Построение автомодельного решения системы уравнений газовой динамики, описывающей истечение политропного газа в вакуум с косой стенки в несогласованном случае

Полный текст

Введение

Рассмотрим политропный газ, покоящийся в клиновидной области $BOF$ плоскости $xOy$ (выделено серым цветом и отмечено цифрой 0 на рис. 1, a), образованной двумя непроницаемыми стенками $OB$ и $OF$. Полубесконечная вертикальная стенка $OB$ задается уравнением $x=0$ (при $y\geqslant 0$). Бесконечная косая стенка $OF$ задается уравнением $y = x \operatorname{tg} \alpha$. Линия $BF$ не является непроницаемой стенкой, поэтому на ней никакие условия на газ не накладываются. Часть плоскости $xOy$ слева от вертикальной стенки $OB$ и выше косой стенки $OF$ — вакуум (отмечено цифрой 3 на рис. 1, a).

Газодинамические параметры в покоящемся газе (значения функций $c(t, x, y)$, $u(t, x, y)$ и $v(t, x, y)$) следующие:
\[ \begin{equation*}
c=1,\quad u=0,\quad v=0.
\end{equation*} \]

В момент времени $t=0$ вертикальная стенка $OB$ убирается, после чего начинается истечение газа в вакуум вдоль косой стенки $OF$.

На рис. 1, b приведена конфигурация течения газа в момент времени $t>0$. В области $ABF$ находится покоящийся однородный газ, который отделен звуковой характеристикой $AB$ от области центрированной волны Римана — $ABCD$, помеченной на рис. 1, b цифрой 1. Звуковая характеристика $AB$ является вертикальной прямой, уравнение которой в координатах $t$, $x$, $y$ имеет следующий вид [1, 2]:
\[ \begin{equation*}
x=t.
\end{equation*} \]

Звуковая характеристика $AB$ двигается по покоящемуся газу слева направо со скоростью, равной 1. Центрированная волна примыкает к вакууму через свободную границу, являющуюся вертикальной прямой $CD$. Движение границы $CD$ в вакуум описывается по закону [1, 2]
\[ \begin{equation*}
x=-\frac{2 t}{\gamma-1} .
\end{equation*} \]

Скорость движения границы $CD$ равна $-{2}/({\gamma-1})$. Значения газодинамических параметров течения в области центрированной волны задаются следующими формулами [1, 2]:
\[ \begin{equation*}
c=\frac{\gamma -1}{\gamma +1}\frac{x}{t}+\frac{2}{\gamma +1}, \quad
u=\frac{2}{(\gamma +1)}\frac{x}{t}-\frac{2}{(\gamma +1)}, \quad v=0.
\end{equation*} \] 

В области $ADE$, помеченной на рис. 1, b цифрой 2, находится двойная волна — искомое двумерное течение. Это течение отделено от центрированной волны звуковой характеристикой $C^+$ — линия $AD$. Область двойной волны примыкает к вакууму через свободную границу — линия $DE$. Стенка $AE$ является непроницаемой, поэтому на этой стенке выполняется условие непротекания:
\[ \begin{equation*}
v\big|_{AE}=u\operatorname{tg} \alpha\big|_{AE}.
\end{equation*} \]

Рис. 1. Начальная конфигурация в момент \(t=0\) (a) и конфигурация потока в момент \(t > 0\) (b): 0 — область, в которой находится покоящийся газ; 1 — область течения в виде центрированной волны; 2 — область течения в виде двойной волны; 3 — область вакуума
[Figure 1. (a) Initial configuration$(t = 0)$; (b) the flow configuration at $t > 0$: 0 — the quiescent gas region; 1 — the flow region in the form of a centered wave;
2 — the flow region in the form of a double wave; 3 — the vacuum region]

Закон движения газа в области двойной волны неизвестен, требуется найти параметры течения газа в области двойной волны как решение следующей начально-краевой задачи:
\[ \begin{equation}
\left\{
\begin{gathered}
c_t + uc_x + vc_y + \varkappa c ( u_x + v_y ) = 0, \\
u_t + uu_x + vu_y + \frac{c}{\varkappa}c_x = 0, \\
v_t + uv_x + vv_y + \frac{c}{\varkappa}c_y = 0, \\
c\big|_{C^+}=c_0,\quad u\big|_{C^+}=u_0,\quad v\big|_{C^+}=0, \\
v\big|_{y=x\operatorname{tg}\alpha}= u \operatorname{tg} \alpha\big|_{y=x\operatorname{tg}\alpha},
\end{gathered}
\right.
\end{equation} \tag{1} \]
где $c$ — скорость звука в газе, отн.ед.; $u$ — горизонтальная компонента скорости газа, отн.ед.; $v$ — вертикальная компонента скорости газа, отн.ед; $\varkappa  = ({\gamma -1})/{2}$; $\gamma$ — показатель политропы газа, отн.ед. Значения $c_0$ и $u_0$ — параметры газа на характеристике $C^+$:
\[ \begin{equation*}
c_0 = \frac{\varkappa}{\varkappa + 1} \frac{x}{t} + \frac{1}{\varkappa + 1},
\quad 
u_0 = \frac{1}{\varkappa + 1} \frac{x}{t}-\frac{1}{\varkappa + 1},
\end{equation*} \]
соответствующие параметрам газа в плоском течении.

Традиционно для этой и аналогичных задач с целью уменьшения объема выкладок искомое двумерное течение строится как решение уравнения для функции $\Phi (t, x_1, x_2 )$ — потенциала скорости газа в двумерном случае [1, 2]. То есть, чтобы описать разлет газа в вакуум, в качестве независимых переменных выбираются
\[ \begin{equation}
t,\quad u_1=\Phi_{x_1},\quad u_2=\Phi_{x_2}
\end{equation} \tag{2} \]
и в результате замены (2) первые три уравнения системы (1) сводятся к одному уравнению:
\[ \begin{equation}
\Phi_{tt} + 2 \sum_{i=1}^2
\biggl[\Phi_{x_i}\Phi_{x_it} + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^2 (1-\delta_{ik} )\Phi_{x_i}\Phi_{x_k}\Phi_{x_ix_k} 
- \frac{1}{2} (c^2-\Phi_{x_i}^2 )\Phi_{x_ix_i}\biggr]=0, 
\end{equation} \tag{3} \]
где
\[ \begin{equation*}
c^2 = (\gamma-1 )\Bigl[M-\Phi_t-\frac{1}{2} (\Phi^2_{x_1}+\Phi^2_{x_2} )\Bigr],
\quad M= \rm const.
\end{equation*} \]

Далее с помощью преобразования Лежандра
\[ \begin{equation}
\Psi(t, u_1, u_2) = x_1u_1+x_2u_2-\Phi (t, x_1, x_2)+Mt
\end{equation} \tag{4} \]
делается переход к новой неизвестной функции $\Psi(t, u_1, u_2)$. Уравнение для $\Psi(t, u_1, u_2)$ строится из (3) с учетом (4) и введенных обозначений $u=u_1$, $v=u_2$:
\[ \begin{equation}
\Psi_{tt} (\Psi_{uu}\Psi_{vv}-\Psi^2_{uv} )+ [c^2- (\Psi_{ut}-u )^2 ]\Psi_{vv} +2 (\Psi_{ut}-u ) (\Psi_{vt}-v )\Psi_{uv} + [c^2- (\Psi_{vt}-v )^2 ]\Psi_{uu}=0,
\end{equation} \tag{5} \]
где $c^2 = 2\varkappa \bigl(\Psi_t- (u^2+v^2 )/2\bigr)$.

Начальное и граничное условия задачи (1), записанные для функции $\Psi(t, u, v)$, имеют вид
\[ \begin{equation}
\Psi(t, u, 0) = t\Bigl\lbrace \frac{u^2}{2} + 
\frac{\varkappa}{2}\Bigl[c_0 + \frac{u}{\varkappa} \Bigr]^2 \Bigr\rbrace
\end{equation} \tag{6} \]
и
\[ \begin{equation}
\Psi_v(t, u, u \operatorname{tg} \alpha) = \Psi_u(t, u, u \operatorname{tg} \alpha) \operatorname{tg} \alpha,
\end{equation} \tag{7} \]
где$c_0 = \rm const >0$.

Решение задачи (5)–(7) строится в пространстве годографа $u$, $v$ в виде ряда по степеням $v$. Для нахождения значений газодинамических параметров $c$, $u$, $v$ в пространстве физических переменных $t$, $x$, $y$ необходимо выполнять обратное преобразование Лежандра (4), а затем обратную замену (2).

