Kinetics of the stress-strain state of surface hardened cylindrical specimen under complex stress state of creep

Full Text

Вопросам теоретического и экспериментального исследования формирования остаточных напряжений после процедур поверхностного пластического и термопластического упрочнения посвящено большое число работ, в частности, например, достаточно полную картину по данной проблеме дают работы [1-6]. Во всех приведенных работах отмечается положительное влияние наведённых (сжимающих) остаточных напряжений в упрочнённом приповерхностном слое деталей различного назначения на характеристики их работоспособности (сопротивление усталости, длительная прочность, коррозийное растрескивание, трибологические характеристики и т.д.) при нормальных и ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1313 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: В. П. Р а д ч е н к о, В. В. Ц в е т к о в, “Кинетика напряж¨нно-дефорe мированного состояния в поверхностно упрочн¨нном цилиндрическом образце при сложe ном напряж¨нном состоянии в условиях ползучести” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. e Физ.-мат. науки, 2014. № 1 (34). С. 93-108. 93 В. П. Р а д ч е н к о, В. В. Ц в е т к о в умеренных температурах. Более сложная и неоднозначная картина наблюдается при оценке устойчивости остаточных напряжений в изделиях к высокотемпературным нагрузкам при ползучести в условиях много- или малоциклового нагружения. Из основных проблем отметим, что, во-первых, существенно усложняется экспериментальная часть исследований, во-вторых, естественным образом возникает необходимость решения краевой задачи, сложность которой обусловлена существенной нелинейностью определяющих реологических уравнений как в условиях ползучести, так и при много- или малоцикловом нагружении, при этом на наведённые остаточные напряжения накладываются (нелинейно) «рабочие» напряжения от внешних силовых факторов. Поэтому условия эксплуатации оказывают существенное влияние на состояние упрочнённого слоя: под действием рабочих квазистатических или циклических нагрузок и температур вследствие ползучести происходит изменение во времени (релаксация) остаточных напряжений на фоне реологического деформирования самой конструкции. Из вышеперечисленного следует, что исследование релаксации остаточных напряжений является важной задачей и в теоретическом, и в экспериментальном плане, при этом в прикладных вопросах скорость (время) полной релаксации может служить одним из диагностических признаков исчерпания ресурса поверхностно упрочнённых деталей. К сожалению, подавляющее большинство работ по релаксации остаточных напряжений носит сугубо экспериментальный характер. Несмотря на более чем полувековую историю данного вопроса, в последнее время эмпирические подходы продолжают интенсивно развиваться. В частности, например, в работах [7-11] исследовалась релаксация наведённых остаточных напряжений в цилиндрических образцах либо в условиях термоэкспозиции (чисто температурной выдержки без механических нагрузок), либо в условиях одноосного нагружения при высоких температурах, а работы [13-15] посвящены влиянию циклических нагрузок на релаксацию остаточных напряжений. Теоретические методы оценки остаточных напряжений и на стадии их формирования после процедуры упрочнения, и для описания их релаксации разработаны слабо и либо сводятся к упрощенным одноосным моделям [8, 15], либо позволяют