Stress field near the mixed mode crack tip under plane stress conditions

Full Text

Введение. Смешанное нагружение трещины (нормальный отрыв и поперечный сдвиг) в условиях плоского напряженного состояния. Вопросы смешанного нагружения элементов конструкций с трещинами и угловыми вырезами являются предметом пристального исследования научного сообщества в самое последнее время [1-19]. В [6] разработан метод и приведены результаты вычислений упругопластических коэффициентов интенсивности напряжений в полном диапазоне смешанных форм деформирования от нормального отрыва до чистого сдвига. Кроме этого, в [6] рассмотрено состояние произвольно ориентированной прямолинейной трещины в виде математического разреза при двухосном нагружении различной интенсивности. Решение основано на использовании уравнения совместности деформаций, представленное через потенциал напряжений Эри и его производные. В [6] предполагалось, что поведение упругопластического материала соответствует модели Рамберга- Осгуда. На основе выполненных расчетов установлен характер влияния вида смешанных форм нагружения и пластических свойств материала, описываемых показателем деформационного упрочнения. ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1297 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: Л. В. С т е п а н о в а, Е. М. А д ы л и н а, “Поле напряжений у вершины трещины при смешанном нагружении в условиях плоского напряженного состояния” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1 (34). С. 109-124. 109 Л. В. С т е п а н о в а, Е. М. А д ы л и н а В [7] предложен метод и приведены результаты расчетов упругих параметров смешанности и скорости выделения энергии в трехмерной постановке задачи при сочетании форм смещения поверхностей трещины по типу отрыва, сдвига и среза. Изучено состояние произвольно ориентированной несквозной полуэллиптической трещины при двухосном нагружении различной интенсивности. Процедура вычислений построена на модификации аналитического решения корректирующими функциями учета выхода вершин полуэллиптической трещины на свободную поверхность образца. На основе выполненных расчетов установлен характер влияния вида смешанных форм нагружения и формы в плане несквозного дефекта на изменение параметров вдоль криволинейного фронта трещины. В [8] рассмотрены подходы и методы нахождения напряженно-деформированного состояния у вершины трещины, ее траектории и скорости ее роста при смешанных формах двухосного нагружения. В [9] на основе численного решения задач в упругой и физически нелинейной постановке для крестовидного образца, пластины с центральной наклонной трещиной и компактного образца с односторонним боковым надрезом получены зависимости между обобщенными параметрами состояния для смешанных форм деформирования. Работы [10, 11] посвящены методикам усталостных испытаний стальных крестообразных образцов с поверхностной трещиной при двухосном нагружении. Предложен образец и приспособление для осуществления в рабочей части образца смешанного деформирования. В этих работах показано, что предложенная методика экспериментального исследования дает возможность оценить восприимчивость различных материалов к двухосному нагружению при развитии усталостных трещин. Исследование