Determination of elastic constants of rocks

Full Text

Введение. При трехосном сжатии цилиндрических образцов горных пород вычисляются главные напряжения 1 , 2 , 3 и измеряются осевая 1 (1 ) и поперечная 2 (1 ) деформации, наблюдаемые при испытании по схеме Т. Кармана (1 > 2 = 3 ). На диаграмме для продольной (осевой) деформации (1 1 ) наблюдается (особенно) для песчаников начальный нелинейный участок [1, 2], после которого следует практически линейный участок этой диаграммы вплоть до условного предела упругости. До сих пор не существует единого мнения, как на этом участке использовать зависимость 1 (1 ) для определения соответствующей упругой константы материала [1, 3, 4]. Некоторые исследователи [3, 5] считают, что наклон такой кривой «напряжение - деформация» при осевом сжатии (1 > 0, 2 = 3 = 0) определяет модуль упругости Юнга. При этом подчеркивают, что численное значение модуля зависит от уровня напряжения, а при последовательном нагружении и разгружении образца породы модуль зависит и от цикла испытания, так как указанные кривые при нагружении и разгрузке не совпадают между собой. Иначе говоря, утверждается, что на отмеченном нелинейном участке диаграммы происходит упругая деформация. Аналогичное утверждение относится и к определению коэффициента Пуассона. Другие экспериментаторы [1, 4] предлагают исключать из рассмотрения такой начальный участок, а упругие параметры породы определять при более высоких уровнях напряжения, когда зависимость «напряжение - деформация» становится близкой к линейной. Однако до сих пор нет общепринятой методики определения упругих констант пород даже при пропорциональном нагружении. В этом направлении проводятся многочисленные экспериментальные исследования и даются различные теоретические их интерпретации [6-10]. При экспериментальном определении (статического) модуля Юнга по диаграмме продольной деформации сжимаемого образца предпочтение отдается [11] немецкому стандарту [12]. В этом стандарте рассматривается именно линейный участок данной диаграммы, причем его установление регламентируется предварительным уплотнением структуры материала. Последнее достигается неоднократным нагружением и разгрузкой (в пределах упругости), после которых наблюдается стабильная обратимая во время испытания упругая деформация. Подобная процедура рекомендуется [13, 14] при лабораторном определении модуля Юнга. Однако при этом не рассматривается вопрос определения коэффициента Пуассона. Некоторыми исследователями уплотнение моделируется закрытием трещин [15], имеющихся в горных породах в исходном состоянии. При анализе представленной в этой статье диаграммы осевой деформации одноосного сжатия [15, Fig. 2] определяется напряжение cc (crack closure stress), при котором заканчивается начальный нелинейный участок диаграммы и начинается (с ростом напряжения) ее линейный участок. Считается, что экстраполяция этого линейного участка до нулевого значения напряжения доставляет деформацию закрытия трещины cc (crack closure strain), которая соответствует напряжению закрытия трещины cc . Модуль Юнга определяется по установленному таким образом упругому участку диаграммы. Вводится допущение, что разгрузка с заданного напряжения на нелинейном участке происходит по тому же самому упругому закону Гука. Однако при этом не учитывается появление петли гистерезиса, всегда возникающей при промежуточных разгрузках. При превышении (условного) предела упругости рассматривается влияние на деформацию вновь возникающих (инициируемых) трещин. Уплотнение структуры происходит также, если образец вначале нагружается гидростатическим сжатием, а затем производится догрузка осевым давлением при неизменном достигнутом равномерном боковом давлении. При таком сложном нагружении в опытах, результаты которых представлены, например, в [16], достоверно фиксируется только приращение осевой деформации 1 , вызываемое приращением осевого напряжения 1 . Это