Eigenvalue problem for differential Cauchy-Riemann operator with nonlocal boundary conditions

Full Text

В спектральной теории дифференциальных операторов в последние годы все большее внимание уделяется задачам для уравнений с частными производными, в которых краевые условия представляют собой соотношения между значениями искомых функций, вычисленными в различных точках, лежащих на границе или внутри рассматриваемой области. Этот интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и возможностями важных приложений. Подобные граничные условия возникают при математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, теплопроводности, излучения лазера, прогнозирования почвенной влаги, при изучении процессов размножения клеток, бактерий и т.п. В некоторых случаях (физика сверхпроводников, радиационный перенос, процессы распространения загрязнения в воде биосферы, демография, популяционная генетика и другие биологические проблемы) граничные условия имеют интегральную форму. Примеры указанных краевых условий, возникающих в теплопроводности, ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1264 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: Н. С. И м а н б а е в, “Задача о собственных значениях дифференциального оператора Коши-Римана с нелокальными краевыми условиями” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1 (34). С. 25-36. 25 Н. С. И м а н б а е в были сформулированы ещё В. А. Стекловым [1], а в газовой динамике - Ф. И. Франклем [2]. А. М. Нахушевым [3, 5] были поставлены и изучены сразу несколько задач данного типа, а для их названия предложен термин «задачи со смещением». В статье А. В. Бицадзе и А. А. Самарского [4] впервые была исследована задача «со смещением внутрь области». Содержание последних публикаций привело к осознанию качественной новизны краевых задач со смещениями для теории дифференциальных уравнений в частных производных. В последних публикациях [6] для уравнений Бицадзе-Лыкова поставлена задача со смещением с операторами Кобера-Эрдейи и М. Сайго в краевом условии, а также исследованы вопросы единственности и неединственности решения задачи при различных функциях и значениях констант, входящих в краевые условия. В работах [5, 7] исследовано состояние краевых задач со смещением для основных типов уравнений в частных производных. Краевая задача со смещением для уравнения Карлемана-Векуа с сингулярной точкой изучалась в работе [8]. Обилие публикаций, где изучаются всё более общие ситуации, производит иногда впечатление, что теория краевых задач «со смещением» уже завершена. Однако здесь имеется ряд менее изученных, но важных вопросов, в частности, задача о собственных значениях или об их аналитическом описании с помощью, например, асимптотических разложений. Применяемые в настоящее время методы функционального анализа и метод сведения к модельным уравнениям путём интегральных преобразований, с одной стороны, недостаточны для того, чтобы получить такую детальную информацию. С другой стороны, вряд ли можно надеяться получить, например, решение задачи на собственные значения для дифференциальных уравнений с частными производными в столь же явном виде, как это было сделано в аналогичной ситуации для обыкновенных дифференциальных уравнений. Общность перечисленных выше вопросов для уравнений с частными производными вынуждает в дальнейшем наложить на изучаемые операторы ряд весьма жёстких ограничений. Выяснение правильных постановок задач и исследование