определить две компоненты тензора остаточных напряжений, как, например, в методе колец и полосок для цилиндрических образцов [16, 17]. В полном объёме задача о восстановлении полей остаточных напряжений и остаточных пластических деформаций в цилиндрическом образце после упрочнения решена в работах [6, 18]. Приближённый метод решения краевой задачи о релаксации остаточных напряжений в растягиваемом упрочнённом цилиндрическом образце, основанный на декомпозиции конструкции на тонкий упрочнённый слой и «тело» конструкции, разработан в [6, 19]. При этом предполагалось, что упрочнённый слой «наклеен» на поверхность цилиндра и деформируется вместе с ним в режиме «жёсткого» нагружения при заданных значениях деформации на поверхности цилиндра. В работе [20] предложен прямой численный метод решения этой задачи и выполнена его экспериментальная проверка для упрочнённых образцов из сплава ЭИ691 при температуре 400 ℃ в условиях термоэкспозиции. Расчёт94 Кинетика напряжённо-деформированного состояния . . . ные методики для оценки релаксации остаточных напряжений в условиях ползучести для других видов напряжённого состояния отсутствуют. В связи с вышеизложенным целью настоящей работы является разработка метода решения краевой задачи ползучести упрочнённого сплошного цилиндрического образца для трёх видов напряжённого состояния (растяжение, кручение, растяжение + кручение). 1. Формирование начального напряжённо-деформированного состояния в сплошном цилиндрическом образце после процедуры поверхностного пластического деформирования. Рассматривается сплошной цилиндрический образец радиуса R, в поверхностном слое которого методами поверхностного пластического деформирования наведены остаточные напряжения и пластические деформации. Задача решается в стандартной цилиндрической системе res res res координат r, θ, z. Через σr , σθ , σz обозначим радиальное, окружное и осевое остаточные напряжения, а через qr , qθ , qz - соответствующие компоненты тензора остаточных пластических деформаций после процедуры упрочнения. Недиагональными компонентами тензоров остаточных напряжений и пластических деформаций пренебрегаем в силу их малости по сравнению с диагональными компонентами. В предположении, что вторичные пластические деформации в области сжатия приповерхностного слоя отсутствуют и экспериментально известна res res компонента σθ = σθ (r), в работах [6, 18-21] для остальных компонент тензоров остаточных напряжений и пластических деформаций получены следующие зависимости: res σr = - 1 r R (1) res σθ (ξ) dξ; r (1 + µ)(1 - 2µ) -ν r ν-1 res res σr (ξ) + (1 + α)σθ (ξ) dξ- ξ r E(1 + αµ)2 0 1+µ 2+α res res - (1 - µ)σθ (r) - µσr (r) , ν = ; E(1 + αµ) 1 + αµ qz (r) = αqθ (r); qr (r) = -(1 + α)qθ (r); qθ (r) = R 2 µ res res r qz (r) - σ (r) + σθ (r) dr; 2 R 0 E r res res res σz (r) = E ε0 - q(r) + µ σr (r) + σθ (r) , z ε0 = z (2) (3) (4) (5) где E - модуль Юнга; µ - коэффициент Пуассона; α - феноменологический параметр анизотропии упрочнения, методика идентификации которого изложена в [18, 21], при этом для пневмодробеструйной обработки микрошариками res res α = 1 и эпюры напряжений σθ , σz практически совпадают [6], а, например, при обкатке роликом величина α может изменяться от 4 до 20 [21]. Таким образом, схема расчета полей остаточных напряжений и пластических деформаций в сплошном цилиндре после упрочнения его поверхности (в момент времени t = 0 - 0) имеет следующий вид: (1) (2) (3) (4) (5) res res res σθ (r) → σr (r) → qθ (r) → qr (r), qz (r) → ε0 → σz (r). z (6) 95 В. П. Р а д ч е н к о, В. В. Ц в е т к о в Номера над стрелками означают формулы, по которым рассчитывается соответствующая величина. Из схемы (6) следует, что в конечном итоге компоres res res ненты σr , σz , qr , qθ и qz определяются через σθ и параметр α. 2. Модель ползучести и длительной прочности. Для решения задачи релаксации остаточных напряжений одним из основных этапов является выбор реологической модели. В настоящей работе используется энергетический вариант частного вида (без учета первой стадии ползучести), предложенный в [22] для решения краевой задачи в условиях совместного растяжения и кручения и учитывающий анизотропию свойств материала в условиях чистого растяжения и чистого сдвига. Основные соотношения модели имеют вид ∗ p = cS m-1 σ, ˙ γ p = 3c∗ S m -1 τ, σ = σ0 (1 + ω) , ˙ 2 2 τ = τ0 (1 + ω) , S0 = σ0 + 3τ0 , S = S0 (1 + ω) , ∗ ∗ ∗τ γp, mα , β ∗ = α1 (S0 )mα , ω = βσ p + β ˙ ˙ ˙ β = α1 (S0 ) (7) где p - осевая деформация ползучести, γ p - угол сдвига при ползучести, σ и σ0 - истинное и номинальное нормальные напряжения, τ и τ0 - истинное и номинальное касательные напряжения, S и S0 - интенсивности истинных и номинальных напряжений, ω - параметр повреждённости; c, m, α1 , mα , c∗ , ∗ m∗ , α1 , m∗ - параметры модели. α Для оценки «работоспособности» материала используется следующий критерий разрушения: t Ω(t) = 0 σdp + A1 (S0 )nα t τ dγ p ∗ n∗ 0 A1 (S0 ) α < 1, (8) где A1 , nα , A∗ , n∗ - параметры, при этом если Ω(t∗ ) = 1, то в момент времени α 1 t = t∗ происходит разрушение. В частном случае изотропного материала c = ∗ = c∗ , m = m∗ , β = β ∗ (α1 = α1 , mα = m∗ ), A1 = A∗ , nα = n∗ . α α 1 В работе [22] выполнена проверка адекватности модели (7), (8) экспериментальным данным [23] по ползучести сплава Д16Т (T = 250 ℃) при растяжении образца, чистом сдвиге (кручении тонкостенного образца), а также сопоставление данных решения краевых задач для полых толстостенных цилиндрических образцов в условиях кручения и совместного кручения с растяжением с соответствующими опытными данными [23]. В связи с тем, что по схеме (6) начальное напряжённое состояние упрочres res res нённого цилиндрического образца определяется компонентами σr , σθ и σz , в условиях растяжения и кручения сплошного цилиндрического образца соотношения ползучести при сложном напряжённом состоянии с учётом анизотропии свойств на кручение и растяжение (сжатие) должны иметь более сложную структуру, чем (7). Обобщение реологических соотношений (7) на рассматриваемое сложное напряжённое состояние принимается в виде (i = j = r, θ, z): 96 Кинетика напряжённо-деформированного состояния . . . 1 pij = 3 cS m-1 σij - 3 σ0 δij , ˙ 2 ∗ -1 γ p = 3c∗ S m τ ; ˙ 0 σij = σij (1 + ω); τ = τ0 (1 + ω); ω = βσij pij + β ∗ τ γ p ; ˙ ˙ ˙ S = S0 (1 + ω), σ0 = σrr + σθθ + σzz ; (9) ∗ ∗ где β = α1 (S0 )mα , β ∗ = α1 (S0 )mα , а все остальные обозначения (9) соответствуют (7); величины prr , pθθ , pzz , σrr , σθθ , σzz в дальнейшем обозначены одним индексом, т.