объясняется тем обстоятельством, что, как указано в [4], измерение поперечной деформации в таком опыте возможно только в одном поперечном сечении образца, при этом погрешность измерения данной деформации может достигать 50 %. Как трактовать и теоретически (в пределах упругости) отображать зависимость 1 (1 ), полученную в опытах [16], подробно представлено в [17]. Изложенное относится к проблеме определения деформационных характеристик материалов, изотропных в исходном состоянии. Для анизотропных материалов подобная проблема усложняется: для таких материалов обширный обзор подлежащих решению вопросов содержится в [18]. Для ортотропных материалов возможная методика определения упругих констант пластичных и полухрупких (к которым относят горные породы) материалов представлена в [19, 20]. В настоящей работе сделана попытка устранить указанное выше противоречие в трактовке упругих констант горных прод и разработать методику определения упругих параметров песчаников (выбросоопасного (dangerous for rock emissions sandstone) - № 1, не опасного по выбросам (not dangerous for rock emissions sandstone) - № 2, песчаника П-026 (P-026 sandstone) - № 3) на основе имеющихся экспериментальных данных [1]. 1. Анализ криволинейного участка продольной деформации. Вид напряженного состояния характеризуется параметром = 2 /1 . Начиная с определенного уровня осевого напряжения 1н (характерного для каждого ) можно выделить линейный участок диаграммы деформирования в координатах 1 1 вплоть до условного предела упругости 1у ; причем 1н = = (0.05 0.15)1у согласно [1]. На рис. 1 представлены диаграммы продольной и поперечной деформации песчаника № 1 до напряжений 1у , установленных в опытах [1], для всех осуществленных видов напряженного состояния. Как следует из экспериментальных исследований [6, 7], при промежуточной разгрузке с линейного участка квазиупругой деформации возникает остаточная деформация. Эту деформацию необходимо исключать при определении упругих констант, что можно осуществить следующим образом. Рассмотрим, например, диаграмму продольной деформации песчаника № 1 при одноосном сжатии. Аппроксимация с помощью линии тренда (линейной зависимостью 1 = 32 979.76 · 1 42.17) установившегося (линейного) участка деформации и продолжение этой линии тренда до нулевого напряжения доставляет новое начало координат (точка 01 на рис. 2) для отсчета упру- Рис. 1. Диаграммы деформирования 1 1 (штриховые линии) и 1 2 (сплошные линии) для выбросоопасного песчаника (№ 1) при различных значениях отношения = 2 /1 : 0 - = 0, 1 - = 0.069, 2 - = 0.116, 3 - = 0.178, 4 - = 0.227 [Figure 1. The stress-strain diagrams (longitudinal strain - dashed lines, lateral strain - solid lines) for the dangerous for rock emissions sandstone (1st type sandstone) under different values of the parameter = 2 /1 : 0 - = 0, 1 - = 0.069, 2 - = 0.116, 3 - = 0.178, 4 - = 0.227] Рис. 2. Диаграмма упругого деформирования 1 1 для песчаника № 1 при одноосном сжатии (определение модуля Юнга по схеме А. Н. Ставрогина): линия 1 - нелинейный участок; линия 2 - линейный участок; точками нанесена линия тренда для линейного участка; линия 3 - расчетная продольная деформация без учета переноса начала координат [Figure 2. The elastic stress-strain diagram (longitudinal strain) for the 1st type sandstone under uniaxial compression (the Young’s modulus definition by the A. N. Stavrogin’s scheme): line 1 - nonlinear section; line 2 - linear section; dotted line - trend line; line 3 - calculated longitudinal strain without taking into account the transfer of the origin of coordinates] гой деформации вплоть до предела упругости (достоверность аппроксимации 2 = 0.9993). Установлено, что определяемое таким образом это начало координат оказывается практически одним и тем же для всех рассматриваемых видов напряженного состояния данной горной породы. Среднее значение (01 )cp = = 1.36 · 103 . Отклонение от этого