On the determination of the unknown coefficients of the highest derivatives in a linear elliptic equation

Full Text

Введение. Обратные задачи по определению коэффициентов дифференциальных уравнений с частными производными представляют интерес во многих прикладных исследованиях [1, 2]. Эти задачи приводят к необходимости приближенного решения обратных задач математической физики, которые некорректны в классическом смысле. К ним относятся задачи идентификации неизвестных плотностей источников и коэффициентов уравнения. Большое значение имеют коэффициентные задачи для эллиптических уравнений, в которых неизвестные коэффициенты не зависят от одной переменной. Такие модели характерны для задач теории фильтрации. В частности, определение теплофизических характеристик сред в стационарном случае приводит к обратным задачам для эллиптических уравнений [3-9]. Отметим также цикл работ [10-22], посвященный теоретическому и численному исследованию обратных задач для линейных и нелинейных уравнений эллиптического типа. Исследование таких задач вызвано как теоретическим интересом, так и практической необходимостью. Целью данной работы является доказательство единственности и существования решений обратной краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка с дополнительным условием. © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования: А л и е в Р. А. Об определении неизвестных коэффициентов при старших производных в линейном эллиптическом уравнении // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 3 (36). С. 31-43. doi: 10.14498/vsgtu1332. 31 А л и е в Р. А. 1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу определения функций {a1 (x2 ), a2 (x2 ), u(x1 , x2 )} из следующих условий: -a1 (x2 )ux1 x1 - a2 (x2 )ux2 x2 + c(x2 )u = h(x1 , x2 ), u(0, x2 ) = φ1 (x2 ), u(l1 , x2 ) = φ2 (x2 ), 0 u(x1 ,0) = ϕ1 (x1 ), u(x1 , l2 ) = ϕ2 (x1 ), 0 a1 (x2 )ux1 (0, x2 ) = g1 (x2 ), 0 x2 a2 (x2 )ux1 (l1 , x2 ) = g2 (x2 ), 0 x1 (x1 , x2 ) ∈ D; x2 l2 ; x1 l 1 ; l2 ; l2 , (1) (2) (3) (4) (5) причём ϕ1 (0) = φ1 (0), ϕ2 (l1 ) = φ2 (l2 ), ϕ1 (l1 ) = φ2 (0), ϕ2 (0) = φ1 (l2 ). Здесь D = {(x1 , x2 ) | 0 < x1 < l1 , 0 < x2 < l2 }; c(x2 ) ∈ C α [0, l2 ], h(x1 , x2 ), hx1 x1 (x1 , x2 ) ∈ C α (D), gi (x2 ) ∈ C α [0, l2 ], φi (x2 ) ∈ C 2+α (0, l2 ) ∩ C[0, l2 ], ϕi (x1 ) ∈ C 2+α (0, l1 ) ∩ C[0, l1 ] - заданные функции; i = 1, 2; 0 < α < 1. Определение 1. Функции {a1 (x2 ), a2 (x2 ), u(x1 , x2 )} назовём решением за¯ дачи (1)-(5), если u(x1 , x2 ) ∈ C 2 (D) ∩ C(D), 0 < ai (x2 ) ∈ C[0, l2 ], i = 1, 2, и удовлетворяются соотношения (1)-(5). Нетрудно проверить, что если решение задачи (1)-(5) существует, то при принятых предположениях о гладкости данных в задаче ai (x2 ) ∈ C α [0, l2 ], i = 1, 2, u(x1 , x2 ) ∈ C 2+α (D). Действительно, при принятых предположениях 2 из общей теории эллиптических уравнений следует, что u(x1 , x2 ) ∈ Wp (D) ⊂ 1+α (D) при p > 2 [23, c. 283]. Поэтому из дополнительных условий (4) и (5) ¯ C следует, что ai (x2 ) ∈ C α [0, l2 ], i = 1, 2. Поэтому u(x1 , x2 ) ∈ C 2+α (D). 2. Единственность и устойчивость решения. Пусть кроме задачи (1)-(5) задана еще задача (¯ ¯ где все функции, входящие в (1)-(5), заменены 1)-(5), соответствующими функциями с чертой. Положим Z(x1 , x2 ) = u(x1 , x2 ) - u(x1 , x2 ), ¯ λi (x2 ) = ai (x2 ) - ai (x2 ), ¯ ¯ δ1 (x2 ) = c(x2 ) - c(x2 ), δ2 (x1 , x2 ) = h(x1 , x2 ) - h(x1 , x2 ), ¯ ¯ δi+2 (x2 ) = φi (x2 ) - φi (x2 ), δi+4 (x1 ) = ϕi (x1 ) - ϕi (x1 ), ¯ δi+6 (x2 ) = gi (x2 ) - gi (x2 ), ¯ i = 1, 2. ˜ Через δ2 (x1 , x2 ) обозначим функцию на границе, совпадающую соответ¯ ственно с δi+2 (x2 ), δi+4 (x1 ), i = 1, 2, и принадлежащую C 2+α (D). Лемма 1. Пусть решения задачи (1)-(5) существуют. Тогда верны следующие оценки: |u(x1 , x2 )| |ux1 x1 (x1 , x2 )| max max D h(x1 , x2 ) , max max |ϕi (x1 )|, max max |φi (x2 )| , x1 x2 i i c(x2 ) max max D hx1 x1 (x1 , x2 ) , max max |ϕix1 x1 (x1 )|, x1 i c(x2 ) max |θ10 (0, x2 )|, max |θ20 (l1 , x2 )| , x2 32 x2 Об определении неизвестных коэффициентов . . . |ux2 x2 (x1 , x2 )| max max D 1 |a1 (x2 )ux1 x1 + c1 (x2 )u(x1 , x2 ) - h(x1 , x2 )|, a2 (x2 ) max max |φix1 x1 |, max |θ11 (x1 ,0)|, max |θ21 (x1 , l2 )| ; i x1 x1 x1 здесь θik (x1 , x2 ) = 1 (1 - k) -a2 (x2 )φix2 x2 (x2 ) + c(x2 )φi (x2 ) + ak+1 (x2 ) + k -a1 (x2 )ϕix1 x1 (x1 ) + c(x2 )ϕi (x1 ) - h(x1 , x2 ) , i = 1, 2, k = 0, 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое неравенство получается из принципа максимума. Уравнение (1) продифференцируем