е. соответственно pr , pθ , pz , σr , σθ , σz . Величина интенсивres res res ности напряжений S0 вычисляется по компонентам σrr , σθθ , σzz и τ . Видоизменится и критерий «работоспособности» материала (8), который запишется в виде t Ω(t) = 0 t σij dpij + A1 (S0 )nα 0 τ dγ p < 1, α A∗ (S0 )n∗ 1 i = j = r, θ, z. 3. Решение задачи о релаксации остаточных напряжений в поверхностно упрочнённом сплошном цилиндрическом образце вследствие ползучести в условиях совместного растяжения и кручения. Рассмотрим поверхностно упрочнённый сплошной цилиндр радиуса R, находящийся под действием осевой растягивающей силы F = F (t) и крутящего момента M = M (t). Для решения краевой задачи оценки кинетики напряжённо-деформированного состояния в упрочнённом цилиндре вследствие ползучести приведем ее полную постановку: - уравнения равновесия: r dσr (r, t) + σr (r, t) = σθ (r, t); dr R (10) σz (r, t)rdr = F (t); (11) τ (r, t)r2 dr = M (t), 2π (12) 0 R 2π 0 где σr (r, t), σθ (r, t), σz (r, t) и τ (r, t) - радиальная, окружная, осевая и касательная компоненты тензора напряжений соответственно; - уравнение совместности деформаций r dεθ (r, t) + εθ (r, t) = εr (r, t), dr (13) где εr (r, t) и εθ (r, t) - радиальная и окружная компоненты тензора полных деформаций соответственно; - гипотеза плоских сечений εz (r, t) = εz (t), (14) где εz (r, t) - осевая компонента тензора полных деформаций; 97 В. П. Р а д ч е н к о, В. В. Ц в е т к о в - гипотеза прямых радиусов (15) γ(r, t) = rθ(t), где γ(r, t) - полный угол сдвига, θ(t) - относительный угол закручивания; - краевые условия: σr (r, t) r=R = 0, dσr = 0. r→0 dr (16) lim Поскольку в выражение для компоненты σr = σr (r, θ) время t входит как параметр, в соотношении (10) и в последующих формулах для производных компонент тензоров напряжений и деформаций используется оператор полной производной по r. Сформулируем начальные условия. После проведения процедуры упрочнения в момент времени t = 0 - 0 напряжённо-деформированное состояние стержня по схеме (6) будет определяться тензором остаточных напряжений  res  σr (r) 0 0 res σz (r) 0  σij (r, 0 - 0) =  0 res (r) 0 0 σθ и тензором полных деформаций   εr (r, 0 - 0) 0 0 , 0 εz (r, 0 - 0) 0 εij (r, 0 - 0) =  0 0 εθ (r, 0 - 0) где 1 res res res σ (r) - µ σθ (r) + σz (r) E r 1 res res res εz (r,0 - 0) = σ (r) - µ σθ (r) + σr (r) E z 1 res res res εθ (r,0 - 0) = σ (r) - µ σr (r) + σz (r) E θ εr (r, 0 - 0) = + qr (r); + qz (r); + qθ (r). Пусть в момент времени t = 0 + 0 к образцу приложены растягивающая сила F и крутящий момент M , вследствие чего в нем возникают «рабочие» напряжения σz0 (r) = F ; πR2 τ (r) = M r, J где r ∈ [0, R] - расстояние до оси стержня, R r3 dr = πR4 /2 J = 2π 0 98 Кинетика напряжённо-деформированного состояния . . . - осевой момент инерции. При этом происходит ступенчатое изменение тензора напряжений на величину рабочих напряжений:  res  σr (r) 0 0 res σz (r) + σz0 (r) τ (r)  σij (r,0 + 0) =  0 (17) res 0 τ (r) σθ (r) и аналогичное изменение тензора полных деформаций:   εr (r, 0 + 0) 0 0 0 εz (r, 0 + 0) 1 γ(r, 0 + 0) , εij (r, 0 + 0) =  2 1 0 2 γ(r, 0 + 0) εθ (r, 0 + 0) (18) где 1 res res res σ (r) - µ σθ (r) + (σz (r) + σz0 (r)) E r 1 res res res (σz (r) + σz0 (r)) - µ σθ (r) + σr (r) εz (r, 0 + 0) = E 1 res res res εθ (r, 0 + 0) = σ (r) - µ σr (r) + (σz (r) + σz0 (r)) E θ γ(r, 0 + 0) = τ (r)/G. εr (r, 0 + 0) = + qr (r); + qz (r); + qθ (r); Здесь G = E/ 2(1 + µ) - модуль сдвига материала. Тензоры напряжений (17) и деформаций (18), задающие исходное напряжённо-деформированное состояние после упрочнения в момент приложения нагрузки t = 0 + 0, являются начальными данными для краевой задачи ползучести. При высоких температурах и нагрузке в упрочнённом цилиндрическом образце происходит релаксация остаточных