характеристик циклической трещиностойкости конструкционной стали в условиях смешанного нагружения выполнено в [12], где на основе численных расчетов напряженно-деформированного состояния в крестообразном образце с центральной трещиной определены значения Т-напряжений и К-тарировочных функций. Экспериментально установлено влияние вида напряженного состояния на скорость роста трещины при двухосном деформировании. В [13] получено приближенное решение задачи о трещине, находящейся под одновременным действием растягивающей и сдвиговой нагрузки, в материале, подчиняющемся дробно-линейному закону теории установившейся ползучести в предположении реализации плоского деформированного состояния. В [14] на основе поляризационно-оптического метода (метода фотоупругости) выполнено экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в образцах с надрезами, находящимися в условиях смешанного нагружения. Проведенное экспериментальное исследование позволило определить коэффициенты интенсивности напряжений в асимптотическом разложении полей напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины, а также найти коэффициенты высших приближений в полном асимптотическом разложении М. Уильямса. В [15] получено асимптотическое решение задачи определения напряженно-деформированного состояния и поля сплошности в окрестности вершины трещины в образце, находящемся в условиях смешанного деформирования. На основании автомодельного представления решения и гипотезы о формировании области полностью дефрагментированного материала вблизи вершины трещины получено распределение напряжений, скоростей деформаций и сплошности у стационарной трещины в среде с поврежденностью в полном диапазоне смешанных форм деформирования (от чистого сдвига до нормального отры110 Поле напряжений у вершины трещины при смешанном нагружении . . . ва). Построены высшие приближения в асимптотических разложениях полей напряжений, скоростей деформаций ползучести и сплошности. Тем не менее многие вопросы смешанного нагружения элементов конструкций с трещинами остаются открытыми и заслуживают отдельного обсуждения. Например, реализация подхода, развитого в [15-19] для трещин антиплоского сдвига, нормального отрыва и поперечного сдвига, а также для смешанных форм (тип I/II) для плоского деформированного состояния, для случая плоского напряженного состояния требует детального изучения поля напряжений у вершины трещины, поскольку в случае плоского напряженного состояния угловые распределения компонент тензора напряжений у границ рассматриваемого отрезка интегрирования претерпевают резкие изменения, которые сложно учесть в рамках численного анализа. Особенно ценным в данным случае является наличие аналитического представления угловых распределений у кончика трещины, что и является предметом настоящего исследования. Следует отметить, что задачи определения плоского напряженного состояния для тел с вырезами недостаточно изучены и активно исследуются в последнее время [20-22]. Целью настоящей работы является изучение полей напряжений и скоростей деформации ползучести вблизи вершины трещины в условиях смешанного нагружения в материале, подчиняющемся дробно-линейному закону теории установившейся ползучести. В работе получено приближенное решение