатура 0) 4-мерном пространстве. В предыдущем разделе мы доказали, что система уравнений Янга-Миллса (17)-(19) при сигнатуре угловой метрики s = ±4 и нулевом тензоре Вейля сводится к уравнениям (35) на три коэффициента 2-формы заряда Φ00 , заданной (34). Мы откалибровали квадратичную форму ψ = ηij ω i ω j угловой метрики на каждой карте так, чтобы она стала евклидовой на любой карте. Далее, уже локально, в окрестности фиксированной точки можно выбрать такие координаты u1 , u2 , u3 , u4 , чтобы формы Кристоффеля ωij стали нулевыми и ω i = dui . Тогда в уравнениях (35) ковариантные производные заменятся обычными частными производными по координатам. Полагая b12 = E1 , b13 = E2 , b14 = E3 , перепишем эти уравнения в виде ∂E1 ∂E2 ∂E3 - + = 0, ∂u3 ∂u2 ∂u1 ∂E1 ∂E2 ∂E3 - - = 0, ∂u4 ∂u1 ∂u2 ∂E1 ∂E2 ∂E3 + - = 0, ∂u1 ∂u4 ∂u3 ∂E1 ∂E2 ∂E3 + + = 0. ∂u2 ∂u3 ∂u4 (37) Напомним, что (37) является просто компонентной записью уравнения Максвелла (17) dΦ00 = 0, где 2-форма Φ00 - автодуальная, ∗Φ00 = Φ00 , поэтому второе уравнение (17) совпадает с первым. Таким образом, решения уравнений (37) дают нам все автодуальные решения уравнений Максвелла в евклидовом 4-мерном пространстве. Система (37) переопределенная, поэтому 641 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. в первую очередь надо убедиться в ее разрешимости. Удобнее исходить из уравнения dΦ00 = 0, которое в подробной записи исходя из (34) имеет вид dE1 ∧ du1 ∧ du2 + du3 ∧ du4 + dE2 ∧ du1 ∧ du3 - du2 ∧ du4 + + dE3 ∧ du1 ∧ du4 + du2 ∧ du3 = 0. (38) Имеем одно внешнее уравнение 3-го порядка на три искомые функции. Согласно стандартной схеме исследования внешних систем уравнений (см. [7]), обозначая за si число внешних уравнений порядка i, где i = 1, 2, 3, 4, для числа Картана Q получаем Q = s1 + 2s2 + 3s3 + 4s4 = 3. Число N всех параметров также равно 3. Поэтому Q = N, следовательно, уравнение (38) в инволюции, и решения уравнения (38) существуют с произволом в одну функцию трех аргументов. Система (37) аналогична системе уравнений Коши-Римана для голоморфной функции одной комплексной переменной. Аналогия, во-первых, состоит в том, что как у голоморфной функции вещественная и мнимая части гармоничны, так и функции E1 , E2 , E3 , удовлетворяющие (37), также гармоничны. Действительно, дифференцируя первое уравнение по u3 , второе - по u1 , третье - по u4 , четвертое - по u2 и складывая, получим ∂ 2 E1 (∂u1 )2 + ∂ 2 E1 (∂u2 )2 + ∂ 2 E1 (∂u3 )2 + ∂ 2 E1 (∂u4 )2 = 0. Аналогично доказывается гармоничность функций E2 и E3 . Во-вторых, голоморфную функцию можно восстановить с точностью до константы, зная вещественную и мнимую части. Это же верно и для системы (37). Зная одну из функций E1 , E2 , E3 , остальные две определяются через нее с некоторым произволом, который мы оценим. Покажем, как восстановить функции E1 и E2 , зная гармоническую функцию E3 . В этом случае уравнение (38) не будет в инволюции, так как Q = 3, N = 2, поэтому уравнение (38) надо продолжать. Но короче получится, если исходить из системы (37). Умножим первое уравнение на du3 , второе - на du1 , третье - на du4 , четвертое - на du2 и сложим: dE1 - ∂E2 3 ∂E2 4 ∂E2 1 ∂E2 2 du - du + du + du + ∂u2 ∂u1 ∂u4 ∂u3 ∂E3 3 ∂E3 4 ∂E3 1 ∂E3 2 + du - du - du + du = 0. (39) ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂u4 Дифференцируя это уравнение внешне и приравнивая к нулю коэффициенты перед dui ∧ duj , получим пять дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка на функцию E2 . Но в силу предположенной 642 Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения. . . гармоничности