напряжений за счет деформации ползучести. Компоненты тензора деформаций в любой момент времени t с учётом (14), (15) можно представить в виде εr (r, t) = er (r, t) + qr (r) + pr (r, t); εθ (r, t) = eθ (r, t) + qθ (r) + pθ (r, t); εz (t) = ez (r, t) + qz (r) + pz (r, t); rθ(t) = γ e (r, t) + γ p (r, t), (19) где pθ , pz , pr и γ p - компоненты тензора деформаций ползучести. Для описания процесса релаксации систему (19) необходимо разрешить относительно напряжений σr (r, t), σθ (r, t), σz (r, t) и τ (r, t), что и является целью дальнейшего исследования. Запишем закон Гука для упругих деформаций: 1 σr (r, t) - µ(σθ (r, t) + σz (r, t)) ; E 1 eθ (r, t) = σθ (r, t) - µ(σr (r, t) + σz (r, t)) ; E 1 ez (r, t) = σz (r, t) - µ(σθ (r, t) + σr (r, t)) ; E er (r, t) = (20) (21) (22) 99 В. П. Р а д ч е н к о, В. В. Ц в е т к о в γ e (r, t) = 1 τ (r, t). G (23) Подставляя (22) в третье соотношение (19), находим закон распределения осевого напряжения (24) σz (r, t) = E εz (t) - qz (r) - pz (r, t) + µ σθ (r, t) + σr (r, t) . Вычитая из (20) уравнение (21), исключим компоненту σz (r, t): er (r, t) - eθ (r, t) = 1+µ σr (r, t) - σθ (r, t) . E С учётом уравнения (10) последнее соотношение можно записать в виде er (r, t) - eθ (r, t) = - 1+µ E r dσr (r, t) dr . Продифференцируем соотношение (21) по r: deθ (r, t) 1 dσθ (r, t) = -µ dr E dr dσr (r, t) dσz (r, t) + dr dr (25) . Дифференцируя (24) и подставляя полученное соотношение в (25), находим deθ (r, t) 1+µ dσθ (r, t) dσr (r, t) µE = (1 - µ) -µ + dr E dr dr 1+µ dqz (r) dpz (r, t) + dr dr . Дифференцируя (10) и подставляя полученное в последнее соотношение, исключим величину dσθ /dr: deθ (r, t) 1+µ d2 σr (r, t) dσr (r, t) = + r(1 - µ) + (2 - 3µ) 2 dr E dr dr µE dqz (r) dpz (r, t) + + 1+µ dr dr . (26) С учётом (19) и (24) преобразуем уравнение совместности деформаций (13): r deθ (r, t) 1+µ =- dr E r dσr (r, t) dr + qr (r) - qθ (r) + + pr (r, t) - pθ (r, t) - r dqθ (r) dpθ (r, t) + dr dr . Подставляя (26) в последнее равенство и учитывая соотношения для пластических деформаций (3), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение относительно σr : r2 100 dσr (r, t) d2 σr (r, t) + 3r = g(r, t), 2 dr dr Кинетика напряжённо-деформированного состояния . . . где g(r, t) = 2+α E q (r) + pr (r, t) - pθ (r, t)- 2 1+α r 1-µ dpθ (r, t) dpz (r, t) -r +µ dr dr + r dqr (r) . (1 + µ) 1+α dr Данное дифференциальное уравнение с граничными условиями (16) составляет краевую задачу, решение которой записывается следующим образом: R σr (r, t) = - r 1 ξ3 ξ (27) g(η, t)η dη dξ. 0 Формула (27) описывает распределение радиальной компоненты тензора напряжений σr . Распределение окружной компоненты σθ можно найти из уравнения равновесия (10) при известном σr : σθ (r, t) = d rσr (r, t) . dr (28) Для определения σz по формуле (24) необходимо знать величину εz (t). Подставляя (24) в (11), проводя необходимые операции интегрирования и разрешая полученное соотношение относительно εz (t), получаем εz (t) = σz0 2 + 2 E R R qz (r) + pz (r, t) - 0 µ σr (r, t) + σθ (r, t) E r dr. (29) Вычислив εz (t), можно определить σz по формуле (24). Распределение касательной компоненты τ тензора напряжений получаем аналогичным образом, подставляя (23) в четвёртое соотношение (19): (30) τ (r, t) = G rθ(t) - γ p (r, t) , где величина θ(t) определяется из подстановки (30) в (12): θ(t) = M (t) 2π + GJ J R (31) γ p (r, t)r2 dr. 0 Таким образом, для вычисления кинетики всех компонент тензора напряжений в поверхностном слое при совместном растяжении и кручении может быть использован следующий алгоритм: (27) (28) (29) (24) (31) (30) g(r, t) → σr (r, t) → σθ (r, t) → εz (t) → σz (r, t) → θ(t) → τ (r, t). Числа над стрелками обозначают номер формулы, по которой вычисляется соответствующая величина. 