задачи о трещине, находящейся под одновременным действием растягивающей и сдвиговой нагрузок в материале, подчиняющемся дробно-линейному закону теории установившейся ползучести в предположении реализации плоского напряженного состояния. Вид нагружения характеризуется параметром смешанности нагружения [2, 23-27] и определяется как соотношение окружной и сдвиговой компонент тензора напряжений на линии продолжения трещины: σθθ (r, θ = 0) 2 . M p = arctg lim r→0 σrθ (r, θ = 0) π Параметр смешанности нагружения принимает нулевое значение для трещины поперечного сдвига и значение, равное единице, для чистого растяжения с областью значений из интервала 0 < M p < 1. Постановка задачи о смешанном нагружении (нормальный отрыв и поперечный сдвиг) трещины в условиях плоского напряженного состояния. Задача определения напряженно-деформированного состояния у вершины трещины в нелинейных материалах была и остается одной из актуальных проблем механики разрушения [1, 2]. В настоящей работе рассматриваются поля напряжений и скоростей деформаций ползучести вблизи вершины трещины в материале с дробно-линейным законом теории установившейся ползучести при смешанном нагружении (отрыв и поперечный сдвиг) образца с трещиной в предположении о реализации плоского напряженного состояния. Развитый в нелинейной механике разрушения подход, основанный на асимптотическом представлении механических полей у кончика трещины, может быть успешно применен и к трещине смешанного типа в условиях плоского напряженного состояния. С этой целью мы обратимся к квазилинейным уравнениям теории установившейся ползучести: εij = (3/2)f (σe )sij /σe , ˙ (1) где f (σe ) = Bσe /(σb - σe ), B, σb - материальные константы, определяемые 111 Л. В. С т е п а н о в а, Е. М. А д ы л и н а экспериментально; sij - девиатор тензора напряжений, σe = (3sij sij /2)1/2 - интенсивность касательных напряжений. Сформулируем систему уравнений равновесия rσrr,r + σrθ,θ + (σrr - σθθ ) = 0, rσrθ,r + σθθ,θ + 2σrθ = 0 (2) и условие совместности деформаций 2(rεrθ,θ ),r = εrr,θθ - rεrr,r + r(rεθθ ),rr ˙ ˙ ˙ ˙ (3) в полярной системе координат с полюсом в вершине трещины. Определяющие соотношения (1), связывающие скорости деформаций ползучести и напряжения, замыкают сформулированную систему уравнений и в рамках предположения о реализации плоского напряженного состояния имеют вид εrr = (1/2)B(2σrr - σθθ )/(σb - σe ), ˙ εrθ = (3/2)Bσrθ /(σb - σe ), ˙ σe = εθθ = (1/2)B(2σθθ - σrr )/(σb - σe ), ˙ 2 2 2 σrr + σθθ - σrr σθθ + 3σrθ . (4) Граничные условия задачи представляют собой условия отсутствия поверхностных усилий на берегах трещины σθθ (r, θ = ±π) = 0, σrθ (r, θ = ±π) = 0. (5) Отметим, что в отличие от классических для механики трещин задач о трещине отрыва и сдвига, при изучении смешанного нагружения пластины с трещиной следует рассматривать всю плоскость -π θ π с разрезом, поскольку решение не обладает свойством симметрии или антисимметрии. По мере удаления от вершины трещины уровень напряжений снижается и, следовательно, определяющие уравнения (4) постулируют линейную зависимость между скоростями деформаций ползучести и напряжениями. Поэтому граничные условия в бесконечно удаленной точке представляют собой условия асимптотического сближения искомого