Reliability evaluation of stochastically heterogeneous thick-walled pipe by long-term strength criterion

Full Text

В условиях длительного действия нагрузки при повышенной температуре с некоторого момента скорость ползучести начинает возрастать (третья стадия), и процесс ползучести заканчивается разрушением. В силу стохастической неоднородности материала время до разрушения будет являться случайной величиной. Для описания процесса разрушения при ползучести введем параметр поврежденности материала 0 ω(t) 1 и используем кинетическое уравнение Работнова [1]. dω σэ k =B , (1) dt 1-ω где σэ - эквивалентное напряжение, задаваемое в виде некоторого соотношения между компонентами тензора напряжений; B, k - постоянные материаISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1202 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: Н. Н. П о п о в, Л. В. К о в а л е н к о, “Оценка над¨жности стоe хастически неоднородной толстостенной трубы по критерию длительной прочности” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1 (34). С. 86-92. 86 Оценка надёжности стохастически неоднородной толстостенной трубы. . . ла. В данной статье рассматривается оценка надёжности по критерию длительной прочности толстостенной трубы из микронеоднородного материала, находящейся под действием внутреннего давления q. Предполагается, что в трубе осуществляется плоская деформация и в традиционной цилиндрической системе координат полагается, что компонента тензора деформаций εz = 0. При этом реологические свойства материала описываются при помощи случайной функции радиуса r. В работе [2] рассматривалось решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести толстостенной трубы. Определяющие соотношения для деформаций ползучести εr и εϕ принимаются в соответствии с теорией вязкого течения в стохастической форме εϕ = -εr = cS n-1 (σϕ - σr )(1 + αU ), ˙ ˙ где σr√ σϕ - радиальная и тангенциальная компоненты тензора напряжений, и S = ( 3/2)(σϕ -σr ) - интенсивность напряжений, U (r) - случайная однородная функция, описывающая флуктуации реологических свойств материала с математическим ожиданием U = 0 и дисперсией U 2 = 1, α - коэффициент вариации этих свойств (малый параметр), c, n - постоянные материала. Аналогичная задача по оценке надёжности толстостенной трубы по критерию деформационного типа, когда ограничение накладывалось на случайное радиальное перемещение, рассматривалась в работе [3]. Случайные напряжения σr и σϕ , найденные в работе [2] на основе первого приближения метода малого параметра, имеют вид: σr = A 1 - σϕ = A 1 + A= β r 2/n + 2Aβ 2/n α (1 - r-2/n )H - I(r) , n2 (2) 2 -1 n β 2/n + r 2Aβ 2/n α 2 + 1+ - 1 r-2/n H - I(r) - U r-2/n , (3) 2 n n q β 2/n - 1 r , I(r) = U (x) x-1-2/n dx, H= 1 I(β) . 1 - β -2/n Здесь r - безразмерный радиус (r ∈ [1, β]), β = b/a, a и b - внутренний и внешний радиусы трубы, q - давление. В работе [2] также найдены статистические характеристики случайных напряжений σr и σϕ c математическими ожиданиями σr = A 1 - β r 2/n , σϕ = A 1 + 2 -1 n β r 2/n и дисперсиями D[σr ] = 4A2 β 4/n α2 (1 - r-2/n )2 H 2 - 2(1 - r-2/n ) I(r)H + I 2 (r) , (4) n4 87 Н. Н. П о п о в, Л. В. К о в а л е н к о D[σϕ ] = 4A2 β 4/n α2 n4 2 - 1 r-2/n n 1+ 2 2 - 1 r-2/n n + I 2 (r) + r-4/n - 2 1 + 2 - 1 r-2/n n -2 1+ H2 + I(r)H - HU r-2/n + 2r-2/n I(r)U , (5) где H2 = β 1 1- 2 β -2/n 1 r I(r)H = -1-2/n -1-2/n x2 dx1 dx2 , K(x2 - x1 )x1 1 r I 2 (r) = 1 β 1 1 1 - β -2/n -1-2/n -1-2/n x2 dx1 dx2 , K(x2 - x1 )x1 r 1 β -1-2/n -1-2/n x2 dx1 dx2 , K(x2 - x1 )x1 1 β 1 HU = 1 - β -2/n r I(r)U = K(x - r)x-1-2/n dx, 1 K(x - r)x-1-2/n dx, 1 K(x2 - x1 ) - корреляционная функция случайной функции U (r). Эквивалентное напряжение σэ , входящее в кинетическое уравнение (1), будем определять по критерию Сдобырева, который довольно часто применяется для описания закономерности изменения длительной прочности при сложном напряженном состоянии [4]: σэ = σ1 + S , 2 где σ1 - наибольшее нормальное напряжение, которое для толстостенной трубы равно σϕ . В общем случае эквивалентное напряжение σэ является случайной функцией радиуса r и времени t. Её характеристики можно найти из соответствующей