101 В. П. Р а д ч е н к о, В. В. Ц в е т к о в 4. Численная реализация методики расчета релаксации остаточных напряжений при ползучести в поверхностно упрочнённом сплошном цилиндрическом образце. Реализация предложенной выше методики решения краевой задачи и анализ результатов выполнены для цилиндрического образца радиусом R = 3.76 мм с толщиной области сжатия упрочнённого слоя h = 0.16 мм из сплава ЖС6КП при T = 900 ℃. Исследование выполнено для пневмодробеструйной обработки поверхности, поэтому в соотношениях (3) величина α = 1 [6, 18, 21]. Отметим, что по схеме (6) исходной информацией для расчёта полей остаточных напряжений и пластических деформаций в цилиндрическом образце res после процедуры упрочнения является окружная компонента σθ (r), для которой согласно [6, 18] может быть использована следующая аппроксимация: res σθ (r) = σ0 + σ1 exp - (R - r)2 b2 , (32) где σ0 , σ1 , b - параметры аппроксимации. На рис. 1 точками представлены экспериментальные данные для компоненres ты σθ (r) [6], на основании которых по методике [6] получены параметры аппроксимации (32): σ0 = 19.3 МПа, σ1 = = -1019.3 МПа, b = 0.08 мм. Расres чётные значения σθ (r) после процедуры упрочнения, т. е. в момент времени t = 0 - 0, полученные по схеме (6), приведены на рис. 1 сплошной линией. Далее с использованием аппроксимации (32) по схеме (6) были рассчитаны res res поля остаточных напряжений σz и σr , а также поля пластических деформаций qθ , qz и qr . В расчётах использовалось значение модуля Юнга E = 2 · 105 МПа Рис. 1. Экспериментальная (точки) и коэффициент Пуассона µ = 0.33. и расчётная (сплошная линия) эпюры Для реализации процесса ползучести res остаточных напряжений σθ (r) в упроч- упрочнённого образца применялась реонённом слое цилиндрического образца логическая модель (9). Кривые ползуче(сплав ЖС6КП) сти сплава ЖС6КП при T = 900 ℃ [23] [Figure 1. Experimental (dotted) and имеют незначительную величину дефорcalculated (solid) plots of residual stresses мации ползучести, накопленную на перres σθ (r) in the hardened layer of cylindrical вой стадии, поэтому в данной работе она specimen (GS6KP alloy)] не учитывалась, так же как и третья стадия ползучести, которая за расчётное время от 0 до 100 часов не успевает развиться. Кроме этого, предполагалось, что сплав ЖС6КП не обладает свойством анизотропии. Исходя из вышеизложенного в модели (9) полагалось c = c∗ , m = m∗ , ∗ ω = 0 (α1 = α1 = 0), а численные значения этих параметров приведены в [24]: -20 (МПа)-m , m = 6.62. c = 1.5 · 10 102 Кинетика напряжённо-деформированного состояния . . . a b Рис. 2. Расчетные эпюры релаксации напряжений σθ (r, t) и σr (r, t) в процессе ползучести цилиндрического образца (сплав ЖС6КП, T = 900 ℃) при осевой нагрузке F = a (a) и F = 4,36 кН (b) и крутящем моменте M = 12,3 кН·мм: Метки: 1 - t = 0 + 0 ч; 2 - t = 5 ч; 3 - t = 20 ч; 4 - t = 50 ч; 5 - t = 100 ч [Figure 2. Calculated epures of stresses σθ (r, t) and σr (r, t) relaxation for cylindrical specimen under creep (GS6KP alloy, T = 900 ℃) with tensile load F = 0 (a) and F = 4,36 kN (b), and