дважды по x1 , учитывая условия (3) и обозначая υ(x1 , x2 ) = ux1 x1 , получим -a1 (x2 )υx1 x1 - a2 (x2 )υx2 x2 + c(x2 )u = hx1 x1 (x1 , x2 ), (x1 , x2 ) ∈ D; υ(0, x2 ) = θ10 (0, x2 ), υ(l1 , x2 ) = θ20 (l1 , x2 ), 0 x2 l2 ; υ(x1 ,0) = ϕ1x1 x1 (x1 ), u(x1 , l2 ) = ϕ2x1 x1 (x1 ), 0 x1 l1 . Используя принцип максимума, получим вторую оценку. Последнее неравенство получается из уравнения. Лемма 1 доказана. Единственность решения обратной задачи (1)-(5) в предположении его существования устанавливает следующая теорема. Теорема 1. Пусть g1 (x2 ) = 0, g2 (x2 ) = 0, N mes D < 1. Тогда решение задачи (1)-(5) единственно и верна следующая оценка: 2 ai (x2 ) - ai (x2 ) ¯ C[0,l2 ] + u-u ¯ C(D) N1 c(x2 ) - c(x2 ) ¯ C[0,l2 ] + i=1 2 ¯ + h(x1 , x2 ) - h(x1 , x2 ) C(D) ¯ φi (x2 ) - φi (x2 ) + C 2 [0,l2 ] + i=1 2 + ϕi (x1 ) - ϕi (x1 ) ¯ C 2 [0,l1 ] gi (x2 ) - gi (x2 ) ¯ + C[0,l2 ] , (6) i=1 где N, N1 - положительные постоянные, зависящие от данных и решения задачи. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (¯ ¯ соответственно вычтем (1)-(5) и поло1)-(5) ˜2 (x1 , x2 ). Тогда получим жим Z1 (x1 , x2 ) = Z(x1 , x2 ) - δ - a1 (x2 )Z1x1 x1 - a2 (x2 )Z1x2 x2 = ¯ ¯ 2 ˜ = δ9 (x1 , x2 ) - c(x2 )δ2 (x1 , x2 ) - c(x2 )Z1 + ¯ ¯ αi (x1 , x2 )λi (x2 ); (7) i=1 33 А л и е в Р. А. Z1 (0, x2 ) = 0, Z1 (l1 , x2 ) = 0; Z1 (x1 ,0) = 0, Z1 (x1 , l2 ) = 0; λi (x2 ) = δi+9 (x2 ) + γi (x2 )Z1x1 [(i - 1)l1 , x2 ], i = 1, 2. (8) (9) (10) Здесь 2 ˜ ai (x2 )δ2xi xi (x1 , x2 ), ¯ δ9 (x1 , x2 ) = -δ1 (x2 )u + δ2 (x1 , x2 ) + αi (x1 , x2 ) = uxi xi , i=1 γi (x2 ) = ai (x2 ){-ux1 [(i - 1)l1 , x2 ]}-1 , ¯ ˜ δi+9 (x2 ) = γi (x2 ) [-¯i (x2 )]-1 δi+6 (x2 ) + δ2x1 [(i - 1)l1 , x2 ] , a i = 1, 2. Обозначим Lik (xj ) = k(j-1) (2 xj i - i)lj - (-1)i+1 (1/2)k(j-1) xj , lj (3-2i)(j-1) (i-1)(j-1) xj , Xj = xj+(-1)j+1 , k k)δ6-k [(i - 1)l1 ] + [(-1) (1 - j) + 1 - k]δ(i+2)x2 (kl2 ), Pi (xj ) = (-1)(j+1)i lj tijk = (1 - j + i, j = 1, 2, k = 0, 1. ˜ Функция δ2 (x1 , x2 ) определяется следующим образом: 2 2 ˜ δ2 (x1 , x2 ) = Li0 (xj ) δi+2j (Xj ) + (1 - j)Li0 (x1 )δi+2j (0) + i=1 j=1 + (-1)i+1 x1 x1 x2 δ4 [(i - 1)l2 ] - δ4 (0). l1 l2 l1 При помощи функции Грина [24] из (7)-(9) определим функцию Z1 (x1 , x2 ) через правую часть равенства и это