В работе [3] получено частное точное решение задачи (5)–(7), описывающее двумерное течение газа при выполнении конкретного соотношения между показателем политропы $\gamma$ газа и тангенсом угла $\alpha$ наклона косой стенки:
\[ \begin{equation}
\operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{\gamma + 1}{3 - \gamma}.
\end{equation} \tag{8} \]

Здесь и далее случай выполнения равенства (8) будем называть случаем согласованного течения, и наоборот, когда соотношение (8) не выполняется, тогда рассматриваемый случай двумерного течения будет несогласованным.

Решение (5)–(7) в согласованном случае (8) в координатах $u$, $v$ имеет следующий вид [3]:
\[ \begin{equation}
c ( u, v ) = 1 + \varkappa u + \varkappa \sqrt \beta v,
\end{equation} \tag{9} \]
где $\beta={(\varkappa+1)}/{(1-\varkappa)}$. Видно, что решение (9) линейно относительно независимой переменной $v$, то есть коэффициенты $c_i(u ) = {\partial ^i c}/{\partial v^i}\big|_{v=0}$ ряда
\[ \begin{equation*}
c(u,v) = \sum_{i=0}^{\infty} c_i (u ) \frac{v^i}{i!}
\end{equation*} \]
при $i \geqslant 2$ равны $0$.

С. П. Баутиным и С. Л. Дерябиным [2, c. 196–214] в пространстве специальных независимых переменных (решение строилось для функции $\Psi$ в пространстве годографа) рассмотрена задача об истечении газа в вакуум при произвольном значении угла $\alpha$:$0 < \alpha < {\pi}/{2}$ — наклона косой стенки, не связанным со значением $\gamma$ (несогласованный случай). Доказано существование и единственность локально-аналитических решений соответствующих начально-краевых задач, построено решение (5)–(7) для функции $\Psi(t, u, v)$ в виде ряда по степеням $v$. Значения коэффициентов ряда для функции $\Psi(t, u, v)$ в явном виде не были найдены, значения газодинамических параметров $c$, $u$, $v$ течения газа в пространстве физических переменных $t$, $x$, $y$ не построены.

В цикле работ [4–6] автора настоящей статьи решение исходной системы уравнений газовой динамики (СУГД) рассматриваемой начально-краевой задачи (1) строится для компонент вектора $\mathbf{U} = (c,u,v )^\top$ в виде бесконечного ряда по степеням $\vartheta$, где $\vartheta$ — известная функция независимых физических автомодельных переменных $\xi = x/t$, $\eta = y/t$. В работе [4] построено транспортное уравнение для коэффициента $c_1(\xi)$ и найдено решение СУГД в согласованном случае. В работе [5] решение В. А. Сучкова применено к описанию двух способов газодинамического воздействия на специальный призматический объем. В работе [6] исходная начально-краевая задача (1) в результате двух невырожденных замен сводится к характеристической задаче Коши стандартного вида. Для этой новой начально-краевой задачи доказана теорема существования и единственности решения СУГД в виде сходящихся бесконечных рядов. Описан алгоритм построения коэффициентов ряда.

В настоящей работе впервые построено аналитическое решение транспортного уравнения для коэффициента $c_1 (\xi)$ решения СУГД, описывающего изэнтропическое истечение политропного газа с косой стенки в общем несогласованном случае в пространстве физических автомодельных переменных $\xi = x/t$, $\eta = y/t$. Для газа с показателем политропы $\gamma=5/3$ (водород) решение транспортного уравнения для коэффициента $c_1 ( \xi )$ также впервые построено в явном виде. Построенное решение начально-краевой задачи применено к описанию сильного сжатия газа в объеме с непроницаемыми стенками, представляющего собой в поперечном сечении правильный треугольник ($\alpha = \pi/3$).

1. Начально-краевая задача Коши стандартного вида для описания истечения газа в вакуум на косой стенке

В результате невырожденной замены $\xi = x/t$, $\eta = y/t$ исходная начально-краевая задача (1) для СУГД, решение которой при $t>0$ описывает разлет политропного газа в вакуум на косой стенке, записывается в векторно-матричном виде (см. работу [4]) для вектора $\mathbf{U} =(u_1, u_2, u_3 )^\top= (c, u, v )^\top$:
\[ \begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
A\mathbf{U}_\xi+B\mathbf{U}_\eta=\mathbf{0}, \\
\mathbf{U}\big|_{C^+}=\mathbf{U}_0, \\
u_3\big|_{\eta=\xi \operatorname{tg} \alpha} = u_2 \operatorname{tg} \alpha\big|_{\eta=\xi \operatorname{tg} \alpha}.
\end{array}
\right.
\end{equation} \tag{10} \]

Начальное условие задачи (10) задается значением вектора $\mathbf{U}$ на характеристике $C^+$ — $\mathbf{U}_0 = (c_0, u_0, 0 )^\top$. Звуковая характеристика $C^+$ задается уравнением $\eta =f(\xi)$, где $f(\xi)$ — неизвестная функция независимой переменной $\xi$. Краевое условие (граничное условие) задачи (10) задается в виде условия непротекания газа на косой стенке, определяемой уравнением $\eta=\xi \operatorname{tg} \alpha$. 

Матрицы $A$ и $B$ задачи (10) следующие:
\[ \begin{equation*}
A = \left(
\begin{array}{ccc}
u-\xi & \varkappa c & 0 \\ 
c/\varkappa & u-\xi & 0 \\ 
0 & 0 & u-\xi
\end{array}
\right),
\quad 
B = \left(
\begin{array}{ccc}
v-\eta & 0 & \varkappa c\\ 
0 & v-\eta & 0 \\ 
c/\varkappa & 0 & v-\eta
\end{array}
\right).
\end{equation*} \]

Начально-краевые условия, коэффициенты матриц $A$ и $B$ задачи (10) предполагаются аналитическими функциями.

Для приведения задачи (10) к характеристической задаче Коши стандартного вида сделаем замену переменных
\[ \begin{equation}
\vartheta =\eta -f(\xi ),\quad \xi '=\xi,
\end{equation} \tag{11} \]
где линия $\vartheta =0$ задает звуковую характеристику $C^+$. Якобиан $J$ замены (11) следующий:
\[ \begin{equation*}
J = \left|
\begin{array}{cc}
\vartheta _\eta & \vartheta _\xi \\ 
\xi'_\eta & \xi'_\xi
\end{array} \right| = \left|
\begin{array}{cc}
1 & - f' \\ 
0 & 1
\end{array}
\right| = 1 - 0\cdot f' = 1,
\end{equation*} \]
т.е. при выполнении условия $| f' | < \infty$ замена (11) невырожденная.

В результате замены (11) задача (10) преобразуется к виду
\[ \begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
[B-f'(\xi )A]\mathbf{U}_\vartheta +A\mathbf{U}_\xi=\mathbf{0}, \\
\mathbf{U}\big|_{\vartheta = 0}=\mathbf{U}_0, \\
u_3\big|_{\vartheta=\xi \operatorname{tg} \alpha - f(\xi)} = 
u_2 \operatorname{tg} \alpha\big|_{\vartheta=\xi \operatorname{tg} \alpha - f(\xi)}. 
\end{array}
\right.
\end{equation} \tag{12} \]

Задача (12) эквивалентна задаче (10). Новая замена переменных $\xi$, $\vartheta$ на переменные $\vartheta$, $\zeta$ по формулам
\[ \begin{equation}
\vartheta '=\vartheta, \quad 
\zeta =\vartheta +f(\xi )-\xi \operatorname{tg} \alpha
\end{equation} \tag{13} \]
приводит задачу (12) к следующему виду:
\[ \begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
[B-f'(\xi )A]\mathbf{U}_\vartheta+\left[B - \operatorname{tg} \alpha A\right]\mathbf{U}_\zeta=\mathbf{0}, \\
\mathbf{U}\big|_{\vartheta = 0}=\mathbf{U}_0, \\
u_3\big|_{\zeta=0} = u_2 \operatorname{tg} \alpha\big|_{\zeta=0}. 
\end{array}
\right.
\end{equation} \tag{14} \]

Из соотношения (13), неявно задающего функцию $\xi$ от $(\zeta -\vartheta )$, с учетом неравенства (16) однозначно определяется функция
\[ \begin{equation}
\xi =\varphi (\zeta-\vartheta).
\end{equation} \tag{15} \]

Далее для простоты записи будут сохраняться обозначения $f(\xi )$, $f'(\xi )$, $c_0(\xi )$, естественно, с учетом наличия связи (15).