решения с решением задачи для линейно-вязкого материала: 1 {CI [5 cos(θ/2) - cos(3θ/2)] + CII [-5 sin(θ/2) + 3 sin(3θ/2)]} , 2πr 1 σθθ = √ {CI [3 cos(θ/2) + cos(3θ/2)] + CII [-3 sin(θ/2) - 3 sin(3θ/2)]} , 2πr 1 σrθ = √ {CI [sin(θ/2) + sin(3θ/2)] + CII [cos(θ/2) + 3 cos(3θ/2)]} , 2πr где CI , CII - амплитудные коэффициенты, зависящие от геометрии образца и системы приложенных нагрузок. Вид смешанного нагружения на удалении от кончика трещины может быть охарактеризован параметром M lv , определяемым формулой σrr = √ M lv = 112 2 σθθ (r, θ = 0) 2 CI arctg lim = arctg , r→∞ σrθ (r, θ = 0) π π CII Поле напряжений у вершины трещины при смешанном нагружении . . . введенным по аналогии с упругим параметром смешанности нагружения [23, 25]. Введение безразмерных переменных согласно равенствам √ √ ˆ ˙ ˙ r = r/L, σij = σij /( 3σb /2), εij = εij (B/2), L = C ∗ /(B 3σb /2) ˆ ˆ позволяет сформулировать систему уравнений в безразмерной форме. При этом уравнения равновесия (2) и условие совместности (3) сохраняют свою форму. Определяющие уравнения задачи после перехода к безразмерным величинам примут вид ˆ εrr = (2ˆrr - σθθ )/(1 - σe ), ˙ σ ˆ ˆ ˆ εrθ = 3ˆrθ /(1 - σe ). ˙ σ ˆ ˆ εθθ = (2ˆθθ - σrr )/(1 - σe ), ˙ σ ˆ ˆ (6) В дальнейшем для краткости знакˆопускается. Асимптотический анализ. Для материала, следующего дробно-линейному закону ползучести (6)), можно искать поле напряжений вблизи устья трещины в виде разложения по собственным функциям (0) (1) σij (r, θ) = σij (θ) + rα σij (θ) + . . . , σe (r, θ) = 1 - rα σ (1) (θ) + . . . . (0) Тогда для определения функций σij (θ) имеется система уравнений, следующая из двух уравнений равновесия (2) и условия предельного состояния σe = 1 при r = 0 : (0) (0) (0) σrθ,θ + σrr - σθθ = 0, (0) (0) (0) σθθ,θ + 2σrθ = 0, (0) (0) (0) (0) (σrr )2 + (σθθ )2 - σrr σθθ + 3(σrθ )2 = 1. (7) (8) (0) Для функций σij (θ) формулируется, таким образом, краевая задача, аналогичная статически определимой задаче теории идеальной пластичности. Условию предельного состояния (8)) можно удовлетворить, если положить, (0) что функции σij (θ) задаются одной из двух альтернативных функциональных зависимостей √ √ √ (0) (0) (0) σrr = cos(θ + c1 )/ 3, σθθ = 2 cos(θ + c1 )/ 3, σrθ = sin(θ + c1 )/ 3, где c1 - постоянная, определяемая из граничных условий задачи и условий непрерывности компонент тензора напряжений при переходе через лучи, разделяющие клинообразные области в окрестности вершины трещины, или (0) (0) σrr = a + b cos 2ϑ(θ) + c sin 2ϑ(θ), σθθ = a - b cos 2ϑ(θ) - c sin 2ϑ(θ), (0) σrθ = -b sin 2ϑ(θ) + c cos 2ϑ(θ), где a, b, c - такие постоянные, что a2 + 3b2 + 3c2 = 1. Выполняя анализ, подобный проведенному для трещины смешанного типа в условиях плоского деформированного состояния [13], можно получить аналитическое решение системы уравнений (7), (8), удовлетворяющих граничным условиям на берегах трещины (5) для различных значений параметра смешанности нагружения M p . Проведенный тщательный анализ структуры поля напряжений 113 Л. В. С т е п а н о в а, Е. М. А д ы л и н а у вершины трещины позволяет установить, что поле напряжений для M p = = 0.25 состоит из ансамбля семи секторов, для M p = 0.5 и M p = 0.75 поле напряжений состоит из пяти областей. Приведем точные формулы, задающие