The Dirichlet problem for a three-dimensional equation of mixed type with three singular coefficients

Full Text

Постановка задачи. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа [1, 2] является не всегда корректно поставленной в смысле Адамара.1 Поэтому поиск смешанных областей, в которых задача Дирихле была бы корректно поставленной, представляет интерес для многих исследователей. Многочисленные работы (см., например, библиографию к [3], а также работы [4-10], опубликованные в последнее время), посвященные данной проблеме, преимущественно затрагивают двумерные задачи. Трехмерные задачи рассматриваются в работах [11-14], при этом задача Дирихле для трехмерных уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами до сих пор остается малоизученной. В настоящей работе рассматривается трехмерное уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами: uxx + (sgn y)uyy + uzz + 2α 2β 2γ ux + uy + uz = 0, x |y| z (1) для которого задача Дирихле исследуется в параллелепипеде Ω = {(x, y, z) : 0 < x < 1, -a < y < b, 0 < z < 1}, a > 0, b > 0. Здесь u = u(x, y, z) - неизвестная функция; параметры α, β, γ ∈ R\{0}, причем -∞ < α < 1/2, -1/2 < β < 1/2, -∞ < γ < 1/2. Уравнение (1) в области Ω принадлежит смешанному типу: уравнение в области Ω+ = Ω ∩ {y > 0} принадлежит эллиптическому типу, а в области Ω- = Ω ∩ {y < 0} - гиперболическому типу. Плоскости x = 0, y = 0 и z = 0 являются плоскостями сингулярности коэффициентов уравнения. Среди них y = 0 - плоскость изменения типа уравнения. Рассмотрим следующую задачу и исследуем ее однозначную разрешимость. ¯ ∩ C 2 (Ω+ ∪ Ω- ), удовлетвоЗадача D. Найти функцию u(x, y, z) ∈ C(Ω) + - ряющую в области Ω ∪ Ω уравнению (1), краевым условиям u(0, y, z) = u(1, y, z) = 0, -a y b, 0 z 1; u(x, y, 0) = u(x, y, 1) = 0, -a y b, 0 x 1; u(x, b, z) = f (x, z), 0 x 1, 0 z 1; u(x, -a, z) = g(x, z), 0 x 1, 0 z 1, (2) (3) (4) (5) и условию склеивания lim (-y)2β uy (x, y, z) = lim y 2β uy (x, y, z), y→-0 y→+0 0 < x < 1, 0 < z < 1, (6) где f (x, z), g(x, z) - заданные непрерывные функции. 1 Во многих работах отмечается, что интерес к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа возник после работы Ф. И. Франкля [1], где впервые обращено внимание на то, что задачи трансзвуковой газовой динамики сводятся к уравнениям этого типа, а А. В. Бицадзе в работе [2] показал, что задача Дирихле для уравнения uxx + (sgn y)uyy = 0 поставлена некорректно. 666 Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа . . . 1. Построение собственных функций. Сначала найдем нетривиальные решения задачи (1), (2), (3), (6). С этой целью, разделив переменные по формуле u(x, y, z) = W (x, z)Q(y), из уравнения (1) получим 2β Q (y) - λQ(y) = 0, -a < y < b; |y| 2α 2γ Wxx + Wzz + Wx + Wz + λW = 0, 0 < x < 1, 0 < z < 1, x z (sgn y)Q (y) + (7) (8) где λ - константа разделения. Учитывая однородные краевые условия (2) и (3), для уравнения (8) получим задачу на собственные значения в квадрате Π = {(x, z) : 0 x 1, 0 z 1} со следующими краевыми условиями: W (0, z) = W (1, z) = 0, W (x, 0) = W (x, 1) = 0, 0 