A nonlocal problem for mixed type equation with singular coefficient in domain with half-strip as hyperbolic part

Full Text

Постановка задачи. Для уравнения Lu = uxx + sign y · uyy + 2p uy + ku = 0, |y| p 1 , 2 k∈R (1) рассмотрим следующую задачу. © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования: А б а ш к и н А. А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом в области, гиперболическая часть которой - вертикальная полуполоса // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 3 (36). С. 7-20. doi: 10.14498/vsgtu1328. 7 А б а ш к и н А. А. Задача. В области D = {(x, y) | 0 < x < 1, y < α}, α>0 найти функцию u(x, y), удовлетворяющую следующим условиям: u ∈ C(D) ∩ C 2 (D+ ∪ D- ), Lu = 0; u(0, y) = u(1, y), ux (0, y) = 0, при y < α; u(x, α) = ϕ(x) при 0 < x < 1, (2) (3) (4) где D+ = D ∩ {y > 0}, D- = D ∩ {y < 0}; ϕ(x) - заданная непрерывная функция, удовлетворяющая условию ϕ(0) = ϕ(1). Отметим, что уравнение (1) в области эллиптичности представляет собой обобщенное осесимметрическое уравнение Гельмгольца, а в области гиперболичности содержит в себе (при k = 0) уравнение Эйлера-Пуассона- Дарбу. Для частного случая уравнения (1) при k = 0 краевые задачи в областях различного вида рассматривались в публикациях С. П. Пулькина [1], В. Ф. Волкодавова [2], О. А. Репина [3], М. Х. Рузиева [4] и др. В работах [5, 6] был предложен новый подход для доказательства единственности и построения решений краевых задач для уравнений смешанного типа - спектральный метод. Ранее подобный метод был применен В. А. Ильиным и Е. И. Моисеевым [7] при рассмотрении нелокальной задачи с условием, похожим на первое равенство условия (3). Отметим, что впервые задача с нелокальным условием типа (3) возникла в статье Ф. И. Франкля [8] при изучении газодинамической задачи об обтекании профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения. Существует довольно много работ, в которых изучены краевые задачи с условием (3) для различных уравнений, например [9-12], в частности, в публикации [12], как и в данном исследовании, рассматривается нелокальная задача для уравнения смешанного типа в полуполосе. Задачи с нелокальным условием (3) для уравнения (1) в области эллиптичности были исследованы в работах М. Е. Лернера и О. А. Репина [13], Е. И. Моисеева [14] и автора настоящей работы [15, 16]. В работах [14-16] исследование основано на спектральном методе. Для уравнения Лаврентьева-Бицадзе задача с условием (3) в прямоугольной области была рассмотрена Ю. К. Сабитовой в работе [17], а для уравнения смешанного типа K(y)uxx + uyy - b2 K(y)u = 0 - в [18]. В данной работе тем же методом, что и в статьях [9, 14, 17], доказана единственность решения задачи (2)-(4). Решение построено в виде суммы ряда. Существование решения задачи доказано путем установления равномерной сходимости соответствующих рядов. Отметим, что в задаче (2)-(4) на линии y = 0 требуется лишь непрерывность искомой функции. 1. Единственность решения задачи. Теорема 1. Если решение задачи (2)-(4) существует, то оно единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Следуя работе [14], рассмотрим функции 1 vn (y) = 4 u(x, y) sin(2πnx)dx, 0 8 (5) Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом . . . 1 1 u(x, y)(1 - x) cos(2πnx)dx, un (y) = 4 u(x, y)(1 - x)dx, u0 (y) = 2 0 0 где u(x, y) - решение задачи (2)-(4). Так как u(x, y) является решением уравнения (1), то справедливо равенство 1 2p 4 uxx + sign y · uyy + uy + ku sin(2πnx)dx = 0. (6) |y| 0 Дважды проинтегрировав по частям, с учетом условия (3) и определения (5) соотношение (6) запишем в виде 1 uxx sin(2πnx)dx = -(2πn)2 vn (y). 4 (7) 0 Из равенств (6) и (7) и определения (5) следует 2p 2 v - sign y · σn vn = 0 при (2πn)2 > k; y n 2p 2 vn + vn + sign y · σn vn = 0 при (2πn)2 < k; y 2p vn + vn = 0 при (2πn)2 = k, y vn + (8) (9) (10) где σn = |(2πn)2 - k|. При y > 0 уравнение (8) заменой vn (y) = y -p1 F (σn y), p1 = p-1/2, сводится к модифицированному уравнению Бесселя [19, c. 141] и его общее решение представимо в виде vn = An y -p1 Ip1 (σn y) + Bn y -p1 Kp1 (σn y) при y > 0, (11) где Iν (z) и Kν (z) - модифицированные функции Бесселя [19, c. 139]. Вследствие асимптотики [19, c. 173] Kν (z) 2ν-1 Γ(ν) , zν z → 0 ν > 0; K0 (z) 2 ln , z z → 0, (12) для ограниченности функции u(x, y) вблизи нуля необходимо, чтобы Bn = 0. Из соотношения (4) получаем следующее условие: vn (α) = an , (13) 1 где an = ϕ(x) sin(2πnx)dx. 0 В силу условия (13) имеем An = an αp1 . Ip1 (σn α) 9 А б а ш к и н А. А. Окончательно функция vn (y) при y > 0 и (2πn)2 > k принимает вид vn (y) = an αp1 -p1 y Ip1 (σn y). Ip1 (σα) (14) При y > 0 уравнение (9) заменой vn (y) = y -p1 F (σn y) сводится к уравнению Бесселя [19, c. 134] и его общее решение представимо в виде vn (y) = Cn y -p1 Jp1 (σn y) + Dn y -p1 Yp1 (σn y), где Jν (z) и Yν (z) - функции Бесселя первого [19, c. 132] и второго [19, c. 134] рода соответственно. Из требования ограниченности функции u(x, y) вблизи нуля и асимптотики [19, c. 172] Yν (z) - 2ν Γ(ν) , πz ν z → 0, ν > 0; Y0 (z) 2 2 - ln , π z z → 0, следует, что Dn = 0. Вследствие условия (13) имеем Cn = an αp1 . Jp1 (σn α) Окончательно при y > 0 и (2πn)2 < k получаем vn (y) = an αp1 -p1 y Jp1 (σn y). Jp1 (σα) (15) При y < 0 уравнение (8) сводится к уравнению Бесселя и с учетом требования ограниченности функции u(x, u) вблизи нуля его решение имеет вид vn (y) = En (-y)-p1 Jp1 (-σn y). Используя непрерывность функции u(x, y) и поведение функций Iν (z), Jν (z) при малых значениях z [19, c. 172, 173]: Iν (z) Jν (z) zν , + ν) zν , 2ν Γ(1 + ν) 2ν Γ(1 z → 0, (16) z → 0, (17) получаем En = An . Окончательно vn (y) при y < 0 и (2πn)2 > k принимает вид vn (y) = an α p 1 (-y)-p1 Jp1 (-σn y). Ip1 (σα) (18) Таким же образом получаем выражение для vn (y) при y < 0 и (2πn)2 < k: vn (y) = 10 an αp1 (-y)-p1 Ip1 (-σn y). Jp1 (σα) (19) Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом . . . Уравнение (10) имеет следующее общее решение: vn (y) = Fn y 1-2p + Gn 1 при p > ; 2 vn (y) = Fn ln y + Gn 1 при p = . 