специфических свойств решений для «неклассических» уравнений удобно начинать с рассмотрения идеализированных моделей, например, уравнений с постоянными коэффициентами. В связи с вышеизложенным целями настоящей работы являются: 1) исследование спектральной задачи для оператора Коши-Римана с нелокальными краевыми условиями ∂ω = λω + f (z), |z| < 1, ∂z ¯ 1 λω(t) + f (t) Re ω(z) = Re dt , 2πi |t|=1 t-z Im ω(0) = Im 1 2πi |t|=1 (1) |z| = 1, λω(t) + f (t) dt , t (2) (3) где λ - комплексное число (спектральный параметр); 2) приближенное решение краевой задачи (1)-(3). Описание общих регулярных краевых задач для дифференциального выражения Коши-Римана разработано Дж. Ф. Нейманом, М. И. Вишиком, 26 Задача о собственных значениях дифференциального оператора Коши-Римана . . . А. А. Дезиным, М. Отелбаевым. Приведённая задача носит нелокальный характер, и подобные задачи для операции Коши-Римана описаны М. Отелбаевым, А. Н. Шыныбековым [9]. С другой точки зрения вопросы разрешимости и поведения решения краевой задачи для обобщенного уравнения Коши-Римана глубоко изучались в работах [10-12]. Краевые задачи для обобщенной системы Коши-Римана с негладкими коэффициентами исследовались в работах [13, 14]. В функциональном пространстве C(|z| 1) рассмотрим оператор K, порождаемый дифференциальной операцией Коши-Римана Kω(z) = ∂ω(z) , ∂z ¯ где z = x + iy, z = x - iy, ¯ ∂ 1 ∂ ∂ = +i ∂z ¯ 2 ∂x ∂y на множестве D(K) ⊂ ω(z) ∈ C(|z| 1), ∂ω ∈ C(|z| < 1) . ∂z ¯ Считаем, что оператор K имеет непустое резольвентное множество ρ(K). Не умаляя общности, предполагаем 0 ∈ ρ(K), (4) т. е. существует ограниченный оператор K -1 . В работе [9] описано множество операторов {K} со свойством (4). Наиболее глубокие результаты при исследовании спектра эллиптических операторов приведены в работе [15]. В общем случае спектр эллиптического оператора существенно определяется спектральными свойствами граничного оператора. Однако выяснение зависимости спектра оператора Коши-Римана в исходных терминах граничных условий представляет актуальную (и нерешённую) проблему. В статье [16] в ограниченной области с достаточно гладкой границей рассматриваются основные краевые задачи для полулинейных уравнений эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной нелинейностью. В работе [17] задача (1)-(3) на собственные значения для оператора Коши-Римана с нелокальными краевыми условиями при λ = 2, Re λ = 1 для вещественной функции u(z) = Re ω(z) на окружности |z| = 1 редуцирована сначала к сингулярному интегральному уравнению, затем к линейному интегральному уравнению Фредгольма второго рода с непрерывным ядром a2 (z) - b2 (z) u(z) + K(z, t)u(t)dt = 0, (5) |t|=1 где a(z) = ¯ z ¯ (λ - 2)eλ¯ + (λ - 2)eλz ; 2 b(z) = z ¯ ¯ (2 - λ)eλ¯ - (2 - λ)eλz ; 2 27 Н. С. И м а н б а е в ¯ ¯ ¯ z eλt - eλ¯ λa(z) λb(z) eλt - eλz a(z) ¯ 2b(z) K(z, t) = - + λ- + t-z πi πi t-z πi πi z 1 (2 + λ)b(z) 1 - eλ¯ a(z) + b(z) + + × t 2πi 2πi 1¯ ¯ 1 ¯ z z ¯ ¯ × eλ¯ - eλz - λ - λeλz + λeλ¯ + λeλz + 2 2 i(a(z) + b(z)) 1¯ ¯ 1 ¯ z z ¯ ¯ + (3λ + 3λ) eλz - eλ¯ + λeλz - λeλ¯ + λ - λ - 4π(1 - Reλ) 2 2 ¯ ¯ ¯ (2 + λ)(3λ + 3λ) λeλt (2 + λ)b(z) z z (1 - eλ¯)+ 1 - eλ¯ + - 8π(1 - Re λ) t 4π(1 - Re λ) z ¯ ¯ a(z) + b(z) λeλ¯ λeλz ¯ z ¯ + eλz - eλ¯ + - +λ-λ + 2π(1 - Re λ) 2 2 + ¯ λeλt a(z) + b(z) 1¯ ¯ 1 ¯ z z ¯ i eλz - eλ¯ + λeλz - λeλ¯ + λ - λ . t 2π(1 - Re λ) 2 2 Несколько замечаний о структуре ядра K(z, t). Отметим, что a2 (z) - b2 (z) = 0 при |z| = 1 и λ = 2. Итак, ядро K(z, t) имеет