выражение подставим в условие (10). Тогда получим ˜ Z(x1 , x2 ) = δ2 (x1 , x2 ) + G(x1 , x2 , ξ1 , ξ2 ) δ9 (ξ1 , ξ2 ) - c(ξ2 )Z(ξ1 , ξ2 )+ ¯ D 2 + αi (ξ1 , ξ2 )λi (ξ2 ) dξ1 dξ2 , i=1 (11) Gx1 [(i - 1)l1 , x2 , ξ1 , ξ2 ] δ9 (ξ1 , ξ2 )- λi (x2 ) = δi+9 (x2 ) + γi (x2 ) D 2 -¯(ξ2 )Z(ξ1 , ξ2 ) + c αi (ξ1 , ξ2 )λi (ξ2 ) dξ1 dξ2 , i = 1, 2. i=1 Функция Грина имеет следующие оценки [24]: |G(x1 , x2 , ξ1 , ξ2 )| 34 M1 ln 1 (x1 - ξ1 )2 + (x2 - ξ2 )2 , Об определении неизвестных коэффициентов . . . M2 [(x1 - ξ1 )2 + (x2 - ξ1 )2 ]-1/2 , |Gx1 (x1 , x2 , ξ1 , ξ2 )| Mi > 0, i = 1, 2. При достаточно малой мере D для указанных интегралов в (11) существуют оценки Ni [mes D]1/2 , Ni > 0, i = 2, 3, 4. Теперь в системе (11) положим 2 χ = max |Z(x1 , x2 )| + x1 ,x2 max |λi (x2 )|. i=1 x2 Из системы (11) получим χ δ1 (x2 ) N5 C[0,l2 ] + δ1 (x1 , x2 ) C(D) ˜ + δ2 (x1 , x2 ) ¯ + C 2 (D) 3 + δi+6 (x2 ) + χN6 [mes D]1/2 , C[0,l2 ] i=1 2 где N5 , N6 - некоторые положительные числа. Обозначим N = N6 . По усло1/2 < 1. Отсюда получим, что вию теоремы N mes D < 1, поэтому N6 [mesD] ¯ при (x1 , x2 ) ∈ D верна оценка устойчивости (6). Единственность решения задачи следует из оценки (6). Теорема 1 доказана. 3. Метод последовательных приближений. Метод последовательных приближений для решения задачи (1)-(5) применяется по следующей схеме: (s) (s) -a1 (x2 )u(s+1) - a2 (x2 )u(s+1) + c(x2 )u(s+1) =h(x1 , x2 ), (x1 , x2 ) ∈ D; (12) x1 x1 x2 x2 u(s+1) (0, x2 ) = φ1 (x2 ), (s+1) u (x1 ,0) = ϕ1 (x1 ), (s+1) a1 (s+1) a2 u(s+1) (l1 , x2 ) = φ2 (x2 ), (s+1) u (x1 , l2 ) = ϕ2 (x1 ), 0 x2 l2 ; (13) 0 x1 l1 ; (14) (x2 )u(s+1) (0, x2 ) = g1 (x2 ), x1 0 x2 l2 ; (15) (x2 )u(s+1) (l1 , x2 ) = g2 (x2 ), x1 0 x2 l2 . (16) По схеме (12)-(16) последовательные итерации проводятся следующим (0) образом. Сперва выбираются некоторые ai (x2 ) > 0, i = 1, 2, принадлежащие C α [0, l2 ], и подставляются в уравнение (12). Далее решается задача (12)-(14) (1) (1) и находится u1 (x1 , x2 ). По функциям ux1 (0, x2 ), ux1 (l1 , x2 ) из условий (15)- (1) (1) (16) находятся a1 (x2 ), a2 (x2 ) и эти функции используются для проведения следующего шага итерации. Теорема 2. Пусть решение задачи (1)-(5) существует и при всех s = 0, 1 (s) (s) и т.