Исходное уравнение косой стенки $y = x \operatorname{tg} \alpha$ в координатах $\vartheta$, $\zeta$ имеет вид $\zeta = 0$, т.е. косая стенка берется за новую координатную ось. Якобиан замены переменных (13) следующий:
\[ \begin{equation*}
J_2=\left| 
\begin{array}{cc}
\dfrac{\partial \zeta }{\partial \vartheta} & \dfrac{\partial \zeta }{\partial \xi }
\\
\dfrac{\partial \vartheta '}{\partial \vartheta} & \dfrac{\partial \vartheta '}{\partial \xi }
\end{array}
\right|=
\left| 
\begin{array}{cc}
1 & f'(\xi )-\operatorname{tg} \alpha 
\\
1 & 0
\end{array}
\right| = \operatorname{tg} \alpha -f'\left(\xi \right).
\end{equation*} \]

Чтобы замена (13) была невырожденной, необходимо выполнение неравенства
\[ \begin{equation}
J_2 = \operatorname{tg} \alpha -f'\left(\xi \right)\not=0,
\end{equation} \tag{16} \]
т.е. наклон косой стенки не равен наклону звуковой характеристики, разделяющей области центрированной и двойной волны. Неравенство (16) доказывается в работе [6].

Таким образом, начально-краевая задача (14) для вектора $\mathbf{U}$ записана в координатах $\vartheta$, $\zeta$. Начально-граничные условия (14) определены на прямых, задаваемых уравнениями $\vartheta = 0$ и $\zeta = 0$. Далее для построения локально-аналитического решения в окрестности точки $(\zeta=0, \vartheta =0)$ задачу (14) необходимо привести к форме характеристической задачи Коши стандартного вида. Для этого СУГД из задачи (14) слева умножается на матрицу $T_1$, а вектор $\mathbf{U}$ заменяется новым вектором:
\[ \begin{equation*}
\mathbf{W} = T^{-1}_2 \mathbf{U}= (w_{1} , w_{2} , w_{3} )^\top = 
\Bigl(
c+v \dfrac{\varkappa}{c_0} ( c_0f' - f ), u+vf', - \dfrac{\varkappa}{c_0} v \Bigr)^\top.
\end{equation*} \]

Невырожденные матрицы $T_1$, $T_2$, элементы которых есть аналитические функции независимой переменной $\xi$, имеют вид
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{l}
T_1 = \left( \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\ 
1 & 0 & 0 \\
c_0f' - f & \varkappa c_0f' & -\varkappa{c_0}
\end{array} \right), \quad
T_2 = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & c_0f' - f \\ 
0 & 1 & c_0f'/\varkappa \\ 
0 & 0 & -c_0/\varkappa
\end{array} \right).
\end{array}
\end{equation*} \]

Начальное условие для вектора $\mathbf{U}$ заменяется начальным условием для вектора $\mathbf{W}$:
\[ \begin{equation*}
\left.\mathbf{W}\right|_{\vartheta = 0}=\mathbf{W}_0 = \left(
\begin{array}{l}
w_{1,0}, w_{2,0}, w_{3,0}
\end{array}
\right)^\top = \left(
\begin{array}{l} 
c_0, u_0, 0
\end{array}
\right)^\top.
\end{equation*} \]

Краевое условие задачи (14)
\[ \begin{equation*}
u_3\big|_{\zeta=0} = u_2 \operatorname{tg} \alpha\big|_{\zeta=0}
\end{equation*} \]
переписывается через компоненты вектора $\mathbf{W}$ и преобразуется к виду
\[ \begin{equation*}
w_3\big|_{\zeta=0}=g (\vartheta )w_2\big|_{\zeta=0},
\end{equation*} \]
где $g(\vartheta) = - 
\bigl[\frac{\varkappa }{c_0 (\varphi (\zeta-\vartheta ) )}\frac{\operatorname{tg} \alpha }{ [1+f'_\xi (\varphi (\zeta-\vartheta ) )\operatorname{tg} \alpha ]}\bigr]_{\zeta=0}$.

Окончательно начально-краевая задача (14) имеет вид
\[ \begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
T_1[B-f'A]T_2 \mathbf{W}_\vartheta + T_1[B-\operatorname{tg} \alpha A]T_2\mathbf{W}_\zeta+ {}
\\
\qquad \qquad \qquad {}+ T_1 [B-\operatorname{tg} \alpha A] \frac{\partial T_2}{\partial \xi} \frac{\mathbf{W}}{f'-\operatorname{tg} \alpha}=\mathbf{0}, 
\\
\mathbf{W}\big|_{\vartheta = 0}=\mathbf{W}_0, 
\\
w_3\big|_{\zeta=0}=g(\vartheta )w_2\big|_{\zeta=0}. 
\end{array}
\right.
\end{equation} \tag{17} \]

Задача (17) эквивалентна задаче (12), а та, в свою очередь, задаче (10), так как замены (11) и (13) невырожденные. Для того чтобы задача (17) была характеристической задачей Коши стандартного вида, необходимо выполнение следующего условия при $\vartheta=0$ (см. работу [7]):
\[ \begin{equation*}
\det { (T_1[B-f'(\xi )A]T_2 ) \big|_{\mathbf{W} = \mathbf{W}_0\atop \vartheta = 0}} \equiv 0.
\end{equation*} \]

Известно, что определитель произведения матриц равен произведению определителей каждой из матриц, отсюда
\[ \begin{equation*}
\det { T_1 \big|_{\mathbf{W} = \mathbf{W}_0\atop \vartheta = 0}}\cdot
\det { [B-f'(\xi )A] \big|_{\mathbf{W} = \mathbf{W}_0\atop \vartheta = 0}}\cdot 
\det { T_2 \big|_{\mathbf{W} = \mathbf{W}_0\atop \vartheta = 0}} \equiv 0,
\end{equation*} \] 
т. к. матрицы $T_1$ и $T_2$ невырожденные, их определители отличны от нуля. В результате получаем матричное уравнение
\[ \begin{equation}
\det {[B-f'(\xi )A] \big|_{\mathbf{U} = \mathbf{U}_0\atop \vartheta = 0}} \equiv 0,
\end{equation} \tag{18} \]
решение которого дает выражение для функции $f(\xi)$ в явном виде:
\[ \begin{equation*}
f(\xi) = \pm\left\{
\begin{array}{lll}
c_0 \sqrt {\operatorname{tg}^2 \alpha - 2 \ln c_0}, &\varkappa = 1 &(\gamma = 3 ), \\
c_0 \sqrt {\beta + c_0^{\frac{1 - \varkappa}{\varkappa}} (\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta )}, &
\varkappa \ne 1 &(\gamma \neq 3). 
\end{array}
\right.
\end{equation*} \]

В работе [6] для задачи (17) доказывается 

Теорема. Поставленная задача (17) при найденной функции $f(\xi )$ является характеристической задачей Коши стандартного вида и поэтому у нее в некоторой окрестности точки $(\zeta=0, \vartheta =0)$ существует единственное локально-аналитическое решение, представимое в виде сходящегося ряда
\[ \begin{equation*}
\mathbf{W}(\zeta ,\vartheta )=\sum\limits_{k=0}^\infty \mathbf{W}_k(\zeta )\frac{\vartheta ^k}{k!},
\quad 
\mathbf{W}_k(\zeta )= \frac{\partial ^k\mathbf{W}}{\partial \vartheta ^k}\Bigr|_{\vartheta =0}.
\end{equation*} \]

Алгоритм построения решения задачи (17) в пространстве специальных переменных $\vartheta$, $\zeta$ подробно описан в работе [6]. Для построения решения задачи (17) в пространстве физических автомодельных переменных $\xi$, $\eta$ необходимо осуществлять обратное преобразование согласно заменам (11) и (13), что в общем (несогласованном) случае выполнить в явном виде затруднительно. Поэтому искомое двумерное течение будет строиться как решение задачи (12) в пространстве переменных $\xi$, $\vartheta$ в виде сходящегося ряда по степеням $\vartheta$:
\[ \begin{equation}
\mathbf{U}(\xi ,\vartheta )=\sum\limits_{k=0}^\infty \mathbf{U}_k(\xi )\frac{\vartheta ^k}{k!},
\quad 
\mathbf{U}_k(\xi )= \frac{\partial ^k\mathbf{U}}{\partial \vartheta ^k}\Bigr|_{\vartheta =0},
\end{equation} \tag{19} \]
так как задачи (17) и (12) эквивалентны. Начальное условие для транспортного уравнения задачи (12) будет строиться из граничного условия задачи (17).

