Mathematical modeling of coalescence and breakage of droplets and bubbles in an isotropic turbulent flow: A review

Full Text

Введение. Физические явления коалесценции и дробления капель и пу- зырей в турбулентном потоке составляют основу многих процессов хими- ческой, нефтеперерабатывающей, пищевой и фармацевтической технологий и связаны в основном с изменением спектра и числа частиц в единице объе- ма, определяющих величину межфазной поверхности массо- и теплопереноса. Коалесценция капель и пузырей, связанная с их столкновением и последую- щим укрупнением, широко используется в процессах разделения и расслоения фаз (осаждение, всплытие) в эмульсиях, суспензиях и в других многофазных средах. Дробление капель и пузырей, необходимое для увеличения межфазной поверхности, достаточно широко используется в массообменных процессах жидкостной экстракции, абсорбции, в газожидкостных реакторах, в процес- сах распыления и горения и т. д. Сущность процессов коалесценции и дробле- ния капель и пузырей состоит в потере агрегативной, а в некоторых случаях и седиментационной устойчивости дисперсной системы в целом, под действием внешних сил или же в самопроизвольных изменениях в системе из-за стрем- ления уменьшить избыточную поверхностную энергию. Теоретические и экспериментальные исследования процессов коалесцен- ции, дробления и деформации капель и пузырей приведены во многих рабо- тах [1-16]. Первые теоретические исследования явлений коалесценции двух- частичных столкновений капель весьма малых размеров в приближении бро- уновских частиц в однородной неограниченной системе на простейших моде- лях были проведены Смолуховским [1, 2], в результате чего определены часто- та и время коалесценции, обратно пропорциональные коэффициенту молеку- лярной диффузии броуновских частиц. Последующие исследования явлений коалесценции и дробления капель и пузырей, протекающих в трубах, в ко- лонных аппаратах и в перемешивающих устройствах, были посвящены экс- периментальному [3-5, 7, 10], теоретическому исследованию и динамике этих явлений в турбулентном потоке [9, 12-19]. В этих работах представлены мо- дели и характерный механизм процессов, полуэмпирические формулы для 542Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . расчета минимальных и максимальных размеров частиц, частоты и време- ни коалесценции и дробления в зависимости от коэффициента турбулентной диффузии, диссипации энергии и свойств частиц и потока. Основными ха- рактеристиками этих процессов являются частота коалесценции (или столк- новения) и дробления, определяемая в изотропном турбулентном потоке дис- сипацией энергии и масштабом турбулентности, а также свойства и разме- ры самих частиц и среды (плотность, вязкость, поверхностное натяжение), и в большинстве случаев состояние дисперсной системы определяется мини- мальными и максимальными размерами капель и пузырей [5-7, 12, 15, 19]. В работе [20] приведен литературный обзор процессов дробления капель и пузырей в турбулентном потоке, где основное внимание уделено анализу механизмов дробления и некоторым вопросам определения частоты, а также ее зависимости от удельной диссипации энергии, характеристик среды и раз- меров частиц. Минимальные размеры частиц характеризуют такое состояние дисперсной системы, которая более склонна к коалесценции, а максимальные размеры характеризуют состояние системы, более склонной к деформации и дроблению капель и пузырей. Многие работы посвящены процессам коалесценции и дробления в турбу- лентном потоке [9, 21-23], где исследованы влияние параметров изотропной турбулентности на процессы коалесценции и дробления капель и пузырей в системах «газ - жидкость» и «жидкость - жидкость», влияние свойств среды и капель на протекание процессов и на распределение капель [24], вли- яние концентрации частиц на коалесценцию и дробление в многофазных сре- дах [25] и другие проблемы расчета этих процессов [26-28]. Другой характеристикой дисперсной системы, в которой протекают про- цессы коалесценции и дробления, является скорость изменения размеров и чис- ла частиц, другими словами, эволюция функции распределения по разме- рам и по времени, теоретические и экспериментальные исследования которых приведены в работах [29-35]. Важными характеристиками изотропного турбулентного потока являют- ся колмогоровский масштаб турбулентности 0 и диссипация энергии на по- верхности капли E R , определяемые в виде v ( 3 ) 0.25 3 2 a a c ( R a) 2/3 c c , E R P , 0 = R 6 6 d где d U d ( R a) 1/3 a a - вязкостное напряжение на поверхности капли; P = 2 (r) = C 0 ( R r) 2/3 U - среднеквадратичная скорость турбулентного потока. Следует отметить, что в процессах коалесценции и дробления капель и пузырей в изотропном турбулентном потоке немаловажную роль играет ко- эффициент турбулентной диффузии, определямый для различных областей значений масштаба турбулентных пульсаций в виде [1] > 0 , D T = 0 ( R ) 1/3 ; < 0 , D T = 0 ( R / c ) 0.5 2 . (1) 543К е л б а л и е в Г. И., Р а с у л о в С. Р. Вместе с тем, учитывая степень увлечения частиц пульсирующей средой, для коэффициента турбулентной диффузии частиц можно написать [36] D T P 2 p D T , где коэффициент 2 p - степень увлечения частиц турбулентным потоком, за- висящий от размеров частиц, причем с их ростом можно предположить, что 2 p > 0. В более широком смысле в работе [37] на основе имеющихся эксперимен- тальных исследований предложены эмпирические формулы для определения коэффициентов диффузии частиц в зависимости от динамической скорости потока и скорости осаждения и т. д. Целью данной работы является теоретический анализ существующих прин- ципов исследования процессов коалесценции и дробления капель и пузырей в изотропном турбулентном потоке с присущими им свойствами. 1. Максимальные и минимальные размеры частиц. Дисперсные системы (эмульсии, суспензии) в большей степени характеризуются полидис- персностью размеров частиц, колеблющихся в широких пределах - от 1 мкм до 200 мкм, хотя в потоке могут встретиться частицы коллоидных разме- ров и более крупные частицы. Однако состояние дисперсного потока, его аг- регативная устойчивость к изменению размеров и седиментационная устой- чивость к осаждению в целом определяющие структуру спектра дисперсий в объеме, характеризуется минимальными и максимальными размерами ча- стиц. Следует отметить, что процессы, протекающие в дисперсных системах, сопровождаются не только столкновением и укрупнением сталкивающихся капель, но и обратным явлением - дроблением, вызванным тем, что силь- но взаимодействовавшие частицы разлетаются на осколки либо не могут со- хранять устойчивое состояние и распадаются самопроизвольно или под дей- ствием каких-либо возмущений на их внешней поверхности. Таким образом, в дисперсных системах существует некоторый размер a max , выше которого капли неустойчивы, деформируются и мгновенно разрушаются, и минималь- ный размер a min , определяющий нижний порог устойчивости капель, т. е. при определенных условиях течения капли, достигшие этих размеров, не мо- гут дальше дробиться. Максимальный размер частиц характеризует неустой- чивое состояние капель и пузырей, зависящих от гидродинамических усло- вий течения дисперсной среды, и при определенный условиях турбулентного течения проявляется склонность к распаду и дроблению единичной капли. В литературе имеется множество формул для оценки максимальных значе- ний капель в турбулентном потоке. Так, для газовых пузырей важно отметить следующие выражения в об- ласти чисел Re d < 100: 0.6 0.4 из работы [1], 0.2 R 0.4 c d = 0.725 (/ c ) 0.6 0.4 из работы [38], R ) ( 0.926 = f 2/3 из работы [40]. 