On the solvability of boundary value problem for mixed-type equation with a singular coefficient

Full Text

1. Введение и постановка задачи. Пусть D = D+ ∪ D- ∪ I - область комплексной плоскости z = x + iy, где D+ - полуплоскость y > 0, D- - конечная область полуплоскости y < 0, ограниченная характеристиками AC и BC уравнения β0 (1) (sign y)|y|m uxx + uyy + uy = 0, y исходящими из точек A(-1, 0), B(1, 0), и отрезком AB прямой y = 0; I = = {(x, y) : -1 < x < 1, y = 0}. В уравнении (1) предполагается, что m, β0 - некоторые действительные числа, удовлетворяющие условиям m > 0, -m/2 < β0 < 1. + Пусть DR - конечная область, отсекаемая от области D+ дугой нормальной кривой x2 +4y m+2 /(m+2)2 = R2 , -R x R, 0 y ((m + 2)R/2)2/(m+2) , AR (-R, 0), BR (R, 0). Введём обозначения: I1 = {(x, y) : -∞ < x < -1, y = 0}, I2 = {(x, y) : 1 < x < ∞, y = 0}, C0 (C1 ) - точки пересечения характеристики AC (BC) с характеристикой, исходящей из точки E(c, 0), где c ∈ I - произвольное фиксированное число, + DR = DR ∪ D- , DR - подобласть неограниченной области D. © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования: Р у з и е в М. Х. О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 3 (36). С. 44-56. doi: 10.14498/vsgtu1321. 44 О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа . . . Пусть p(x) ∈ C 1 [-1, c] - диффеоморфизм, переводящий отрезок [-1, c] в отрезок [c, 1], причём p (x) < 0, p(-1) = 1, p(c) = c. В качестве примера такой функции приведем линейную функцию p(x) = δ - kx, где k = (1 - c)/(1 + c), δ = 2c/(1 + c), δ + k = 1, δ - kc = c. Краевая задача со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области, эллиптическая часть которой - верхняя полуплоскость, исследована в работе [1]. Изучению краевой задачи в бесконечной полуполосе для обобщённого двуосесимметрического уравнения Гельмгольца посвящена работа [2]. Краевая задача для уравнения (1) в смешанной области, эллиптическая часть которой - полуполоса, решена в работе [3]. Отметим, что в задаче Геллерстедта [4] значение искомой функции в гиперболической части смешанной области D задается на характеристиках EC0 и EC1 : u EC0 = ψ1 (x), u EC1 = ψ2 (x). В данной работе решается задача, где характеристика EC1 освобождена от краевого условия, и это недостающее условие Геллерстедта заменено внутренне краевым условием локального смещения на отрезке AB линии вырождения y = 0. Задача Γ. Требуется найти в области D функцию u(x, y), удовлетворяющую следующим условиям: ¯ 1) функция u(x, y) непрерывна в любой подобласти DR неограниченной области D; 2) u(x, y) принадлежит пространству C 2 (D+ ) и удовлетворяет уравнению (1) в этой