2. Построение транспортного уравнения и уравнения начальных условий для коэффициента $\boldsymbol{c_1( \xi )}$ рассматриваемой начально-краевой задачи

При подстановке в СУГД задачи (12) значения $\vartheta=0$ получаем соотношения между функциями $c_1 ( \xi )$, $u_1 ( \xi )$ и $v_1 ( \xi )$:
\[ \begin{equation}
u_1 = \dfrac{c_1}{\varkappa} \dfrac{c_0f'}{c_0 f' - f},\quad 
v_1 = - \dfrac{c_1}{\varkappa} \dfrac{c_0}{c_0 f' - f}.
\end{equation} \tag{20} \]

Для построения транспортного уравнения (дифференциальное уравнение для нахождения коэффициента $c_1( \xi)$) необходимо систему (12) продифференцировать по переменной $\vartheta$ и подставить значение $\vartheta=0$. При этом в соответствии с (19) будут справедливы следующие соотношения:
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{lllll}
c \big|_{\vartheta = 0} = c_0, & c_\xi \big|_{\vartheta = 0} = c'_0, & 
c_\vartheta \big|_{\vartheta = 0} = c_1, & c_{\xi \vartheta} \big|_{\vartheta = 0} = c'_1, &
c_{\vartheta \vartheta} \big|_{\vartheta = 0} = c_2, 
\\
u \big|_{\vartheta = 0} = u_0, & u_\xi \big|_{\vartheta = 0} = u'_0, & 
u_\vartheta \big|_{\vartheta = 0} = u_1, & u_{\xi \vartheta} \big|_{\vartheta = 0} = u'_1, & 
u_{\vartheta \vartheta} \big|_{\vartheta = 0} = u_2,
\\
v \big|_{\vartheta = 0} = 0, & v_\xi \big|_{\vartheta = 0} = 0, & 
v_\vartheta \big|_{\vartheta = 0} = v_1, & v_{\xi \vartheta} \big|_{\vartheta = 0} = v'_1, & 
v_{\vartheta \vartheta} \big|_{\vartheta = 0} = v_2, 
\end{array}
\end{equation*} \]
в результате система (12) принимает следующий вид:
\[ \begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
u_1 c'_0 - c_0 c'_1 + \varkappa c_1 u'_0 + \varkappa c_0 u'_1 + ( v_1 - 1 - u_1 f' ) c_1 + 
 ( c_0 f' - f ) c_2 - \varkappa f' c_1 u_1 - \varkappa f' c_0 u_2 + \varkappa c_1 v_1 + \varkappa c_0 v_2 = 0, 
\\
c_1 c'_0 + c_0 c'_1 + \varkappa u_1 u'_0 - \varkappa c_0 u'_1 - c_1^2 f' - c_0 f'c_2 + \varkappa 
( c_0 f' - f ) u_2 + \varkappa ( v_1 - 1 - u_1 f' ) u_1 = 0, 
\\
- \varkappa c_0 v'_1 + c_1^2 + c_0 c_2 + \varkappa ( v_1 - 1 - u_1 f' )v_1 + \varkappa ( c_0 f' - f ) v_2 = 0. 
\end{array}
\right.
\end{equation} \tag{21} \]

Из второго и третьего уравнения системы (21) выразим $u_2( \xi )$ и $v_2( \xi )$:
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{l}
u_2 = - \dfrac{ c_1 c'_0 + c_0 c'_1 + \varkappa u_1 u'_0 - \varkappa c_0 u'_1 - c_1^2 f' - c_0 f' c_2 + \varkappa ( v_1 - 1 - u_1 f' ) u_1}{\varkappa ( c_0 f' - f )}, 
\\
v_2 = - \dfrac{c_1^2 + c_0 c_2 + \varkappa ( v_1 - 1 - u_1 f' ) v_1 - \varkappa c_0 v'_1}{\varkappa ( c_0 f' - f )}. 
\end{array}
\end{equation*} \]

Подставим выражения для $u_2( \xi )$ и $v_2( \xi )$ в первое уравнение системы (21), в нем сгруппируем слагаемые, содержащие коэффициент $c_2( \xi )$, в результате получим следующее уравнение:
\[ \begin{multline*}
u_1 c'_0 + \varkappa c_1 u'_0 - c_0 c'_1 + \varkappa c_0 u'_1 + [ v_1 - 1 - u_1 f' ] c_1 - \varkappa f' c_1 u_1 + \varkappa c_1 v_1 - \varkappa c_0 f' \Bigl[ \dfrac{c_1^2}{\varkappa } \dfrac{f'}{c_0 f' - f} - 
\dfrac{ ( v_1 - 1 - u_1 f' )u_1}{c_0 f' - f} + \dfrac{c_0 u'_1}{c_0 f' - f} - \dfrac{c_0}{\varkappa }\dfrac{c'_1}{c_0 f' - f} \Bigr] - {}
\\
{}
- \varkappa c_0 f' \Bigl[ - \dfrac{u_1 u'_0}{c_0 f' - f} - \dfrac{c'_0}{\varkappa }\dfrac{c_1}{c_0 f' - f} \Bigr] + \varkappa c_0 \Bigl[ \dfrac{c_0 v'_1}{c_0 f' - f} - \dfrac{c_1^2}{\varkappa }\dfrac{1}{c_0 f' - f} \Bigr] - \varkappa c_0 v_1 \dfrac{v_1 - 1 - u_1 f'}{c_0 f' - f} + c_2 \dfrac{ ( c_0 f' - f )^2 - ( c_0 f' )^2 - c_0^2 }{c_0 f' - f} = 0. 
\end{multline*} \]

Множитель при коэффициенте $c_2( \xi )$ тождественно равен нулю, так как справедливо соотношение (18). В результате получаем дифференциальное уравнение относительно коэффициентов $c_1( \xi )$, $u_1( \xi )$ и $v_1( \xi )$:
\[ \begin{multline}
u_1 c'_0 + \varkappa c_1 u'_0 - c_0 c'_1 + \varkappa c_0 u'_1 + [ v_1 - 1 - u_1 f' ] c_1 - \varkappa f' c_1 u_1 + \varkappa c_1 v_1 - \varkappa c_0 f' \Bigl[ \dfrac{c_1^2}{\varkappa } \dfrac{f'}{c_0 f' - f} - 
\dfrac{ ( v_1 - 1 - u_1 f' )u_1}{c_0 f' - f} + \dfrac{c_0 u'_1}{c_0 f' - f} - \dfrac{c_0}{\varkappa }\dfrac{c'_1}{c_0 f' - f} \Bigr] - {}
\\
{}- \varkappa c_0 f' \Bigl[ - \dfrac{u_1 u'_0}{c_0 f' - f} - \dfrac{c'_0}{\varkappa }\dfrac{c_1}{c_0 f' - f} \Bigr] + 
\varkappa c_0 \Bigl[ \dfrac{c_0 v'_1}{c_0 f' - f} - \dfrac{c_1^2}{\varkappa }\dfrac{1}{c_0 f' - f} \Bigr] - \varkappa c_0 v_1 \dfrac{v_1 - 1 - u_1 f'}{c_0 f' - f} = 0. 
\end{multline} \tag{22} \]

Используя соотношения (20), можно свести уравнение (22) к дифференциальному уравнению относительно неизвестной функции $c_1( \xi )$ и построить таким образом транспортное уравнение. После упрощений в результате элементарных преобразований исходное уравнение (22) записывается в нормализованном виде:
\[ \begin{equation}
c'_1 - \Bigl[\frac{c_0^2}{f^2} - 1 - \frac{4}{\varkappa+1}\frac{c_0^2}{c_0^2 + f^2}\Bigr] 
\frac{c_1}{2c_0} - \frac{\varkappa+1}{\varkappa}\frac{ (c_0^2 + f^2 )^2}{4c_0^2 f^3} c_1^2 = 0.
\end{equation} \tag{23} \]