д. u(s) (x1 , x2 ) ∈ C 2 (D), ai (x2 ) ∈ C α [0, l2 ], i = 1, 2, g1 (x2 )ux1 (0, x2 ) > 0, (s) g2 (x2 )ux1 (l1 , x2 ) > 0, N mes D < 1, а производные u(s) (x1 , x2 ) по x1 , x2 до (s) (s) второго порядка равномерно ограничены. Тогда функции {a1 (x2 ), a2 (x2 ), u(s) (x1 , x2 )}, полученные методом последовательных приближений (12)-(16), при s → +∞ равномерно сходятся к решению задачи (1)-(5) со скоростью геометрической прогрессии. N - положительная постоянная, зависящая от данных задачи. 35 А л и е в Р. А. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим (s) (s) Z (s) (x1 , x2 ) = u(x1 , x2 ) - u(s) (x1 , x2 ), λi (x2 ) = ai (x2 ) - ai (x2 ), i = 1, 2. Легко проверить, что эти функции удовлетворяют системе 2 (s) (s+1) (s+1) -a1 (x2 )Zx1 x1 - a2 (x2 )Zx2 x2 + c(x2 )Z (s+1) = (s) αi (x1 , x2 )λi (x2 ); (17) i=1 Z (s+1) (0, x2 ) = 0, (s+1) (s) (18) Z (s+1) (x1 ,0) = 0, λi Z (s+1) (l1 , x2 ) = 0, Z (s+1) (x1 , l2 ) = 0, (19) (s) (s+1) (x2 ) = γi (x2 )Zx1 [(i - 1)l1 , x2 ], (s+1) (s) i = 1, 2, (20) (s+1) где αi0 (x1 , x2 ) = uxi xi , γi (x2 ) = ai (x2 ){-ux1 [(i - 1)l1 , x2 ]}-1 , i = 1, 2. С помощью функции Грина из (17)-(19) определим Z (s+1) (x1 , x2 ) через правую часть равенства (17) и подставим это выражение в условия (20). Тогда получим (s+1) λi (s) (x2 ) = γi (x2 ) Gx1 (i - 1)l1 , x2 , ξ1 , ξ2 × D 2 (s) × (s) αi (ξ1 , ξ2 )λi (ξ2 )dξ1 dξ2 , i = 1, 2. (21) i=1 Положим 2 (s) χ (s) max λi (x2 ) . = i=1 x2 Аналогично из системы (21) следует, что χ(s+1) χ(s) N6 [mes D]1/2 . Таким образом, теорема 2 доказана. 4. Существование решения. Пусть m(x2 ) ∈ C 2 [0, l2 ], m(x2 ) > 0, m (0) > 0, m (l2 ) < 0, m (x2 ) 0. Введём следующие обозначения: 3 η(x1 ) = µ-1 (x1 - l1 )2 , βi+2n = m(n) (il2 - l2 ), 2 0 -1 ξin (x1 ) = η(x1 )ϕi (l1 ) + βi+2n l1 (l1 - x1 ), pi (xi ) = (2 - i)ξ10 (x1 ) + (i - 1)ξ21 (x1 ), -1 M1 = max l1 [φ1 (x2 ) - φ2 (x2 )], x2 M = max Mk , k=2,3 Mi+1 = max[M1 , max |ϕix1 (x1 )|], x1 i, j = 1, 2, n = 0, 1. Лемма 2. Пусть задача -a1 (x2 )ux1 x1 - a2 (x2 )ux2 x2 + u = 0, (x1 , x2 ) ∈ D; u(0, x2 ) = φ1 (x2 ), u(l1 , x2 ) = φ2 (x2 ), 0 x2 l2 ; 36 Об определении неизвестных коэффициентов . . . u(x1 ,0) = ϕ1 (x1 ), u(x1 , l2 ) = ϕ2 (x1 ), 0 x1 l1 , удовлетворяющая условиям ϕ1 (0) = φ1 (0), ϕ1 (l1 ) = φ2 (0), ϕ2 (l1 ) = φ2 (l2 ), φ1 (l2 ) = ϕ2 (0), при заданных a1 (x2 ), a2 (x2 ) µ0 > 0 имеет решение, которое принадлежит классу C 2 (D) ∩ C(D), и выполняются условия 0 < l1 < 1, µ-1 l1 < 1, 0 1 φ2 (x2 ) 2 m(x2 ) 1 -1 M - l1 m(x2 ) , 3 1 ϕi (l1 ) 2 1 -1 M - βi l1 , 3 m(x2 ) + η(0)φ2 (x2 ) φ1 (x2 ) - φ2 (x2 ) βi -1 x1 l1 βi ξi0 (x1 ) ϕi (0) - ϕi (x1 ) ϕi (x1 ) - ϕi (l1 ) φix2 x2 (x2 ) = 0, тогда M l1 , M x1 , M (l1 - x1 ), i = 1, 2, -M - φi (x2 )(2µ0 )-1 l1 ux1 (il1 - l1 , x2 ) i = 1, 2, 0 < x2 < l2 . -1 -m(x2 )l1 , (22) Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим -1 υi (x1 , x2 ) = u(x1 , x2 ) + m(x2 )l1 (x1 - il1 + l1 ) - φi (x2 ) - (i - 1)η(x1 )φi (x2 ), Vi (x1 , x2 ) = -u(x1 , x2 ) + φi (x2 ) - M (x1 - il1 + l1 )+ + (-1)i (2µ0 )-1 x1 (l1 - x1 )φi (x2 ), i = 1,2. Нетрудно проверить, что υ1 (x1 , x2 ) удовлетворяет условиям задачи -a1 (x2 )υ1x1 x1 - a2 (x2 )υ1x2 x2 + υ1 = υ1 (0, x2 ) = 0, -1 -1 = -φ1 (x2 ) + m(x2 )x1 l1 - a2 (x2 )m (x2 )x1 l1 , υ1 (l1 , x2 ) = -φ1 (x2 ) + m(x2 ) + φ2 (x2 ), -1 υ1 (x1 , 0) = ϕ1 (x1 ) - ϕ1 (0) + m(0)x1 l1 , -1 υ1 (x1 , l2 ) = ϕ2 (x1 ) - ϕ2 (0) + m(l2 )x1 l1 . Поэтому, по условию леммы, наибольшее положительное значение функции υ1 (x1 , x2 ) достигается при x1 = 0. Тогда υ1x1 (0, x2 ) 0, другими словами, ux1 (0, x2 ) -1 -m(x2 )l1 . (23) 37 А л и е в Р. А. Аналогично прежнему, подставляя V1 (x1 , x2 ) и учитывая условия леммы, получаем, что наибольшее положительное значение функции V1 (x1 , x2 ) достигается при x1 = 0. Поэтому V1x1 (0, x2 ) 0 или -M - φ1 (x2 )(2µ0 )-1 l1 ux1 (0, x2 ). (24) Объединяя оценки (23) и (24), получим оценку (22) при i = 1. Аналогично прежнему получим оценку (22) при i = 2. Лемма 2 доказана. Теорема 3. Пусть φi (x2 ) ∈ C 2+α (0, l2 ) ∩ C[0, l2 ], µ-1 l1 < 1, 0 0 < l1 < 1, m(x2 ) -1 x1 l1 βi ϕi (x1 ) ∈ C 2+α (0, l1 ) ∩ C[0, l1 ], c(x2 ) = 1, h(x1 , x2 ) = 0, 1 1 1 1 -1 -1 φ2 (x2 ) M - l1 m(x2 ) , βi ϕi (l1 ) M - βi l1 , 2 3 2 3 m(x2 ) + η(0)φ2 (x2 ) φ1 (x2 ) - φ2 (x2 ) M l1 , ϕi (0) - ϕi (x1 ) M x1 , gi (x2 ) < 0, g0 ϕix1 (jl1 - l1 ) < 0, ξi0 (x1 ) ϕi (x1 ) - ϕi (l1 ) M (l1 - x1 ), 1 -gi (x2 ) - φi (x2 )l1 , 2 φix2 x2 (x2 ) = 0, i, j = 1, 2; m(x2 ) - неотрицательная функция такая, что gi (x2 )[m(x2 )]-1 , i = 1, 2, ограниченны; g0 - положительное