0 z x 1; 1. Путем разделения переменных W (x, z) = X(x)Z(z) эта задача сводится к двум задачам на собственные значения: 2α X (x) + µX(x) = 0, x X(0) = 0, X(1) = 0; 2γ Z (z) + Z (z) + (λ - µ)Z(z) = 0, z Z(0) = 0, Z(1) = 0, X (x) + (9) (10) (11) (12) где µ - константа разделения. Из уравнения (9), произведя замену √ X(x) = (t/ µ)1/2-α p(t), √ где t = µx, получим уравнение Бесселя [15, § 3.1]: t2 p (t) + tp (t) + t2 - (1/2 - α)2 p(t) = 0. (13) Принимая во внимание вид общего решения [15, § 3.1] уравнения (13) и введенные обозначения, получим общее решение уравнения (9) в виде √ √ X(x) = d1 x1/2-α J1/2-α ( µx) + d2 x1/2-α Y1/2-α ( µx). (14) Здесь d1 и d2 - произвольные постоянные, Jl (x) и Yl (x) - функция Бесселя порядка l первого и второго рода [15, §§ 3.1, 3.5] соответственно. Из (14) следует, что решение уравнения (9), удовлетворяющее первому из условий (10), существует при α < 1/2 и оно определяется равенством √ X(x) = d1 x1/2-α J1/2-α ( µx). (15) Подставляя (15) во второе из условий (10), получим условия существования нетривиального решения задачи (9), (10): √ J1/2-α ( µ) = 0. (16) 667 У р и н о в А. К., К а р и м о в К. Т. Известно, что при l > -1 функция Бесселя Jl (z) имеет счетное число нулей, причем все они вещественны и с попарно противоположными знаками [15, § 15.23]. Так как 1/2 - α > 0, уравнение (16) имеет счетное число вещественных корней. Обозначая через σn - n-ный положительный корень уравнения (16), получим значения параметра µ, при которых существуют нетривиальные решения задачи (9),(10), т. е. ее собственные значения: µn = σn2 , n ∈ N. Полагая в (15) µ = µn , n ∈ N и d1 = 1, получим нетривиальные решения (собственные функции) задачи (9), (10): Xn (x) = x1/2-α J1/2-α (σn x), n ∈ N. (17) Теперь перейдем к исследованию задачи (11), (12). Методом, примененным при решении задачи (9), (10), найдем общее решение уравнения (11) в виде Z(z) = d3 z 1/2-γ J1/2-γ ( λ - µn z) + d4 z 1/2-γ Y1/2-γ ( λ - µn z), (18) где d3 и d4 - произвольные постоянные. Подставляя (18) в краевые условия (12), имеем d4 = 0 и J1/2-γ ( λ - µn ) = 0. (19) Учитывая, что γ < 1/2 и обозначая через δm - m-ный положительный корень уравнения (19), получим значения параметра λ, при которых существуют нетривиальные решения задачи (11),(12): 2 λnm = σn2 + δm , n, m ∈ N. Полагая в (18) λ = λnm , n, m ∈ N, d3 = 1 и d4 = 0, получим нетривиальные решения (собственные функции) задачи (11), (12) в виде Zm (z) = z 1/2-γ J1/2-γ (δm z), m ∈ N. (20) Полагая в уравнении (7) λ = λnm , найдем общее решения этого уравнения при y > 0 и y < 0:  √ 1/2-β I a y ( λnm y)+  nm 1/2-β  √  1/2-β  +bnm y K1/2-β ( λnm y), y > 0; Qnm (y) = √  cnm (-y)1/2-β J1/2-β [ λnm (-y)]+   √  +dnm (-y)1/2-β Y1/2-β [ λnm (-y)], y < 0. (21) Здесь n, m ∈ N; anm , bnm , cnm и dnm - произвольные постоянные, Iω (z) и Kω (z) - модифицированные функции Бесселя порядка ω первого и третьего рода [15, § 3.7] соответственно. 