значения при разных видах напряженного состояния определялось по формуле 01 = 01 (01 )cp · 100 % (01 )cp и представлено в табл. 1. Таблица 1 Расчетное смещение начала координат на диаграмме продольной деформации [The calculated displacement of origin of coordinates on the stress-strain diagram (longitudinal strain)] 01 01 , % 0 0.069 0.116 0.178 0.227 1.28 · 103 1.17 · 103 1.58 · 103 1.25 · 103 1.51 · 103 5.8 13.8 16.6 8.1 11.15 Разброс значений 01 объясняется следующим обстоятельством. Если с ростом значения параметра при одном и том же уровне напряжения в пределах упругости продольная деформация уменьшается, то такое поведение рассматриваемой породы отвечает (как будет показано ниже) обобщенному закону Гука. Это правило нарушается, как видно из рис. 1, при сравнении диаграмм при = 0.116 и = 0.178 (линии 2 и 3). А это, в свою очередь, влияет на установление нового начала координат. Подобная ситуация выявлена также еще для двух горных пород: - для песчаника, не опасного по выбросам (01 )cp = 1.52 · 103 , отклонение 01 принимает значения от 10 % до 11.2 %; - для песчаника П-026 (01 )cp = 0.37 · 103 отклонение 01 лежит в пределах ±17.8 %. Примечание. При выявлении нового начала координат диаграмм продольной деформации песчаника П-026 использованы только две из них, а именно при = 0.178 и = 0.232, из-за малости деформации начального криволинейного участка диаграммы при других значениях . Таким образом, при определении модуля Юнга устраняется из рассмотрения начальная нелинейная деформация, наблюдаемая при нагружении цилиндрических образцов песчаников из исходного состояния. Эта начальная деформация не является чисто упругой деформацией [2, 6], а содержит также деформацию уплотнения (как правило, пористость таких песчаников составляет 6-7 % [1]). На рис. 2 приведена расчетная диаграмма продольной деформации (линия 3), которая построена по значению модуля Юнга, определенного авторами эксперимента по указанной выше схеме [1]. На самом деле эта диаграмма должна выходить не из исходного начала координат, а из точки (точка на пересечении исходного криволинейного и расчетного линейного участка диаграммы), а затем продолжаться до точки . Этой оговорки в [1] сделано не было, кроме того, не указано, как сравнивать расчетные и экспериментальные данные при других видах напряженного состояния. Эта неопределенность исключается, если во всех случаях трехосного сжатия использовать установленное нами новое начало координат (точка на рис. 2). 2. Пример обработки диаграммы поперечной деформации. В этом пункте рассматривается выбросоопасный песчаник (песчаник № 1). Для поперечной деформации при тех же напряженных состояниях (при которых наблюдается установившийся участок продольной деформации) происходит некоторое запаздывание установившегося участка этой деформации. Если на диаграмме для поперечной деформации выделить участок, на котором с ростом уровня осевого сжимающего напряжения каждое последующее значение деформации по модулю больше предыдущего, то аппроксимация этого участка линейной зависимостью (с привязкой к установленному новому началу координат) также происходит с достаточной достоверностью. Исключение составляет диаграмма поперечной деформации при одноосном сжатии: эта диаграмма является практически линейной вплоть до условного предела упругости (рис. 3). Поэтому выделенный (при = 0) по схеме А. Н. Ставрогина линейный участок (т.