Рассмотрим общий несогласованный случай, когда $\varkappa \ne 1$, $\gamma \ne 3$, тогда функцию $f( \xi )$ можно записать в виде произведения
\[ \begin{equation}
f( \xi ) =c_0( \xi ) R( \xi ),
\end{equation} \tag{24} \]
где $R( \xi ) = \sqrt{\beta + c_0^{(1-\varkappa)/\varkappa} (\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta )}$. Тогда уравнение (23) можно упростить до следующего вида:
\[ \begin{equation}
c'_1 - \Bigl[\frac{1}{R^2} - 1 - \frac{4}{\varkappa+1}\frac{1}{R^2 + 1}\Bigr] \frac{c_1}{2c_0} - \frac{\varkappa+1}{\varkappa}\frac{ (1 + R^2 )^2}{4 R^3} \frac{c_1^2}{c_0} = 0.
\end{equation} \tag{25} \]

Построим начальное условие для транспортного уравнения (25). Для этого краевое условие из задачи (17) продифференцируем по $\vartheta$ и в получившееся соотношение 
\[ \begin{equation*}
w_{3\vartheta }\big|_{\zeta =0}=\bigl[g' (\vartheta ) w_2+g (\vartheta )w_{2\vartheta }\bigr]_{\zeta =0}
\end{equation*} \]
подставим значение $\vartheta =0$:
\[ \begin{equation*}
w_{3,1}\big|_{\zeta=0}= g'_{\vartheta} (0 ) w_{2,0}\big|_{\zeta=0} + g (0 ) w_{2,1}\big|_{\zeta=0}.
\end{equation*} \]
Здесь $g(0)$ и $g'(0)$ — значения функции $g(\vartheta)$ и ее производной по $\vartheta$ при $\vartheta =0$. Так как $w_{2,0}\big|_{\zeta=0}= u_0\big|_{\zeta=0}=0$, выполняется
\[ \begin{equation}
w_{3,1}\big|_{\zeta=0}= g (0 ) w_{2,1}\big|_{\zeta=0}.
\end{equation} \tag{26} \]

По определению $w_{3,1}\big|_{\zeta=0}= -\frac{\varkappa}{c_0}v_1\big|_{\zeta=0}$. Для определения начального условия для уравнения (25) необходимо найти явный вид для выражения $w_{2,1}\big|_{\zeta=0}$. Для этого в систему из задачи (17) подставим значение $\vartheta=0$. С учетом вида функций $w_1$, $w_2$, $w_3$ и $w'_{1\zeta}$, $w'_{2\zeta}$, $w'_{3\zeta}$ и $w'_{1\vartheta}$, $w'_{2\vartheta}$, $w'_{3\vartheta}$ при $\vartheta = 0$ система (17) принимает вид
\[ \begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
-\dfrac{c_0}{\varkappa}f'w_{1,1}+ (c_0f'-f )w_{2,1}=\dfrac{u'_0f}{f'-\operatorname{tg} \alpha}, 
\\
 (c_0f'-f )w_{1,1}-\varkappa c_0f' w_{2,1} = \dfrac{c'_0f}{f'-\operatorname{tg} \alpha}. 
\end{array}
\right.
\end{equation} \tag{27} \]

Система (27) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, решив которую, найдем функции $w_{1,1}$, $w_{2,1}$:
\[ \begin{equation*}
w_{1,1} = - \frac{c'_0}{f'-\operatorname{tg} \alpha}, \quad 
w_{2,1}=-\frac{u'_0}{f'-\operatorname{tg} \alpha}.
\end{equation*} \]

Подставим в (26) выражения для $w_{3,1}$, $w_{2,1}$, $g (0)$:
\[ \begin{equation*}
v_1\big|_{\zeta=0}= -\frac{u'_0}{f'-\operatorname{tg} \alpha} \frac{\operatorname{tg} \alpha}{1+f'\operatorname{tg} \alpha} \Big|_{\zeta=0}.
\end{equation*} \]

С учетом связи (20) между функциями $c_1( \xi )$ и $v_1( \xi )$ и уравнением характеристики (24) получим начальное условие для $c_1( \xi )$ в случае, когда $\varkappa \ne 1$, $\gamma \ne 3$:
\[ \begin{equation*}
c_1\big|_{\zeta=0}=-\dfrac{2c'_0 R (1 + R^2 )}{R^2 - 2 R\operatorname{tg} \alpha - 1} 
\dfrac{\operatorname{tg} \alpha}{2 R + \operatorname{tg} \alpha ( R^2 -1 )} \Big|_{\zeta=0}.
\end{equation*} \]

При $\zeta = 0$ и $\vartheta=0$, т. е. когда $\xi=1$, значение $c_0 (1 ) = 1$, а значение $R(\xi=1) = \operatorname{tg} \alpha$; отсюда
\[ \begin{equation}
c_1\big|_{\xi=1}=\frac{2 c'_0 \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg}^2 \alpha + 1}.
\end{equation} \tag{28} \]

Таким образом, с учетом (25) и (28) задача Коши для транспортного уравнения рассматриваемой СУГД в общем несогласованном случае при $\varkappa \ne 1$, $\gamma \ne 3$ будет иметь вид
\[ \begin{equation}
\left\{
\begin{gathered}
c'_1 -P(\xi)c_1 - Q(\xi) c_1^2 = 0, \hfill \\
c_1\big|_{\xi=1}=\dfrac{2 c'_0 \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg}^2 \alpha + 1}, \hfill
\end{gathered}\right.
\end{equation} \tag{29} \]
где 
\[ \begin{equation*}
P(\xi) = \dfrac{1}{2c_0} \Bigl[\dfrac{1}{R^2} - 1 - \dfrac{4}{\varkappa+1}\dfrac{1}{R^2 + 1}\Bigr],
\quad 
Q(\xi) = \dfrac{ (1 + R^2 )^2}{4c'_0 c_0 R^3}.
\end{equation*} \]

Первое уравнение задачи (29) — дифференциальное уравнение Бернулли, решение которого можно выписать в квадратурах.

3. Решение транспортного уравнения для коэффициента $\boldsymbol{c_1( \xi )}$ в несогласованном случае при $\boldsymbol{\varkappa \ne 1}$, $\boldsymbol{\gamma \ne 3}$

Запишем функцию $c_1( \xi )$ как произведение двух неизвестных функций $c_1(\xi) = q(\xi)p(\xi)$ и подставим в первое уравнение задачи (29):
\[ \begin{equation}
p'q + (q'-P(\xi)q) p - Q(\xi) p^2q^2 = 0.
\end{equation} \tag{30} \]

Коэффициент при $p( \xi )$ в уравнении (30) зануляется и значение $q( \xi )$ находится из решения дифференциального уравнения
\[ \begin{equation}
q'-P(\xi)q = 0.
\end{equation} \tag{31} \]
Решением (31) будет функция
\[ \begin{equation*}
q(\xi) = \exp \biggl(\int{P(\xi)d\xi}\biggr).
\end{equation*} \]

Найдем значение интеграла, стоящего в показателе экспоненты:
\[ \begin{equation*}
\int{P(\xi)d\xi} = \dfrac{1}{2c'_0} \int{\dfrac{dc_0}{c_0 (\beta + c_0^{1/\varkappa - 1} 
(\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta ) )}} - \dfrac{1}{2c'_0} \int{\dfrac{dc_0}{c_0}} - \dfrac{2}{\varkappa} \int{\dfrac{dc_0}{c_0 (\beta+1 + c_0^{1/\varkappa - 1} (\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta ) )}}. 
\end{equation*} \]

Сделаем замену переменных:
\[ \begin{equation}
z = c_0^{1/\varkappa},\quad c_0 = z^{\varkappa},\quad dc_0 = \varkappa z^{\varkappa-1}dz.
\end{equation} \tag{32} \]
Здесь и далее предполагается, что $\varkappa \in \mathbb{Q}$. В результате будем иметь
\[ \begin{equation*}
\int{P(\xi)d\xi} = \dfrac{\varkappa + 1}{2} 
\int{\dfrac{z^{\varkappa-2}dz}{\beta z^{\varkappa-1} + \operatorname{tg}^2 \alpha - \beta}} - 
2 \int{\dfrac{z^{\varkappa-2}dz}{(\beta +1)z^{\varkappa-1} + \operatorname{tg}^2 \alpha - \beta}} - \dfrac{1}{2c'_0} \ln c_0 = 
\ln \biggl( \dfrac{c_0^{(\varkappa-1)/\varkappa} ( \beta + 1 + c_0^{(1-\varkappa)/\varkappa} (\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta ) ) }{c_0 \sqrt{\beta + c_0^{(1-\varkappa)/\varkappa} (\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta)}} \biggr). 
\end{equation*} \]
В результате
\[ \begin{equation}
q(\xi) = \dfrac{c_0^{(\varkappa-1)/\varkappa} ( \beta + 1 + c_0^{(1-\varkappa)/\varkappa} 
(\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta ) ) }{c_0 \sqrt{\beta + c_0^{(1-\varkappa)/\varkappa} (\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta )}} =
 \dfrac{c_0^2 + f^2}{c_0^{(\varkappa+1)/\varkappa}f} = \dfrac{1+R^2}{c_0^{1/\varkappa}R}.
\end{equation} \tag{33} \]