стохастической краевой задачи, при решении которой возникают непреодолимые трудности. В связи с этим предлагается использовать введённое в работе [5] интегрально-среднее значение эквивалентного напряжения: σэ = 1 β-1 β σэ (r)dr. (6) 1 В работе [6] показано, что в детерминированной постановке σэ является практически постоянной для толстостенной трубы при ползучести от момента t = 0 вплоть до разрушения для широкого диапазона изменения параметров n и β. Поэтому вводится гипотеза, что и в стохастической постановке σ э считается случайной величиной, но не зависящей от времени, которую можно вычислить, например, на стадии установившейся ползучести. В дальнейшем теория длительной прочности строится на основе интегрально-среднего значения эквивалентного напряжения σ э , статистические характеристики которого могут быть найдены исходя из (2) и (3). 88 Оценка надёжности стохастически неоднородной толстостенной трубы. . . Согласно (2), (3) и (6) величина эквивалентного напряжения σ э определяется формулой 1 σэ = 2(β - 1) √ β 3 (σϕ - σr ) dr = 2 1 √ 2 β 2/n 1 - n A 2+ 3 1 -1 + = 1+ -1 1-2/n 2 β-1 n β √ β Aβ 2/n α 2+ 3 + 2 1+ - 1 r-2/n H- n (β - 1) 1 n √ 3 - I(r) - 1 + U r-2/n dr. (7) 2 σϕ + Решая дифференциальное уравнение (1) при ω(0) = 0 и считая, что в момент разрушения ω(tp ) = 1, можно найти случайное время до разрушения tp = 1 . B(k + 1)σ k э Время до разрушения tp было аппроксимировано логарифмически нормальным законом, функция распределения которого имеет вид F (t) = √ t 1 2πd 0 1 (ln z - m)2 exp - dz. z 2d2 (8) Для того чтобы найти параметры m и d распределения (8), разложим величину ln σэ по малому параметру α и ограничимся членами только первого порядка относительно α: ln σэ = ln σ 0 + ασ ∗ = ln σ 0 + ln 1 + э э э ασ ∗ э σ0 э = ln σ 0 + э ασ ∗ э + o(α), σ0 э (9) где σ0 э = σэ β 2/n 1 - A = 1+ 2 β-1 2 n √ 2+ 3 -1 n 1 β 1-2/n -1 , σ ∗ = 0. э Используя разложение (9), вычислим параметры распределения (8): m = ln tp = - ln (B(k + 1)) - k ln σ 0 , э d2 = D [ln tp ] = k 2 α2 D [σ ∗ ] , э σ0 э где дисперсия D [σ ∗ ] определяется согласно (7): э D [σ ∗ ] э 1 = D [σ э ] = β-1 β 1 √ 1 3 1+ 4 2 2 √ 3 3 D [σϕ ] + D [σr ] - σϕ σr dr. 16 2 89 Н. Н. П о п о в, Л. В. К о в а л е н к о Здесь величины D [σϕ ] и D [σr ] вычисляются по формулам (4) и (5) соответственно. Момент σϕ σr можно найти, используя (2) и (3): σϕ σr = 4A2 β 4/n α2 2 (1 - r-2/n ) 1 + - 1 r-2/n H 2 - 2 n n 1 -2 1+ - 1 r-2/n I(r)H + I 2 (r) + n + I(r)U r-2/n - 1 - r-2/n r-2/n HU . Рассмотрим модельную задачу оценки надёжности для толстостенной трубы из стали 12ХМФ при T = 590 ℃ с постоянными материала n = 7.1, c = = 2.762·10-21 , внутренним и внешним радиусами a = 14 мм и b = 21 мм соответственно, находящейся под действием внутреннего давления q = 70 МПа. Исходные данные для расчёта взяты из монографии [7]. Параметры кинетического уравнения (1) считались равными B = 2.54 · 10-12 , k = 3.04. Корреляционная функция случайной функции U (r) была взята в виде K(r) = exp (-10|r|) (cos 20r + 0.5 sin 20|r|) , r = x2 - x1 . На рисунке представлена функция надёжности P (t) = 1 - F (t), где F (t) определяется по формуле (8) при степени неоднородности материала α = = 0.3. Функцию надёжности P (t) можно использовать для назначения ресурса толстостенной трубы. Назначенный ресурс T∗ определяют так, чтобы вероятность обеспечения T∗ была равна заданному значению p∗ вероятности безотказной работы (пунктирные линии на графике). При заданном значении p∗ = 0.95 ресурс для рассматриваемой трубы составляет 19 475 часов. Функция надёжности P (t) [Reliability function vs time] Полученные результаты позволяют оценивать надёжность стохастически неоднородных осесимметричных элементов конструкций при условии, что необходимые статистические данные будут получены экспериментальным путём.

About the authors

Nikolay N Popov

Samara State Technical University

Email: ponick25@gmail.com
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Ludmila V Kovalenko

Samara State Technical University

Email: flytitmouse@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Assistant, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files