поле напряжений в окрестности вершины трещины смешанного типа в предположении реализации плоского напряженного состояния для характерных значений параметра M p . Найденные поля напряжений показаны на рис. 1. На рис. 1, a приведено распределение напряжений, полученное для значения параметра смешанности нагружения M p = 0, что соответствует полю напряжений у вершины трещины чистого сдвига. На рис. 1, f показаны угловые распределения компонент тензора напряжений у вершины трещины отрыва, когда M p = 1. Точками на графиках показаны угловые распределения компонент тензора напряжений у вершины трещины в материале со степенным определяющим законом в предельном случае, когда показатель степени (показатель упрочнения) стремится к бесконечности. Следует отметить, что условие наступления предельного состояния для дробно-линейного закона ползучести σe = σb математически эквивалентно условию предельного состояния (условию идеальной пластичности) для степенного закона упрочнения (или степенного закона ползучести) при неограниченном увеличении показателя степени. В силу указанной аналогии между условием наступления предельного состояния и условием идеальной пластичности для верификации полученного аналитического решения является целесообразным сравнение найденного аналитического решения с численным распределением напряжений у вершины трещины для степенного определяющего закона для больших n (в данном случае полагалось n = 300), что и показано на рис. 1. Приведем итоговое распределение напряжений вблизи устья трещины для значения параметра смешанности нагружения M p = 0.25 (полученное поле напряжений показано на рис. 1, b):  -π θ θα , θα ≈ -2.186257912 = -125.26◦ ,  (0)  σ = (1 + cos 2θ)/2, rr (0) σθθ = (1 - cos 2θ)/2,   (0)  σrθ = -(1/2) sin 2θ;  ◦ θα θ θβ , θβ ≈ -1.686144171 = -96.60 ,  (0) √  σ = cos(θ + c )/ 3,  rr 3  √ (0) σθθ = 2 cos(θ + c3 )/ 3,  (0) √  σ = sin(θ + c3 )/ 3,  rθ   c3 ≈ 1.230959418 = 70.53◦ ;  ◦ θβ θ √θγ , θγ ≈ -0.9114267175 = -52.22 , ϑ1 = θβ + c3 ,  (0) √  σrr = ( 3/2) cos ϑ1 - (1/2 3) cos ϑ1 cos 2(θ - θβ )+   √   +(1/ 3) sin ϑ1 sin 2(θ - θβ ), √ √ (0) σθθ = ( 3/2) cos ϑ1 + (1/2 3) cos ϑ1 cos 2(θ - θβ )-  √    -(1/ 3) sin ϑ1 sin 2(θ - θβ ),   √ √  (0) σrθ = (1/2 3) cos ϑ1 sin 2(θ - θβ ) + (1/ 3) sin ϑ1 cos 2(θ - θβ ); 114 Поле напряжений у вершины трещины при смешанном нагружении . . . a b c d e f (0) Рис. 1. Угловые распределения компонент тензора напряжений σij (θ) у вершины трещины: сплошная линия - аналитическое решение; линия из маркеров - численный расчет для материала со степенным законом ползучести в предельном случае, когда n = 300 и M p = 0 (a), M p = 1/4 (b), M p = 1/2 (c), M p = 3/4 (d), M p = 0.8 (e), M p = 1 (f ) (0) Figure 1. The angular distributions of the stress tensor components σij (θ) at the crack tip. The solid line has been obtained using the analytical solution. The dotted line has been obtained using the numerical calculation for the power-law creeping material in the limit case when n = 300 and M p = 0 (a), M p = 1/4 (b), M p = 1/2 (c), M p = 3/4 (d), M p = 0.8 (e), and M p = 1 (f ) 115 Л. В. С т е п а н о в а, Е. М. А д ы л и н а  θγ θ θδ , θδ ≈ 0.924219118 = 52.95◦ ,  √  (0) (0)  σθθ = 2σrr = (2/ 3) cos(θ + c1 ), √ (0) σrθ = (1/ 