Функция $p( \xi )$ является решением уравнения
\[ \begin{equation*}
\dfrac{dp}{p^2} = \frac{1}{c'_0} Q(c_0)q(c_0)dc_0,
\end{equation*} \]
отсюда
\[ \begin{equation}
\tilde{C} - \dfrac{1}{p} = \Bigl(\dfrac{\varkappa+1}{2\varkappa}\Bigr)^2 
\int{\dfrac{ (1+R^2 )^3}{c_0^{(\varkappa+1)/\varkappa}R^4}dc_0},
\end{equation} \tag{34} \]
где $\tilde{C}$ — константа интегрирования. 

Вычислим интеграл, стоящий в правой части выражения (34). После замены (32) интеграл переписывается следующим образом:
\[ \begin{multline}
\int{\dfrac{ (1+R^2 )^3}{c_0^{(\varkappa+1)/\varkappa}R^4}dc_0} = 
\int{\dfrac{dc_0}{c_0^{(\varkappa+1)/\varkappa}R^4}} + 
3\int{\frac{dc_0}{c_0^{(\varkappa+1)/\varkappa}R^2}}+ 
3 \int{\frac{dc_0}{c_0^{(\varkappa+1)/\varkappa}}} + \int{\dfrac{R^2dc_0}{c_0^{(\varkappa+1)/\varkappa}}} = {}
\\
{}
= - \frac{ \operatorname{tg}^2 \alpha - \beta }{c_0} + 
3\varkappa \int{\dfrac{z^{\varkappa-3}dz}{ (z^{\varkappa-1}\beta + (\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta ) )}} -\frac{\varkappa \left(\beta + 3 \right)}{c_0^{1/\varkappa}} + 
 \varkappa \int{\dfrac{dz}{z^{4-2\varkappa} (z^{\varkappa-1}\beta + (\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta ) )^2}}. 
\end{multline} \tag{35} \]
Последний интеграл в выражении (35) берется по частям:
\[ \begin{equation}
\int{\dfrac{dz}{z^{4-2\varkappa} (z^{\varkappa-1}\beta + (\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta ) \ )^2}} = 
\dfrac{1}{\beta (\varkappa-1 )}
\int{\dfrac{z^{\varkappa-2}d{\beta z^{\varkappa-1}}}{ (z^{\varkappa-1}\beta + (\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta ) )^2}}= \dfrac{1}{\varkappa+1}
\Bigl[-\dfrac{z^{\varkappa-2}}{z^{\varkappa-1}\beta + (\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta )} + 
(\varkappa-2) 
\int{\dfrac{z^{\varkappa-3}dz}{z^{\varkappa-1}\beta + (\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta )}}
\Bigr]. 
\end{equation} \tag{36} \]
Выражение (36) подставим в (35):
\[ \begin{equation}
\int{\dfrac{ (1+R^2 )^3}{c_0^{(\varkappa+1)/\varkappa}R^4}dc_0} =
-\frac{\varkappa (\beta + 3 )}{c_0^{1/\varkappa}} - 
\frac{ (\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta )}{c_0} + \frac{\varkappa}{\varkappa+1} \frac{z^{\varkappa-2}}{z^{\varkappa-1}\beta + (\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta )} + 
\frac{\varkappa (2\varkappa+5 )}{\varkappa+1} 
\int \frac{z^{\varkappa-3}dz}{z^{\varkappa-1}\beta + (\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta )}.
\end{equation} \tag{37} \]

Введем обозначение $\displaystyle I (\xi ) = \int{\frac{dz}{z^2 (\beta + z^{1-\varkappa} (\operatorname{tg}^2 \alpha - \beta ) )}}$ и подставим выражение (37) в (34):
\[ \begin{equation}
\tilde{C_1} - \frac{1}{p} \Bigl(\frac{2\varkappa}{\varkappa+1}\Bigr)^2 = 
-\frac{1}{c_0^{1/\varkappa}} \Bigl(2\varkappa-1+\frac{f^2}{c_0^2}-\frac{\varkappa}{\varkappa+1} \frac{c_0^2}{f^2} \Bigr) + 
\frac{\varkappa (2\varkappa+5 )}{\varkappa+1} I (\xi ),
\end{equation} \tag{38} \]
где $\tilde{C_1} = \tilde{C} ( {2\varkappa}/({\varkappa+1}) )^2$. Из выражения (38) выразим функцию $p( \xi )$:
\[ \begin{equation}
\label{eq71}
p(\xi) = \Bigl(\dfrac{2\varkappa}{\varkappa+1} \Bigr)^2 
\Bigl[
\tilde{C_1} + \Bigl(2\varkappa-1+\dfrac{f^2}{c_0^2}-\dfrac{\varkappa}{\varkappa+1} \dfrac{c_0^2}{f^2} \Bigr)c_0^{-1/\varkappa} - \dfrac{\varkappa(2\varkappa+5)}{\varkappa+1} I (\xi ) \Bigr]^{-1}.
\end{equation} \tag{39} \]
С учетом (33) и (39) запишем выражение для функции $c_1( \xi )$:
\[ \begin{equation}
c_1(\xi) = \dfrac{c_0^2+f^2}{c_0f} \Bigl(\dfrac{2\varkappa}{\varkappa+1} \Bigr)^2 
\Bigl[\tilde{C_1}c_0^{1/\varkappa} + 
\Bigl(2\varkappa-1+\dfrac{f^2}{c_0^2} -
\dfrac{\varkappa}{\varkappa+1} \dfrac{c_0^2}{f^2} \Bigr) - \dfrac{\varkappa(2\varkappa+5)}{\varkappa+1}c_0^{1/\varkappa} I (\xi ) \Bigr]^{-1}. 
\end{equation} \tag{40} \]

Найдем значение константы интегрирования $\tilde{C}$ из начального условия, для этого приравняем выражение для $c_1( \xi )$ из (28) и (40) при $\xi = 1$:
\[ \begin{equation*}
\tilde{C} = \frac{\varkappa+1}{2\varkappa} 
\Bigl( \frac{\varkappa-1}{2\varkappa}\operatorname{tg}^2\alpha + \frac{3}{2\operatorname{tg}^2\alpha} +\frac{3}{2}-\varkappa +\frac{1}{2\varkappa}+\frac{2\varkappa+5}{2}I (1 ) \Bigr).
\end{equation*} \]

Подставим $\tilde{C}$ в (40) и окончательно получим выражение для $c_1( \xi )$ в рассматриваемом случае:
\[ \begin{equation*}
c_1 ( \xi ) = \frac{2\varkappa}{\varkappa+1}\frac{c_0^2 + f^2}{c_0f} M(\xi)^{-1},
\end{equation*} \]
где 
\[ \begin{equation*}
M(\xi) =c_0^{1/\varkappa}
\Bigl(\frac{\varkappa-1}{2\varkappa}\operatorname{tg}^2\alpha + \frac{3}{2\operatorname{tg}^2\alpha} +\frac{3}{2}-\varkappa +\frac{1}{2\varkappa} \Bigr) +\varkappa+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\varkappa} +\frac{\varkappa+1}{2\varkappa}\frac{f^2}{c_0^2}
-\frac{1}{2}\frac{c_0^2}{f^2}-\frac{2\varkappa+5}{2}c_0^{1/\varkappa} \bigl(I( \xi ) -I ( 1 ) \bigr).
\end{equation*} \]
Зная $c_1( \xi )$, можно найти $u_1( \xi )$ и $v_1( \xi )$, используя соотношения (20):
\[ \begin{equation*}
u_1( \xi ) = \frac{2}{\varkappa+1}\frac{c_0^2-f^2}{c_0f}M(\xi)^{-1}, \quad 
v_1( \xi ) = \frac{4}{\varkappa+1}M(\xi)^{-1}.
\end{equation*} \]