области; 3) u(x, y) является обобщенным решением класса R1 [5] в области D- ; 4) выполняются равенства lim u(x, y) = 0, R→∞ y 0, R2 = x2 + 4(m + 2)-2 y m+2 ; (2) 5) u(x, y) удовлетворяет краевым условиям: u(x, y)|y=0 = τi (x), ¯ ∀x ∈ Ii u(x, y)|EC0 = ψ(x), (c - 1)/2 u(p(x), 0) = µu(x, 0) + f (x), i = 1, 2, -1 x (3) c, x (4) c (5) x ∈ I\{c}, (6) и условию сопряжения lim y β0 uy = lim (-y)β0 uy , y→+0 y→-0 причём эти пределы при x = ±1, x = c могут иметь особенности порядка ниже 1 - 2β, где β = (m + 2β0 )/(2(m + 2)), f (x), ψ(x), τi (x), i = 1, 2 - заданные функции, причём f (x) ∈ C[-1, c] ∩ C (1,α0 ) (-1, c), f (c) = 0, f (-1) = 0, ψ(x) ∈ C[(c - 1)/2, c] ∩ C (1,δ0 ) ((c - 1)/2, c), ψ(c) = 0, µ - const, функции τi (x) в окрестности точек x = -1, x = 1 представимы в виде τi (x) = (1 - x2 )˜i (x) и они удовлетворяют условию τ Гельдера на любых интервалах (-N, -1), (1, N ), N > 1 и для достаточно больших |x| удовлетворяют неравенству |τi (x)| M |x|-δ , где δ, M - положительные постоянные. 45 Р у з и е в М. Х. Отметим, что условие (5) является внутренне краевым условием локального смещения на отрезке линии параболического вырождения [6-8]. 2. Единственность решения задачи Γ. Теорема 1. Пусть выполнены условия τi (x) ≡ 0, i = 1, 2, ψ(x) ≡ 0, f (x) ≡ 0, 0 < µ < 1. Тогда задача Γ имеет лишь тривиальное решение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Решение видоизмененной задачи Коши для уравнения (1) в области D- , удовлетворяющее начальным данным lim u(x, y) = τ (x), y→-0 ¯ x ∈ I; lim (-y)β0 uy = ν(x), y→-0 x ∈ I, даётся формулой Дарбу [9, с. 34]: 1 u(x, y) = γ1 τ x+ -1 2t (-y)(m+2)/2 (1 + t)β-1 (1 - t)β-1 dt+ m+2 1 + γ2 (-y)1-β0 ν x+ -1 2t (-y)(m+2)/2 (1 + t)-β (1 - t)-β dt, (7) m+2 где γ1 = Γ(2β)21-2β /Γ2 (β), γ2 = -Γ(2 - 2β)22β-1 /(1 - β0 )Γ2 (1 - β), Γ(z) - гамма-функция [4]. В силу формулы (7) из краевого условия (4) после несложных вычислений получим 1-2β (8) ν(X) = γDX,c τ (X) + Ψ(X), X ∈ (-1, c), где Ψ(X) = 1-β (c - X)β DX,c ψ((X + c)/2) γ2 (m + 2)/2)1-2β Γ(1 - β) γ= , X = 2x - c, 2Γ(1 - β)Γ(2β)((m + 2)/4)2β , Γ(β)Γ(1 - 2β) l DX,c - оператор дробного дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля [5]. Равенство (8) является первым функциональным соотношением между неизвестными функциями τ (x) и ν(x), принесённым на интервал (-1, c) оси y = 0 из гиперболической части D- смешанной области D. Теперь докажем, что если τi (x) ≡ 0, i = 1, 2, ψ(x) ≡ 0, f (x) ≡ 0, 0 < µ < 1, ¯ то решение задачи Γ в области D+ ∪ I1 ∪ I ∪ I2 в силу (2) тождественно равно нулю. Пусть (x0 , y0 ) - точка положительного максимума функции u(x, y) в об¯+ ласти DR . В силу (2) ∀ε > 0 существует