функции E3 из них независимых только четыре: ∂ 2 E3 ∂ 2 E2 ∂ 2 E3 ∂ 2 E2 + , = - + ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂u4 (∂u1 )2 (∂u3 )2 ∂ 2 E2 ∂ 2 E2 ∂ 2 E3 ∂ 2 E3 = - + + , (∂u2 )2 (∂u3 )2 ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂u4 ∂ 2 E2 ∂ 2 E3 ∂ 2 E3 ∂ 2 E2 = - - + , (∂u1 )2 (∂u4 )2 ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂u4 ∂ 2 E2 ∂ 2 E2 ∂ 2 E3 ∂ 2 E3 = - + + . ∂u4 ∂u2 ∂u3 ∂u1 ∂u1 ∂u4 ∂u3 ∂u2 (40) Легко проверить, что равенства ∂ 2 E2 ∂ ∂u2 ∂u1 ∂u2 ∂ 2 E2 ∂ ∂u4 ∂u1 ∂u2 ∂ ∂ 2 E2 , ∂u1 (∂u2 )2 ∂ ∂ 2 E2 = , ∂u1 ∂u4 ∂u2 = ∂ 2 E2 ∂ ∂ 2 E2 ∂ = , ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 (∂u1 )2 ∂ ∂ 2 E2 ∂ 2 E2 ∂ = ∂u4 (∂u2 )2 ∂u2 ∂u4 ∂u2 совпадают, соответственно, с производной ∂u∂ 3 от 4-го уравнения (40), ∂u∂ 4 от 4-го уравнения, ∂u∂ 3 от 3-го уравнения и ∂u∂ 3 от 1-го уравнения. Следовательно, система (40) пассивная. Согласно принципу экономии начальных условий (см. [7]), параметрическая часть функции E2 получается из ее разложения в степенной ряд по степеням ui - ui0 , i = 1, 2, 3, 4, путем вычеркивания членов, делящихся на (u1 - u10 )2 , (u2 - u20 )2 , (u1 - u10 )(u2 - u20 ), (u2 - u20 )(u4 - u40 ), и имеет вид f1 (u3 , u4 ) + (u1 - u10 ) · f2 (u3 , u4 ) + (u2 - u20 ) · f3 (u3 ), где f1 , f2 , f3 - произвольные аналитические функции своих аргументов. Итак, система (40) имеет единственное решение E2 (u1 , u2 , u3 , u4 ) при следующих начальных условиях: E2 (u10 , u20 , u3 , u4 ) = f1 (u3 , u4 ), ∂E2 1 2 3 4 (u , u , u , u ) = f2 (u3 , u4 ), ∂u1 0 0 ∂E2 1 2 3 4 (u , u , u , u ) = f3 (u3 ). ∂u2 0 0 Найдя функцию E2 , из уравнения (39) находим функцию E1 с точностью до константы. Тот факт, что одну из функций E1 , E2 , E3 можно взять произвольной гармонической, позволяет получить большое число конкретных решений системы (37). Например, положим E3 = const. Тогда система (37) примет вид ∂E1 ∂E2 - = 0, ∂u3 ∂u2 ∂E1 ∂E2 + = 0, ∂u1 ∂u4 ∂E1 ∂E2 - = 0, ∂u4 ∂u1 ∂E1 ∂E2 + = 0. (41) ∂u2 ∂u3 Функции E1 и E2 удовлетворяют условиям Коши-Римана как по переменным u4 , u1 , так и по переменным u3 , u2 . Отсюда следует, что для любых 643 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. голоморфных функций f (u3 + i · u2 ) и g(u4 + i · u1 ), где i - мнимая единица, система (41) будет иметь решение E1 (u1 , u2 , u3 , u4 ) = Re f + Re g, E2 (u1 , u2 , u3 , u4 ) = Im f + Im g. (42) Понятно, что формулы (42) не дают общего решения системы (41), это просто пример. Если 2-форма Φ00 - антиавтодуальная и s = ±4, то уравнение Максвелла 0 dΦ0 = 0 сводится к следующей системе дифференциальных уравнений ∂E1 ∂E2 ∂E3 - - = 0, ∂u3 ∂u2 ∂u1 ∂E1 ∂E2 ∂E3 - + = 0, ∂u1 ∂u4 ∂u3 ∂E1 ∂E2 ∂E3 + - = 0, ∂u4 ∂u1 ∂u2 ∂E1 ∂E2 ∂E3 + + = 0. ∂u2 ∂u3 ∂u4 (43) У этой системы все три функции E1 , E2 , E3 гармонические. Другие свойства такие же, как у системы (37) для автодуальной формы Φ00 . Обратимся теперь к сигнатуре s = 0. Если ∗Φ00 = Φ00 , то Φ00 = -2 E1 ω 1 ∧ ω 2 + E2 ω 1 ∧ ω 3 + E3 ω 1 ∧ ω 4 - - E3 ω 2 ∧ ω 3 + E2 ω 2 ∧ ω 4 + E1 ω 3 ∧ ω 4 . Уравнение dΦ00 = 0 проводит к системе ∂E1 ∂E2 ∂E3 - - = 0, ∂u3 ∂u2 ∂u1 ∂E1 ∂E2 ∂E3 + - = 0, ∂u1 ∂u4 ∂u3 ∂E1 ∂E2 ∂E3 - - = 0, ∂u4 ∂u1 ∂u2 ∂E1 ∂E2 ∂E3 + - = 0. ∂u2 ∂u3 ∂u4 (44) Дифференцируя первое уравнение по u3 , второе - по u4 , третье - по u1 , четвертое - по u2 и складывая первое с четвертым и вычитая второе и третье, получим ∂ 2 E1 ∂ 2 E1 ∂ 2 E1 ∂ 2 E1 + - - = 0. (∂u3 )2 (∂u2 )2 (∂u1 )2 (∂u4 )2 Этому же уравнению удовлетворяют и функции E2 и E3 . Обратим внимание, что квадратичная форма псевдометрики имеет другие