5/3 R c f a max = a max a max 544 (2)Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . Для жидких капель, если c = d , и для области чисел Re d < 10 предло- жены следующие выражения для максимальных значений: ( ) 0.6 ( ) 0.1 c a max = 1.12 0.4 из работы [21], R c d c 0.5 16( d / c ) + 16 из работы [39], a max = c 0.5 R 19( d / c ) + 16 3 ( ) 5 3+2 , a max = C 3+2 L 2/3 5/3 c R L где f - начальная длина масштаба турбулентности; L - интегральный мас- штаб турбулентности; - коэффициент, причем при = 1 последнее выра- жение совпадает с формулой, предложенной в работе [38]. Вычисление по этим формулам при одинаковых условиях течения дает существенный раз- брос численных значений максимального размера капель [41]. С целью оценки минимальных и максимальных размеров капель восполь- зуемся условием равенства динамической силы, действующей на поверхности капель c U 2 F D = C D 2 (где C D = C D (Re d ) - коэффициент сопротивления капель и пузырей [42-44]; Re d = U a/ c - число Рейнольдса для частицы, определяемое через среднюю скорость турбулентного потока U ) с силой поверхностного натяжения F = = 4/a s [1]. Здесь предполагается, что динамический напор действует на определенную часть поверхности капли и поэтому может быть связан с ко- эффициентом сопротивления. Из условия равенства этих сил имеем C D c U 2 4 = . 2 a s (3) С учетом выражения для пульсационной скорости V = ( d c R ) 1/3 определим выражение для максимального размера капель или пузырей в виде [12-14] ( 8 ) 0.6 0.6 0.4 a max = 1.2 R . (4) 0.4 0.2 C D c d Здесь - коэффициент, определяемый экспериментальным путем. Исходя из уравнения (4) для различных областей изменения числа Re d можно получить ряд формул для оценки максимального размера капель (C D 8/3), в част- ности вида a max 1.93 1.2 0.6 0.4 0.4 R , 0.2 c d 2 · 10 3 6 Re d 6 5 · 10 5 . (5) Для пузырей воздуха в воде в области их деформации 500 < Re d 6 2000, где коэффициент сопротивления, согласно экспериментальным данным [42], 4/3 составляет величину C D 14.5 Mo 1/2 Re d , на основе выражения (4) для мак- симальных размеров, получим [14] a max = 0.82 2/3 1/6 Mo [( ) c ) 4/9 ( 1/3 2/3 U c ] 1/3 2/9 R , (6) d g c 4 - число Мортона. c a 3 c Если число Мортона Mo > 10 7 и 0.1 < Re d < 100, то согласно [1] и экс- периментальным данным [10] получим C D = 16/Re d и для максимального размера пузырей получим соотношение где Mo = a max 0.354 3 ( U ) 1.5 1.5 1 R . c 0.5 d c (7) Если число Мортона Mo < 10 7 и 0.1 6 Re d < 100, то можно использовать уравнение (7) с коэффициентом 0.192, и, если Mo < 10 7 и 100 6 Re d < 400, - с коэффициентом, равным 0.068. В частности, при 2 < Re d < 10 3 для пузырей можно положить C D 14/Re 0.5 d , в результате чего выражение (3) принимает вид [( ) ( )] 6/7 U 0.5 4/7 12/7 a max 0.619 R . (8) 1/3 2/3 c c d Выражение (8) удовлетворительно согласуется с экспериментальными дан- ными [5, 6], что показано в работах [14, 15]. В литературе также имеется множество формул с использованием крити- c U ческого числа Вебера We cr = a max для определения максимального разме- ра капель и пузырей в турбулентном потоке, среди которых можно отметить следующие: ( We ) 0.6 0.6 cr 0.4 0.2 R 2 0.4 c d d 1.3 0.6 k a max = We 0.6 cr 0.3 0.3 0.6 1.1 c d c U [ ( U ) 0.7 ] c U 2 ( c U ) 0.5 c = 38 1 + 0.7 a max ( ) We cr 0.6 0.6 0.2 0.4 a max = c R , 2 a max = из работы [5], из работы [6], из работы [31], из работ [45, 46]. Здесь d k - диаметр канала. В литературе можно встретить и другие эмпирические формулы для опре- деления максимального размера капель: ( ) 0.6 0.6 0.4 1/3 a max = A 1 + A 2 c R a 1/3 c R , 1/3 ( ( ) 0.5 a 1/3 ) c 0.4 a 5/3 c R 5/3 c = A 1 1 + A 2 , d 546 A 1 1.9, A 2 0.35;Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . где A 1 , A 2 - коэффициенты, имеющие различные значения в зависимости от вязкости среды. Минимальный размер частиц в изотропном потоке характеризует состоя- ние капли или пузыря, гидродинамически устойчивое к дроблению при опре- деленных условиях течения потока, а при большой концетрации частиц - склонность к их интенсивному столкновению и коалесценции, что также опре- деляется условием (4). Учитывая для изотропного турбулентного потока V = 0 ( d c R ) 1/3 , R = c 3 / 40 , а также выражение (4) (но для минимальных размеров капель и пузырей), получим [15] C D 2 ( 2 ) 1/3 c 2 a min = c d . (9) 8 Следует отметить, что в работе [1] для минимального размера капель полу- чена более простая формула, учитывающая плотность среды и коэффициент сопротивления: a min c c 2 /. Поскольку коэффициент сопротивления зависит от числа Re d , рассмот- рим различные варианты [43]: a min v ( 3 ) 0.5 ( ) 1/6 c , c 2 d U v ( 3 ) 0.5 ( 2 ) 1/6 2 c , c d U a min 3 Re d < 0.1, (10) 0.1 6 Re d 6 100. (11) Для области 400 6 Re d 6 2 · 10 3 согласно экспериментальным данным [38] для капли жидкости в воздухе можно получить следующую корреляцию: 4/3 C D = 14.5 Mo 1.5 Re d , учитывая которую, можно написать [43]: a min = 0.168 2/3 Mo 1.5 3 . U 4 c 2 d c 2 (12) Для воздушных пузырьков в воде при Re d > 2·10 3 значение коэффициента сопротивления устанавливается на уровне C D = 8/3, и ) 1/3 1 2 ( . a min = 2 c c 2 d 3 (13) В перемешивающих устройствах минимальный размер капель определя- ется выражением [19] 1.75 a min = 0.5(nd T ) ( 3 ) 0.25 c c 2 d , (14) где n - угловая частота вращения мешалки, d T - диаметр мешалки. Как сле- дует из этого уравнения, минимальный размер капель определяется характе- ристиками мешалки: угловой скоростью вращения и размером перемешива- ющего устройства, а также свойствами среды и капли. В табл. 1 приведено сравнение экспериментальных данных [19, 47] с расчетными значениями ми- нимальных капель масла в воде, полученными по формуле (14); значения параметров для расчета: = 72.2 · 10 3 Н/м, c = 1000 кг/м 3 , d = 850 кг/м 3 , c = 10 6 м 2 /сек, d T = 0.027 м; Re d = nd T a/ c ; U = nd T . Таблица 1 Сравнение экспериментальных [47] и рассчитанных по формуле (14) значений минималь- ных размеров капель масла в воде [Comparison of experimental and calculated values of the minimum size of oil droplets in water] Re d n, sec 1 U , m/sec 22.50 19.44 16.87 14.58 13.23 11.25 16.67 20.0 25.0 30.0 35.0 41.67 0.450 0.540 0.675 0.810 0.945 1.125 Minimum droplet size (a min 10 6 ), m experimental data [47] calculated by Eq. (14) 53.0 39.0 26.0 19.0 15.0 10.5 54.2 39.4 26.6 19.4 14.7 10.9 Parameter values for calculation: = 72.2 · 10 3 N/m, c = 1000 kg/m 3 , d = 850 kg/m 3 , c = 10 6 m 2 /sec, d T = 0.027 m; Re d = nd T a/ c ; U = nd T . Приведенные корреляции для расчетов минимальных и максимальных размеров деформируемых частиц (капель, пузырей) с определенной точно- стью могут быть использованы для решения задач коалесценции, дробления и разделения дисперсных систем. Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования со- стояния деформируемых частиц в турбулентном потоке [48-51] позволили предложить различные формулы для оценки максимальных и минимальных размеров дисперсных включений, причем, как показали исследования, эти размеры зависят прежде всего от удельной диссипации энергии, свойств сре- ды и частиц, от коэффициента сопротивления частиц, а в некоторых слу- чаях и от критического значения числа Вебера We cr [6, 42]. Использование коэффициента сопротивления в уравнении равновесия (3) позволяет расши- рить область адекватного описания максимальных и минимальных размеров частиц. Сравнивая расчетные данные на основе приведенных формул [48- 51] с различными экспериментальными измерениями, можно отметить, что максимальный размер капель пропорционален удельной диссипации энергии 0.4 только для области развитой турбулентности при Re d > 2·10 3 . В осталь- R ных случаях степень удельной диссипации энергии может существенно ме- няться. Определим отношение максимального размера (4) к минимальному раз- меру (9) капель для развитой турбулентности при Re d > 2000 в виде ( ) 0.4 a max c 1.6 Ke C D , (15) a min Mo d где Ke = 548 g - безразмерное число, характеризующее отношение поверх- c RМатематическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . ностной энергии к энергии турбулентного потока [52] и определяющее сте- пень агрегативной устойчивости капель и пузырей. Если число Ke 1 или R g/ c , то в этом случае капля считается устойчивой и не подвергается дроблению в турбулентном потоке. В работе [15] на основе эксперименталь- ных данных [2, 42] предложено условие Re d Mo 1/6 < 7, при котором пузыри не подвергаются значительной деформации, при этом Mo = 43 C D We 3 Re 4 d . 2. Дробление капель и пузырей в изотропном турбулентном по- токе. Дробление капель и пузырей в изотропном турбулентном потоке явля- ется важным фактором для увеличения межфазной поверхности и скорости тепло- и массопереноса в дисперсных системах. Механизм дробления дефор- мируемых частиц определяется разными факторами. Среди них отметим сле- дующие: - влияние пульсаций турбулентности определенной частоты на поверх- ностной части капель и пузырей [8, 53-56] на коррекцию формы 1 ; - граничная неустойчивость на поверхности капли, определяемая турбу- лизацией пограничного слоя, или общая неустойчивость в результате достижения размеров капли максимального значения a > a max ; - воздействие внешней среды 2 , где дробление капель можно определить равновесием между внешними силами непрерывной фазы и силами по- верхностного напряжениея, способствующими сопротивлению разруше- нию капли (3) [1, 25, 38]; - результат взаимного упругого столкновения при интенсивном переме- шивании системы 3 . 1 В работах [1, 5] флуктуационная частота колебаний поверхности капли с использова- нием уравнения Рэлея определена в виде (k) = ( 2 (k + 1)(k + 2)k(k 1) ) 0.5 , 2 c a 3 (k + 1) d / c + 1 где k - волновое число. При k = 2 из данной формулы вытекают формулы для определения частоты, соответствующие дроблению пузырей v 2 6 ( ) 0.5 , d c (a) = c a 3 и капель (a) = 4 ( ) 0.5 , d a 3 d c . В итоге для небольших деформаций формулу капли можно определить суперпозицией «линейных гармоник»: [ ] r(t, ) = R 1 + A k cos( k t)P k (cos ) , k где P k (cos ) - функции Лежандра, A k - коэффициенты ряда, определяемые как A k = = A k0 exp( k t), k - коэффициент затухания k = (k + 1)(k 1)(2k + 1) d + k(k + 2)(2k + 2) c ( ) . d (k + 1) + c k R 2 2 Данное условие также характеризует деформацию формы капель и пузырей. Важно отметить, что не всякое столкновение капель и пузырей приводит к их слиянию и коалесценции; при упругом столкновении капля может распадаться на осколки, тем са- Общий обзор по дроблению капель и пузырей приведен в работе [20], где рассмотрены вопросы, связанные с частотой дробления и характером функ- ции распределения частиц по размерам, хотя не рассмотрены анализ макси- мальных и минимальных размеров и характерные особенности влияния вто- ричных процессов дробления на изменение функции мультимодального рас- пределения капель. Несмотря на множество механизмов дробления капель и пузырей, важным параметром, характеризующим этот процесс, является частота дробления в турбулентном потоке, определению которой посвящено множество работ [3, 11, 13-15, 20, 25, 33, 47]. В работе [3] на основе анализа поверхностной и кинетической энергии турбулентного потока для частоты дробления капель предложено следующее выражение: ( C 2 ) 1/3 . (16) (a) = C 1 a 2/3 R exp 2/3 c R a 5/3 В работах [12-14] путем аналитического решения уравнения массопереноса с учетом выражений для турбулентной диффузии частиц N 1 ( 2 N ) = 2 r D T P , t r r r t = 0, r > R, N = N 0 , t > 0, r = R, N = 0, t > 0, r > , N = N 0 , предложено аналогичное (16) уравнение для частоты дробления для случая > 0 (где C 1 = C 10 N 0 a 3 ), когда коэффициент турбулентной диффузии определяется по первой формуле (2), причем время дробления капель принимается в виде 1/3 /( c R a), хотя в работах [33, 34] он определяется как a 2/3 R . Для случая < 0 , т. е. для вязкого течения с использованием второго уравнения (2), частоту дробления можно определить следующим выражением: ( ) 0.5 ) ( R (a) = C 01 N 0 a 3 . (17) exp C 02 c ( c R ) 1/2 a c Как следует из этого уравнения, частота дробления капель и пузырей в вязкой области или в жидкой среде обратно пропорциональна вязкости сре- ды c 0.5 . В ряде работ в зависимости от механизма дробления предложены следующие формулы для частоты дробления: ( 2 ) ( 3 C ) 4 2/3 1/3 (a) = C 3 a R v в [20, 57, 58]; 2 c 2/3 a 5/3 R K 0 ( ) 0.5 2/3 (a) = 8.2 R a 2/3 в [33]; a c a [( ] ) 0.5 d 1/3 (a) = C 5 R erfc C 6 + C 7 в [20, 59]; (18) 2/3 5/3 1/3 4/3 c R a 0.5 0.5 a c R d 19/15 ( v 2 1.8 ) a 5/3 R 1.4 c (a) = exp 3 1.8 1.2 в [20, 60]; 1.4 a c R [( ) 1/3 ] 1.5 (a) = C 8 n erfc C 9 3 3 1.5 1.5 в [61]. n d T c a мым меняя спектр распределения размеров, хотя отсутствуют работы, свидетельствующие о числе частиц, образовавшихся в результате такого распада. 550Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . Последнее уравнение определяет частоту дробления капель в перемешиваю- щих устройствах и зависит от параметров перемешивания. Для многофазных систем с объемной долей капель частоту их дробления можно определить в виде [3, 34] 1/3 (a) = C 10 ( R (1 + ) 2 ) exp C . 