представление ¯ K(z, t) = ¯ ¯ z eλt - eλz C(z, λ) eλt - eλ¯ ¯ A(z, λ) + B(z, λ) + + t-z t-z t + E(z, λ)D(t, λ) + F (z, λ)Q(t, λ), (6) где E, A, B, C, D, F , Q зависят от t и z. Конкретный вид E, A, B, C, D, F , Q можно восстановить из предыдущей формулы для K(z, t). Заметим, что ¯ ¯ ¯ дробь (eλt - eλz )/(t - z) с точностью до множителя exp(λz) зависит (в виде степенного ряда) от разности (t - z). Аналогичное рассуждение верно и для ¯ z (eλt - eλ¯)/(t - z) при |t| = |z| = 1, так как справедливо разложение ¯ z eλt - eλ¯ 1 exp(λ¯) z =- t - z tz tz ∞ k=1 ¯ ¯ (t - z )k-1 k λ . k! Последние три слагаемых в правой части (6) представляют сумму, соответствующую вырожденному ядру. Таким образом, ядро (6) состоит из вырожденной части, а другая часть содержит слагаемые, зависящие от разности. Вырожденные ядра изучались в монографии [18]. Интегральные операторы, зависящие от разности (t - z), рассматривались в работах [19, 20]. Однако прямое применение результатов этих работ не дает эффекта. Согласно результатам главы IV монографии [18] необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения интегрального уравнения является обращение в нуль так называемого определителя Фредгольма. Определитель Фредгольма строится по формуле 28 Задача о собственных значениях дифференциального оператора Коши-Римана . . . ˆ ˆ K(z, z) K(z, t) dt ˆ + ˆ K(t, z) K(t, t) |t|=1 |z|=1 ˆ ˆ ˆ K(z, z) K(z, t) K(z, τ ) 1 ˆ ˆ ˆ dτ K(t, z) K(t, t) K(t, τ ) + . . . +, dt + dz 3! |z|=1 |τ |=1 |t|=1 ˆ z) K(τ, t) K(τ, τ ) ˆ ˆ K(τ, ∆(λ) = 1 + 1 1! 1 ˆ K(z, z)dz + 2! |z|=1 dz ˆ где K(z, t) = K(z, t)/(a2 (z) - b2 (z)). Сходимость приведённого ряда следует из следующего неравенства Адамара. Если D - определитель с комплексными элементами chk = phk + ishk (h, k = 1, 2, . . . , n), то верно неравенство n D P1 P2 · · · Pn , |chk |2 где Ph = 1/2 . k=1 Действительно, при фиксированном λ, удовлетворяющем условиям λ = 2, ˆ Re λ = 1, модуль ядра |K(z, t)| ограничен при |t| = |z| = 1 некоторым числом M . Тогда из вышеуказанного неравенства Адамара следует, что определитель порядка n с элементами, не превосходящими по модулю числа M , сам по модулю не больше M n nn/2 . Тогда |∆(λ)| мажорируется следующим сходящимся рядом: 1 1 1 + 2πM + (2π)2 M 2 2 + (2π)3 M 3 33/2 + . . . . 2! 3! Таким образом, детерминант Фредгольма ∆(λ) определен при всех λ, удовлетворяющих условиям λ = 2, Re λ = 1. Однако нахождение нулей определителя ∆(λ), записанного в вышеприведенной форме, неэффективно, поскольку ∆(λ) не является целой функцией от λ и не выделена его главная часть. В работе [17] вышеуказанным образом исследовалась структура ядра K(z, t), при этом линейное интегральное уравнение Фредгольма (5) решить точно не удалось. Поэтому в настоящей работе для приближённого решения уравнения применим результаты работы [21], где дана оценка абсолютной величины разности между точным и приближенным решениями интегрального уравнения с выделением из данного ядра его главной части. Введём функцию ˜ R(x, y) = K(x, y) - K(x, y). В нашем случае ¯ ¯ ¯ z eλt - eλ¯ ˆ eλt - eλz ˆ ¯ R(z, t) = A(z, λ) + B(z, λ), t-z t-z ˆ C(z, λ) ˆ ˆ ˜ K(z, t) = + E(z, λ)D(t, λ) + P (z, λ)Q(t, λ), t 2 ¯ ¯ 2-λ λλ - 2λ 2 - λ ¯ z λ - 2λ A(z) = eλ¯ - + eλz - , 2πi πi 2πi πi 29 Н. С. И м а н б а е в поэтому для модуля A(z) справедлива оценка |A(z)| < e|λ| 1 + |λ|2 . Точно так же оценивается функция B(z): |B(z)| C |λ|2 + 1 e|λ| , где C зависит от λ и z, ¯ B(z) = ¯ eλt - eλz a(z) ¯ 2b(z) , λ- t-z πi πi ¯ z z ¯ ¯ ¯ (λ - 2)eλ¯ + (λ - 2)eλz (2 - λ)eλ¯ - (2 - λ)eλz , b(z) = . 