A boundary value problem for a third order hyperbolic equation with degeneration of order inside the domain

Full Text

Введение. В евклидовой плоскости точек (x, y) рассматривается уравнение вида uy - auxx - buxxy , y > 0, 0= (1) (-y)m uxx - uyy - c(-y)(m-2)/2 ux , y < 0, где a, b, m - заданные положительные числа; |c| m/2; u = u(x, y) - искомая действительная функция независимых переменных x и y. Уравнение (1) при y > 0 совпадает с уравнением Аллера [1]: ∂ ∂u ∂2u ∂u = a +b , ∂y ∂x ∂x ∂x∂y (2) а при y < 0 - с вырождающимся гиперболическим уравнением первого рода [2]: (-y)m uxx - uyy - c(-y)(m-2)/2 ux = 0. (3) Уравнение (2) относят к уравнениям псевдопарабролического типа [3], хотя оно является уравнением гиперболического типа. При определенных допущениях уравнение (2) описывает движение влаги в капиллярно-пористых средах [4] и его решение «интерпретируется как влажность почвы с коэффициентом диффузии a и коэффициентом влагопроводности b в точке x почвенного слоя 0 x r в момент времени y ∈ [0, T ]» [5]. Изучению краевых задач для уравнений третьего порядка псевдопараболического типа, в частности для уравнения Аллера, посвящены такие работы, как [6-12]. Уравнение (3) является уравнением гиперболического типа и при m = 2 его называют уравнением Бицадзе-Лыкова [13-15]. При c = 0 уравнение (3) переходит в уравнение Геллерстедта, которое находит применение к отыскании оптимальной формы плотины прорези [16]. В работах [17, 18] были изучены первая и вторая задачи Дарбу для уравнения (3). Исследованию различных краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений посвящены работы [2, 19-22]. Постановка задачи и полученный результат. Пусть Ω+ = {(x, y) : 0 < x < r, 0 < y < T }. Через Ω- обозначим область, ограниченную характеристиками уравнения (3): A0 C : x - 2 (-y)(m+2)/2 = 0, m+2 Ar C : x + 2 (-y)(m+2)/2 = r, m+2 выходящими из точек A0 = (0, 0), Ar = (r, 0) и пересекающимися в точке C = r/2, -[(m + 2)r/4]2/(m+2) , и отрезком A0 Ar = {(x, 0) : 0 < x < r}. Пусть B0 = (0, T ), Br = (r, T ) и A0 B0 = {(0, y) : 0 < y < T }, Ar Br = {(r, y) : 0 < y < T }; Ω = Ω+ ∪ Ω- ∪ (A0 Ar ). 652 Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка. . . Определение. Регулярным в области Ω решением уравнения (1) назовем функцию u = u(x, y) такую, что u ∈ C(Ω)∩C 1 (Ω)∩C 2 (Ω- ), uxx , uxxy ∈ C(Ω+ ), uxx (x, 0), uxxy (x, 0) ∈ L1 (A0 Ar ), и удовлетворяющую уравнению (1). Исследуется следующая Задача. Найти регулярное в области Ω решение уравнения (1) из класса ux ∈ C(A0 B0 ∪ Ar Br ), удовлетворяющее следующим условиям: ux (0, y) = ν(y), 0 y T, ux (r, y) = νr (y), 0 y T, u|CAr = hr (x), r/2 x r, (4) (5) (6) где ν(y), νr (y) ∈ C 1 [0, T ], hr (x) ∈ C 3 [0, r]. Имеет место следующая Теорема. Регулярное решение задачи (4)-(6) для уравнения (1) существует и оно единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Единственность решения. Положим u(x, 0) = ϕ(x), 0 x uy (x, 0) = ψ(x), 0 < x r, r. (7) (8) Из (2), переходя к пределу при y → +0 с учетом (7) и (8), находим функциональное соотношение между функциями ϕ(x) и ψ(x), принесенное из области Ω+ на линию y = 0, в виде ψ(x) - aϕ (x) - bψ (x) = 0. (9) Проинтегрировав равенство (9) дважды в пределах от x до r, получим x aϕ(x)+bψ(x)- (x-ξ)ψ(ξ)dξ = aϕ(r)+bψ(r)-(r-x) aϕ (r) + bψ (r) . (10) r Пользуясь формулой нахождения производной по заданному направлению [23, п. 184], запишем следующую формулу для функции hr (x): hr (x) = uy (x, y)yx + ux (x, y), ∀(x, y) ∈ CAr . (11) Для любых точек (x, y) ∈ CAr из (11) получаем uy (x, y) = hr (x) - ux (x, y) m+2 (r - x) 2 m/(m+2) . (12) Так как uy (x, 0) ∈ L1 (A0 Ar ), из формулы (12) верно, что uy (r, 0) = ψ(r) = 0. Тогда с учетом условий согласования ϕ(r) = hr (r), ϕ (r) = νr (0), ψ (r) = νr (0) равенство (10) можно переписать в виде ϕ(x) = 1 -2 b b D ψ(ξ) - ψ(x) + hr (r) - (r - x) νr (0) + νr (0) . a rx a a (13) 653 М а к а о в а Р. Х. γ Через Drx обозначим оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля по переменной x порядка γ с началом в точке r и с концом в точке x, определяемый следующим образом [16]: sign(x - r) Γ(-γ) γ Drx v(ξ) = x r v(ξ)dξ , |x - ξ|γ+1 γ Drx v(ξ) = v(x), dn γ-n D v(ξ), dxn rx где Γ(z) - гамма-функция Эйлера. Рассмотрим интеграл n γ Drx v(ξ) = sign(x - r) γ = 0; γ ∈]n - 1, n], n = 1, 2, . . . , r I= γ < 0; r u(x, 0)uy (x, 0)dx = ϕ(x)ψ(x)dx. 0 (14) 0 Из (13) и (14) при однородных краевых условиях (4)-(6) получим I= r 1 a -2 ψ(x)Drx ψ(ξ)dx - 0 b ψ(x) 20 , a (15) r где f 2 0 f 2 (x)dx - норма в L2 [0, r]. = 0 Интеграл, стоящий в правой части равенства (15), перепишем в виде r -2 (ψ, Drx ψ)0 = r (ξ - x)ψ(ξ)dξdx = ψ(x) 0 x r = ξ ψ(ξ)dξ 0 0 -2 ψ)0 , (ξ - x)ψ(x)dx = (ψ, D0x откуда находим r -2 (ψ, D0x ψ)0 = r (r - x)ψ(x)dx 0 r 0 2 x ψ(x)dx - ψ(ξ)dξ 0 dx, (16) 0 r где (f, g)0 = f (x)g(x)dx - скалярное произведение в пространстве L2 [0, r]. 0 Далее проинтегрируем уравнение (2) по переменной x в пределах от 0 до r. С учетом (4) и (5) имеем r r uy (x, y)dx = 0 0 ∂ ∂u ∂2u a +b dx = aνr (y) + bνr (y) - aν(y) - bν (y). ∂x ∂x ∂x∂y Отсюда, когда условия (4) и (5) однородные, находим r uy (x, y)dx = 0, 0 654 0 y T. (17) Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка. . . Следовательно, из (16) с учетом условия (17) получаем оценку -2 ψ, Drx ψ 0 -2 = ψ, D0x ψ 2 x =- 0 ψ(ξ)dξ 0 0, 0 при использовании которой из (15) следует неравенство I=- b ψ(x) a 2 0 - 2 x 1 a ψ(ξ)dξ 0 0. (18) 0 Для того чтобы получить соотношение между ϕ(x) и ψ(x), принесенное из области Ω- на линию y = 0, выпишем решение задачи Коши (7), (8) для уравнения (3) [2]: u(x, y) = 1 2 (-y)(m+2)/2 (2t - 1) tβ-1 (1 - t)α-1 dt+ m + 2 0 1 y 2 + ψ x+ (-y)(m+2)/2 (2t - 1) × B(1 - α, 1 - β) 0 m+2 m × t-α (1 - t)-β dt, |c| < ; (19) 2 1 B(α, β) ϕ x+ 2 (-y)(m+2)/2 + m+2 1 2y 2 + ψ x+ (-y)(m+2)/2 (2t - 1) (1 - t)-β dt, m+2 0 m+2 u(x, y) = ϕ x + 2 (-y)(m+2)/2 + m+2 1 2y 2 + ψ x+ (-y)(m+2)/2 (1 - 2t) (1 - t)-α dt, m+2 0 m+2 c= m ; (20) 2 c=- m , (21) 2 |c| < m ; (22) 2 u(x, y) = ϕ x - где α= m - 2c , 2(m + 2) β= m + 2c , 2(m + 2) а B(γ, z) - бета-функция. Учитывая условие (6), перепишем (19)-(21) в виде hr r+x (r - x)1-α-β Γ(β) -β = Drx (r - ξ)α-1 ϕ(ξ) - 2 B(α, β) Γ(1 - α) m + 2 2/(m+2) α-1 - Drx (r - ξ)-β ψ(ξ) , B(1 - α, 1 - β) 4 hr r+x 1 m+2 = ϕ(r) - 2 2 4 -β -1 Drx (r - ξ)-β ψ(ξ) , c= m ; 2 (23) 655 М а к а о в а Р. Х. hr r+x Γ(1 - α) m + 2 = ϕ(x) - 2 2 4 -α α-1 Drx ψ(ξ), c=- m . 