знаки: ψ = - du1 2 - du2 2 + du3 2 + du4 2 . (45) Как и система (37), система уравнений (44) совместна и допускает решение с произволом в одну функцию трех аргументов. Отметим, что каждая из систем (37) и (43) симметрична относительно перестановок функций E1 , E2 , E3 , а система (44) - нет. Например, если положить E3 = const, то система (44) совпадет с (41), а поэтому будет иметь место и решение (42). Но если положить E2 = const, то получится совсем другая система дифференциальных уравнений в частных производных: ∂E1 ∂E3 - = 0, ∂u3 ∂u1 644 ∂E1 ∂E3 - = 0, ∂u4 ∂u2 ∂E1 ∂E3 - = 0, ∂u1 ∂u3 ∂E1 ∂E3 - = 0. ∂u2 ∂u4 Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения. . . Примером ее решения может служить следующая пара функций: E1 (u1 , u2 , u3 , u4 ) = f (u1 + u3 )+ + g(u1 - u3 ) + h(u2 + u4 ) + p(u2 - u4 ), E3 (u1 , u2 , u3 , u4 ) = f (u1 + u3 )- - g(u1 - u3 ) + h(u2 + u4 ) - p(u2 - u4 ), (46) где f, g, h, p - произвольные дифференцируемые функции от одной переменной. Такого решения не может иметь система (41). Наконец, при условии антиавтодуальности ∗Φ00 = -Φ00 система (44) заменится на ∂E1 ∂E2 ∂E3 ∂E1 ∂E2 ∂E3 - + = 0, - - = 0, 3 2 1 ∂u ∂u ∂u ∂u4 ∂u1 ∂u2 (47) ∂E1 ∂E2 ∂E3 ∂E1 ∂E2 ∂E3 - + = 0, - - = 0. ∂u1 ∂u4 ∂u3 ∂u2 ∂u3 ∂u4 На этот раз каждая из функций Ei удовлетворяет уравнению - ∂ 2 Ei (∂u1 )2 - ∂ 2 Ei (∂u2 )2 + ∂ 2 Ei (∂u3 )2 + ∂ 2 Ei (∂u4 )2 = 0. У этого уравнения знаки слагаемых такие же, как у псевдометрики (45). При E3 = const система (47) имеет решения, аналогичные (46), а при E2 = const - аналогичные (41) (с точностью до нумерации координат и искомых функций). 4. Уравнения Янга-Миллса для случая угловой метрики, конформной метрике Эйнштейна. Пусть теперь квадратичная форма ηij ω i ω j угловой метрики конформна метрике Эйнштейна. Калибровочным преобразованием перенормировки мы добьемся, чтобы угловая метрика удовлетворяла уравнению Эйнштейна Rij = κηij . (48) Из уравнения (22) с учетом R = 6b найдем 1 b(ij) = κηij . 3 (49) 1 Pij = - κηij . 6 (50) Из формулы (25) получаем Учитывая свойство тензора Вейля η mn Cimjn = 0, из формул (50) и (24) получаем для тензора Баха Bij = 0. Отсюда в силу (26) для тензора энергииимпульса заряда Φ00 получаем Tij = 0. Как мы уже показали, при сигнатуре s = ±2 и сам заряд равен нулю: Φ00 = 0, (51) ∗Φ00 = ±Φ00 . (52) а при сигнатурах s = ±4; 0 будет 645 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. В случае s = ±2 из (51) и (29) следует b[ij] = 0 и (49) превращается в 1 bij = κηij . 6 (53) Как известно, из (48) следует, что κ = const, поэтому из (31)3 , (53) и (14) имеем 1 1 Φi = bij ω j = κηij ω j = κηij Φj = 0. 6 6 Структурная формула для основного тензора 1 Φijmn = Cijmn + ηij ◦ b[mn] , 2 (54) доказанная в [8, cтр. 400], в силу b[ij] = 0 сводится к равенству Φijmn = Cijmn . Итак, при s = ±2 и условии (48) уравнения Янга-Миллса (17)-(19) равносильны (51) и (53). Следовательно, в матрице кривизны Φ не равны нулю лишь внешние 2-формы Φji , которые выражаются только через тензор Вейля. Иначе говоря, это нормальное пространство Картана с нулевым тензором Баха. Равенство нулю тензора Баха есть критерий выполнимости в нормальном пространстве Картана уравнений Янга-Миллса при любой сигнатуре метрики. Но из равенства нулю тензора Баха не следует конформности угловой метрики ψ метрике Эйнштейна (см. [9]). Совсем другая ситуация возникает при сигнатурах s = ±4; 0. В этих случаях вместо (51) выполняется (52). Заряд Φ00 уже может быть ненулевым. Основной тензор выражается через тензор Вейля и заряд по формуле (54). Имеем также c помощью (49) 1 1 1 1 def ωi = bij ω j = b(ij) ω j + b[ij] ω j = κηij ω j + b[ij] ω j . 