668 Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа . . . Подставляя (17), (20), (21) в равенство u(x, y, z) = X(x)Q(y)Z(z), получим нетривиальные в области Ω решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям (2) и (3):  1/2-α 1/2-β 1/2-γ x y z z)×   √J1/2-α (σn x)J1/2-γ (δm√   × anm I1/2-β ( λnm y) + bnm K1/2-β ( λnm y) , y > 0; unm =  x1/2-α (-y)1/2-β z 1/2-γ   √ J1/2-α (σn x)J1/2-γ (δm √z)×  × cnm J1/2-β [ λnm (-y)] + dnm Y1/2-β [ λnm (-y)] , y < 0. Теперь подберем постоянные anm , bnm , cnm и dnm так, чтобы для функций unm (x, y, z) выполнялись условия склеивания (6) и условие u(x, -0, z) = u(x, +0, z). (22) Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что равенство (22) выполняется, если dnm = -(πbnm )/2 при любых anm и cnm , а условия склеивания (6) выполняются, если cnm = πbnm tg π(1 + 2β)/4 /2 - anm , dnm = -(πbnm )/2. Тогда на основании этих равенств система функций unm (x, y, z) запишется в следующем виде: unm (x, y, z) =  1/2-α 1/2-β 1/2-γ x y z z)×   √J1/2-α (σn x)J1/2-γ (δm√   × anm I1/2-β ( λnm y) + bnm K1/2-β ( λnm y) , y > 0; = 1/2-α  x (-y)1/2-β z 1/2-γ   √ √ J1/2-α (σn x)J1/2-γ (δm z)×  × -anm J1/2-β [ λnm (-y)] + bnm Y¯1/2-β [ λnm (-y)] , y < 0, где Y¯1/2-β [ λnm (-y)] = π J [ λnm (-y)] + Jβ-1/2 [ 2 cos(βπ) 1/2-β λnm (-y)] . 2. Единственность решения задачи D. Теорема 1. Если существует решение u(x, y, z) задачи D, то оно единственно тогда и только тогда, когда ∆nm (a, b) = I1/2-β ( λnm b)Y¯1/2-β ( λnm a)+ + K1/2-β ( λnm b)J1/2-β ( λnm a) = 0 (23) при всех n, m ∈ N. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u(x, y, z) - решение задачи D. Рассмотрим следующую функцию: 1 1 u(x, y, z)x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz = unm (y) = 0 0 669 У р и н о в А. К., К а р и м о в К. Т. 1 1 u(x, y, z)x1/2+α J1/2-α (σn x)dx z 1/2+γ J1/2-γ (δm z)dz, (24) = 0 0 где m, n ∈ N. Согласно [15, §15.25], система функций {J1/2-α (σn x)}∞ n=1 ортогональна с весом x на отрезке [0, 1]. Поэтому в силу равенства 1 x1/2-α J1/2-α (σm x)x1/2-α J1/2-α (σn x)x2α dx = 0 1 = xJ1/2-α (σm x)J1/2-α (σn x)dx = 0 0 система собственных функций (17) ортогональна с весом x2α на [0, 1]. Согласно [15, §18.1], система функций {J1/2-α (σn x)}∞ n=1 полна с весом x в пространстве L2 [0, 1] и имеет место соотношение 1 1 2 2 xJ1/2-α (σn x)dx = J3/2-α (σn ). 2 0 Отсюда следует, что система собственных функций (17) полна в пространстве L2 [0, 1] с весом x2α и для функций этой системы имеет место соотношение 1 0 1 2 x1-2α J1/2-α (σn x)x2α dx = 0 1 2 2 xJ1/2-α (σn x)dx = J3/2-α (σn ). 2 Проведя те же рассуждения, можно убедиться в том, что система собственных функций (20) полна в L2 [0, 1] с весом z 2γ . На основании (24) введем функции 1-ε1 1 ε2 uεnm (y) = ε1 1-ε2 u(x, y, z)x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz n, m ∈ N, (25) ε2 где ε1 и ε2 - достаточно малые положительные числа. Очевидно, 1 ε2 lim uεnm (y) = unm (y). (26) ε1 →0 ε2 →0 Продифференцируем равенство (25) по y при y ∈ (-a, 0) ∪ (0, b): 1 ε2 [uεnm (y)] = ε1 ε2 [unm (y)] = 1-ε1 1-ε2 ε1 1-ε1 ε2 1-ε2 ε1 ε2 uy (x, y, z)x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz, uyy (x, y, z)x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz, n, m ∈ N; n, m ∈ N. Учитывая уравнение (1), из последних равенств имеем ε1 ε2 (y)] = -(sgny) [unm 1-ε1 1-ε2 uxx + ε1 ε2 2α 2γ 2β ux + uzz + uz + uy × x z |y| × x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz = 670 Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа . . . 1-ε2 1-ε1 uxx x2α Xn (x)dx+ = -(sgn y) ε2 ε1 1-ε1 + ε1 1-ε1 1-ε2 + ε1 2α ux x2α Xn (x)dx z 2γ Zm (z)dz+ x uzz z 2γ Zm (z)dz+ ε2 1-ε2 + ε2 2γ 2β ε1 ε2 uz z 2γ Zm (z)dz x2α Xn (x)dz + [u (y)] . (27) z |y| nm Рассмотрим следующие интегралы: 1-ε1 1-ε1 uxx x2α Xn (x)dx = ε1 x2α Xn (x)dux = ε1 x=1-ε1 1-ε1 = ux x2α Xn (x) - = ux x2α Xn (x) = ux x2α Xn (x) + + + x=ε1 ux2α Xn (x) + 2 ε1 1-ε1 2α ux x2α Xn (x)dx = x 2αx2α-1 Xn (x)du = 1-ε1 - 2α x=ε1 1-ε1 x=1-ε1 - x=ε1 2α X (x) + (4α2 - 2α)x-2 Xn (x) dx; x n ε1 x=1-ε1 = 2αx2α-1 Xn (x)u = 2αx2α-1 Xn (x)u u[x2α Xn (x)] dx = ε1 x=ε1 x=1-ε1 - u[x2α Xn (x)] x=ε1 1-ε1 ε1 1-ε1 - u[x2α Xn (x)] x=ε1 x=1-ε1 1-ε1 ε1 x=ε1 x=1-ε1 x=1-ε1 ux [x2α Xn (x)] dx = u[x2α-1 Xn (x)] dx = ε1 ux2α ε1 2α X (x) + (4α2 - 2α)x-2 Xn (x) dx. x n На основании полученных выше равенств имеем 1-ε1 uxx x2α Xn (x)dx + ε1 1-ε1 ε1 2α ux x2α Xn (x)dx = x x=1-ε1 = ux Xn (x) - uXn (x) x 2α 1-ε1 + x=ε1 ux2α Xn (x) + ε1 x=1-ε1 = ux Xn (x) - uXn (x) x2α - σn2 x=ε1 1-ε1 2α X (x) dx = x n ux2α Xn (x)dx. (28) ε1 671 У р и н о в А. К., К а р и м о в К. Т. Аналогично находим 1-ε2 1-ε2 uzz z 2γ Zm (z)dz + ε2 ε2 2γ uz z 2γ Zm (z)dz = z z=1-ε2 1-ε2 2 - δm = uz Zm (z) - uZm (z) z 2γ uz 2γ Zm (z)dz. (29) ε2 z=ε2 Подставляя (28) и (29) в равенство (27), получим 1-ε2 ε1 ε2 [unm (y)] = -(sgn y) x=1-ε1 ux Xn (x) - uXn (x) x2α ε2 - x=ε1 1-ε1 - σn2 ux2α Xn (x)dx z 2γ Zm (z)dz+ ε1 z=1-ε2 1-ε1 uz Zm (z) - uZm (z) z 2γ + ε1 - z=ε2 1-ε2 2 - δm uz 2γ Zm (z)dz x2α Xn (x)dx + ε2 2β ε1 ε2 u (y) |y| nm . Предварительно заметим, что нижеследующие пределы конечны: 1/2-α 21/2+α σn lim x Xn (x) = , x→+0 Γ[1/2 - α] 2α 1/2-γ 21/2+γ δm lim z Zm (z) = . z→+0 Γ[1/2 - γ] 2γ Отсюда, требуя lim Xn (x)ux = 0, x→1-0 lim Zm (z)uz = 0, z→1-0 а затем переходя к пределу при ε1 → 0, ε2 → 0 и учитывая граничные условия (2), (3), (10), (12) и равенство (26), получим, что unm (y) удовлетворяет дифференциальному уравнению (sgn y)unm (y) + 2β u (y) - λnm unm (y) = 0, |y| nm -a < y < b, т. е. уравнению (7). Следовательно, unm (y) = Qnm (y). Теперь из (24) находим unm (b) и unm (-a) : 1 1 u(x, b, z)x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz = unm (b) = 0 0 1 1 f (x, y)x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz = Fnm , (30) = 0 1 0 1 u(x, -a, z)x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz = unm (-a) = 0 0 1 1 g(x, y)x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz = Gnm . (31) = 0 672 0 Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа . . . Принимая во внимание равенства (30), (31) и равенства dnm = -(πbnm )/2, cnm = bnm π tg[π(1 + 2β)/4]/2 - anm , из (21) находим √ √ anm I1/2-β ( λnm b) + bnm K1/2-β ( λnm b) = Fnm bβ-1/2 , √ √ -anm J1/2-β ( λnm a) + bnm Y¯1/2-β ( λnm a) = Gnm aβ-1/2 . (32) Определитель системы (32) ∆nm (a, b) имеет вид (23). Так как ∆nm (a, b) = 0, система (32) имеет единственное решение: √ √ Fnm bβ-1/2 Y¯1/2-β ( λnm a) - Gnm aβ-1/2 K1/2-β ( λnm b) anm = , ∆nm (a, b) √ √ Fnm bβ-1/2 J1/2-β ( λnm a) + Gnm aβ-1/2 I1/2-β ( λnm b) , bnm = ∆nm (a, b) а функции unm (y) примут следующий вид:  [Fnm (y/b)1/2-β ∆nm (a, y)+     +Gnm (y/a)1/2-β Anm (y, b)]/∆nm (a, b), y > 0; unm (y) =  [F (-y/b)1/2-β Bnm (a, -y)+    nm +Gnm (-y/a)1/2-β ∆nm (-y, b)]/∆nm (a, b), y < 0, (33) где Anm (y, b) = I1/2-β ( λnm b)K1/2-β ( λnm y)- - K1/2-β ( Bnm (a, -y) = J1/2-β ( λnm a)Y¯1/2-β ( λnm b)I1/2-β ( λnm y), λnm (-y))- - Y¯1/2-β ( λnm a)J1/2-β ( λnm (-y)). Пусть f (x, z) ≡ 0 и g(x, z) ≡ 0. Тогда из равенств (30), (31) и (33) следует, что unm (y) ≡ 0, и на основании равенства (24) имеем 1 1 x2α z 2γ u(x, y, z)x1/2-α J1/2-α (σn x)dx z 1/2-γ J1/2-γ (δm z)dz = 0. 0 0 Отсюда в силу полноты системы функций z 1/2-γ J1/2-γ (δm z) z 2γ в пространстве L2 [0, 1] следует, что ∞ m=1 с весом 1 x2α z 2γ u(x, y, z)x1/2-α J1/2-α (σn x)dx = 0. 0 ∞ В силу полноты системы функций x1/2-α J1/2-α (σn x) n=1 с весом x2α в пространстве L2 [0, 1] из последнего равенства имеем, что u(x, y, z) ≡ 0 для 673 У р и н о в А. К., К а р и м о в К. Т. всех x ∈ [0, 1] и при любом y ∈ [-a, b], z ∈ [0, 1]. Отсюда следует утверждение теоремы. 3. Существование решения задачи D. Решение задачи Дирихле в области Ω будем искать в виде  ∞ ∞   ∞ ∞ u+  nm (x, y, z), y > 0; n=1 m=1 u(x, y, z) = unm (x, y, z) = (34) ∞ ∞   u- n=1 m=1  nm (x, y, z), y < 0, n=1 m=1 где 1/2-α 1/2-β 1/2-γ u+ y z J1/2-α (σn x)J1/2-γ (δm z)× nm (x, y, z) = x × anm I1/2-β ( λnm y) + bnm K1/2-β ( λnm y) , 1/2-α u- (-y)1/2-β z 1/2-γ J1/2-α (σn x)J1/2-γ (δm z)× nm (x, y, z) = x × -anm J1/2-β ( λnm (-y)) + bnm Y¯1/2-β ( λnm (-y)) . Постоянные anm и bnm находим из требования, что решение (34) должно удовлетворять граничным условиям (4) и (5). Сначала, подставляя его в условия (4), получим ∞ J1/2-α (σn x)ϕn (z) = xα-1/2 bβ-1/2 z γ-1/2 f (x, z), (35) n=1 где ∞ ϕn (z) = J1/2-γ (δm z) anm I1/2-β ( λnm b) + bnm K1/2-β ( λnm b) , (36) m=1 Ряды (35) и (36) - ряды Фурье-Бесселя [15, §18.1], поэтому ϕn (z) = 1 2 t1/2+α bβ-1/2 z γ-1/2 f (t, z)J1/2-α (σn t)dt, 2 J3/2-α (σn ) anm I1/2-β ( 0 λnm b) + bnm K1/2-β ( λnm b) = fnm , (37) где fnm = 4bβ-1/2 × [J3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )]2 1 1 t1/2+α s1/2+γ J1/2-α (σn t)J1/2-γ (δm s)f (t, s)dtds. × 0 674 0 Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа . . . На основании формул дифференцирования бесселевых функций [15, § 3.2] d ν [x Jν (x)] = xν Jν-1 (x) dx коэффициенты fnm представим в виде fnm = 1 1 4bβ-1/2 f (t, s)t2α-1 s2γ-1 × σn δm [J3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )]2 0 0 d 3/2-α d 3/2-γ × t J3/2-α (σn t) s J3/2-γ (δm s) dtds. (38) dt ds Интегрируя по частям интеграл в (38), получим fnm = 4bβ-1/2 J (σn )J3/2-γ (δm )f (1, 1)- σn δm [J3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )]2 3/2-α 1 d f (1, s)s2γ-1 ds- ds 0 1 d - J3/2-γ (δm ) t3/2-α J3/2-α (σn t) f (t, 1)t2α-1 dt+ dt 0 - J3/2-α (σn ) 1 s3/2-γ J3/2-γ (δm s) 1 t3/2-α s3/2-γ J3/2-α (σn