е. 2y 2н ) сохраняет ту же самую разность отсчитываемых деформаций, если весь участок поперечной деформации перенести в новое установленное начало координат параллельно его исходному состоянию. Аналогичная картина имеет меньшую, но достаточно приемлемую точность и при пропорциональном нагружении для = 0.069, начиная с участка устойчивого роста по модулю значения приращения поперечной деформации. Рис. 3. Аппроксимация диаграмм деформирования песчаника № 1 при одноосном сжатии: линия 1 - продольная деформация; линия 2 - поперечная деформация; линия 3 - линия тренда [Figure 3. Approximation of the elastic stress-strain diagrams for the 1st type sandstone under uniaxial compression: line 1 - longitudinal strain; line 2 - lateral strain; line 3 - trend line] Таким способом (с учетом изложенного выше) устраняется неопределенность выделения установившегося упругого участка как продольной, так и поперечной деформации при произвольном виде напряженного состояния (рис. 4). Рис. 4. Диаграммы упругого деформирования 1 1 (штриховые линии) и 1 2 (сплошные линии) для песчаника № 1 при различных значениях параметра : 0 - = 0, 1 - = 0.069, 2 - = 0.116, 3 - = 0.178, 4 - = 0.227 [Figure 4. The stress-strain diagrams (longitudinal strain - dashed lines, lateral strain - solid lines) for the 1st type sandstone under different values of the parameter : 0 - = 0, 1 - = 0.069, 2 - = 0.116, 3 - = 0.178, 4 - = 0.227] 3. Определение упругих констант на основе преобразованных диаграмм деформирования. Запишем обобщенный закон Гука в виде 1 = 1 (1 2), 2 = 1 ( (1 + )), 3 = 2 , где - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона, = 2 /1 . По аппроксимированным (вышеуказанным образом) участкам поперечной и продольной деформации были определены упругие константы. В качестве первого приближения (первый способ определения и ) были использованы диаграммы деформаций при = 0.178. В результате были получены следующие значения: = 33 342.61 МПа, = 0.25. Упругие константы можно также определить вторым способом: сначала получить их независимо при трех видах напряженного состояния (т.е. при трех значениях параметра ), а затем усреднить. В результате были получены следующие значения: = 34 323.28 МПа, = 0.3. Отклонение от среднего значения для коэффициента составило от +8 % до 16 %, а для величины отклонение от среднего значения составило от +10 % до 7 %. Скорректированные диаграммы деформирования (с учетом переноса начала координат) и их аппроксимация линиями тренда для всех значений представлены на рис. 5. Рис. 5. Скорректированные (с учетом переноса начала координат) диаграммы упругого деформирования 1 1 (штриховые линии) и 1 2 (сплошные линии) и линии тренда для песчаника № 1 при различных значениях параметра [Figure 5. The corrected stress-strain diagrams according to the shift of the origin of coordinates (longitudinal strain - dashed lines, lateral strain - solid lines) and the trend lines for the 1st type sandstone under different values of the parameter ] Окончание рис. 5 [The end of the Figure 5] 4. Анализ методики определения упругой и остаточной деформации [1, 21]. В [1, прил. 2] даны значения остаточной продольной деформации 1 после достижения предела прочности и коэффициент остаточной поперечной деформации , а также приведены значения предельных накопленных продольной (1 ) и поперечной (2 ) деформаций [1, прил. 1]. Эти исходные данные для песчаника № 1 и расчетное значение остаточной поперечной деформации (2 = 1 ) для двух значений параметра приведены в табл. 2. Таблица 2 Остаточные деформации на пределе прочности [Residual strains at tensile strength] 1 2 1 2 292 1 · 103 2 · 103 3 1 · 10 2 · 103 0.178 0.227 19.9 25.4 3.1 1.3 2.2 3.0 1.76 0.667 3.872 2.001 - ultimate accumulated longitudinal strain; - ultimate accumulated lateral strain; - residual longitudinal strain; - residual lateral strain По этим исходным данным на рис. 6 представлена полная картина упругой и остаточной деформации при = 0.178. Здесь криволинейные диаграммы для продольной и поперечной деформации соответствуют активному нагружению до предела прочности; прямые линии, исходящие из начала координат до напряжения 392.26 МПа (до предела упругости), отвечают расчетным значениям этих деформаций, вычисленных по закону Гука при найденных авторами эксперимента константах = 31 381.28 МПа, = 0.24 [21]. Линия разгрузки осевой деформации фактически является эмпирической, поскольку она параллельна