2 2 Таким образом, справедлива оценка для ядра возмущения a(z) = C1 e4|λ| |R(z, t, λ)| |λ|2 + |λ| + 1 , a2 (z0 (λ)) - b2 (z0 (λ)) где C1 не зависит от λ, z, t, т. е. в качестве малой величины можно взять правую часть последнего неравенства. ˜ Далее оценим сверху резольвенту |Γ(z, t; λ)|, соответствующую вырожден˜ t), оценивая снизу |a2 (z) - b2 (z)|. В то же время для величин ному ядру K(z, |C(z; λ)|, |E(z; λ)|, |D(t; λ)|, |F (z; λ)|, |Q(t; λ)| нужны верхние неравенства. Поскольку величина a2 (z) - b2 (z) при λ = 2 строго положительна, при фиксированном λ, для которого λ = 2, существует минимум по z, изменяющийся вдоль единичной окружности |z| = 1: min a2 (z) - b2 (z) = a2 (z0 (λ)) - b2 (z0 (λ)) > 0, |z|=1 где |z0 (λ)| = 1, то есть (-1) ˜ ˜ |Γ(z, t; λ)|, Γ1 (z, t) = ∆1 (λ) (-1) ˜ Γ1 (z, t) = ∆, ∆1 (λ) где ˆ E(z, λ) ˆ E(z, λ) 1+ dτ τ ˆ E(z, λ)D(τ, λ)dτ ˆ F (z, λ) ˆ F (z, λ) 1+ dτ τ ˆ F (z, λ)D(τ, λ)dτ D(t, λ) ˆ C(τ, λ)Q(τ, λ)dτ ∆= ˆ C(z, λ) ˆ C(τ, λ) 1+ dτ τ ˆ C(τ, λ)D(τ, λ)dτ ˆ E(z, λ)Q(τ, λ)dτ ˆ F (z, λ)Q(τ, λ)dτ Q(t, λ) 0 1 t , ∆1 (λ) - соответствующий определитель Фредгольма, а все интегралы в ∆ берутся по контуру |τ | = 1. 30 Задача о собственных значениях дифференциального оператора Коши-Римана . . . Оценим сверху по отдельности величины, составляющие R(z, t; λ). Оценим ¯ z eλt - eλ¯ t-z ¯ z eλ(t-¯) - 1 z · |eλ¯| t-z e|λ| |λ| + при |t| = |z| = 1: |λ|2 2 |λ|3 22 e2|λ| - 1 + + s = e|λ| 2! 3! 2 1 3|λ| e . 2 Величины max |C(z, λ)| , max |E(z, λ)| , max |D(t, λ)| , max |F (z, λ)| , max |Q(t, λ)| |z|=1 |z|=1 |t|=1 |z|=1 |t|=1 легко оцениваются мажорантой C e2|λ| |λ|2 + |λ| + 1 . |1 - Reλ| Пусть при фиксированном λ определитель Фредгольма ∆1 (λ) = 0. Тогда, ˜ следуя [21], имеем верхнюю оценку для резольвенты Γ1 (z, t; λ): 3 ˜ Γ1 (z, t; λ) ∆(λ) C1 |λ|2 + |λ| + 1 e6|λ| , |a2 (z0 (λ)) - b2 (z0 (λ))| |1 - Reλ|3 Reλ = 1. Учитывая все оценки, получим 2πC1 e4|λ| |λ|2 + |λ| + 1 × 3 C2 |λ|2 + |λ| + 1 e6|λ| × 1 + 2π |∆1 (λ)| · |a2 (z0 (λ)) - b2 (z0 (λ))| · |1 - Re λ|3 < 1. (7) Условие Re λ = 1 может выполняться только если C1 меньше единицы. В то же время на константу C1 нельзя накладывать ограничения. Таким образом, из приведённых рассуждений видим, что применение результатов [21] требует малости величины, т. е. константа в нашем случае определяется малостью ˜ ядра возмущении R(z, t) = K(z, t) - K(z, t). Следовательно, при удачной аппроксимации ядра K(z, t) вырожденным ˜ ядром K(z, t) приходим к первому результату настоящей работы. Утверждение. Если λ = 2 и определитель Фредгольма вырожденного ˜ ядра K(z, t) отличен от нуля, то λ не является собственным значением исходной задачи (1)-(3) для уравнения Коши-Римана. ˜ Для приближения ядра K(z, t) вырожденным ядром K(z, t) достаточ¯ ¯ но аппроксимировать величину (eλt - eλz )/(t - z) вырожденным ядром. Поскольку ¯ ¯ ¯ λ(t-z) - 1 2 ¯2 ¯3 eλt - eλz ¯ e ¯ ¯ λ (t - z) + λ (t - z) + . . . , = eλz = eλz λ + t-z t-z 2! 3! 