Dynamic stability of heated geometrically irregular plates on the basis of the Reisner model

Full Text

Рассмотрим геометрически нерегулярную трансверсально изотропную прямоугольную пластинку со сторонами a и b, стандартным образом отнесенную к декартовым координатам с началом в левом нижнем углу пластинки [1-3]. Термоупругая система «пластинка-ребра» нагрета до постоянной температуры θ0 , два противоположных края, расположенных по координатным прямым x = a и y = b, находятся под действием периодического по временной координате t силового воздействия в виде нестационарной равномерно распределенной нагрузки заданной интенсивности p(t) = p1 cos ϑt, (1) где p1 , ϑ - известные амплитудно-частотные характеристики воздействия. Решение динамической термоустойчивости геометрически нерегулярной пластины на основе модели типа Рейснера [4, 5] сводится к интегрированию системы сингулярных дифференциальных уравнений, полученных вариационным путем на базе континуальной модели тонкостенных упругих систем [6-9]: n Ψ1,1 + Ψ2,2 + i=1 h1 12 ai Ψ2,2 δ(x - xi ) = - 3 T 22 1 + h h - (∇2 w),1 - 12 11 12γ T w,11 + 2 1 + 3 h gh n i=1 n i=1 hi ai δ(x - xi ) w,22 - h hi ai δ(x - xi ) w,tt , h h2 1-ν 1+ν h3 Ψ1,11 + Ψ1,22 + Ψ2,12 + Ψ1 + 10G 2 2 12D n h2 hi 3 Ψ1 δ(x - xi ) = 0, (2) ai w,1 - + 2(1 - ν) Φ3i ,22 h 10G i=1 (∇2 w),2 - h2 1+ν h3 1-ν Ψ2,11 + Ψ1,12 + Ψ2 + Ψ2,22 + 10G 2 2 12D n h2 hi 3 a i w ,2 - + Φ3i Ψ2 δ(x - xi ) = 0, ,22 h 10G i=1 где δ(x - xi ) - дельта-функция Дирака [10]; Ψj (x, y, t), j = 1, 2 - искомые функции, связанные с обобщенными углами поворота нормали к срединной поверхности пластинки равенствами [4, 11] γ j = w ,j - h2 Ψj ; 10G h - толщина пластинки; G - модуль сдвига в плоскостях, перпендикулярных к срединной плоскости пластинки; w(x, y, t) - функция прогиба; Φ3i = 1 + 3 h h +3 hi hi 2 ; 761 М ы л ь ц и н а О. А., П о л и е н к о А. В., Б е л о с т о ч н ы й Г. Н. n - число ребер; hi и ai - соответственно высота и ширина подкрепляющих ребер; γ - удельный вес; g - интенсивность поля тяжести; D= Eh3 ; 12(1 - ν 2 ) E - модуль упругости; ν - коэффициент Пуассона, индексы 1 и 2 после запятой означают частные производные от функций по переменным x и y соответственно. Входящие в динамические уравнения (2) усилия T 11 и T 22 предварительно определяются на основании решения безмоментной неоднородной краевой задачи геометрически нерегулярной пластинки: u,11 + 1+ν 1-ν 1-ν u,22 + v,12 + 2 2 2 1+ν 1-ν v,11 + u,12 + v,22 + 2 2 n i=1 n i=1 hi ai (u,2 + v,1 ),2 δ(x - xi ) = 0, h (3) hi ai (v,2 + νu,1 ),2 δ(x - xi ) = 0. h Сингулярные уравнения (3) записаны на основании стандартного предположения о неучете тангенциальных сил инерции [12, 13] и постоянной, как отмечалось выше, температуры. Решение этих уравнений, тождественно удовлетворяющих краевым условиям при x = 0, x = a: T 12 = 0, T 11 = -p(t), при y = 0, y = b: v = 0, T 12 = 0, которые перепишутся в компонентах поля перемещений в виде при x = 0, x = a: u,2 + v,1 = 0, u,1 + νv,2 = α(1 + ν)θ0 - при y = 0, y = b: v = 0, u,2 + v,1 = 0, p(t) B , запишутся в элементарных функциях: v = 0, u = α(1 + ν)θ0 x - p(t) x. B (4) Тангенциальные усилия в системе (2) на основании решений (4) примут вид T 12 = 0, T 11 = -p(t), T 22 = -(Ehαθ0 + νp(t)). Здесь B = Eh/(1 - ν 2 ), α - коэффициент линейного расширения материала при нагреве, p(t) определяется формулой (1). Решения системы дифференциальных уравнений (2), тождественно удовлетворяющие условиям шарнирного закрепления сторон пластинки при x = 0, x = a: w = 0, M 11 = 0, Ψ2 = 0, при y = 0, y = b: w = 0, M 22 = 0, Ψ1 = 0, 762 Динамическая устойчивость нагретых геометрически нерегулярных пластин. . . зададим в виде w(x, y, t) = wkm (t) sin km Ψ1 (x, y, t) = kπx mπy sin , a b Ψ1km (t) cos mπy kπx sin , a b Ψ2km (t) sin kπx mπy cos , a b km Ψ2 (x, y, t) = km (5) M jj , где j = 1, 2 - изгибающие моменты, связанные с обобщенными углами поворота равенствами M jj = -D(γj ,j + νγl,l ), j = l = 1, 2. Подстановка (5) в уравнения системы (2) с использованием процедуры Галеркина по пространственной переменной x приводит к системе трех уравнений относительно коэффициентов wkm (t), Ψjkm (t). Два последних уравнения этой системы (не содержат производных по временной координате) перепишем в виде a11 Ψ1km + a12 Ψ2km = b1 wkm , a21 Ψ1km + a22 Ψ2km = b2 wkm , где a11 h3 E = 12D G a22 = E h3 12D G h2 10(1 - ν 2 ) kπ a h2 10(1 - ν 2 ) 2 1 - ν mπ + 2 b mπ b 1 - ν kπ 2 a 2 + 6 mπh + 5 b 2 kπ b1 = a b2 = 3 kπ mπ + a b mπ b 3 + 2 βic + 1 , i=1 2 + (mπ)2 h + 2 10(1 - ν ) b a21 = a12 = n 2 2 n βis +1 , i=1 h2 1 + ν kmπ 2 , G 20 ab kπ mπ + 2(1 - ν) a b mπ kπ b a 2 + mπ b 3 2 n βic , i=1 n βis . i=1 Здесь и далее βis = Φ3i hi h 3 ai a sin2 kπxi , a βic = Φ3i hi h 3 ai a cos2 kπxi . a 763 М ы л ь ц и н а О. А., П о л и е н к о А. В., Б е л о с т о ч н ы й Г. Н. Выражения функций Ψjkm (t), j = 1, 2, через wkm (t) запишутся так: b1 a22 - b2 a12 wkm (t), a11 a22 - a221 Ψ1km (t) = Ψ2km (t) = b2 a11 - b1 a12 wkm (t). a11 a22 - a221 (6) На основании (6) первое уравнение системы, содержащее производную по временной координате, преобразуется к виду γha2 d2 wkm mπa + (kπ)2 T 11 + 2 g dt b 2 T 22 + Eh h 2 12(1 - ν ) a 2 Lkm wkm = 0, (7) 4 где mπa b 2 Lkm 4 = (kπ) + 2 2 p(G , ai ). Здесь p(G , ai ) = 1 + Lkm 1 (G , ai ) (kπ)2 + (mπa/b) -1 1 + Lkm 2 (G , ai ) 2 2 , при G → ∞, ai = 0, p(G , ai ) = 1 а Lkm j (G , ai ), j = 1, 2 - безразмерные величины, содержащие параметры G и ai /a, и такие, что Lkm j (G , ai ) = 0 при G → ∞, ai = 0: mπa 2 × b (mπ)2 mπa 2 1 - ν h + (kπ)2 + b 2 5(1 - ν 2 ) b 4 2 Lkm 1 (G , ai ) = (kπ) + (kπ) (h/a)2 10(1 - ν 2 ) × + 12(1 - ν 2 )(kπ)2 mπa b 2 n βic i=1 (h/a)2 E G 10(1 - ν 2 ) mπa b (mπ)2 h + 2 5(1 - ν ) b mπa b - + 3 mπa mπa + (kπ)2 + b b mπa b 4 + (kπ)2 mπa b 2 3 n βis i=1 +2 mπa b n βis i=1 (h/a)2 10(1 - ν 2) i=1 + 1-ν (kπ)2 + 2 n 2 βis +1 - i=1 (h/a)2 1 - ν mπa (kπ)2 + 10(1 - ν 2 ) 2 b (kπ)2 + E + G kmπ 2 h h E + 20(1 - ν 2 ) a b G 1 - ν mπa 2 b 6 h + (mπ)2 5 b 764 βis 2 6 h + (mπ)2 5 b 4 n 2 n 2 βic i=1 2 + E + G 2 + 2 n βic i=1 E +1 - G Динамическая устойчивость нагретых геометрически нерегулярных пластин. . . mπa - (kπ) + kπ b Lkm 2 (G , ai ) = mπa + 12(1 - ν )kπ b 2 3 i=1 n 2 (h/a)2 10(1 - ν 2 ) βic + i=1 mπa b + E G × (h/a)2 2 10(1 - (h/a)2 10(1 - βic (h/a)2 1 - ν mπa (kπ)2 + 2 10(1 - ν ) 2 b E G 6 h + (mπ)2 5 b + n 2 2 ν 2) ν 2) (kπ)2 + mπa b 1 - ν mπa 2 b kmπ 2 h h E , 20(1 - ν 2 ) a b G 2 + 2 + 1-ν (kπ)2 + 2 h (mπ)2 2 5(1 - ν ) b (mπ)2 h 1-ν (kπ)2 + 2 2 5(1 - ν ) b 2 + - (kmπ 2 )2 (1 βis + i=1 n 2 6 h + (mπ)2 5 b 2 n 2 βic × i=1 n 2 βis - i=1 ν)2 + 400(1 - ν 2 )2 h a 2 h b 2 . Для дальнейшего отметим, что убирая в уравнении (7) слагаемые, содержащие вторую производную по временной координате, получим уравнение для определения критических сил (или температур) для ребристой пластинки на основе модели типа Рейснера, при достижении которых возможен скачкообразный переход к новой форме равновесия с числом полуволн k и m, которое запишется следующим образом: (kπ)2 T 11 + mπa b 2 T 22 + h Eh 2 12(1 - ν ) a 2 Lkm 4 = 0. Действительно, при тех же краевых условиях получим два случая. Случай 1. При θ0 = 0 и ϑ = 0: T 11 = -p1 , T 22 = -νp1 ; относительная критическая нагрузка по модели Рейснера вычисляется по формуле p1 Eh 2 R cr = (kπ)2 + (mπa/b)2 (h/a)2 p(G , ai ). 