11 2/3 a 2/3 (1 + ) d a 5/3 (19) R Скорость дробления капель в изотропном турбулентном потоке характе- ризуется константой скорости, определяемой в виде [50] 1/3 ( R A 1 ) , Re d < 1, k R = A 0 2/3 exp 2/3 a c R a 5/3 1/3 ( c a 2/3 R A 1 ) Re d > 1, k R = A 0 . exp 2/3 c c R a 5/3 (20) В принципе, выражение, приведенное в скобках, является отношением по- верхностной энергии (E a 2 /a a) к энергии турбулентного потока T a 2 (P T ), P T = C 1 c ( R a) 2/3 ) и характеризует эффективность про- ( E цесса дробления: E . 2/3 T E c R a 5/3 Анализируя уравнения (17)-(20), можно отметить, что частота дробления в изотропном турбулентном потоке для области > 0 определяется в основ- ном параметрами турбулентности (удельная диссипация энергии, масштаб турбулентных пульсаций), плотностью среды, поверхностным напряжением, а для вязкого течения ( < 0 ) - дополнительно и вязкостью среды. Важно отметить, что дроблению капель и пузырей в изотропном тур- булентном потоке предшествует деформация их формы, причем при значи- тельных числах We и достаточно малых числах Mo они могут принимать формы, не поддающиеся описанию. Условие равновесия между поверхност- ными силами и внешними силами турбулентного потока (3) может также характеризовать начальные условия деформации частиц. Эксперименталь- ные исследования деформации пузырей при различных числах We, Mo и Re d приведены в работах [10, 62], а теоретические исследования представлены ра- ботами [42, 44, 52, 63]. 3. Коалесценция капель и пузырей в изотропном турбулентном потоке. Коалесценция капель и пузырьков играет важную роль в протека- нии различных технологических процессов химической технологии и, прежде всего, в уменьшении межфазной поверхности, в расслоении и разделении ча- стиц разных размеров, сопровождающимися их осаждением или всплытием. Механизм коалесценция капель и пузырей определяется следующими эта- пами: - взаимное столкновение частиц с определенной частотой в турбулентном потоке; - образование межфазной пленки между двумя каплями и ее утончение; - разрыв межфазной пленки и дренаж жидкости из одной капли в дру- гую, слияние и образование новой капли. Взаимные столкновения частиц в объеме потока происходит по различ- ным причинам: - за счет конвективной броуновской диффузии, мелкодисперсной состав- ляющей частиц, характерной в основном для ламинарного течения при малых числах Рейнольдса; - за счет турбулентного течения и турбулентной диффузии; - за счет дополнительных внешних полей (гравитационного, электриче- ского, электромагнитного и т. д.) 4 ; - за счет эффекта зацепления в результате конвективного переноса мел- ких частиц в окрестности падающей крупной частицы 5 ; - за счет неоднородности полей температуры и давления, способствую- щих появлению сил, пропорциональных градиентам температуры и дав- ления и действующих в направлении уменьшения этих параметров 6 ; - кроме указанных явлений, коалесценции способствуют физические яв- ления (испарение капель, конденсация), сопровождающиеся возникно- вением гидродинамической силы отталкивания (эффект Фасси) испа- ряющихся капель за счет испарения (стефановский поток) или возник- новением силы при конденсационном росте капли, действующей в об- ратном направлении 7 . 4 Если колмогоровский масштаб турбулентности 0 меньше или сравним с размерами капель в области вязкостного течения, то процесс сопровождается турбулентным блуж- данием, аналогичным броуновскому, результатом чего является возникновение турбулент- ной диффузии. Однако турбулентная диффузия может быть характерна для частиц боль- ших размеров на расстояниях, больших , благодаря высокой интенсивности турбулентных пульсаций и неоднородности гидродинамического поля. 5 В результате осаждения или всплытия крупных частиц за счет образования гидроди- намического следа существенно увеличивается захват мелких частиц крупными, что при- водит к гравитационной коалесценции, если они падают вдоль линии, близкой к линии центров. В процессе коалесценции капель немаловажную роль играет коэффициент захва- та, определяющий отклонение реального сечения захвата частиц от геометрического [32] = I , (L + R) 2 N 0 V где I - массовый поток к поверхности выделенной частицы, - коэффициент захвата, L - характерный масштаб расстояния, V - скорость невозмущенного сферой течения среды. Связь между числом Шервуда и коэффициентом захвата при конвективной диффузии имеет вид ( 1 R ) 2 Sh = Pe 1 + . 2 L Коэффициент захвата определится как [32] N L ) 4 ( 1 b * (1 + b 0 Pe), ( Pe N N ) 0 ( ) L 1 Pe 2/3 1 + 0.738 Pe 1/3 , N 0 Pe 1; Pe 1. Здесь N L - концентрация частиц на поверхности сферы радиуса r = L, b * , b 0 - коэффици- енты. 6 Для мелкодисперсной составляющей дисперсного потока в результате действия этих сил характерна их миграция за счет термодиффузии и бародиффузии, что также способ- ствует их столкновению и коалесценции. 7 Несмотря на различные механизмы, в процессах химической технологии коалесценция 552Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . Коалесценция капель и пузырей характеризуется следующими этапами: - сближение и столкновение капель разного размера в турбулентном по- токе с образованием межфазной пленки между ними 8 ; - утончение и разрыв межфазной пленки под действием внешних сил и деформирующего (расклинивающего) напряжения с последующим дренажом жидкости из одной капли в другую, коалесценцией и укруп- нением капель 9 . При столкновении двух капель образуется межфазная пленка, которая под действием различного рода сил (гравитационных, динамических, капил- лярных, молекулярных и т. д.) утончается до некоторой критической толщи- ны и разрывается с дальнейшим слиянием двух капель (рис. 1). В принципе, образовавшаяся между двумя каплями межфазная поверхность обладает ко- нечной кривизной, зависящей от радиусов капель и переменного поверхност- ного натяжения. Полагая, что в плоской пленке незначительной кривизны кругового сечения течение ламинарное, уравнение переноса импульса в ци- линдрических координатах можно записать в виде [52] P 2 V r 2 V r + 2 + = 0, r gr 2 g x 2 капель и пузырей в турбулентном потоке составляет основу расчета явлений, протекающих в дисперсных системах «газ - жидкость» (колонны, газо-жидкостные реакторы) и системах «жидкость - жидкость» (перемешивающие устройства) [4, 7, 9, 12, 13, 16, 17, 22, 25, 29, 52]. 8 Перенос капель в полидисперсной среде определяется в основном интенсивностью тур- булентности потока и гидродинамическими условиями. В условиях изотропной турбулент- ности частота столкновений капель зависит от удельной диссипации энергии турбулентно- го потока и свойств среды и дисперсной фазы [3, 13, 29, 52, 54]. В результате столкновения и фиксирования двух капель с размерами a 1 и a 2 между ними образуется межфазная пленка круглой формы (рис. 1), радиус которой определяется в виде [2] R K = ( 3 4 P m (k 1 + k 2 )a r ) 1/3 , где k 1 , k 2 - коэффициенты упругости капель; a r = a 1 a 2 /(a 1 + a 2 ) - средний размер ка- пель; a 1 , a 2 - диаметры капель; P m - максимальное сжимающее давление. В работе [3] выражения для гидродинамического давления сжатия в турбулентном потоке определены 2 , а для изотропной турбулентности - P m c 2/3 (a 1 a 2 ) 2 /(a 1 + a 2 ) 4/3 . как P m = a 2 r c U R 9 Разрыв межфазной пленки способствует слиянию более мелких капель в более круп- ные, что способствует уменьшению общего числа капель в объеме и нарушению седимен- тационной устойчивости и характера их распределения. Рис. 1. Столкновение двух капель с образованием межфазной пленки [Figure 1. Collision of two drops with the formation of an interfacial film] 1 P 2 V r + 2 = 0, r gr V x 1 (rV r ) + = 0, x r r (21) где P - давление в пленке; V r , V x - составляющие скорости течения в пленке; - полярный угол. Одним из важных краевых условий для решения этих уравнений является условие V r d 1 (cos ) = + , r dr R K sin определяющее присутствие конвективного течения в жидкой пленке по эф- фекту Марангони [64, 65]. Отметим, что данная проблема с учетом наличия поверхностно-активных веществ, инверсии фаз, эффекта Марангони для од- номерного распределения давления в пленке численно решена в работе [65]. Эффект Марангони рассматривается в качестве термокапиллярного течения как результат изменения температуры в пленке и конвективного течения при изменении концентрации или поверхностного натяжения. Преобразуя систе- му уравнений (21), получим уравнение для изменения толщины межфазной пленки в виде [52] x = , d 2 2 2gP 3 + = 4 2 sin . dt 3R K 3R K Для P определим следующее выражение: 2 P = (P D + P K )R K + , где P D , P K - динамическое и капиллярное давление (P K = 2/(g)), дейст- вующие в пленке; - расклинивающее давление, определяемое как = = AR k 2 /(6 2 ) для сферической и = AR k 2 /(6 3 ) для деформируемой ка- пель; A - выражает константу Ван-дер-Ваальса-Гаммакера (A 10 21 J) [66, 67]. С учетом вышеизложенного уравнение утончения межфазной пленки (16) представим в виде d = b 1 3 + b 2 2 b 3 , dt где b 1 = 2gP D 4 , 3R K b 2 = t = 0, (22) = 0 , 1 ) 2 ( 2 + , 2 sin 3R K b 3 = 1 Aa r g 4 . 9 R K В работах [52, 68] предложены различные аналитические решения данного уравнения: 2 ); - для тонких пленок можно положить, что P D P K /(R K 2 - для толстых пленок можно положить (P D + P K ) /(R K ). Для тонких пленок решение уравнения (22) представится как (t) = 554 0 exp(b 3 t) , 1 + 1 0 (exp(b 3 t) 1) (23)Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . где 1 = 6R k 2 ( b 2 1 ) = 2 + . b 3 Aa r g sin Для весьма тонких пленок решение (22) представится как (t) 0 exp( 3 t), где 3 = (24) 2 P D g 0 2 . 3 c R K В случае деформируемых капель имеем (t) 0 2 t, 2 = Ag 2 . 9 0 R K (25) Для толстых пленок основными силами, разрывающими толстую меж- фазную пленку, являются гидродинамические силы, т. е. те силы, которые обусловлены пульсациями скорости. Решение (22) в этом случае можно пред- ставить в виде 0 , 1 + 3 t 0 , (t) = 1 + b 2 0 t (t) = v P D P K , (26) P D P K . (27) Приведенные частные решения (23)-(27) могут быть использованы в ин- женерных расчетах, в частности при определении толщины межфазной плен- ки. Исходя из уравнения (23) можно констатировать, что эффект Марангони считается поправкой к коэффициенту поверхностного натяжения в b 2 , хо- тя он способен оказать значительное влияние на течение и на распределе- ние скорости в указанной пленке. Наличие двумерных давлений, сложность распределения давления на поверхности жидкой пленки и анализ уравнений (21) показывают, что при утончении пленки наличие эффекта Марангони в некоторой степени способствует стабилизации процессов дробления в систе- ме «жидкость - жидкость», т. е. оказывает тормозящий эффект при разрыве пленки. Как видно из уравнения (23) и формулы определения коэффициента 1 , эффект Марангони приводит к временной стабилизации межфазной пленки, так как в произвольной точке, где за счет действия внешних сил межфазная пленка утончается, происходит локальное усиление поверхностного натяже- ния, что противодействует утончению. Процесс утончения и, следовательно, разрыва пленки носит случайный характер и, как указано в работе [69], воз- можность разрыва пленки обратно пропорциональна ее толщине. В процессе разрушения межфазной пленки существенная роль принадле- жит гидродинамическим силам P D , порождающим турбулентность, и, преж- де всего, высокочастотным турбулентным пульсациям, способствующим ос- лаблению пленки и межмолекулярных связей между ее основными компо- нентами, уменьшению прочности и разрыву пленки в результате их растяже- ния и сжатия, улучшению условий столкновения за счет увеличения часто- ты столкновений и коалесценции. При одномерном распределении давления 555К е л б а л и е в Г. И., Р а с у л о в С. Р. в пленке с участием поверхностно-активных веществ данная проблема реша- ется также в работе [70]. Экспериментальные данные по утончению межфазной пленки приведены в работах [65, 70]. На рис. 2 приведены экспериментальные и результаты рас- четов по уравнению (23) утончения толщины пленки, причем после достиже- ния толщины критического значения 6 cr наиболее приемлемым является расчет по формуле (24). Рис. 2. Сравнение расчетных и экспериментальных данных [70] зависимости тол- щины межфазной пленки от времени при следующих концентрациях N D деэмуль- гатора: 1 - N D = 0.2 г/л; 2 - N D = 0.5 г/л; 3 - N D = 0.5 г/л; линии 1-3 - расчет по уравнению (23); линия I - расчет по уравнению (24) [Figure 2. Comparison of calculated and experimental data [70] of the dependence of the interfacial film thickness on time at the following concentrations (N D ) of demulsifier: curve 1 corresponds to N D = 0.2 g/l; curve 2 corresponds to N D = 0.5 g/l; curve 3 corresponds to N D = 0.5 g/l; curves 1-3 correspond to the calculation by Eq. (23); curve I corresponds to the calculation by Eq. (24)] После разрыва межфазной пленки происходит дренаж жидкости из одной капли в другую, скорость которой определена в работах [52, 71]. Рассматривая процесс коалесценции капель в статистическом смысле как обратный процес- су их дробления, можно отметить, что частоты коалесценции аналогичны уравнениям (17)-(19) [4, 7, 9, 12, 13, 16, 22, 29, 52]. 4. Эволюция функции распределения капель и пузырей в изо- тропном турбулентном потоке. Эволюция функции распределения ка- пель и пузырей в ограниченном объеме потока, изменяющихся в результате коалесценции и дробления, является важным показателем дисперсной систе- мы и дает ее качественную и количественную характеристику. Основу описа- ния эволюции функции распределения составляют два стохастических урав- нения: - интегро-дифференциальное уравнение коагуляции и дробления, постро- енное на основе популяционного баланса [14, 32, 34, 56, 59, 72]; - стохастическое дифференциальное уравнение Фоккера-Планка [12, 13, 15, 32, 52, 73, 74]. 556Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . 4.1. Интегро-дифференциальное уравнение коагуляции и дроб- ления. Данное уравнение, описывающее явления коалесценции и дробления капель и пузырей на основе популяционного баланса, является нелинейным интегро-дифференциальным уравнением, имеющим сдвиг по аргументу и за- висящим от частоты столкновений и дробления, от переменных размеров (объемов) частиц, от времени эволюции, и может быть представлено в ви- де P (v, v ) + U c P (v, v ) = C + + C + B + + B , (28) t где 1 v C + = (v , v v )P (v )P (v v ) dv 2 0 - выражение, учитывающее рождение новых частиц за определенное время; , v)P (v ) dv (v C = P (v) 0 - выражение, описывающее уход частиц из данного диапазона размеров; P (v) v + (v, v )P (v ) dv , B = B = (v , v)v dv v 0 0 - две интегральные составляющие, описывающие приход и уход частиц из , v) - частота двух- данного диапазона в процессе их дробления [32, 74]; (v частичного столкновения частиц объемом v 1 и v 2 при их единичной кон- центрации за промежуток времени t; (v, v ) - функция, характеризую- щая плотность распределения частиц объема v, образовавшихся в единицу , v) яв- времени в результате разрушения частицы объемом v . Функция (v ляется симметричной относительно аргументов, т. е. = (v 1 , v 2 ), v 1 > v 2 2 , v 1 ), v 2 > v 1 . В отличие от (v , v), функция (v, v ) являет- и = (v ся несимметричной функцией, причем исходя из физических соображений можно положить, что (v, v ) > 0 при v < v и (v, v ) = 0 при v > v [32]. В частности, частота столкновения капель в вязкой жидкости определяется симметричной функцией вида [75] ( ) 0.5 R 1.294 N 0 (a i + a j ) 3 , c аналогичной уравнению (17). v ) используется симметричная функция, В работе [3] для расчета (v, аналогичная нормальному распределению: ( 2 ) v ) = 2.4 exp 4.5 (2v v ) . (v, v v 2 Более сложная формула для расчета частоты столкновения частиц (пузырей) с размерами a i и a j предложена в работах [3, 4, 77]: ( ) i , a j ) = C ij 1/3 (a i + a j ) 2 a 2/3 + a 2/3 1.5 (a i , a j ). (a i j R 557К е л б а л и е в Г. И., Р а с у л о в С. Р. Здесь C ij 0.28 1.11; (a i , a j ) - эффективность коалесценции, которая определяется как [3] ] [ c c R ( a i a j ) 4 (a i , a j ) = exp C 11 2 a i + a j и уточняется в работе [2] в виде [ ( c 2/3 a 5/3 ) 0.5 ] ( 1 1 ) 1 ij R (a i , a j ) = exp 2.3 , a ij = 2 + . a i a j В работе [34] для вторичного дробления, т. е. для «дочерних» капель, предлагается следующая формула: ( ) (Av 2/9 B) A(v v) 2/9 B , (v, v ) = v v min ( ) 2/9 2/9 (Av B) A(v v) B dv v min где A = 4.1 ( 6 ) 2/9 2/3 c R , B = 6 . (6/) 1/3 v 1/3 Обзор по статистическому анализу процессов дробления капель и пузы- рей приведен в работах [20, 33, 34], где также проанализированы разные ме- ханизмы дробления капель и пузырей и различные выражения для функ- 1 , v 2 ) и (v, v ). На рис. 3 приведены характерные кривые изменения ций (v частоты дробления газовых пузырей в зависимости от размеров, взятые из работ [33, 34, 60]. Решение уравнения (28) ввиду его нелинейности как в теоретическом, так и в практическом плане представляет определенные трудности. Некоторые частные аналитические решения уравнения дробления P (v, v ) P (v) v = (v, v )P (v )dv (v , v)v dv , t v 0 0 t = 0, P (v, 0) = P 0 (v); v > , P (v, t) > 0; v > 0, P (v, t) > 0, (29) (учитываются только последние два члена уравнения (28), C + = C = 0) при постоянном значении (v, v ) = const и заданном начальном распределе- нии в виде гамма-распределения, а также с использованием метода моментов приведены в работе [32], методом разделения переменных - в работе [14]. В частности, решение этого уравнения можно искать методом разделения переменных в виде P (v, t) = (t)(v), подставляя которое в (29), получим два уравнения: = 2 , t (t) = B 1 exp( 2 t), v (v, v )(v)dv v (v, v )dv = 2 . v 0 0 558Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . Рис. 3. Зависимость частоты дробления пузырей от их размеров для различных зна- чений диссипации энергии на основе данных работ [33, 34] (сверху) и [60] (снизу): 1 - R = 5.0 м 2 /с 3 ; 2 - R = 10.0 м 2 /с 3 [Figure 3. The dependence of the frequency of bubbles breakage on their sizes for various values of energy dissipation based on the data of Ref. [33, 34] (top) and [60] (bottom): curves 1 correspond to R = 5.0 m 2 /sec 3 ; curves 2 correspond to R = 10.0 m 2 /sec 3 ] Используя краевые условия, общее решение (29) можно представить в ви- де [14] P (v, t) = n=0 где = v ( B n exp( 2 n t) exp ) (v, v )v 2 + (v) (/v)v dv , (v)v 2 n v 2 (30) v (v, v )dv . Решение (30) имеет достаточно сложный вид, но при 0 определенном выборе вида функции частоты дробления и начального рас- пределения P 0 (v) оно существенно упрощается. В частности, если функция частоты дробления задана в виде (v) = K 0 v m , то функция распределения 559К е л б а л и е в Г. И., Р а с у л о в С. Р. будет иметь вид P (v, t) = ( 2 B n exp n K 0 t + n=0 ) dv . v 2 n (2 m)v m Если в качестве начального распределения взять функцию P 0 (v) = 2 то при m = 1 будем иметь N 0 2v ve , v 0 ( ) N 0 v exp 2 2 20 K 0 t . v 0 v 0 P (v, t)dv = 1 и v a 3 , кумулятивную Учитывая условие нормировки P (v, t) = 2 0 функцию распределения получим в виде a P (v, t) P K (a, t) = da = 1 exp(k 0 a 3 ). N 0 0 Это решение удовлетворительно совпадает с экспериментальными данными [33, 34] для кумулятивной функции распределения, если k 0 = 0.00105(x/a) 2 (где x - длина перемещения капли при распылении жидкости под давлением) (рис. 4). Определенную сложность представляет процесс нахождения решения урав- нения коалесценции, полученного из (28) и имеющего сдвиг по аргументу: P (v, v ) 1 = t 2 v , v v )P (v )P (v v ) dv (v 0 P (v) , v)P (v ) dv . (31) (v 0 560 Рис. 4. Изменение кумулятивной функции распределения капель при распылении жидкости на различных расстояниях x/a: 1 - x/a = 17.2, 2 - x/a = 22.65, 3 - x/a = 27.39, 2 - x/a = 34.07 [Figure 4. Change in the cumulative function of the distribution of droplets from spraying liquids at different distances (x/a): curve 1 corresponds to x/a = 17.2, curve 2 corresponds to x/a = 22.65, curve 3 corresponds to x/a = 27.39, curve 4 corresponds to x/a = 34.07]Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . Решения (31) сильно зависят от задания начального распределения и функ- ции ядра коалесценции (v). Ряд частных аналитических решений (31) для определенных начальных распределений и функции (v) приведены в табл. 2. Численные решения уравнений коалесценции и дробления (29) и (31) при- ведены в работах [26, 29, 32, 58, 79, 80], а общий анализ результатов численного и аналитического решений - в работе [32]. 