t)J3/2-γ (δm s)× + 0 0 × ∂ 2 2α-1 2γ-1 t s f (t, s) dtds . (39) ∂t∂s В силу условий задачи D справедливо равенство f (1, z) = f (x, 1) = 0, 0 z 1, 0 x 1. (40) Тогда формула (39) примет вид fnm = 4bβ-1/2 × σn δm [J3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )]2 1 1 t3/2-α s3/2-γ J3/2-α (σn t)J3/2-γ (δm s)× × 0 0 × ∂ 2 2α-1 2γ-1 [t s f (t, s)]dtds. ∂t∂s Из последнего выражения после интегрирования по частям имеем fnm = 4bβ-1/2 × 2 [J 2 σn2 δm 3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )] × J5/2-α (σn )J5/2-γ (δm ) ∂ 2 2α-1 2γ-1 t s f (t, s) ∂t∂s t=1 s=1 - 675 У р и н о в А. К., К а р и м о в К. Т. 1 - J5/2-γ (δm ) t5/2-α J5/2-α (σn t) ∂ -1 ∂ 2 2α-1 2γ-1 t s f (t, s) t ∂t ∂t∂s s5/2-γ J5/2-γ (δm s) ∂ -1 ∂ 2 2α-1 2γ-1 t s f (t, s) s ∂s ∂t∂s 0 1 - J5/2-α (σn ) 0 1 s=1 dt- t=1 ds+ 1 t5/2-α s5/2-γ J5/2-α (σn t)J5/2-γ (δm s)× + 0 0 × ∂ 2 -1 -1 ∂ 2 2α-1 2γ-1 t s t s f (t, s) dtds . ∂t∂s ∂t∂s Отсюда следует, что если функция f (x, z) удовлетворяет условиям f˜(x, z) = ∂ 2 /∂x∂z [x2α-1 z 2γ-1 f (x, z)] ∈ C([0, 1] × [0, 1]), lim f˜(x, z) = lim f˜(x, z) = 0, x→1 (41) z→1 то функции fnm определяются формулами fnm = 4bβ-1/2 × 2 [J 2 σn2 δm 3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )] 1 1 t5/2-α s5/2-γ J5/2-α (σn t)J5/2-γ (δm s)× × 0 0 × ∂2 [(ts)-1 f˜(t, s)]dtds. ∂t∂s Интегрируя по частям последнее выражение, получим fnm = 4bβ-1/2 × 3 [J 2 σn3 δm 3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )] × J7/2-α (σn )J7/2-γ (δm ) ∂2 (ts)-1 f˜(t, s) ∂t∂s 1 - J7/2-γ (δm ) ∂ -1 ∂ 2 (ts)-1 f˜(t, s) t ∂t ∂t∂s s7/2-γ J7/2-γ (δm s) ∂ -1 ∂ 2 s (ts)-1 f˜(t, s) ∂s ∂t∂s 0 1 - t7/2-α J7/2-α (σn t) 0 1 - J7/2-α (σn ) t=1 s=1 s=1 dt- t=1 ds+ 1 t7/2-α s7/2-γ J7/2-α (σn t)J7/2-γ (δm s)× + 0 0 × ∂2 ∂2 (ts)-1 (ts)-1 f˜(t, s) dtds . ∂t∂s ∂t∂s Если здесь потребовать выполнения условий f˜0 (x, z) = (∂ 2 /∂x∂z)[(xz)-1 f˜(x, z)] ∈ C([0, 1] × [0, 1]), lim f˜0 (x, z) = lim f˜0 (x, z) = 0, x→1 676 z→1 (42) Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа . . . то fnm будет иметь вид fnm = 4bβ-1/2 × 3 [J 2 σn3 δm 3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )] 1 1 t7/2-α s7/2-γ J7/2-α (σn t)J7/2-γ (δm s)× × 0 0 × ∂2 f˜nm (ts)-1 f˜0 (t, s) dtds = 3 3 . ∂t∂s σn δ m В силу этого равенства формула (37) принимает вид anm I1/2-β ( λnm b) + bnm K1/2-β ( λnm b) = f˜nm . 3 σn3 δm (43) Аналогично, подставляя (34) в условия (5) и требуя выполнения следующих групп условий: g(1, z) = g(x, 1) = 0, g˜(x, z) = (∂ 2 /∂x∂z)[x2α-1 z 2γ-1 g(x, z)] ∈ C([0, 1] × [0, 1]), lim g˜(x, z) = lim g˜(x, z) = 0; x→1 g˜0 (x, z) = z→1 (44) (∂ 2 /∂x∂z)[(xz)-1 g˜(x, z)] ∈ C([0, 1] × [0, 1]), lim g˜0 (x, z) = lim g˜0 (x, z) = 0, x→1 z→1 получим соотношение -anm J1/2-β ( λnm a) + bnm Y¯1/2-β ( λnm a) = g˜nm , 3 σn3 δm (45) где g˜nm 4aβ-1/2 = × 3 3 [J 2 σn3 δm σn3 δm 3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )] 1 1 t7/2-α s7/2-γ J7/2-α (σn t)J7/2-γ (δm s)× × 0 0 ∂ 2 -1 -1 ∂ 2 2α-1 2γ-1 ∂2 t-1 s-1 t s t s g(t, s) × ∂t∂s ∂t∂s ∂t∂s dtds = gnm . Далее, разрешая систему линейных алгебраических уравнений (43), (45) относительно anm и bnm , получим √ √ f˜nm Y¯1/2-β ( λnm a) - g˜nm K1/2-β ( λnm b) anm = , 3 ∆ σn3 δm nm (a, b) √ √ f˜nm J1/2-β ( λnm a) + g˜nm I1/2-β ( λnm b) bnm = . 