2 2 6 2 Первое слагаемое при внешнем ковариантном дифференцировании дает нуль, поэтому для внешних 2-форм Φi из (31) получаем Φi = ωi = 1 2 1 b[ij] ω j = b[ij]|k ω k ∧ ω j . 2 Теми же вычислениями, что и в разделе 2, убеждаемся, что из (52) следует ∗Φi = ±Φi . Однако для 2-форм Φji равенства ∗Φji = ±Φji не выполняются. В самом деле, если мы в соответствии с формулой (54) введем 2-формы 1 σij = Cijmn ω m ∧ ω n , 2 1 βij = ηij ◦ b[mn] ω m ∧ ω n , 4 то легко показать, что ∗βij = ±βij (знак ± один и тот же для всех индексов i, j). Но для выполнения равенства ∗σij = ±σij нет никаких оснований, так как уравнения Янга-Миллса не меняют алгебраическую структуру тензора Вейля. При выполнении уравнений Янга-Миллса тензор Вейля имеет 646 Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения. . . то же число существенных компонент, 10, что и без уравнений Янга-Миллса. Но автодуальные (антиавтодуальные) решения уравнений Янга-Миллса приводят к существенному ограничению на тензор Вейля, т. к. останется только 5 существенных компонент. Итак, для сигнатур s = ±4; 0 и угловой метрики, конформной метрике Эйнштейна, уравнения Янга-Миллса выполняются, только если: 1) ∗Φ00 = ±Φ00 ; 2) Φi выражаются через Φ00 и тоже удовлетворяют условиям ∗Φi = ±Φi ; 3) Φji выражаются через тензор Вейля и заряд по формуле (54). Выводы. Уравнения Янга-Миллса (13) на 4-многообразиях конформной связности без кручения независимо от сигнатуры угловой метрики ηij ω i ω j распадаются на три группы уравнений. Первые две группы уравнений - это уравнения Эйнштейна (22) и уравнения Максвелла (17). Третья группа уравнений (26) представляет собой равенство тензора Баха (24) квадратичной формы ηij ω i ω j и тензора энергии-импульса (28) кососимметричного тензора заряда b[ij] . Если пространство конформной связности имеет кручение, то не возникает никаких отдельных групп уравнений, и уравнения Янга-Миллса представляют собой очень сложную систему из 60 дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных на 60 неизвестных функций от 4 локальных координат. Авторам пока неизвестно ни одно частное решение уравнений Янга-Миллса в пространстве конформной связности с кручением. Напротив, в пространстве без кручения при наличии определенных упрощающих условий можно привести некоторые решения уравнений Янга-Миллса в явном виде. Одним из таких упрощающих условий является требование (анти)автодуальности ∗Φ = ±Φ. Если при сигнатуре Минковского s = ±2 у уравнений Янга-Миллса имеются только тривиальные (анти)автодуальные решения, соответствующие нулевой матрице кривизны Φ = 0, то при других сигнатурах существуют и нетривиальные решения, когда Φ = 0. В данной статье доказывается (анти)автодуальность матрицы кривизны Φ в случае равенства нулю тензора Вейля (теорема 2), а также устанавливается связь между (анти)автодуальностью некоторых компонент матрицы кривизны Φ и эйнштейновостью метрики ηij ω i ω j . Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Leonid N Krivonosov

Nizhny Novgorod State Technical University

Email: l.n.krivonosov@gmail.com
http://orcid.org/0000-0002-3533-9595 Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics 24, Minina st., Nizhnii Novgorod, 603600, Russian Federation

Vyacheslav A Luk’yanov

Nizhny Novgorod State Technical University

Email: oxyzt@ya.ru
http://orcid.org/0000-0002-7294-0232 Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics 24, Minina st., Nizhnii Novgorod, 603600, Russian Federation

References

Supplementary files