2 С учетом требования ограниченности u(x, y) вблизи нуля и условия (4) при (2πn)2 = k функция vn (y) будет иметь вид vn (y) = an . (20) Аналогично получаем дифференциальные уравнения для un (y): 2p 2 u - sign y · σn un = - sign y · 4πnvn при (2πn)2 > k; y n 2p 2 un + un + sign y · σn un = - sign y · 4πnvn при (2πn)2 < k; y 2p un + un = - sign y · 4πnvn при (2πn)2 = k. y un + (21) (22) (23) Уравнения (21)-(23) являются линейными неоднородным. Общее решение таких уравнений представимо в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Однородное уравнение, соответствующее (21), совпадает с уравнением (8), поэтому его общее решение выражается формулами (11) и (18). Частным решением неоднородного уравнения при y > 0 будет функция un (y) = - 2πnan αp1 -p1 +1 y Ip1 -1 (σn y). σn Ip1 (σn α) Таким образом, общее решение уравнения (21) при y > 0 имеет вид un (y) = Fn y -p1 Ip1 (σn y) + Gn y -p1 Kp1 (σn y) - 2πnan αp1 -p1 +1 y Ip1 -1 (σn y). σn Ip1 (σn α) Ввиду асимптотики (12) и требования непрерывности функции u(x, y) необходимо, чтобы Gn = 0. В силу условия (4) имеем Fn = 2πnan αp1 +1 Ip1 -1 (σn α) bn αp1 + , 2 σn Ip1 (σn α) Ip1 (σn α) 1 ϕ(x)(1 - x) cos(2πnx)dx. где bn = 4 0 Окончательно функция un (y) при y > 0 и (2πn)2 > k принимает вид un (y) = 2πnan αp1 +1 Ip1 -1 (σn α) bn αp1 + y -p1 Ip1 (σn y)- 2 σn Ip1 (σn α) Ip1 (σn α) 2πnan αp1 -p1 +1 - y Ip1 -1 (σn y). (24) σn Ip1 (σn α) 11 А б а ш к и н А. А. Частным решением уравнения (21) при y < 0 является функция un (y) = πnan αp1 (-y)-p1 +1 Jp1 -1 (-σn y). p1 σn Ip1 (σn α) Общим решением уравнения (21) при y < 0 является un (y) = Tn (-y)-p1 Jp1 (-σn y) + πnan αp1 (-y)-p1 +1 Jp1 -1 (-σn y). p1 σn Ip1 (σn α) Приравнивая выражения для un (y) при y → 0+ и y → 0- и выражая коэффициент Tn будем иметь Tn = 2πnan αp1 +1 Ip1 -1 (σn α) bn αp1 2p(2p1 + 1)πnan αp1 + - . 2 2 σn Ip1 (σn α) Ip1 (σn α) p1 σn Ip1 (σn α) Окончательно un (y) при y < 0 и (2πn)2 > k принимает вид un (y) = 2πnan αp1 +1 Ip1 -1 (σn α) bn αp1 + - 2 σn Ip1 (σn α) Ip1 (σn α) - 2p(2p1 + 1)πnan αp1 (-y)-p1 Jp1 (-σn y)+ 2 p1 σn Ip1 (σn α) πnan αp1 + (-y)-p1 +1 Jp1 -1 (-σn y). (25) p1 σn Ip1 (σn α) Выполнив подобные вычисления применительно к уравнениям (22) и (23) получим un (y) = un (y) = 2πnan αp1 +1 Jp1 -1 (σn α) bn αp1 + y -p1 Jp1 (σn y)- 2 σn Jp1 (σn α) Jp1 (σn α) 2πnan αp1 -p1 +1 y Jp1 -1 (σn y) при y > 0, (2πn)2 < k; (26) - σn Jp1 (σn α) 2πnan αp1 +1 Jp1 -1 (σn α) bn αp1 + - 2 σn Jp1 (σn α) Jp1 (σn α) - + 2p(2p1 + 1)πnan αp1 (-y)-p1 Ip1 (-σn y)+ 2 p1 σn Jp1 (σn α) πnan αp1 (-y)-p1 +1 Ip1 -1 (-σn y) при y < 0, p1 σn Jp1 (σn α) un (y) = bn + sign y · πnan 2 πnan 2 α - sign y · y p1 + 1 p1 + 1 (2πn)2 < k; (27) при (2πn)2 = k. (28) Аналогичным образом (как и для vn (y) и un (y)) выражаем u0 (y): u0 (y) = 12 √ a0 αp1 -p1 y Ip1 ( -ky) при y > 0, Ip1 (kα) k < 0; (29) Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом . . . √ a0 αp1 (-y)-p1 Jp1 (- -ky) при y < 0, k < 0; Ip1 (kα) √ a0 αp1 -p1 u0 (y) = y Jp1 ( ky) при y > 0, k > 0; Jp1 (kα) √ a0 α p 1 u0 = (-y)-p1 Ip1 (- ky) при y < 0, k > 0; Jp1 (kα) u0 = a0 при k = 0, u0 = (30) (31) (32) (33) 1 ϕ(x)(1 - x)dx. где a0 = 2 0 Из формул (14), (15), (18)-(20), (24)-(33) следует, что если ϕ(x) ≡ 0, то un ≡ 0 и vn ≡ 0, но тогда u(x, y) ≡ 0 в силу полноты системы функций [9] {4 sin 2πnx}∞ , n=1 {2(1 - x)}, {4(1 - x) cos 2πnx}∞ , n=1 что завершает доказательство теоремы 1. 2. Существование решения задачи. 