такое R0 = R0 (ε), что при R > R0 (ε) |u(x, y)| < ε, 46 (x, y) ∈ AR BR . (9) О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа . . . ¯ В силу обозначения u(x, 0) = τ (x), x ∈ I условие (5) перепишем в виде τ (p(x)) = µτ (x) + f (x), x ∈ [-1, c]. (10) Отсюда при x = c, (где f (x) ≡ 0), имеем τ (p(c)) = µτ (c). Тогда в силу равенства p(c) = c следует, что τ (c)(1 - µ) = 0, т. е. τ (c) = 0. В силу принципа Хопфа [10, с. 25] функция u(x, y) своего положительного максимума и отри¯+ цательного минимума во внутренних точках области DR не достигает. В силу 0 < µ < 1 из (10) (где f (x) ≡ 0) следует, что их также нет и в интервале (c, 1) оси y = 0. Допустим, что искомая функция своего положительного максимума и отрицательного минимума достигает в точках интервала (-1, c) оси y = 0. Пусть (x0 , 0) (где x0 ∈ (-1, c)) - точка положительного максимума (отрицательного минимума) функции u(x, 0) = τ (x). Тогда в этой точке в случае положительного максимума (отрицательного минимума) [9, c. 74] ν(x0 ) < 0 (ν(x0 ) > 0). (11) Хорошо известно, что в точке положительного максимума (отрицательного минимума) функции τ (x) для операторов дробного дифференцирования 1-2β 1-2β имеет место неравенство Dx0 ,c τ (x) > 0 (Dx0 ,c τ (x) < 0). Тогда в силу (8) (где Ψ(x) ≡ 0) 1-2β 1-2β ν(x0 ) = γDx0 ,c τ (x) > 0 (ν(x0 ) = γDx0 ,c < 0). (12) Неравенства (11) и (12) противоречат условию сопряжения (6), отсюда следует, что x0 ∈ (-1, c). / Следовательно, точки положительного максимума (отрицательного минимума) функции u(x, y) нет на интервале AB. Пусть R > R0 . Из принципа Хопфа и предыдущих рассуждений получаем, что (x0 , y0 ) ∈ AR BR и в си¯+ лу (9) - |u(x0 , y0 )| < ε. Следовательно, |u(x, y)| < ε ∀(x, y) ∈ DR . Отсюда в силу произвольности ε при R → +∞ заключаем, что u(x, y) ≡ 0 в области ¯ D+ ∪ I1 ∪ I ∪ I2 . Тогда lim u(x, y) = 0, y→+0 ¯ x ∈ I; lim y β0 uy = 0, y→+0 x ∈ I. (13) ¯+ С учётом (13) в силу непрерывности решения в области DR и условия сопряжения (6) восстанавливая искомую функцию u(x, y) в области D- как решение видоизмененной задачи Коши с однородными данными, получим ¯ u(x, y) ≡ 0 в области D- . 3. Существование решения задачи Γ. Теорема 2. Пусть выполнены условия p(x)=δ-kx, µk 1/2-3α < 1, 0 < µ < 1, β0 > (1 - m)/3, где δ = 2c/(1 + c), k = (1 - c)/(1 + c), α = (1 - 2β)/4. Тогда решение задачи Γ существует. Д о к а з а т е л ь с т в о. Решение задачи Дирихле, удовлетворяющее усло¯ виям (3) и u(x, 0) = τ (x), x ∈ I, представимо в виде 1 u(x, y) = k2 (1 - β0 )y 1-β0 -1 2 τ (t)(r0 )β-1 dt + F1 (x, y), (14) 47 Р у з и е в М. Х. где 2 r0 = (x - t)2 + 4 y m+2 , (m + 2)2 ∞ -1 F1 (x, y) = k2 (1 - β0 )y 1-β0 -∞ k2 = 1 4π 2 τ2 (t)(r0 )β-1 dt , 2 τ1 (t)(r0 )β-1 dt + 4 m+2 1 2-2β Γ2 (1 - β) . Γ(2 - 2β) Дифференцируя (14) по y и учитывая равенство ∂ ∂y β-1 4 y m+2 = 2 (m + 2) 4 m + 2 -β0 ∂ y (x - t) (x - t)2 + y m+2 = 2 ∂t (m + 2)2 y 1-β0 (x - t)2 + β-1 , получим ∂u m + 2 -β0 = k2 (1 - β0 ) y × ∂y 2 1 ∂ 4 × τ (t) (x - t) (x - t)2 + y m+2 ∂t (m + 2)2 -1 β-1 dt + ∂F1 (x, y) . (15) ∂y В интеграле правой части равенства (15), выполнив операцию интегрирования по частям, с учётом τ (-1) = 0, τ (1) = 0 после несложных вычислений имеем ∂u m + 2 -β0 = -k2 (1-β0 ) y ∂y 2 1 τ (t)(x - t) (x - t)2 + -1 β-1 4 dt+ y m+2 (m + 2)2 ∂F1 (x, y) + . (16) ∂y Умножая обе части равенства (16) на y β0 и затем переходя к пределу при y → +0, получим ν(x) = k2 (1 - β0 ) m+2 2 1 -1 (x - t)τ (t)dt + Φ(x), |x - t|2-2β x ∈ (-1, 1), -1 ∞ (17) где Φ(x) = lim y β0 y→+0 ∂F1 (x, y) = k2 (1 - β0 )2 ∂y -∞ τ1 (t)dt + (x - t)2-2β 1 τ2 (t)dt (t - x)2-2β . Это есть второе функциональное соотношение между неизвестными функциями ν(x) и τ (x), принесёнными на интервал I оси y = 0 из верхней полуплоскости. Заметим, что соотношение (1) справедливо для всего промежутка I. 48 О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа . . . Далее, разбивая промежуток интегрирования (-1, 1) на промежутки (-1, c) и (c, 1), а затем в интегралах с пределом (c, 1) сделав замену переменного интегрирования t = p(s) = δ -ks, учитывая равенство (10), соотношение (17) приведём к виду c x τ (t)dt m+2 τ (t)dt - + 2 (x - t)1-2β (t - x)1-2β x -1 c τ (s)ds f (s)ds + Φ(x), x ∈ (-1, c). (18) + 1-2β 1-2β (p(s) - x) -1 (p(s) - x) ν(x) = -k2 (1 - β0 ) c +µ -1 В силу (6), исключая функцию ν(x) из (8) и (18), получим -2γ D1-2β τ (x) + F0 (x) = k2 (1 - β0 )(m + 2) x,c c x τ (s)ds τ (t)dt =µ + - 1-2β 1-2β -1 (p(s) - x) -1 (x - t) c x τ (t)dt , (t - x)1-2β x ∈ (-1, c), (19) где F0 (x) = - 2(Ψ(x) - Φ(x)) - k2 (1 - β0 )(m + 2) c -1 f (s)ds . (p(s) - x)1-2β 2β-1 Γ(1 - 2β)Dx,c Применив оператор к обеим частям равенства (19) и учи2β-1 1-2β тывая, что Dx,c Dx,c τ (x) = τ (x), имеем -2γ 2β-1 Γ(1 - 2β)τ (x) + Γ(1 - 2β)Dx,c F0 (x) = k2 (1 - β0 )(m + 2) c x τ (s)ds τ (t)dt 2β-1 = Γ(1 - 2β)Dx,c µ + - 1-2β 1-2β -1 (p(s) - x) -1 (x - t) c τ (t)dt , x ∈ [-1, c]. (20) - 1-2β x (t - x) Далее нетрудно убедиться в том, что x 2β-1 Γ(1 - 2β)Dx,c -1 τ (t)dt = (x - t)1-2β c = -π ctg(2βπ)τ (x) + -1 c 2β-1 Γ(1 - 2β)Dx,c x c 2β-1 Γ(1 - 2β)Dx,c µ -1 c-x c-t 1-2β τ (t)dt t-x τ (t)dt π =- τ (x), 1-2β sin(2βπ) (t - x) , (21) (22) τ (s)ds = (p(s) - x)1-2β c =µ -1 c-x p(s) - c 1-2β τ (s)p (s)ds . (23) p(s) - x 49 Р у з и е в М. Х. Подставляя (21)-(23) в (20), после несложных вычислений получим