число. Тогда задача (1)-(5) имеет хотя бы одно решение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Нетрудно видеть, что aj (il2 - l2 ) = gj (il2 - l2 )[ϕix1 (jl1 - l1 )]-1 , i, j = 1, 2. Доказательство проводится методом последовательных приближений. Из утверждения леммы 2 следует, что -M 1 + φ1 (x2 )(2g0 )-1 l1 u(s+1) (il1 - l1 , x2 ) x1 -1 -m(x2 ) · l1 , i = 1, 2, 0 < x2 < l2 , тогда g0 M -1 (s+1) ai (x2 ) max [-gi (x2 )] · [m(x2 )]-1 · l1 , i = 1, 2, 0 < x2 < l2 . x2 (s) (s) (s) (s) Таким образом, при всех приближениях a1 (x2 ), a2 (x2 ) - строго положительные, непрерывные и равномерно ограниченные функции. Тогда из общей теории эллиптических уравнений следует, что при условиях теоремы 2 последовательность {u(s) (x1 , x2 )} равномерно ограничена по норме Wp (D) (s) (x , x )} компактна в C 1 (D). При этом из условий (15), ∀p > 2. Поэтому {u 1 2 (s) (s) (16) следует, что {a1 (x2 ), a2 (x2 )} будет компактна в C[0, l2 ]. Отсюда и из (12)-(14) вытекает компактность {u(s) (x1 , x2 )} в C 2 (D). В системе (4)-(16), переходя к пределу при s → +∞, получим, что существует пара функции 38 Об определении неизвестных коэффициентов . . . {a1 (x2 ), a2 (x2 ), u(x1 , x2 )}, удовлетворяющая условиям (1)-(5). Теорема 3 доказана. Вместо условия (3) можно выбрать одно из следующих условий: ux2 (x1 ,0) = ϕ1 (x1 ), ux2 (x1 , l2 ) = ϕ2 (x1 ), 0 x1 l1 ; ux2 (x1 ,0) = ϕ1 (x1 ), u(x1 , l2 ) = ϕ2 (x1 ), 0 x1 l1 ; u(x1 ,0) = ϕ1 (x1 ), ux2 (x1 , l2 ) = ϕ2 (x1 ), 0 x2 l1 . (25) (26) (27) ˜ Для таких задач δ2 (x1 , x2 ) определяются соответственно в следующем виде: 2 ˜ δ2 (x1 , x2 ) = Li1 (xj )δi+2j (Xj )+ i,j=1 +(-1)j+1 x2 x2 + j - 2 Li1 (x1 )δ(i+2)x (j - 1)l2 , 2 2l2 2 j-1 2-j Pi (xj )Li0 (xj )δi+2j (Xj ) + l2 tij0 Li0 (x1 )[Lj0 (x2 )]2 ˜ δ2 (x1 , x2 ) = i,j=1 2 (i-1)(j-1) ˜ δ2 (x1 , x2 ) = lj Li0 (xj ) 2(2-i)(j-1) , δi+2j (Xj )- i,j=1 j-1 -l2 tij1 Li0 (x1 ) Lj0 (x2 ) . Аналогично теореме 3 можно доказать следующие теоремы существования для соответствующих задач. Теорема 4. Пусть φi (x2 ) ∈ C 1+α (0, l2 ) ∩ C[0, l2 ], 0 < l1 < 1, µ-1 l1 < 1, 0 c(x2 ) = 1, ϕi (x1 ) ∈ C 2+α (0, l1 ) ∩ C[0, l1 ], h(x1 , x2 ) = 0, ϕ1 (0) 0, ϕ2 (0) 0, 1 -1 [M - l1 m(x2 )], 3 2 2 -1 -1 - βi+2 l1 (2 - i) ϕi (l1 ) - βi+2 l1 (i - 