2 Теорема 2. Если ϕ(x) ∈ C 2 [0, 1] и k = (2πn)2 + (rm /α) , где rm - положительные нули функции Jp1 (z), пронумерованные в порядке возрастания, n ∈ Z, то решение задачи (2)-(4) существует и представимо в виде суммы ряда ∞ u(x, y) = u0 (y) + ∞ un (y) cos 2πnx + n=1 vn (y)x sin 2πnx, (34) n=1 где функции u0 (y), un (y) и vn (y) определяются формулами (14), (15), (18)- (20), (24)-(33). Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку системы функций {4 sin 2πnx}∞ , n=1 {2(1 - x)}, {x sin 2πnx}∞ , n=1 {1}, {4(1 - x) cos 2πnx}∞ , n=1 {cos 2πnx}∞ , n=1 образуют базис Рисса в L2 (0, 1) [9], то достаточно доказать два положения: 1) равномерную сходимость на множестве D остатка ряда (34), содержащего члены с номерами, удовлетворяющими соотношению (2πn)2 > k; 2) равномерную сходимость рядов, полученных из того же остатка ряда (34) однократным и двукратным почленным дифференцированием по x и по y на множествах Dε = {(x, y) | 0 < x < 1, y < α - ε}, где ε - сколь угодно малое положительное число. Докажем выполнение положения 1). Подставив вместо un (y) и vn (y) их значения, определяемые формулами (14), (18), (24) и (25), получим, что достаточно доказать равномерную сходимость следующих рядов: ∞ s1 (x, y) = n=1 ∞ s1 (x, y) = n=1 an αp1 -p1 y Ip1 (σn y)x sin 2πnx, Ip1 (σα) y > 0, an α p 1 (-y)-p1 Jp1 (-σn y)x sin 2πnx, Ip1 (σα) y < 0; 13 А б а ш к и н А. А. ∞ s2 (x, y) = n=1 2πnan αp1 +1 Ip1 -1 (σn α) bn αp1 × + 2 σn Ip1 (σn α) Ip1 (σn α) ×y -p1 Ip1 (σn y) cos 2πnx, ∞ αp1 +1 I s2 (x, y) = n=1 y > 0, 2πnan 2p(2p1 + 1)πnαp1 bn p1 -1 (σn α) - × + 2 2 σn Ip1 (σn α) Ip1 (σn α) p1 σn Ip1 (σn α) α p1 ×(-y)-p1 Jp1 (-σn y) cos 2πnx, ∞ s3 (x, y) = n=1 ∞ s3 (x, y) = n=1 α p1 2πnan y -p1 +1 Ip1 -1 (σn y) cos 2πnx, σn Ip1 (σn α) y < 0; y > 0, πnan αp1 (-y)-p1 +1 Jp1 -1 (-σn y) cos 2πnx, p1 σn Ip1 (σn α) y < 0. Из формулы дифференцирования [19, c. 141] z -ν Iν (z) = z -ν Iν+1 (z), асимптотики (16) и отсутствия у функции Iν (z) положительных нулей [19, c. 173] следует, что функция z -ν Iν (z) положительна и монотонно возрастает при z > 0, поэтому верны неравенства y -p1 Ip1 (σn y) α-p1 Ip1 (σn α), y > 0; α-p1 -1 Ip1 +1 (σn α), y -p1 -1 Ip1 +1 (σn y) (35) y > 0. (36) Согласно асимптотикам (17) и [19, c. 172] νπ π 2 cos z - - , πz 2 4 Jν (z) функция z -ξ Jν (z) при ξ z → +∞, ν ограничена при z > 0. Обозначим MJν = max z -ν Jν (z), z>0 тогда справедливы оценки p (-y)-p1 Jp1 (-σn y) < σn1 MJp1 , p (-y)-p1 +1 Jp1 -1 < σn1 -1 MJp1 -1 . В силу асимптотики [19, c. 173] Iν (z) ez √ , 2πz z → +∞, (37) существует такое N , что для n > N выполняются свойства p σn1 MJp1 < α-p1 Ip1 (σn α), p σn1 -1 MJp1 -1 < α-p1 +1 Ip1 -1 (σn α) и поэтому верны неравенства (-y)-p1 Jp1 (-σn y) < α-p1 Ip1 (σn α), 14 y < 0, n > N; (38) Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом . . . (-y)-p1 +1 Jp1 -1 (-σn y) < α-p1 +1 Ip1 -1 (σn α), y < 0, n > N. (39) Учитывая формулы (35) и (38), произведем оценки общих членов ряда s1 (x, y): an αp1 -p1 y Ip1 (σn y)x sin 2πnx < an , y > 0, n > N ; Ip1 (σα) an α p 1 (-y)-p1 Jp1 (-σn y)x sin 2πnx < an , y < 0, n > N Ip1 (σα) (40) (41) и ряда s2 (x, y): 2πnan αp1 +1 Ip1 -1 (σn α) bn αp1 y -p1 Ip1 (σn y) cos 2πnx < + 2 (σ α) σn Ip1 n Ip1 (σn