установившемуся линейному упругому участку. Это обстоятельство вытекает из сравнения расчетного значения остаточ ной деформации 1 и ее значения 1 , приведенного в табл. 2: 1 = 1 1 , 1 = 1 (1 2). (1) 3 Согласно (1), имеем 1 = 2.4 · 10 . Таким образом, 1 > 1 . Это озна чает, что величина 1 авторами эксперимента определялась графически по указанному выше способу. Рис. 6. Активное нагружение и разгрузка по схеме А. Н. Ставрогина: 1 - экспериментальная диаграмма продольной деформации; 2 - экспериментальная диаграмма поперечной деформации; 3 - расчетная продольная деформация по упругим константам из [21]; 4 - расчетная поперечная деформация по упругим константам из [21]; 5 - линия разгрузки продольной деформации, параллельная исходной расчетной упругой линии; 6 - эмпирическая упругая линия, касательная к экспериментальной диаграмме поперечной деформации; 7 - линия разгрузки поперечной деформации, параллельная эмпирической линии упругой поперечной деформации [Figure 6. Loading and unloading curves by the A. N. Stavrogin’s scheme: 1 - experimental stress-strain diagram (longitudinal strain); 2 - experimental stress-strain diagram (lateral strain); 3 - calculated stress-strain diagram (longitudinal strain) by elastic constants from [21]; 4 - calculated stress-strain diagram (lateral strain) by elastic constants from [21]; 5 - unloading curve for longitudinal strain parallel to the original elastic diagram; 6 - empirical elastic diagram tangent to the experimental lateral strain diagram; 7 - unloading curve for lateral strain parallel to the original elastic diagram] Величина расчетной упругой поперечной деформации (определяемой по закону Гука), как видно из рис. 6 (линия ), не соответствует экспериментальной диаграмме. Поэтому, очевидно, измеряемая в опыте поперечная деформация до предела упругости была аппроксимирована линейной зависимостью (линия ), которая была использована для определения коэффициента остаточной поперечной деформации . Если построить соответствующую линию разгрузки поперечной деформации (параллельно линии ) после достижения предела прочности, то получим, что при полной разгрузке значение поперечной деформации по модулю увеличивается по сравнению с ее значением, достигнутым на пределе прочности (поскольку 2 больше по модулю, чем 2 ). Такого парадокса не будет, если поперечную деформацию отсчитывать от нового начала координат, соответствующего установившемуся упругому характеру деформирования, как предложено в п. 3. 5. Разделение на шаровую и девиаторную составляющие тензоров напряжений и тензоров деформаций. Определение упругих констант материала можно производить также (3 способ) при рассмотрении диаграмм шаровых и девиаторных составляющих тензоров напряжений и деформаций. Среднее напряжение и среднюю деформацию с учетом равенств 2 = 3 и 2 = 3 представим в виде = 1 + 2 + 3 1 = 1 (1 + 2), 3 3 = 1 + 2 + 3 1 = (1 + 23 ). 3 3 Выразим компоненту девиатора деформации 1 и компоненту девиатора напряжений 1 через компоненты тензоров деформаций и напряжений: 1 + 2 + 3 2 = (1 3 ), 3 3 1 + 2 + 3 2 1 = 1 = 1 = (1 3 ). 3 3 1 = 1 = 1 Зависимости 1 (1 ) и () для всех значений (точки на графиках) приведены на рис. 7 и 8. Аппроксимация шаровой и девиаторной составляющих тензоров напряжений и деформаций линией тренда дает следующие соотношения: 1 = 3, 365 · 105 1 , = 1.428 · 105 . Как видно из рис. 8, объемная деформация при всех видах напряженного состояния с достаточной достоверностью отражается линейной зависимостью. Это в нашем случае свидетельствует о правильности отражения как продольной, так и поперечной деформации, в том числе и при одноосном сжатии (которое выделено нами в отдельное рассмотрение при определении нового начала координат для анализа упругой деформации данной горной породы). При сопоставлении девиаторной и шаровой составляющих тензора деформаций при одном и том же уровне напряжения 1 определим модуль Юнга и коэффициента