12(1 - ν 2 ) (kπ)2 + ν(mπa/b)2 (8) Полагая G → ∞, ai = 0, получим критическую нагрузку для гладкой пластинки на основе модели Лява. Тогда (8) примет вид p1 Eh R cr = p(G , ai ) p1 Eh L cr . (9) Случай 2. Если θ0 = 0 и p1 = 0, то выражение для относительной критической температуры запишется в виде θ0 α R cr (kπ)2 + (mπa/b)2 (h/a)2 = 12(1 - ν 2 ) (mπa/b)2 2 p(G , ai ). 765 М ы л ь ц и н а О. А., П о л и е н к о А. В., Б е л о с т о ч н ы й Г. Н. При тех же предположениях получим θ0 α R cr = p(G , ai )(θ0 α)L cr . (10) Убирая в уравнении (7)) слагаемые с тангенциальными усилиями, получим выражение для квадрата частоты собственных колебаний пластинки в рамках модели Рейснера: R ωkm 2 = g Eh mπa (kπ)2 + 2 2 12(1 - ν ) γha b или R ωkm 2 2 2 p(G , ai ) (11) 2 L , = p(G , ai ) ωkm L - частота собственных колебаний гладкой пластинки на базе классигде ωkm ческой теории пластин. Изложенное выше и вид p(t) позволяют переписать уравнение (7): d2 wkm gE (h/a)2 mπa 2 2 E ai 2 + (kπ) + p , × dt2 γa2 12(1 - ν 2 ) b G a p1 θ0 1- cos ϑt wkm (t) = 0 (12) × 1- R R (θ0 )cr (p1 )cr (1 - θ0 /(θ0 )R cr ) или, в стандартных обозначениях, уравнение Матье (12) запишется так [4, 14]: d2 wkm + Ω2km (1 - 2µkm cos ϑt) wkm (t) = 0, dt2 где R Ωkm = ωkm 1 - θ0 /(θ0 )R cr (13) - частота собственных колебаний геометрически нерегулярной нагретой пластинки с учетом влияния поперечных сдвигов, µkm = p1 2(p1 )R (1 - θ0 /(θ0 )R cr cr ) (14) - коэффициент возбуждения геометрически нерегулярной пластинки с учетом влияния поперечных сдвигов и температуры. Таким образом, решение динамической задачи нагретой геометрически нерегулярной пластинки под действием периодических по временной координате силовых воздействий сведено к уравнению Матье [14, 15], которое при некоторых соотношениях между его параметрами Ωkm , µkm и ϑ допускает неограниченно возрастающие решения, заполняющие целые области [14]. Определение границ, ограничивающих области динамической неустойчивости с помощью подстановок для wkm (t) вида ∞ al sin l=1,3,5,... 766 lϑt lϑt + bl cos 2 2 Динамическая устойчивость нагретых геометрически нерегулярных пластин. . . в случае решения с периодом 2T и ∞ b0 + al sin l=2,4,6,... lϑt lϑt + bl cos 2 2 в случае решения с периодом T [14] в уравнение Матье (12), позволит с любой точностью определять границы областей динамической неустойчивости. Из равенств нулю определителей однородных алгебраических систем для коэффициентов al , bl и b0 следуют формулы для границ ϑ∗ первых трех областей динамической неустойчивости [3, 14], которые с учетом полученных формул (9)-(11), (13), (14) преобразуются к следующему виду: I область: L (15) p - θ0 /(θ0L )cr ± µ∗km ; ϑ∗ = 2ωkm II область: L ϑ∗ = ωkm ∗ ϑ = L ωkm p- (µ∗km )2 θ0 1 + , (θ0L )cr 3 p - θ0 /(θ0L )cr (µ∗km )2 θ0 p- L -2 ; (θ0 )cr p - θ0 /(θ0L )cr (16) III область: 2 L ϑ∗ = ωkm 3 p- 9(µ∗km )2 θ0 , - (θ0L )cr 8 p - θ0 /(θ0L )cr ± 9µ∗km (17) где µ∗km = p1 /(2(pL 1 )cr ) - коэффициент возбуждения для гладкой ненагретой пластинки (θ0 = 0) на основе классической теории гладких пластин. Особенность формул (15)-(17) заключается в том, что они записаны в терминах классической теории пластин с учетом поправок на влияние температуры, относительной