3) sin(θ + c1 ),    c1 ≈ 1.366576756 = 78.30◦ ; (9)  θδ θ θε , θε ≈ 2.081741596 = 119.27◦ , ϑ2 = θε + c2 ,   c ≈ 1.910633236 = 109.47◦ ,  2    (0) σ = (√3/2) cos ϑ - (1/2√3) cos ϑ cos 2(θ - θ )+  rr 2 2 β  √ +(1/ 3) sin ϑ2 sin 2(θ - θβ ),  (0) σ = (√3/2) cos ϑ + (1/2√3) cos ϑ cos 2(θ - θ )-  θθ 2 2 β  √    -(1/ 3) sin ϑ2 sin 2(θ - θβ ),    (0) σ = (1/2√3) cos ϑ sin 2(θ - θ ) + (1/√3) sin ϑ cos 2(θ - θ ); 2 2 β β rθ  θε   (0) σ rr (0) σθθ   (0)  σrθ θ θζ , θζ ≈ 2.186257912 = 125.26◦ , √ = (1/ 3) cos(θ + c2 ), √ = (2/ 3) cos(θ + c2 ), √ = (1/ 3) sin(θ + c2 );  θζ   (0) σ rr (0) σθθ   (0)  σrθ θ π, = -(1/2)(1 + cos 2θ), = -(1/2)(1 - cos 2θ), = (1/2) sin 2θ. (0) Приведем итоговое распределение напряжений σij (θ) вблизи устья трещины для значения параметра смешанности нагружения M p = 0.5 (полученное поле напряжений показано на рис. 1, c):  -π θ θα , θα ≈ -3.082081755 = -176.60◦ ,  (0)  σ = -(1/2)(1 + cos 2θ), rr (0) σθθ = -(1/2)(1 - cos 2θ),   (0)  σrθ = (1/2) sin 2θ;  θα θ θβ , θβ ≈ -2.069949494 = -118.60◦ ,   √ √  (0) σrr = ( 3/2) cos ϑ1 - (1/(2 3)) cos ϑ1 cos 2(θ - θβ )+   √    +(1/ 3) sin ϑ1 sin 2(θ - θβ ),  √ √ (0) σθθ = ( 3/2) cos ϑ1 + (1/2 3) cos ϑ1 cos√ - θβ )- 2(θ    -(1/ 3) sin ϑ1 sin 2(θ - θβ ),   (0)  σ = (1/2√3) cos ϑ sin 2(θ - θ ) + (1/√3) sin ϑ cos 2(θ - θ ),  rθ 1 1 β β   ϑ = θ + c , c ≈ 1.107148718 = 63.43◦ ; 1 1 1 β  θβ  (0)  σ rr (0) σθθ   (0)  σrθ 116 θ θγ , θγ ≈ 0.988154515 = 56.62◦ , √ = (1/ 3) cos(θ + c1 ), √ = (2/ 3) cos(θ + c1 ), √ = (1/ 3) sin(θ + c1 ); Поле напряжений у вершины трещины при смешанном нагружении . . .  ◦ θγ θ θδ , θδ ≈ 2.232478539 = 127.91 ,  (0)  σ = a + (1/4)(1 + cos 2θ ) cos 2(θ - θ ) + (1/2) sin 2θ sin 2(θ - θ ),  rr δ δ δ δ  (0) σ = a - (1/4)(1 + cos 2θδ ) cos 2(θ - θδ ) - (1/2) sin 2θδ sin 2(θ - θδ ),  θθ  (0) σ = -(1/4)(1 + cos 2θδ ) sin 2(θ - θδ ) + (1/2) sin 2θδ cos 2(θ - θδ ),   rθ  a = (-1 + 3 cos 2θδ )/4;  θδ θ π,   (0) σ = -(1/2)(1 + cos 2θ), rr (0) σθθ = -(1/2)(1 - cos 2θ),   (0)  σrθ = (1/2) sin 2θ. (0) Угловое распределение σij (θ) компонент тензора напряжений вблизи устья трещины для значения параметра смешанности нагружения M p = 0.75 имеет вид  -π   (0) σ rr (0) σθθ   (0)  σ  rθ θα   (0)  σrr       θ θα , θα ≈ -2.904522467 = -166.42◦ , = -(1/2)(1 + cos 2θ), = -(1/2)(1 - cos 2θ), = (1/2) sin 2θ; θ θβ , θβ ≈ -1.759907174 = -100.84◦ , √ √ 2(θ = ( 3/2) cos ϑ1 - (1/2 3) cos ϑ1 cos√ - θβ )+ +(1/ 3) sin ϑ1 sin 2(θ - θβ ), √ √ (0) σθθ = ( 3/2) cos ϑ1 + (1/2 3) cos ϑ1 cos√ - θβ )- 2(θ    -(1/ 3) sin ϑ1 sin 2(θ - θβ ),   (0)  σ = (1/2√3) cos ϑ sin 2(θ - θ ) + (1/√3) sin ϑ cos 2(θ - θ ),  rθ 1 1 β β   ϑ = θ + c , c ≈ 0.6918358137 = 39.64◦ ; 1 1 1 β  θβ θ θγ , θγ ≈ 1.119349842 = 64.13◦ ,  (0)  σ = (1/√3) cos(θ + c ), rr 1 √ (0) σθθ = (2/ 3) cos(θ + c1 ),   (0) √  σrθ = (1/ 3) sin(θ + c1 ); (10)  ◦ θγ θ θδ , θδ ≈ 2.385429690 = 136.68 ,  (0)  σ = a + (1/4)(1 + cos 2θ ) cos 2(θ - θ ) + (1/2) sin 2θ sin 2(θ - θ ),  rr δ δ δ δ  (0) σ = a - (1/4)(1 + cos 2θδ ) cos 2(θ - θδ ) - (1/2) sin 2θδ sin 2(θ - θδ ),  θθ  (0) σ = -(1/4)(1 + cos 2θδ ) sin 2(θ - θδ ) + (1/2) sin 2θδ cos 2(θ - θδ ),  rθ   a = (1/4)(-1 + 3 cos 2θδ );  θδ θ π,  (0)  σ = -(1/2)(1 + cos 2θ), rr  (0) σθθ = -(1/2)(1 - cos 2θ),  (0)  σrθ = (1/2) sin 2θ. Полученное поле напряжений