3 ∆ σn3 δm nm (a, b) 677 У р и н о в А. К., К а р и м о в К. Т. Подставляя найденные значения anm и bnm в (34), получим формальное решение задачи D. Теперь докажем, что функция (34) является решением задачи D. Для ¯ этого вначале докажем равномерную сходимость рядов в (34) в Ω. Известно [16, форм. (32.31) и (32.33)], что для цилиндрических функций при ξ → ∞ имеют место следующие асимптотические формулы: 2 νπ π cos ξ - - + O(ξ -1 ) , πξ 2 4 π -ξ eξ 1 + O(ξ -1 ) , Kν (ξ) = e 1 + O(ξ -1 ) . Iν (ξ) = √ 2ξ 2πξ Jν (ξ) = (46) (47) В этих формулах запись O(ξ -1 ) [17, § 2] означает такую величину, отношение которой к ξ -1 при беспредельном возрастании ξ остается меньше некоторой постоянной, при этом справедливы следующие формулы при ξ → ∞: f (ξ) = O(f (ξ)), O(O(f (ξ))) = O(f (ξ)), O(f (ξ))O(g(ξ)) = O(f (ξ)g(ξ)), O(f (ξ)) + O(g(ξ)) = O(|f (ξ)| + |g(ξ)|), C · O(f (ξ)) = O(f (ξ)), O(f (ξ)g(ξ)) = f (ξ)O(g(ξ)), (48) (49) (50) (51) (52) (53) O(f 2 (ξ)) = O(f (ξ))2 , (54) O(ξ -2 ) = O(ξ -1 ), (55) где f - произвольная функция. Применяя последовательно формулы (48), (52), (50), (55), (51) и (53) к равенству (46), а формулы (48), (50), (55) и (52) к равенствам (47), получим асимптотические формулы Jν (ξ) = O(ξ -1/2 ), Iν (ξ) = O(ξ -1/2 ξ )e , Kν (ξ) = O(ξ (56) -1/2 -ξ )e . (57) Известно [15, с.653], что если f (t) ∈ C[0, 1], то при ξ → ∞ справедлива формула 1 f (t)tJν (ξt)dt = O(ξ -3/2 ). (58) 0 С помощью асимптотических формул (56)-(58) и формул (48)-(55) нетрудно показать, что при n → ∞ и m → ∞ имеют место следующие формулы: f˜ = O (σn δm )-1/2 , g˜nm = O (σn δm )-1/2 , √ √ nm √ -1/4 -1/4 Y¯1/2-β ( λnm a) = O(λnm ), K1/2-β ( λnm b) = O(λnm )e- λnm b , √ √ √ -1/4 -1/4 J1/2-β ( λnm a) = O(λnm ), I1/2-β ( λnm b) = O(λnm )e λnm b , √ -1/2 ∆nm (a, b) = O(λnnm )e λnm b , 1/4 anm = O 678 λnm (σn δm )7/2 e- √ λnm b , 1/4 bnm = O λnm (σn δm )7/2 . (59) Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа . . . Из асимптотических формул (56), (57), (59) следует, что если 0 x z 1, -a y b, то при n → ∞, m → ∞ имеют место формулы 0 -4 u+ , nm (x, y, z) = O (σn δm ) 1, -4 u- . nm (x, y, z) = O (σn δm ) ¯ справедливы следующие Отсюда следует, что для членов рядов в (34) в Ω оценки: |u+ nm (x, y, z)| C1 (σn δm )-4 , |u- nm (x, y, z)| C2 (σn δm )-4 , где C1 , C2 - некоторые положительные постоянные. Тогда в силу признака Вейерштрасса [18, § 430] ряды в (34) сходятся аб¯ и, следовательно, u(x, y, z) ∈ C(Ω). ¯ солютно и равномерно в Ω + - Теперь докажем, что uxx (x, y, z) ∈ C(Ω ∪ Ω ). Дважды почленно продифференцируем ряд (34) по аргументу x:  ∞ ∞   u+  nm (x, y, z) xx , y > 0; n=1 m=1 uxx (x, y, z) = (60) ∞ ∞   u- (x, y, z) , y < 0,  nm xx n=1 m=1 где u+ nm (x, y, z) ×y = σn x-1/2-α J-1/2-α (σn x) + σn2 x1/2-α J-3/2-α (σn x) × xx 1/2-β 1/2-γ z J1/2-γ (δm z) anm I1/2-β ( u- nm (x, y, z) × = σn x-1/2-α J-1/2-α (σn x) xx (-y)1/2-β z 1/2-γ J1/2-γ (δm z)× λnm y) + bnm K1/2-β ( λnm y) , + σn2 