α) < 2πnαIp1 -1 (σn α) + bn , σn Ip1 (σn α) y > 0, n > N ; (42) 2πnan αp1 +1 Ip1 -1 (σn α) 2(2p1 + 1)πnαp1 bn αp1 - × + 2 2 σn Ip1 (σn α) Ip1 (σn α) σn Ip1 (σn α) × (-y)-p1 Jp1 (-σn y) cos 2πnx < < 2πnαIp1 -1 (σn α) 2p(2p1 + 1)πnan + bn + , 2 σn Ip1 (σn α) p1 σn y < 0, n > N. (43) Используя неравенства (36) и (39), получаем оценки общего члена ряда s3 (x, y): 2πnan αp1 -p1 +1 y Ip1 -1 (σn y) cos 2πnx < σn Ip1 (σn α) 2πnan αIp1 -1 (σn α) < , σn Ip1 (σn α) πnan αp1 (-y)-p1 +1 Jp1 -1 (-σn y) cos 2πnx < p1 σn Ip1 (σn α) πnan αIp1 -1 (σn α) < , p1 σn Ip1 (σn α) y > 0, n > N ; (44) y < 0, n > N. (45) Учитывая поведение коэффициентов ряда Фурье m раз дифференцируемой функции [20, c. 636] an = o n-2 , bn = o n-2 и асимптотику (37), можно сделать вывод, что ряды, общими членами которых являются правые части неравенств (40)-(45), сходятся, из чего следует равномерная сходимость рядов si (x, y), i = 1, 2, 3, на множестве D. 15 А б а ш к и н А. А. Докажем выполнение положения 2). Подставим в ряд ∞ vn (y)x sin 2πnx n=1 вместо функций vn (y) значения, определяемые формулами (14) и (18), и почленно продифференцируем его по y: ∞ s4 (x, y) = n=1 ∞ s4 (x, y) = n=1 an σn αp1 -p1 y Ip1 +1 (σn y)x sin 2πnx, Ip1 (σα) y > 0, an σn αp1 (-y)-p1 Jp1 +1 (-σn y)x sin 2πnx, Ip1 (σα) y < 0. Как было показано в доказательстве положения 1), функция z -ν Iν (z) положительна и монотонно возрастает, поэтому в Dε верна оценка y -p1 Ip1 +1 (σn y) < α-p1 Ip1 +1 (σn (a - ε)). (46) Так как функция z -ξ Jν (z) при ξ ν ограничена при z > 0, справедливо неравенство p (-y)-p1 Jp1 +1 (-σn y) < M σn1 , (47) где M = max z -p1 Jp1 +1 (z). z>0 Из асимптотики (37) и неравенства (47) получаем, что существует номер N такой, что для n > N выполняется соотношение (-y)-p1 Jp1 +1 (-σn y) < α-p1 Ip1 +1 (σn (α - ε)). (48) Из формул (46) и (48) следует an σn αp1 -p1 y Ip1 +1 (σn y)x sin 2πnx < Ip1 (σα) an σn Ip1 +1 (σn (α - ε)) < , Ip1 (σα) an σn α p 1 (-y)-p1 Jp1 +1 (-σn y)x sin 2πnx < Ip1 (σα) an σn Ip1 +1 (σn (α - ε)) < , Ip1 (σα) В силу асимптотики (37) последовательность Ip1 +1 (σn (α - ε)) Ip1 (σα) 16 y > 0, n > N ; (49) y < 0, n > N. (50) Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом . . . убывает экспоненциально, остальные множители, входящие в правую часть неравенств (49) и (50), имеют степенной рост, поэтому ряд, имеющий своим общим членом правую часть неравенств (49) и (50), сходится, а значит ряд s4 (x, y) сходится равномерно в Dε . Доказательство равномерной сходимости ряда ∞ vn (y)x sin 2πnx, n=1 почленно продифференцированного по y дважды, однократно и двукратно почленно продифференцированного по x, а также равномерной сходимости ряда ∞ un (y) cos 2πnx, n=1 однократно и двукратно почленно продифференцированного по x и по y соответственно, проводится аналогичным образом. Теорема 2 доказана.

About the authors

Anton A Abashkin

Samara State University of Architecture and Civil Engineering

Email: samcocaa@rambler.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; samcocaa@rambler.ru), Assistant, Dept. of High Mathematics 194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russian Federation

References

Supplementary files