Пуассона: = 36 774.93 МПа, = 0.237. В табл. 3 приведены константы и , которые определены по трем вышеизложенным способам, Рис. 7. Зависимость 1 (1 ) [Figure 7. The plot of dependence 1 (1 )] Рис. 8. Зависимость () [Figure 8. The plot of dependence ()] Таблица 3 Расчетные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона [Calculated values of Young’s modulus and Poisson’s ratio] Methods of determining elastic constants , MPa Deviations from the mean for in percents the first method the second method the third method 33 342.61 34 323.28 36 774.94 0.25 0.30 0.237 4.23 1.41 5.63 the average value 34 813.61 0.262 - Deviations from the mean for in percents 4.7 14.36 9.66 - и дано их среднее значение, использованное для окончательного сравнения расчетных диаграмм 1 1 и 1 2 с экспериментальными данными. Достаточно удовлетворительное соответствие теоретических и скорректированных экспериментальных данных достигается при использовании значений упругих констант, усредненных по всем трем способам их определения. Это отражено на рис. 9. Как предложено в [1], зависимость () целесообразно использовать для уточнения значения предела упругости, которое, в первом приближении, находится по диаграмме 1 1 . Отклонение скорректированной экспериментальной зависимости () при различных значениях от расчетной линии гидростатического сжатия указывает на возникновение неупругой деформации, т.е. на достижение предела упругости. Это обстоятельство продемонстрировано на рис. 10. Здесь значения пределов упругости 1 , представлен- Рис. 9. Сопоставление теоретических и скорректированных экспериментальных диаграмм деформации: 1 - продольная скорректированная деформация; 2 - поперечная скорректированная деформация; 3 - расчетная продольная деформация; 4 - расчетная поперечная деформация [Figure 9. Comparison of theoretical and corrected experimental elastic stress-strain diagrams: 1 - corrected longitudinal strain; 2 - corrected lateral strain; 3 - calculated longitudinal strain; 4 - calculated lateral strain] Окончание рис. 9 [The end of the Figure 9] Рис. 10. Сопоставление теоретических и скорректированных экспериментальных диаграмм деформации (сплошная линия - скорректированная экспериментальная диаграмма; пунктирная линия - теоретическая диаграмма, точка - предел упругости) [Figure 10. Comparison of theoretical and corrected experimental stress-strain diagrams (solid line - corrected experimental diagram; dashed line - theoretical diagram; “bullet point” - point of elastic limit)] Окончание рис. 10 [The end of the Figure 10] ные в [1, прил. 2] показаны отдельными точками. Из приведенных данных видно, что величины 1 (с учетом разброса экспериментальных данных) действительно соответствуют данному способу их определения. Отметим, что аналогичные результаты получены и при обработке экспериментальных данных для песчаника П-026 и песчаника, не опасного по выбросам. Заключение. Представленный метод определения упругих констант горных пород применительно к песчаникам достаточно хорошо соответствует экспериментальным данным в пределах их разброса и устраняет существующую неопределенность при выделении упругого начального участка диаграммы деформации при трехосном сжатии цилиндрических образцов.

About the authors

Margarita Alekseevna Kulagina

Kyrgyz-Russian Slavic University named after B. N. Eltsin

Email: kulagina_m.a@mail.ru
without scientific degree, no status 44, Kievskaya st., Bishkek, 720000 Kyrgyz Republic

Boris Aleksandrovich Rychkov

Kyrgyz-Russian Slavic University named after B. N. Eltsin

Email: rychkovba@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor 44, Kievskaya st., Bishkek, 720000 Kyrgyz Republic

Yulya Yurevna Stepanova

Kyrgyz-Russian Slavic University named after B. N. Eltsin

Email: stepanova_yulya_1995@mail.ru
without scientific degree, no status 44, Kievskaya st., Bishkek, 720000 Kyrgyz Republic

References

Supplementary files