4.2. Стохастическое уравнение Фоккера-Планка. Уравнение опи- сывает дисперсные системы с изменением свойств среды и размеров компо- нентов дисперсной фазы. Так как процессы коалесценции и дробления ха- рактеризуются скачкообразностью изменения свойств частиц, для существен- ного отрезка времени изменение свойств можно считать квазинепрерывным с непрерывным малым скачком [81-83]. В частном случае следует предполо- жить, что изменение среднего размера капель и пузырей в зависимости от времени носит непрерывный характер и описывается уравнением изменения средней массы частиц по времени dm = ±(a)m. dt (32) Здесь знак (+) характерен для коалесценции, а знак () - для дробления капель и пузырей. Экспериментальные исследования по дроблению и коалес- ценции капель и пузырей в турбулентном потоке подтверждают, что средний размер капель определяется на уровне минимального (дробления) или макси- мального (коалеценции), что характеризует агрегативную устойчивость дис- персной среды. С учетом изложенного в уравнении (32) m рассматривается как приведенная масса относительно экстремальных значений капель и пу- зырей: m = d (a a min ) 3 - для дробления и m = d (a max a) 3 - для ко- 6 6 алесценции. В частном случае из уравнения (32) можно получить формулу, характеризующую изменение размеров капель при дроблении в виде da = k(, a)(a a min ) = f (a); dt t = 0, a = a 0 , (33) что является непрерывным процессом по времени, где k(, a) = (a)/3. Экс- периментально измеряемые средние размеры при дроблении капель в пере- мешивающих устройствах, где имеет место турбулентность потока, приведе- ны в работах [19, 47, 84]. С использованием экспериментальных значений [47] в работах [13, 19] для частоты вращения мешалки n = 10002500 об/мин приведены следующие соотношения для определения начального и мини- мального размеров капель масла в водной среде: a 0 = 1.75 · 10 2 · (n · d M ) 1.5 и a min = 1.695 · 10 4 · (n · d M ) 1.75 с использованием выражения (14). Сравнительный анализ расчетных данных и экспериментальных значе- ний изменения среднего размера капель можно выполнить по информации, представленной на рис. 5. В силу того, что изменение размеров частиц можно рассматривать в ви- де непрерывной функции, уравнение Фоккера-Планка может быть записано так: [ da ] B 2 P (a, t) P (a, t) = P (a, t) + , (34) t a dt 2 a 2 t = 0, P (a, 0) = P 0 (a); a > 0, P (a, t) > 0. 561562 )x] Таблица t) ) 2(1 К е л б а л и е в Г. И., Р а с у л о в С. Р.= where argument a j a j)!j! exp[( + [Continuation Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . 563564 k+1j if ) + ( 1+ [Ending К е л б а л и е в Г. И., Р а с у л о в С. Р.Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . Рис. 5. Характер изменения среднего размера капель при различных частотах вращения мешалки: 1) n = 1000 об/мин, 2) n = 1200 об/мин, 3) n = 1500 об/мин, 4) n = 1800 об/мин, 5) n = 2100 об/мин, 6) n = 2500 об/мин [Figure 5. The change in the average droplets size at different rotation frequency of a mixer: 1) n = 1000 rpm, 2) n = 1200 rpm, 3) n = 1500 rpm, 4) n = 1800 rpm, 5) n = 2100 rpm, 6) n = 2500 rpm] Решение этого уравнения может представлять определенные трудности из-за вида функции f (a) в (33). Некоторые частные аналитические решения уравнения (34) в зависимости от характера задания функции f (a) можно найти в работах [13, 15, 19, 52, 73, 74] (табл. 3). Стационарные решения уравнения Фоккера-Планка предложены в рабо- те [73]. В некоторых случаях, например для мультимодальной эксперимен- тальной функции распределения, решение (34) с использованием определен- ных эмпирических преобразований может быть представлено в виде суммы логнормальных распределений [19]: P (a, t) = [ ] A n (t) exp m n (t)(ln a s n ) 2 , (35) n=0 где s n - параметр, соответствующий логарифму максимального значения каждого экстремума. Экспериментальные исследования по коалесценции и дроблению капель и пузырей [32-34, 47, 72] показывают, что функция распре- деления носит мультимодальный характер, что объясняется наличием в пото- ке вторичных, третичных и т. д. явлений коалесценции и дробления. Причем число экстремумов в «хвосте» кривой распределения характеризует допол- нительные акты коалесценции частиц, а число экстремумов в начале кривой распределения - число актов повторного дробления. Обсуждение и анализ результатов. Теория и описание физических явлений коалесценции и дробления капель и пузырьков в изотропном турбу- лентном потоке представляет собой детерминированно-стохастическую про- блему, включающую в себя решение задач детерминированного характера (гидродинамические задачи в турбулентном потоке) и описание процессов стохастической природы, связанных в основном со случайным скачкообраз- ным изменением размеров частиц и их распределением по размерам и по 565566 polynomials, ( exp A i ) r 2 = m are ( Kr (1)/2 К е л б а л и е в Г. И., Р а с у л о в С. Р.Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . времени. В то же время проблемы коалесценции и дробления можно рас- сматривать с позиций теории «рождения и гибели» частиц [73] и теории ка- тастроф [85], поскольку основу этих процессов составляет образование но- вых частиц, связанных с исчезновением или «гибелью» старых, появлени- ем или «рождением» новых частиц, что характеризуется потерей агрега- тивной и седиментационной устойчивости дисперсной среды. Как следует из формул (2)-(12) и (17)-(19), важным параметром, обеспечивающим аг- регативную устойчивость дисперсной среды типа «жидкость-жидкость» или «жидкость-газ» к дроблению, деформации и коалесценции, является коэф- фициент поверхностного натяжения, а в изотропном турбулентном потоке - отношение / R (15), поскольку эти параметры являются основными при оценке максимальных (2), (4)-(8) и минимальных (10)-(14) размеров капель, при вычислении частот дробления и коалесценции (17)-(20). В некоторых исследованиях значение максимального размера капель и пузырей связы- вают с критическим числом Вебера следующим образом: a max We 0.6 cr , где We cr = 1.18 [38], We cr = 2.6 [86], We cr = 2.77.8 [87]. В большинстве случаев приведенные в литературе формулы для оценки минимальных и максималь- ных размеров капель и пузырей носят формальный характер, поскольку их сравнение с экспериментальными значениями дает большую ошибку, но при определенном подборе неизвестных коэффициентов (например, параметра в уравнениях (4)-(8) и (9)-(14)) в этих формулах можно добиться удовлетвори- тельной сходимости расчетных данных к экспериментальным в конкретных случаях. В дисперсной среде возможны одновременное протекание процессов как коалесценции, так и дробления капель, причем в условиях равновесия между этими процессами наблюдается периодическое повторение этих явлений в за- висимости от минимальных и максимальных размеров капель. Нарушение равновесия между явлениями коалесценции и дробления, связанное с изме- нением режима и внешних параметров, способствует смещению процесса в том или ином направлении. В частности, при достаточно больших значениях угловой скорости перемешивания процесс смещается в сторону как дробле- ния, так и коалесценции, что связано с увеличением удельной диссипации энергии R n 3 и частоты дробления (a) n 0.5 [13, 19]. Увеличение скоро- сти дробления капель способствует росту числа капель в единице объема и, соответственно, увеличению