2 (24) Для любой функции v(x) ∈ L1 [0, r] справедливы следующие свойства дробного интегро-дифференцирования с одинаковыми началами [13]: α1 -β1 α1 -β1 v(ξ), Drx Drξ v(s) = Drx 0 < α1 β1 ; β1 α1 +β1 α1 v(s) = |x - r|β1 Drx |ξ - r|α1 v(ξ), Drx |ξ - r|α1 +β1 Drξ β1 < 0, 0 α1 < 1, с применением которых из (22)-(24) функция ψ(x) выражается следующим образом: d2 1-α-β (r - x)β 1-α r+ξ m Drx ϕ(ξ) - Drx hr , |c| < ; d1 d1 2 2 β (r - x) m r+x ψ(x) = - , c= ; hr 2d3 2 2 1 1-α r+ξ m 1 1-α , c=- , ψ(x) = Drx ϕ(ξ) - Drx hr d4 d4 2 2 ψ(x) = (25) (26) (27) где m+2 4 d1 = - α - β) , Γ(1 - β) 2/(m+2) Γ(2 d2 = Γ(α + β) , Γ(α) 1 m + 2 -β 1 m + 2 -α , d4 = Γ(1 - α). 2 4 2 4 Подставляя найденные значения (25)-(27) функции ψ(x) при hr (x) = 0, из (14) имеем: d3 = I= d2 d1 r 1-α-β ϕ(x)Drx ϕ(ξ)dx, 0 I = 0, I= 1 d4 c= r |c| < m ; 2 m ; 2 1-α ϕ(x)Drx ϕ(ξ)dx, (28) (29) c=- 0 m . 2 (30) Известно [24], что для любой абсолютно непрерывной на [0, r] функции v(x) при v(r) = 0 справедливо неравенство γ v(x)Drx v(ξ) 1 γ 2 D v (ξ), 2 rx 0<γ 1. Тогда с учетом (31) и представления γ 2 Drx v (ξ) = - из (28) и (30) имеем 656 1 Γ(1 - γ) r x 2v(ξ)v (ξ) dξ (ξ - x)γ (31) Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка. . . I r d2 2d1 1-α-β 2 Drx ϕ (ξ)dx = 0 = I 1 2d4 d2 2d1 Γ(α + β) r 1-α 2 Drx ϕ (ξ)dx = 0 r xα+β-1 ϕ2 (x)dx 0, |c| < 0 r 1 2d4 Γ(α) xα-1 ϕ2 (x)dx c=- 0, 0 m ; (32) 2 m . 2 (33) Таким образом, из (32) и (33) получаем, что I 0. С другой стороны, из (18) имеем, что I 0. Следовательно, I = 0 при -m/2 c < m/2 , которое имеет место тогда и только тогда, когда ϕ(x) = 0. Тогда, как видно из (25) и (27), функция ψ(x) = 0. При c = m/2 из (18) и (29) следует, что ψ(x) = 0, и тогда из (13) получаем, что и ϕ(x) = 0. При этом из формул (19)-(21) имеем u(x, y) ≡ 0 в области Ω- . В области Ω+ задача для уравнения (1) совпадает со второй краевой задачей для уравнения Аллера, решение которого выписывается в виде [25]: r ϕ(ξ) - bϕ (ξ) G(x, y; ξ, 0)dξ+ u(x, y) = 0 y + G(x, y; r, η) aνr (η) + bνr (η) dη- 0 y - G(x, y; 0, η) aν(η) + bν (η) dη, (34) 0 где G(x, y; ξ, η) = 1 2 + r r ∞ n=1 1 aµn exp - (y - η) × 1 + bµn 1 + bµn πn √ √ × cos ( µn ξ) cos ( µn x) , µn = r 2 . При однородных условиях (4), (5) и (7) из представления (34) находим, что u(x, y) ≡ 0 в области Ω+ . Таким образом, однородная задача соответствующая задаче (4)-(6) для уравнения (1), имеет только тривиальное решение, откуда следует единственность регулярного решения исследуемой задачи. Существование решения. Перейдем к доказательству существования решения исследуемой задачи. Из (22)-(24) верно, что ϕ(x) = d1 α+β-1 D ψ(ξ)+ d2 rx (r - x)1-α β r+ξ + Drx (r - ξ)α+β-1 hr d2 2 -1 ϕ(r) = d3 Drx (r - ξ)-β ψ(ξ) + hr r+x , 2 , c= |c| < m ; 2 m ; (35) 2 (36) 657 М а к а о в а Р. Х. α-1 ϕ(x) = d4 Drx ψ(ξ) + hr r+x , 2 c=- m . 