torque load M = 12,3 kN·mm. Numbers: 1 - t = 0 + 0 h; 2 - t = 5 h; 3 - t = 20 h; 4 - t = 50 h; 5 - t = 100 h] 103 В. П. Р а д ч е н к о, В. В. Ц в е т к о в a b Рис. 3. Расчетные эпюры релаксации напряжений σz (r, t) и τ (r, t) в процессе ползучести цилиндрического образца (сплав ЖС6КП, T = 900 ℃) при осевой нагрузке F = 0 (a) и F = 4.36 кН (b) и крутящем моменте M = 12.3 кН·мм. Метки: 1 - t = 0 + 0 ч; 2 - t = 5 ч; 3 - t = 20 ч; 4 - t = 50 ч; 5 - t = 100 ч [Figure 3. Calculated epures of stresses σz (r, t) и τ (r, t) relaxation for cylindrical specimen under creep (GS6KP alloy, T = 900 ℃) with tensile load F = 0 (a) and F = 4.36 kN (b), and torque load M = 12.3 kN·mm. Numbers: 1 - t = 0 + 0 h; 2 - t = 5 h; 3 - t = 20 h; 4 - t = 50 h; 5 - t = 100 h] 104 Кинетика напряжённо-деформированного состояния . . . Задача ползучести решалась численно, «шагами» по времени. Весь процесс деформирования разбивался на отрезки [tj , tj+1 ] длиной ∆tj (j = 0, 1, 2, . . . ), в пределах которых все характеристики напряжённого состояния считались постоянными и соответствующими значению времени t = tj , а приращения компонент тензора деформаций ползучести на этом интервале вычислялись численным интегрированием (9) методом Эйлера. При реализации предложенной методики все производные аппроксимировались соответствующими разностными соотношениями, а интегралы вычислялись по квадратурным формулам численного интегрирования. Теоретический анализ задачи релаксации остаточных напряжений в процессе ползучести выполнен при различных сочетаниях растягивающей нагрузки F и крутящего момента M . В качестве примера на рис. 2 приведены расчётные значения напряжений σθ (r, t) и σr (r, t) в процессе ползучести при F = 0 и M = 12.3 кН·мм (a) и при F = 4.36 кН и M = 12.3 кН·мм (b) в приповерхностном слое (r ∈ [3.5, 3.76] мм) в различные моменты времени, а на рис. 3 - аналогичная информация для напряжений σz (r, t) и τ (r, t). Анализ данных, представленных на рис. 2 и 3, свидетельствует, что при одном и том же значении крутящего момента приложение растягивающей нагрузки интенсифицирует процесс релаксации напряжений, при этом к моменту времени t = 100 ч остаточные напряжения практически полностью релаксировали. Достаточно сложная картина наблюдается для компоненты τ , поскольку здесь происходит перераспределение касательных напряжений и вследствие ползучести образца, и в силу релаксации в самом упрочнённом слое. В качестве замечания отметим, что из анализа графиков для компонент σθ , σr и σz следует, что на стадии установившейся ползучести (в данном случае при t = 100 ч) при растягивающей нагрузке F = 0 все три компоненты напряжений σθ , σr и σz практически равны нулю, а при F = 4.36 кН компоненты σθ и σr близки к нулю, в то время как распределение компоненты σz = σz (r) близко к стационарному, определяемому соотношением σz0 = = F/(πR2 ) ≈ 100 МПа. Эти замечания свидетельствуют об адекватности метода решения поставленной краевой задачи, поскольку не противоречат физическому протеканию процесса на стадии установившейся ползучести.

About the authors

Vladimir P Radchenko

Samara State Technical University

Email: radch@samgtu.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Head of Dept., Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Vitaly V Tsvetkov

Samara State Technical University

Email: vi.v.tsvetkoff@mail.ru
Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files