вероятности столкновения и укрупнения капель. Этот факт ярко проявляется в процессах жидкостной экстракции, расслоения и разделения эмульсий [88]. На практике явления коалесценции и дробления капель могут осложняться наличием различных пленок на поверхности ка- пель, тормозящих протекание процесса. В частности, в системе «нефть-вода» на поверхности водных капель образуется защитная пленка за счет диффузии естественных ПАВ, содержащихся в сырой нефти на межфазной поверхно- сти. Структурно-механическая устойчивость таких эмульсионных систем свя- зана с образованием на границе раздела «нефть-вода» адсорбционных слоев, в состав которых входят асфальтены, парафины, смолы, минеральные соли и твердые частицы [89-91]. Анализ состава указанных оболочек на поверх- ности капель воды, находящейся в сырой нефти различных месторождений, подтверждает, что доминирующими стабилизаторами считаются асфальтены и смолы, в составе которых находятся высокоплавкие парафины и неоргани- ческие механические примеси. В связи с этим для коалесценции и дробле- ния подобных систем прежде всего необходимо разрушение и разрыхление 567К е л б а л и е в Г. И., Р а с у л о в С. Р. адсорбционного слоя различными поверхностно-активными веществами. Ин- тенсификация подобных процессов разделения нефтяных эмульсий связана, прежде всего, с турбулизацией потока, поскольку высокочастотные пульса- ции турбулентности приводят к ослаблению адсорбционной пленки и межмо- лекулярных связей между ее основными компонентами, уменьшению проч- ности и разрыву пленки в результате их растяжения и сжатия, улучшению условий увеличения частоты столкновений. Проблемы коалесценции и дробления капель, характеризующиеся слож- ным случайным скачкообразным поведением, таят в себе много сложностей и тонкостей. Более глубокий анализ этих явлений на основе математических закономерностей явлений переноса позволяют стандартным образом рассчи- тывать такие системы в некотором приближении как непрерывные с бес- конечно малым скачком. Очевидно, что детерминированное описание этих явлений без учета их стохастической природы является неполным и может приводить к существенным отклонениям от истинной природы этих процес- сов. Использование кинетического уравнения коалесценции и дробления (28) и уравнения Фоккера-Планка (34) позволяет в широком смысле интерпрети- ровать и анализировать эти явления в различные моменты времени. Следует отметить, что некоторые аналитические решения этих уравнений (табл. 2 и 3) позволяют получать важные теоретические результаты для исследования и анализа этих явлений. В частности, из решения уравнения Фоккера-План- ка для асимптотического случая (34a) (табл. 3) следует, что при бесконечном времени протекания (t > ) конечное распределение частиц не зависит от значения и характера начального распределения. Причем при > 0 данное распределение совпадает с распределением Розена-Рамблера, используемого в работе [31], при = 1 - с распределением Релея, а при = 2 - с распределе- нием Максвелла. Таким образом, этот вывод позволяет судить о стационар- ности функции распределения при большом времени протекания процессов коалесценции и дробления, инвариантных к заданию характера начального распределения. Вместе с тем многочисленные экспериментальные исследова- ния [19, 29-35, 47] свидетельствуют о мультимодальности функции распреде- ления, что объясняется наличием повторных актов коалесценции и дробле- ния. Причем множество максимумов функции распределения в левой части соответствует повторным дроблениям капель, а в вибрирующей «хвостовой» части - повторной коалесценции. Для описания таких функций распределе- ния наиболее приемлемым является выражение (35), представляющее собой суперпозицию множества логнормальных функций [19]. Следует отметить, что смещение спектров больших и малых капель носит практически взаимо- связанный характер. Однако через некоторое время, когда ресурсы крупно- капельного спектра исчерпываются, возможно, спектр начинает вести себя подобно одногорбовому распределению. Важно отметить, что на характер эволюции функции распределения и на коэффициент турбулентной диффу- зии существенное влияние оказывает выбывание частиц из рассмотренного объема в результате их всплытия или осаждения [37]. В этом случае спектр распределения существенно меняется с изменением скорости осаждения или всплытия. 568Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . Условные обозначения Nomenclature a B size (diameter) of particles; stochastic diffusion coefficient; C D D D T D T P k R m N P P (a, t) R R K t U V v R c , d c , d 2 c , d Mo Re Sh Pe We размер частиц; коэффициент диффузии, имею- щий стохастическую природу; коэффициент сопротивления час- тиц; коэффициент молекулярной диф- фузии; коэффициент турбулентной диф- фузии среды; коэффициент турбулентной диф- фузии частиц; константа скорости дробления; масса частицы; число частиц в единице объема; давление; функция распределения частиц; радиус частиц; радиус поверхности контакта; время; среднеквадратичная скорость по- тока; пульсационная скорость турбу- лентного потока; объем частицы; функция ядра коалесценции; толщина межфазной пленки; диссипация энергии в единице массы; динамическая вязкость среды и частиц; масштаб турбулентности; кинематическая вязкость среды и частиц; собственные числа; плотность среды и частиц; коэффициент поверхностного на- тяжения; азимутальный угол; коэффициент захвата; объемная доля частиц; частота дробления; число Мортона; число Рейнольдса; число Шервуда; число Пекле; число Вебера. drag coefficient of particles; coefficient of molecular diffusion; coefficient of turbulent diffusion of a medium; coefficient of turbulent diffusion of particles; breakage rate constant; particle mass; is total number of particles per unit volume; pressure; particles distribution function; particles radius; contact surface radius; time; root mean square flow velocity; pulsation velocity of the turbulent flow; particles volume; coalescence kernel function; interfacial film thickness; energy dissipation per unit mass; dynamic viscosities of the medium and particles; turbulence scale length; kinematic viscosities of the medium and particles; are the eigenvalues; densities of the medium and partic- les; surface tension coefficient; azimuth angle; capture ratio; volume fraction of particles; breakage frequency function; Morton number; Reynolds number; Sherwood number; Peclet number; Weber number.

About the authors

Gudret ogly Kelbaliyev

Institute of Catalysis and Inorganic Chemistry, Azerbaijan National Academy of Sciences

Email: kkelbeliev@yahoo.com; kudret.kelbaliev@mail.ru
Doctor of technical sciences 29, Javid Ave, Baku, AZ 1143, Azerbaijan

Sakit Rauf Rasulov

Azerbaijan State University of Oil and Industry

Email: rasulovsakit@gmail.com
Doctor of technical sciences, Professor 34, Azadlig Ave, Baku, AZ 1010, Azerbaijan

References

Supplementary files