Используя построенное решение (функции $c_1\left(\xi \right)$,$u_1\left(\xi \right)$ и $v_1\left(\xi \right)$), рассмотрим квазисогласованное приближение, когда условие согласования (8) не выполняется, но коэффициенты рядов $c_i$, $u_i$ и $v_i$ равны нулю при $i \geqslant 2$:
\[ \begin{equation}
c=c_0+c_1 \vartheta,\quad 
u=u_0+u_1 \vartheta,\quad 
v=v_1 \vartheta.
\end{equation} \tag{41} \]

Можно показать, что решение (41) в координатах $u$, $v$ будет иметь вид
\[ \begin{equation}
c=1+\varkappa u + \varkappa \frac{f}{c_0}v,
\end{equation} \tag{42} \]
где $f( \xi )=c_0 \sqrt{\beta + c_0^{1/\varkappa-1} (\operatorname{tg}^2 \alpha -\beta ) }$. Из сравнения формул (9) и (42) видно, что в согласованном случае поверхность функции $c( \xi )$ есть плоскость в переменных $u$, $v$, а в квазисогласованном случае это криволинейная поверхность, так как коэффициент при переменной $v$ есть функция независимой переменной $\xi$.

4. Решение транспортного уравнения для коэффициента $\boldsymbol{c_1( \xi )}$ в несогласованном случае при $\boldsymbol{\gamma = 5/3}$

При произвольном значении ${\varkappa \in \mathbb{Q}}$ интеграл $I(\xi)$ в элементарных функциях не берется. Рассмотрим случай, когда $\gamma = 5/3$ ($\varkappa = 1/3$, $\beta=2$ — водород), тогда интеграл $I(\xi)$ принимает вид, который допускает его интегрирование в элементарных функциях: 
\[ \begin{equation}
I (\xi)\big|_{\varkappa = 1/3} = \int{\frac{dz}{z^2 (2 + z^{2/3} (\operatorname{tg}^2 \alpha - 2 ) )}}.
\end{equation} \tag{43} \]
После замены $z = t^3$ интеграл (43) преобразуется к виду
\[ \begin{equation*}
I (\xi)\big|_{\varkappa = 1/3} = 3 \int{\dfrac{dt}{t^4 ( 2+ t^2 (\operatorname{tg}^2 \alpha -2 ) )}}.
\end{equation*} \]
Дробь, стоящая под знаком интеграла, дважды раскладывается на сумму простейших дробей, и после интегрирования имеем
\[ \begin{equation*}
I (\xi)\big|_{\varkappa = 1/3} = -\dfrac{1}{2c_0^3} + \dfrac{3 (\operatorname{tg}^2 \alpha -2 )}{4c_0} + 
\dfrac{3 (\operatorname{tg}^2 \alpha -2 )^{3/2}}{4\sqrt{2}} \operatorname{arctg} \dfrac{c_0}{\sqrt{2/ (\operatorname{tg}^2 \alpha -2 )}}.
\end{equation*} \]
При этом
\[ \begin{equation*}
I (1)\big|_{\varkappa = 1/3} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3 (\operatorname{tg}^2 \alpha -2 )}{4} + \dfrac{3 (\operatorname{tg}^2 \alpha -2 )^{3/2}}{4\sqrt{2}} \operatorname{arctg} \dfrac{1}{\sqrt{2/ (\operatorname{tg}^2 \alpha -2 )}}.
\end{equation*} \]

Подставим выражение для $I (\xi)\big|_{\varkappa = 1/3}$и$I (1)\bigl|_{\varkappa = 1/3}$ в (40), получим выражение для функции $c_1(\xi)$ в явном виде при $\gamma=5/3$ $(\varkappa = 1/3)$:
\[ \begin{equation}
c_1(\xi)\big|_{\varkappa=1/3} = \dfrac{3+c_0^2 ( \operatorname{tg}^2 \alpha -2 )}{\sqrt{2+c_0^2 ( \operatorname{tg}^2 \alpha -2 )}} \frac{1}{M(\xi)\big|_{\varkappa=1/3}},
\end{equation} \tag{44} \]
где
\[ \begin{multline*}
M(\xi)\big|_{\varkappa=1/3} = -6 c_0^3 + 2.25c_0^3 \operatorname{tg}^2 \alpha + \frac{3c_0^3}{\operatorname{tg}^2 \alpha} + 9\frac{1}{2} - \frac{1}{4}c_0^2 (\operatorname{tg}^2 \alpha - 2 ) + {}
\\
{} + \frac{17\sqrt{2}}{8}c_0^3 (\operatorname{tg}^2 \alpha - 2 )^{3/2} \operatorname{arctg} \sqrt{\frac{1}{2} (\operatorname{tg}^2 \alpha - 2 )} - \dfrac{1}{2+c_0^2 (\operatorname{tg}^2 \alpha - 2 )} - \frac{17 \sqrt{2}}{8}c_0^3 ( \operatorname{tg}^2 \alpha -2 )^{3/2} \operatorname{arctg} \frac{c_0}{\sqrt{2/(\operatorname{tg}^2 \alpha -2 )}}.
\end{multline*} \]

Из выражения для $c_1(\xi)\big|_{\varkappa=1/3}$ легко найти выражения для $u_1( \xi )\big|_{\varkappa=1/3}$и$v_1( \xi )\big|_{\varkappa=1/3}$ также в явном виде:
\[ \begin{equation}
\begin{gathered}
u_1( \xi )\big|_{\varkappa=1/3} = -\frac{3 ( 1+c_0^2 ( \operatorname{tg}^2 \alpha -2 ) ) }{2\sqrt{2+c_0^2 ( \operatorname{tg}^2 \alpha -2 )}} \frac{1}{ M(\xi)\big|_{\varkappa=1/3}} ,
\\
v_1( \xi )\big|_{\varkappa=1/3} = \frac{3}{M(\xi)\big|_{\varkappa=1/3}}.
\end{gathered}
\end{equation} \tag{45} \]

Применим построенное решение (функции $c_1(\xi )$, $u_1(\xi )$ и $v_1(\xi )$ при $\gamma=5/3$ $(\varkappa = 1/3)$) к описанию течения сжатия специального призматического объема в квазисогласованном приближении.

5. Описание течения сжатия в квазисогласованном случае при $\boldsymbol{\gamma = 5/3 }$ и $\boldsymbol{\alpha = \pi/3 }$

В работах [1, 2, 4-6] было показано, что результаты решения задачи о разлете газа на косой стенке в вакуум при $t>0$ можно использовать для описания сжатия газа в специальном призматическом объеме для $t<0$.

Рассмотрим объем, ограниченный непроницаемыми стенками, представляющий собой в поперечном сечении правильный треугольник $\bigtriangleup EFG$ (см. рис. 2, a), в котором находится покоящийся газ. В момент времени $t=t_0<0$ в результате внешнего воздействия внешние стенки $EF$, $FG$ и $EG$ треугольника $\bigtriangleup EFG$ начинают движение к центру пересечения биссектрис — точке $O$ на рис. 2.

В силу симметричности внешнего воздействия и самого объема $\bigtriangleup EFG$ течение газа в областях $\bigtriangleup FGO$ и $\bigtriangleup EGO$ подобно течению в $\bigtriangleup EFO$. Далее отдельно рассматривается фрагмент $\bigtriangleup EFO$ треугольника $\bigtriangleup EFG$ (см. рис. 2, b).

На рис. 2, b показана конфигурация течения сжатия в момент времени $t_0<t<0$ для фрагмента $\bigtriangleup EOF$. Линии $EO$ и $FO$ в нашей задаче являются непроницаемыми стенками треугольника $\bigtriangleup EOF$ в силу симметричности течения в объеме $\bigtriangleup EFG$. В работе [5] показано, что в течении сжатия возникают три области: область покоящегося газа (0); область течения в виде центрированной волны (1); область течения в виде двойной волны (2).

Для описания течения сжатия в области двойной волны (2) используется построенное решение (44)–(45) задачи об истечении газа в вакуум с косой стенки при $\alpha = \pi/3$.