высоты ребер и учета поперечных сдвигов при различных соотношениях сторон (a/b) и форм прогиба пластины (k, m). Количественные результаты, полученные на основании формул (15)-(17), L для случая квадпредставлены на рис. 1, 2 в осях µ = µ∗11 и ϑ/ω = ϑ∗ /ω11 ратной пластины (a/b = 1), когда по направлениям координатных прямых возникает только по одной полуволне (k = 1, m = 1), при следующих значениях параметров: x1 = a/2, a1 /a = 0.01, a/h = 50, ν = 0.3. Залитые цветом области, ограниченные кривыми (15)-(17), - области динамической неустойчивости: первая область неустойчивости - наибольшая верхняя область, соответствующая (15), вторая область расположена ниже и получается по формулам (16), третья область соответствует (17). Из данных, представленных на рисунках, следует, что конфигурации областей динамической неустойчивости малочувствительны к изменению перечисленных параметров. Во всех рассмотренных случаях области динамической неустойчивости для подкрепленной пластины располагаются выше областей динамической неустойчивости, полученных для гладкой пластины, при 767 М ы л ь ц и н а О. А., П о л и е н к о А. В., Б е л о с т о ч н ы й Г. Н. Рис. 1. Области динамической неустойчивости (залиты цветом; см. формулы (15)-(17)) квадратной пластины (a/b = 1) при различных параметрах; расчеты выполнены для x1 = = a/2, a1 /a = 0.01, a/h = 50, ν = 0.3 [Figure 1. Dynamic instability regions (flooded with color; see Eqs. (15)-(17)) of a square plate (a/b = 1) at various parameters; the calculations are performed for the following values of parameters: x1 = a/2, a1 /a = 0.01, a/h = 50, ν = 0.3] 768 Динамическая устойчивость нагретых геометрически нерегулярных пластин. . . Рис. 2. Скелетные линии при различных параметрах; расчеты выполнены для n = 5, xi+1 -xi = a/6, θ0 /(θ0L )cr = 0.02 [Figure 2. Skeletal lines at various parameters; the calculations are performed for the following values of parameters: n = 5, xi+1 - xi = a/6, θ0 /(θ0L )cr = 0.02] прочих равных условиях. С увеличением параметров θ0 /θcr и E/G области динамической неустойчивости смещаются вниз по оси ϑ/ω (рис. 1), что согласуется с результатами, приведенным в работе [16], а также известному факту: величины критических температур, при достижении которых происходит статическая потеря термоустойчивости геометрически нерегулярных пластин и оболочек, растет с увеличением параметра hi /h [17]. При определенных значениях параметра hi /h и числа ребер жесткости возможно вырождение областей динамической неустойчивости в скелетные линии (рис. 2). Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

About the authors

Olga A Myltcina

N. G. Chernyshevsky Saratov State University (National Research University)

Email: omyltcina@yandex.ru
http://orcid.org/0000-0003-4718-2772 Cand. Phys. & Math. Sci.; Assistant; Dept. of Functions & Approxmation Theory 83, Astrakhanskaya st., Saratov, 410012, Russian Federation

Acel V Polienko

N. G. Chernyshevsky Saratov State University (National Research University)

http://orcid.org/0000-0001-6949-4174 Senior Engineer; Institute of Nanostructures & Biosystems 83, Astrakhanskaya st., Saratov, 410012, Russian Federation

Grigory N Belostochny

N. G. Chernyshevsky Saratov State University (National Research University)

Email: belostochny@mail.ru
http://orcid.org/0000-0003-4471-6599 Dr. Techn. Sci.; Professor; Dept. of Mathematic Theory of Elasticity & Biomechanics 83, Astrakhanskaya st., Saratov, 410012, Russian Federation

References

Supplementary files