x1/2-α J-3/2-α (σn x) × × -anm J1/2-β ( λnm (-y)) + bnm Y¯1/2-β ( λnm (-y)) . Применяя асимптотические формулы (56), (57) и (59), при (x, y, z) ∈ Ω+ ∪ Ω- и n → ∞, m → ∞ получим u+ nm (x, y, z) xx 4 -1 = O (σn2 δm ) , u- nm (x, y, z) xx 4 -1 = O (σn2 δm ) . Отсюда следует, что для членов рядов в (60) в Ω+ ∪ Ω- имеют место следующие оценки: u+ nm (x, y, z) xx 4 C3 σn2 δm -1 , u- nm (x, y, z) xx 4 C4 σn2 δm -1 , где C3 , C4 - некоторые положительные постоянные. Из полученных оценок следует, что ряды из (60) мажорируются сходящимися числовыми рядами, откуда следует, что ряды из (60) абсолютно и равномерно сходятся в Ω+ ∪ Ω- . Следовательно, uxx (x, y, z) ∈ C(Ω+ ∪ Ω- ). Аналогично доказывается, что uzz (x, y, z) ∈ C(Ω+ ∪ Ω- ). 679 У р и н о в А. К., К а р и м о в К. Т. Далее покажем, что uyy (x, y, z) ∈ C(Ω+ ∪ Ω- ). Продифференцируем дважды (34) по аргументу y:  ∞ ∞   u+  nm (x, y, z) yy , y > 0; n=1 m=1 uyy (x, y, z) = (61) ∞ ∞   u- (x, y, z) , y < 0,  nm yy n=1 m=1 где u+ nm (x, y, z) yy = x1/2-α z 1/2-γ J1/2-α (σn x)J1/2-γ (δm z)× λnm y -1/2-β [anm I-1/2-β ( × λnm y) - bnm K-1/2-β ( λnm y)]+ + λnm y 1/2-β anm I-3/2-β ( λnm y) + bnm K-3/2-β ( u- nm (x, y, z) yy , = x1/2-α z 1/2-γ J1/2-α (σn x)J1/2-γ (δm z)× λnm (-y)-1/2-β -anm J-1/2-β ( λnm (-y))+ × + λnm y) bnm π J ( λnm (-y)) - J1/2+β ( λnm (-y)) + 2 cos(βπ) -1/2-β + λnm (-y)1/2-β -anm J-3/2-β ( λnm (-y))+ + bnm Y¯(3/2)+β ( λnm (-y)) . Применяя асимптотические формулы (56), (48), (57), (59) и (50), при (x, y, z) ∈ Ω+ ∪ Ω- и n → ∞, m → ∞ имеем u+ nm (x, y, z) yy =O λnm , (σn δm )4 u- nm (x, y, z) yy =O λnm . (σn δm )4 Отсюда следует, что для членов рядов из (61) в Ω+ ∪ Ω- имеют место следующие оценки: u+ nm (x, y, z) yy = C5 λnm , (σn δm )4 u- nm (x, y, z) yy = C6 λnm , (σn δm )4 где C5 , C6 - некоторые положительные постоянные. Из этих оценок следует, что ряды из (61) мажорируются сходящимися числовыми рядами, откуда следует, что ряды из (61) абсолютно и равномерно сходятся в Ω+ ∪ Ω- . Следовательно, uyy (x, y, z) ∈ C(Ω+ ∪ Ω- ). Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 2. Пусть выполнены условия (40), (41), (42) и (44). Тогда решение задачи Дирихле существует, единственно и определяется формулами (34). В заключение отметим, что задача D исследуется аналогично и в том случае, когда некоторые или все параметры α, β и γ равны нулю. Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем. 680 Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа . . . Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Akhmadjon K Urinov

Fergana State University

Email: urinovak@mail.ru
http://orcid.org/0000-0002-9586-1799 Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Mathematical Analysis and Differential Equations 19, Murabbiylar st., Fergana, 712000, Uzbekistan

Kamoliddin T Karimov

Fergana State University

Email: karimovk80@mail.ru
http://orcid.org/0000-0002-9098-4116 Cand. Phys. & Math. Sci.; Doctoral Candidate; Dept. of Mathematical Analysis and Differential Equations 19, Murabbiylar st., Fergana, 712000, Uzbekistan

References

Supplementary files