31 Н. С. И м а н б а е в при |λ| < R1 (R1 - фиксировано) соответствующая аппроксимация выглядит так: N -1 ¯2 ¯N ¯ ¯ ¯ ¯ λ (t - z) + . . . + λ (t - z) eλz UN (t - z, λ) ≡ eλz λ + , 2! N! где N - натуральное число (ниже будет указан алгоритм его выбора). Таким образом, аппроксимирующее вырожденное ядро может быть записано в виде N -1 ¯N ¯2 ¯ ¯ λ (t - z) + · · · + λ (t - z) ¯ ˜ K(z, t) = eλz λ + B(z, λ)- 2! N! ¯ ¯ ¯ ¯ λ 2 (t - z ) λN (t - z )N -1 A(z, λ) λz ¯ e λ+ + ··· + + - tz 2! N! 1 + C(z, λ) + E(z, λ)D(t, λ) + F (z, λ)Q(t, λ), (8) t ˜ т. е. K(z, t) записано через элементарные функции в явном виде. Для оценки ˜ погрешности аппроксимации R(z, t) = K(z, t) - K(z, t) достаточно оценить погрешности приближений его отдельных слагаемых. В частности, пользуясь остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа, имеем оценки ¯ ¯ N +1 (t - z)N eλt - eλz ¯ ¯ |λ| ¯ - eλz PN (t - z, λ) ≡ |eλz | |eθ(λ(t-z)) | t-z (N + 1)! e3|λ| |λ|N +1 2N . (N + 1)! Здесь учтено, что |z| = |t| = 1. Точно так же оценивается величина ¯ z eλt - eλ¯ z ˜ ¯ - eλ¯PN (t - z, λ) t-z e3|λ| |λ|N +1 2N . (N + 1)! Следовательно, для погрешности |R(z, t)| справедливо неравенство |R(z, t)| < e3|λ| |λ|N +1 2N ˆ ˆ |A(z)| + |B(z)| (N + 1)! |λ|N +1 2N (|λ|2 + 1) 1 Ce4|λ| , (9) 2 (z (λ)) - b2 (z (λ)) (N + 1)! a 0 0 где C не зависит от N . ˜ Оценим резольвенту, соответствующую вырожденному ядру K(z, t). Ре˜ N имеет вид зольвента Γ HN (z, t, λ) ˜ ΓN = , ∆N (λ) ∆N (λ) = det |δij + fj , hj | , где ∆N (λ) - определитель размерности (2N + 3), HN (λ) - определитель размерности (2N + 4). 32 Задача о собственных значениях дифференциального оператора Коши-Римана . . . Размерность ∆N (λ) соответствует количеству слагаемых вырожденного ˜ ˜ ядра K(z, t). Непосредственный подсчет позволяет K(z, t) записать в виде 2N +3 ˜ K(z, t) = fj (z)hj (t), j=1 где {fj (z)} и {hj (t)} представляют линейно независимые системы функции. В то же время определитель HN (z, t, λ) отличается от ∆N (λ) одной строкой и одним столбцом, которые выглядят так: f1 (z), f2 (z), . . . , f2N +3 (z), 0 , последний столбец HN имеет вид 0, h1 (t), h2 (t), . . . , h2N +3 (t) , где значок « » означает транспонирование. Оценим сверху модуль определителя HN . Для этого заметим, что при фиксированном λ (λ = 2, Re λ = 1) нормы каждой строки HN ограничены некоторой величиной M , не зависящей от натурального числа N . Тогда, согласно неравенству Адамара [18, стр. 192], имеем |HN | < M 2N +4 . (10) Подставляя правые части неравенства (9) и (10) в неравенство (7), получим соотношение для выбора натурального числа N : C2 M 2N +4 |λ|N +1 2N 1 + C3 < 1, (N + 1)! |∆N (λ)| (11) где C2 , C3 зависят от λ, но не зависят от N . Поскольку C N +2 /(N + 1)! → 0, ясно, что левая часть стремится к нулю при N → ∞. Таким образом, выбор N гарантируется. Сформулируем основной результат настоящей работы. Теорема. Пусть |λ| < R1 (R1 - фиксировано) и λ = 2, Re λ = 1. Пусть N ˜ выбрано согласно (11). Определим K(z, t) по формуле (8), а через ∆N (λ) обозначим определитель Фредгольма, соответствующий вырожденному ядру ˜ K(z, t). Если ∆N (λ) = 0, то λ является точкой резольвентного множества оператора Коши-Римана (1)-(3). В теореме охарактеризованы те λ, при которых неоднородная краевая задача со смeщением для оператора Коши-Римана (1)-(3) всюду разрешима в классе непрерывных в смысле Гёльдера функций на единичном круге, причём показана явная конструкция, аппроксимирующая решение неоднородной задачи. Для этого достаточно u(z), определяемое как решение неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода, аппроксимировать решениями неоднородного линейного интегрального уравнения с вырожденными ядрами.

About the authors

Nurlan N Imanbaev

Kh. Yasavi International Kazakh-Turkish University

Email: imanbaevnur@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Professor, Dept. of Mathematics 2, pl. Esim-Khan, Turkestan, 487010, Kazakhstan

References

Supplementary files