2 (37) Исключая функцию ϕ(x) из (13) и соотношений (35)-(37), относительно функции ψ(x) получим следующие равенства: 1 -2 m ad1 α+β-1 Drx ψ(ξ) - Drx ψ(ξ) = fβ (x), |c| < ; bd2 b 2 r+x (r - x)β m hr ψ(x) = - , c= ; 2d3 2 2 1 -2 m a α-1 Drx ψ(ξ) - Drx ψ(ξ) = f0 (x), c = - , ψ(x) + bd4 b 2 ψ(x) + (38) (39) (40) где fβ (x) = a a hr (r) - (r - x) νr (0) + νr (0) - b b a(r - x)1-α β r+ξ - Drx (r - ξ)α+β-1 hr bd2 2 . С учетом равенства γ Drγ r-x ψ(ξ) = D0x ψ(r - ξ), γ<0 после замены x на (r - x), когда ψ(r - x) = q(x) и fβ (r - x) = w(x), из (38) получим ad1 α+β-1 1 -2 q(x) + q(ξ) - D0x q(ξ) = w(x). (41) D bd2 0x b Уравнение (41) представляет собой уравнение Вольтерра второго рода типа свертки. Следовательно, при w(x) ∈ L1 [0, r] оно имеет единственное решение. В силу представления оператора дробного интегрирования перепишем уравнение (41) в виде q(x) + ad1 1 q(x) ∗ x-α-β - q(x) ∗ x = x ∗ W (x) . bd2 b (42) x Здесь f (x)∗g(x) = f (x-ξ)g(ξ)dξ - свертка функций f (x) и g(x); W (x) = 0 2 w(ξ). = D0x Пусть Q(p) и W ∗ (p) являются изображениями функций q(x) и W (x) по Лапласу: q(x) Q(p), W (x) W ∗ (p). Применяя преобразование Лапласа, из (42) находим Q(p) = W ∗ (p) , ∆(p)p2 где ∆(p) = 1 + 658 ad1 1 - 2. 1-α-β bp bd2 p (43) Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка. . . Так как при достаточно больших значениях p имеет место равенство ∞ 1 , ∆(p) e-∆(p)t dt = 0 равенство (43) можно переписать в виде ∞ e-∆(p)t ∗ W (p)dt. p2 Q(p) = 0 (44) Найдем обратное преобразование Лапласа к уравнению (44). Для этого -γ воспользуемся известной формулой xk-1 φ(γ, k; zxγ ) p-k ezp [26]: ∞ q(x) = e-t W (x) ∗ φ 1 - α - β; 1; - 0 где ∞ φ(γ, k; t) = n=0 ad1 1-α-β 1 ∗ φ 2; 1; tx2 tx bd2 b dt, (45) tn n!Γ(nγ + k) - функция Райта. Воспользовавшись обозначениями, введенными в работе [27]: ∞ Gkn ≡ Gkn (x; λ1 , . . . , λn ; γ1 , . . . , γn ) = 0 k Sn (x; λ1 t, . . . , λn t; γ1 , . . . , γn ) e-t Snk (x; λ1 t, . . . , λn t; γ1 , . . . , γn )dt, = (h1 ∗ h2 ∗ · · · ∗ hn )(x), n hi = hi (x) = xki -1 φ(γi , ki ; λi txγi ), i = 1, 2, . . . , n; k= ki , i=1 решение (45) можно переписать в виде ∞ ψ(r - x) = q(x) = ad1 1 t, t; 1 - α - β, 2 dt = bd2 b x ad1 1 , ; 1 - α - β, 2 dξ. = W (ξ)G22 x - ξ; - bd2 b 0 e-t W (x) ∗ S22 x; - 0 Таким образом, переобозначив в последнем равенстве (r - x) через x и выполнив подстановку t = r - ξ под знаком интеграла, получим r-x ad1 1 , ; 1 - α - β, 2 dξ = bd2 b r ad1 1 = fβ (t)G22 t - x; - , ; 1 - α - β, 2 dt. (46) bd2 b x w (ξ)G22 r - x - ξ; - ψ(x) = 0 При β = 0 из (46) получаем решение уравнения (40) в виде x f0 (t)G22 t - x; - ψ(x) = r ad1 1 , ; 1 - α, 2 dt. b b (47) 659 М а к а о в а Р. Х. Из (13), (35) и (37) при подстановке формул (39), (46) и (47) функция ϕ(x) находится однозначно. Следовательно, после нахождения функций ϕ(x) и ψ(x) решение задачи (4)-(6) для уравнения (2) в области Ω+ находится по формуле (34), а в области Ω- решение задачи Коши для уравнения (3) выписывается по одной из формул (19)-(21). Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Ruzanna Kh Makaova

Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardin-Balkar Scientific Centre of RAS

Email: makaova.ruzanna@mail.ru
http://orcid.org/0000-0003-4095-2332 Junior Researcher; Dept. of Mixed Type Equations 89 a, Shortanova st., Nal’chik, 360000, Russian Federation

References

Supplementary files