1), 3 3 η(0)φ2 (x2 ) + m(x2 ) φ1 (x2 ) - φ2 (x2 ) M1 l1 , m(x2 ) 1 φ2 (x2 ) 2 -1 x1 l1 βi+2 (2i - 3) (i - 1)ξi1 (x1 ) ϕi (2x1 - ix1 ) - ϕi (ix1 - x1 ) ϕi (x1 ) - ϕi (l1 ) 0, (2 - i)ξi1 (x1 ), 1 -gi (x2 ) - φi (x2 )l1 , φix2 x2 (x2 ) = 0, i = 1, 2; 2 m(x2 ) - неотрицательная функция такая, что gi (x2 )[m(x2 )]-1 , i = 1, 2, ограниченны; g0 - положительное число. Тогда задача (1)-(2), (4)-(5) и (25) имеет хотя бы одно решение. gi (x2 ) < 0, g0 Теорема 5. Пусть φi (x2 ) ∈ C 2+α (0, l2 ) ∩ C[0, l2 ], ϕ1 (x1 ) ∈ C 1+α (0, l1 ) ∩ C[0, l1 ], 39 А л и е в Р. А. ϕ2 (x1 ) ∈ C 2+α (0, l1 ) ∩ C[0, l1 ], c(x2 ) = 1, h(x1 , x2 ) = 0, 0 < l1 < 1, c(x2 ) = 1, ϕ1 (0) µ-1 l1 < 1, 0 0, ϕ2 (0) 0, 1 φ2 (x2 ) 2 1 -1 [M3 - l1 m(x2 )], 3 2 2 -1 -1 - βi+2 l1 (2 - i) ϕi (l1 ) - βi M3 - l1 βi (i - 1), 3 3 η(0)φ2 (x2 ) + m(x2 ) φ1 (x2 ) - φ2 (x2 ) M3 l1 , m(x2 ) -1 (-1)i β(i+2)/i x1 l1 ξi0 (x1 )(i - 1) ϕi (2x1 - ix1 ) - ϕi (ix1 - x1 ) ϕi (x1 ) - ϕi (l1 ) gi (x2 ) < 0, g0 M3 x1 (i - 1), ξi1 (x1 )(2 - i) + M3 (l1 - x1 )(i - 1), 1 -gi (x2 ) - φi (x2 )l1 , ϕ2x1 (il1 - l1 ) < 0, 2 φix2 x2 (x2 ) = 0, i = 1, 2; m(x2 ) - неотрицательная функция такая, что gi (x2 )[m(x2 )]-1 , i = 1, 2, ограниченны; g0 - положительное число. Тогда задача (1)-(2), (4)-(5) и (26) имеет хотя бы одно решение. Теорема 6. Пусть φi (x2 ) ∈ C 2+α (0, l2 ) ∩ C[0, l2 ], ϕ1 (x1 ) ∈ C 2+α (0, l1 ) ∩ C[0, l1 ], ϕ2 (x1 ) ∈ C 1+α (0, l1 ) ∩ C[0, l1 ], c(x2 ) = 1, h(x1 , x2 ) = 0, 0 -1 x1 l1 βi2 gi (x1 ) < 0, g0 2 -1 [-βi2 l1 + M2 (2 - i)], 3 M2 (l1 - x1 )(2 - i), ϕi (0) - ϕi (x1 ) η(0)φ2 (x2 ) + m(x1 ) µ-1 l1 < 1, 0 ϕi (l1 ) ϕi (x1 ) - ϕi (l1 ) pi (x1 ) 0 < l1 < 1, (2 - i)M2 x1 , φ1 (x2 ) - φ2 (x2 ) M2 l1 , 1 -gi (x2 ) - φi (x2 )l1 , ϕ1x1 (il1 - l1 ) < 0, 2 φix2 x2 (x2 ) = 0, i = 1, 2; m(x2 ) - неотрицательная функция такая, что gi (x1 )[m(x2 )]-1 , i = 1, 2, ограниченны; g0 - положительные числа. Тогда задача (1)-(2), (4)-(5) и (27) имеет хотя бы одно решение.

About the authors

Ramiz A Aliyev

Azerbaijan University of Cooperation

Email: ramizaliyev3@rambler.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; ramizaliyev3@rambler.ru), Associate Professor, Dept. of Informatics 8v, Narimanova str., Baku, AZ 1106, Azerbaijan

References

Supplementary files