показано на рис. 1, d. 117 Л. В. С т е п а н о в а, Е. М. А д ы л и н а Анализ поля скоростей деформаций ползучести у вершины трещины. Определяющие соотношения и найденное поле напряжений вблизи кончика трещины позволяют вывести асимптотические формулы для поля скоростей деформаций ползучести. Ввиду равенств (6) и (9) итоговое распределение скоростей деформаций у вершины трещины для M p = 0.25 имеет вид   ◦ -π θ < θα , θα ≈ -125.26◦ , θα < θ < θβ , θβ ≈ -96.60 ,        ε = 0,   ˙rr ε = 1 1 + 3 cos 2θ ,   ˙rr   2 rα σ (1) √ cos(θ + c3 ) εθθ = 3 εθθ = 1 1 - 3 cos 2θ , , ˙   ˙ rα σ (2)   2 rα σ (1)     √   εrθ = 3 sin(θ + c3 ) ; ε = - 3 sin 2θ ;  ˙rθ ˙ rα σ (2) 2 rα σ (1)  ◦, θβ < θ < θγ , θγ ≈ -52.22    √   3 cos ϑ1 - cos ϑ1 cos 2 (θ - θβ ) + 2 sin ϑ1 sin 2 (θ - θβ )  ˙ εrr = ,  2 rα σ (3) √ ε = 3 cos ϑ1 + cos ϑ1 cos 2 (θ - θβ ) - 2 sin ϑ1 sin 2 (θ - θβ ) ,  ˙θθ   2 rα σ (3)  √    3 cos ϑ1 sin 2 (θ - θβ ) + 2 sin ϑ1 cos 2 (θ - θβ )  εrθ = ˙ ; 2 rα σ (3)  ◦ θγ < θ < θδ , θδ ≈ 52.95 ,    ε = 0,  ˙rr   √ cos(θ + c1 ) εθθ = 3 , ˙  rα σ (4)    √  εrθ = 3 sin(θ + c1 ) ; ˙ rα σ (4)  θδ < θ < θε , θε ≈ 119.27◦ ,    √    εrr = 3 cos ϑ2 - cos ϑ2 cos 2 (θ - θβ ) + 2 sin ϑ2 sin 2 (θ - θβ ) , ˙  2 rα σ (5) √ 3 cos ϑ2 + cos ϑ2 cos 2 (θ - θβ ) - 2 sin ϑ2 sin 2(θ - θβ ) ε =  ˙θθ ,   2 rα σ (5)  √     εrθ = 3 cos ϑ2 sin 2(θ - θβ ) + 2 sin ϑ2 cos 2(θ - θβ ) ; ˙ 2 rα σ (5)  θζ < θ π,      ε = - 1 1 + 3 cos 2θ ,  ˙rr  2 rα σ (7) √ cos (θ + c2 ) εθθ = - 1 1 - 3 cos 2θ , εθθ = 3 , ˙ ˙   rα σ (6)   2 rα σ (7)     √ sin (θ + c2 )   3 sin 2θ ε = εrθ = 3  ˙rθ ˙ ; . rα σ (6) 2 rα σ (7) Для следующего характерного значения параметра смешанности нагружения M p = 0.5 асимптотическое представление поля скоростей деформаций  θε < θ < θζ ,    ε = 0,  ˙rr   118 θζ ≈ 125.26◦ , Поле напряжений у вершины трещины при смешанном нагружении . . . ползучести определяется формулами  -π θ < θα , θα ≈ -176.60◦ ,      ε = - 1 1 + 3 cos 2θ ,  ˙rr  2 rα σ (1) εθθ = - 1 1 - 3 cos 2θ , ˙   2 rα σ (1)    3 sin 2θ ε =  ˙rθ ; 2 rα σ (1)  θα < θ < θβ , θβ ≈ -118.60◦ ,    √    εrr = 3 cos ϑ1 - cos ϑ1 cos 2 (θ - θβ ) + 2 sin ϑ1 sin 2 (θ - θβ ) , ˙  2 rα σ (2) √ ε = 3 cos ϑ1 + cos ϑ1 cos 2 (θ - θβ ) - 2 sin ϑ1 sin 2 (θ - θβ ) ,   ˙θθ  2 rα σ (2)  √     εrθ = 3 cos ϑ1 sin 2 (θ - θβ ) + 2 sin ϑ1 cos 2 (θ - θβ ) ; ˙ 2 rα σ (2)  ◦, θβ < θ < θγ , θγ ≈ 56.62  ε = 0,  ˙rr    √ cos (θ + c1 ) (11) , ˙ εθθ = 3 α σ (3)  r     ε = √3 sin (θ + c1 ) ; ˙rθ rα σ (3)  θγ < θ < θδ , θδ ≈ 127.91◦ ,      εrr = 1 (-1 + 3 cos 2θδ )/4 + (3/4) (1 + cos 2θδ ) cos 2 (θ - θδ ) + ˙   rα σ (4)    +(3/2) sin 2θδ sin 2(θ - θδ ) ,  εθθ = 1 (-1 + 3 cos 2θδ )/4 - (3/4)(1 + cos 2θδ ) cos 2(θ - θδ )- ˙   rα σ (4)    -(3/2) sin 2θδ sin 2(θ - θδ ) ,       εrθ = -(3/4)(1 + cos 2θδ ) sin 2(θ - θδ ) + (3/2) sin 2θδ cos 2(θ - θδ ) ; ˙ rα σ (4)   θδ < θ π,     ε = - 1 1 + 3 cos 2θ ,  ˙rr  2 rα σ (5) εθθ = - 1 1 - 3 cos 2θ , ˙   2 rα σ (5)    3 sin 2θ ε =  ˙rθ . 