Рис. 2. Начальная конфигурация в момент \(t_0<0\) (a) и конфигурация потока в момент \(t_0 < t < 0\) (b): 0 — область, в которой находится покоящийся газ; 1 — область течения в виде центрированной волны; 2 — область течения в виде двойной волны
[Figure 2. (a) Initial configuration $t_0<0$; (b) the flow configuration at $t_0<t<0$: 0 — the quiescent gas region; 1 — the flow region in the form of a centered wave;
2 — the flow region in the form of a double wave]

Найдем выражение для функции $c_1(\xi)$ для рассматриваемого специального объема. При $\gamma=5/3$ и $\alpha = \pi/3$ значение $\varkappa=1/3$, $\beta=2$ и функция $f(\xi)=c_0 \sqrt{c_0^2+2}$. Подставим данные значения $\varkappa$, $\beta$, $f(\xi)$ в формулы (44)–(45), в результате получим 
\[ \begin{equation*}
M(\xi)\big|_{\varkappa=1/3 \atop \alpha = \pi/3} = 
9.5+3.5996c_0^3-0.25c_0^2-\frac{1}{c_0^2+2}-
\frac{17\sqrt{2}}{8}c_0^3 \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{2}}{2}c_0,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation}
\label{eq87}
c_1(\xi)\big|_{\varkappa=1/3 \atop \alpha = \pi/3}=
\frac{3+c_0^2}{\sqrt{2+c_0^2}}\frac{1}{ M(\xi)\big|_{\varkappa=1/3 \atop \alpha = \pi/3}},
\end{equation} \tag{46} \]
\[ \begin{equation*}
u_1(\xi)\big|_{\varkappa=1/3 \atop \alpha = \pi/3} 
= -\frac{c_0^2+1}{2\sqrt{c_0^2+2}}\frac{3}{ M(\xi)\big|_{\varkappa=1/3 \atop \alpha = \pi/3}},
\quad 
v_1(\xi)\big|_{\varkappa=1/3 \atop \alpha = \pi/3} 
= \frac{3}{M(\xi)\big|_{\varkappa=1/3 \atop \alpha = \pi/3}}.
\end{equation*} \]

Функции $M(\xi)\big|_{\varkappa=1/3 \atop \alpha = \pi/3}$ и $c_1(\xi)\big|_{\varkappa=1/3 \atop \alpha = \pi/3}$ определены на интервале, где $c_0(\xi) \geqslant 0$. При описании сжатия газа в специальном призматическом объеме область определения $M(\xi)\big|_{\varkappa=1/3 \atop \alpha = \pi/3}$ и $c_1(\xi)\big|_{\varkappa=1/3 \atop \alpha = \pi/3}$ есть интервал $c_0(\xi) \geqslant 1$. При описании разлета газа с косой стенки в вакуум, имеющей наклон $\alpha = \pi/3$, область определения функций $M(\xi)\big|_{\varkappa=1/3 \atop \alpha = \pi/3}$ и $c_1(\xi)\big|_{\varkappa=1/3 \atop \alpha = \pi/3}$ есть интервал $0 \leqslant c_0(\xi) \leqslant 1$.

Найдем нули функции, стоящей в знаменателе дроби (46) при$c_0 \geqslant 1$. Так как справедливо неравенство $c_0^2+2>0$ при любых $c_0\geqslant 0$, второй сомножитель в знаменателе дроби равен нулю:
\[ \begin{equation}
M(\xi)\big|_{\varkappa=1/3 \atop \alpha = \pi/3}=9.5+3.5996c_0^3-0.25c_0^2-\frac{1}{c_0^2+2}-\frac{17\sqrt{2}}{8}c_0^3 \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{2}}{2}c_0 = 0.
\end{equation} \tag{47} \]

Численное решение уравнения (47) при $c_0 (\xi)\geqslant 1$ дает единственное значение $c_0^*=3.9564$ $(\xi_* =12.8257)$, при котором значение функции $M(\xi)\big|_{\varkappa=1/3 \atop \alpha = \pi/3}$ равно нулю. Отсюда
\[ \begin{equation}
\lim_{\xi \rightarrow \xi_*}c_1(\xi)=\lim_{\xi \rightarrow \xi_*} 
\frac{\partial c}{\partial \vartheta}\Big|_{\vartheta=0} = \infty.
\end{equation} \tag{48} \]

Значение предела (48) означает, что в течении типа двойная волна при сильном сжатии газа, находящегося в рассматриваемом призматическом объеме, наступает градиентная катастрофа, функция $c(\xi,\vartheta)$ в точке $\xi_*$ при $\vartheta = 0$ (точка $D$ на рис. 3, b) испытывает сильный разрыв, что приводит к образованию ударной волны.

Необходимо отметить следующее. Транспортное уравнение (29) — нелинейное дифференциальное уравнение, поэтому его решение содержит найденную в точке $\xi_*$ особенность. Все последующие дифференциальные уравнения для нахождения коэффициентов $c_i$ при $i\geqslant 2$ будут линейными, поэтому других особенностей решение задачи (12) не содержит.

Построим поверхность функции $c (\xi,\vartheta )$ при приближении переменной $\xi$ к значению $\xi_*$ для квазисогласованного случая (рис. 3, a) и для согласованного случая (рис. 3, b). Согласованный случай рассматривается для $\gamma=2$, когда угол наклона косой стенки равен $\pi/3$.

Рис. 3. Поверхность функции \(c(\xi,\vartheta)\) при приближении к точке \(\xi_*\) в квазисогласованном (a) и согласованном (b) случаях: 0 — область, в которой находится покоящийся газ; 1 — область течения в виде центрированной волны; 2 — область течения в виде двойной волны (онлайн в цвете)
[Figure 3. (color online) The surface of the function $c(\xi,\vartheta )$ when approaching the point $\xi_*$ in the quasi-consistent (a) and consistent (b) cases: 0 — the quiescent gas region; 1 — the flow region in the form of a centered wave; 2 — the flow region in the form of a double wave]

Обозначения на рис. 3 повторяют обозначения рис. 1, 2. Черным цветом выделена область максимального сжатия, белым цветом — область покоящегося газа.

На рис. 3, a красным цветом отмечена точка $D$, в которой при $\xi=\xi_*$ и $\vartheta = 0$ обнаружена особенность найденного решения, где $c_1 \to \infty$ при $\xi \to \xi_*$.

Для остальной области сжатия значение $c(\xi,\vartheta )$ в квазисогласованном случае значительно меньше, чем в согласованном случае. Приведенная картина распределения $c(\xi,\vartheta )$ не полностью отражает рассматриваемое течение сжатия, так как члены ряда при $i \geqslant 2$ искусственно отброшены. Различия в значениях $c(\xi,\vartheta )$ также обусловлены тем, что на правом рисунке газ имеет показатель политропы $\gamma = 2$, а на левом $\gamma = 5/3$.

Заключение

1. Построено аналитическое решение начально-краевой задачи об истечении политропного газа с косой стенки в вакуум в постановке характеристической задачи Коши стандартного вида в пространстве физических автомодельных переменных $\xi=x/t$, $\eta=y/t$ в общем несогласованном случае.
2. Построено аналитическое решение транспортного уравнения для коэффициента ряда $c_1(\xi )$ в общем несогласованном случае, и для частного случая $\gamma=5/3$ — случай водорода — для коэффициента $c_1(\xi )$ построено аналитическое решение в явном виде.
3. Полученное решение применено к описанию сжатия специального призматического объема, представляющего собой в сечении правильный треугольник. Найдена особенность полученного решения в точке $\xi_*=12.8257$ на характеристике $\vartheta = 0$, когда значение $c_1 \to \infty$ при $\xi \to \xi_*$. Таким образом, функция $c_1 (\xi )$ в точке $\xi_*$ при $\vartheta = 0$ испытывает сильный разрыв, что означает образование ударной волны сжатия и изменение режима течения газа в области двойной волны с безударного сжатия на «ударное» сжатие.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.
Благодарность. Автор выражает благодарность и признательность своему научному руководителю профессору С.П. Баутину за внимание, помощь и поддержку.

Об авторах

Евгений Игоревич Понькин

Снежинский физико-технический институт НИЯУ МИФИ

Автор, ответственный за переписку.
Email: epnk@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0002-7848-3167
SPIN-код: 5566-8860
Scopus Author ID: 57222760792
http://www.mathnet.ru/person186131

аспирант

Россия, 456776, Снежинск, Комсомольская ул., 8

Список литературы

Дополнительные файлы