2 rα σ (5) Структура поля скоростей деформаций для M p = 0.75 совпадает с совокупностью формул (11), но углы, соответствующие линиям раздела секторов, имеют другие числовые значения, указанные в формулах (10). На рис. 2 показаны угловые распределения скоростей деформаций ползучести в материале 119 Л. В. С т е п а н о в а, Е. М. А д ы л и н а a b c d Рис. 2. Угловые распределения компонент тензора скоростей деформаций ползучести у вершины трещины для M p = 0 (a), M p = 1/4 (b), M p = 1/2 (c), M p = 3/4 (d), M p = 1 (e) Figure 2. The angular distributions of the (0) creep strain rate components εij (θ) at the ˙ p crack tip for M = 0 (a), M p = 1/4 (b), M p = 1/2 (c), M p = 3/4 (d), and M p = 1 (e) e 120 Поле напряжений у вершины трещины при смешанном нагружении . . . со степенным законом ползучести в предельном случае при неограниченном возрастании показателя степени. В ходе численного счета полагалось, что n = 300. На рисунках ясно видно, что имеются интервалы изменения полярного угла θ, внутри которых коэффициенты асимптотических разложений скоростей деформаций ползучести равны нулю, что свидетельствует о более слабой особенности поля скоростей деформаций по сравнению с r-1 . Например, на рис. 2, b - это области -π < θ < θα , θβ < θ < θγ и θδ < θ < π. На остальных интервалах изменения полярного угла θ скорости деформаций ползучести имеют особенность вида r-1 . Выводы. В работе найдены аналитические решения задачи определения напряженно-деформированного состояния в непосредственной окрестности вершины трещины в образце, находящемся в условиях смешанного нагружения для различных значений коэффициента смешанности нагружения, определяющего вид нагружения. Показано, что поле напряжений состоит из различных областей (секторов), внутри которых компоненты тензора напряжений определяются различными функциональными зависимостями. Границы введенных секторов находятся численно из решения системы трансцендентных уравнений. Приведено сравнение приближенного аналитического решения с численным решением задачи для материала, следующего степенному закону Бейли-Нортона теории установившейся ползучести в предельном случае, когда показатель нелинейности материала неограниченно возрастает. Для сравнения построены угловые распределения компонент тензоров напряжений и скоростей деформаций ползучести в материале со степенным законом для различных значений показателя нелинейности материала. Аналитическое и численное решения совпадают, что подтверждает достоверность результатов. Полученное решение позволяет пролить свет на поле деформаций у устья трещины в идеально пластическом материале, поскольку условие наступления предельного состояния аналогично условию наступления пластического течения Мизеса. Построенные графики распределений компонент (0) тензора напряжений ясно показывают, что радиальное напряжение σrr (θ) p вблизи θ = -π для M 0.4 претерпевает резкие изменения, которые следует учитывать при построении численного решения соответствующей задачи для степенного закона теории ползучести в условиях смешанного нагружения.

About the authors

Larisa V Stepanova

Samara State University

Email: lst@ssu.samara.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Professor, Dept. of Mathematical Modelling in Mechanics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation

Ekaterina M Adylina

Samara State University

Email: kateadulina@mail.ru
Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Modelling in Mechanics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation

References

Supplementary files