сингулярное интегральное уравнение относительно τ (x): c τ (x) + λ -1 c-x c-t 1-2β τ (t)dt c = -λµ -1 t-x c-x p(s) - c = 1-2β τ (s)p (s)ds + F1 (x), p(s) - x x ∈ [-1, c], (24) где 2β-1 F1 (x) = λΓ(1 - 2β)Dx,c F0 (x), γ F1 (x) ∈ C[-1, c] ∩ C 0,¯ (-1, c), γ > 1 - β, ¯ λ= cos(βπ) . π(1 + sin(βπ)) Интегральный оператор правой части равенства (24) не является регулярным, так как подынтегральное выражение при x = c, s = c имеет изолированную особенность первого порядка, поэтому это слагаемое в (24) выделено отдельно. Временно считая правую часть уравнения (24) известной функцией, перепишем его в виде c τ (x) + λ -1 где c-x c-t c g0 (x) = -λµ -1 1-2β τ (t)dt c-x p(s) - c x ∈ [-1, c], (25) (s)ds + F1 (x). p(s) - x t-x (26) = g0 (x), 1-2β τ (s)p Полагая (c - x)2β-1 τ (x) = ρ(x), (c - x)2β-1 g0 (x) = g1 (x), уравнение (25) запишем в виде c ρ(t)dt ρ(x) + λ = g1 (x). (27) -1 t - x Решение уравнения (27) будем искать в классе функций, удовлетворяющих условию Гёльдера на (-1, c) и ограниченных при x = -1, а при x = c могущих обращаться в бесконечность порядка меньше 1 - 2β. В этом классе индекс уравнения (27) равен нулю. Решение уравнения (27) находится в явном виде методом Карлемана-Векуа [11]: ρ(x) = 1 + sin(βπ) cos(βπ) 1 + x g1 (x) - 2 2π c-x (1-2β)/4 c -1 c-t 1+t (1-2β)/4 g1 (t)dt t-x . Отсюда, возвращаясь к прежним функциям, получим τ (x) = cos2 (πα)g0 (x) - sin(2πα) 2π c -1 (1 + x)α (c - x)3α g0 (t)dt , (1 + t)α (c - t)3α t - x (28) где α = (1 - 2β)/4. Теперь, подставляя (26) в (28), после некоторых преобразований имеем 50 О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа . . . c c - x 4α τ (s)p (s)ds + p(s) - x -1 p(s) - c c τ (s)p (s)ds sin(2πα) × + λµ (1 + x)α (c - x)3α 4α 2π -1 (p(s) - c) c c-t α dt × + F2 (x), x ∈ [-1, c], (29) (p(s) - t)(t - x) -1 1 + t τ (x) = -λµ cos2 (πα) где F2 (x) = cos2 (πα)F1 (x) - sin(2πα) 2π c -1 1+x 1+t α c-x c-t 3α F1 (t)dt t-x . В силу p(x) = δ - kx, где k = (1 - c)/(1 + c), δ = 2c/(1 + c), уравнение (29) запишем в виде c c - x 4α τ (s)ds - δ - ks - x -1 c - s sin(2πα) (1 + x)α (c - x)3α × - λµk 1-4α 2π c c-t α dt + F2 (x), (t - x)(δ - ks - t) -1 1 + t τ (x) = λµk 1-4α cos2 (πα) c × -1 τ (s)ds (c - s)4α x ∈ [-1, c]. (30) В (30) вычислим внутренний интеграл: c A(x, s) = -1 c-t 1+t α dt . (t - x)(δ - ks - t) Разлагая рациональный множитель подынтегрального выражения на простые дроби, используя формулы гипергеометрической функции и выполнив несложные вычисления, имеем A(x, s) = 1 (c - x)α π ctg(πα) + Γ(-α)Γ(1 + α)+ δ - ks - x (1 + x)α 1+c 1+c Γ(1 + α)Γ(1 - α)F 1 - α, 1, 2; + 1 + δ - ks 1 + δ - ks , (31) где F (a, b, c; z) - гипергеометрическая функция Гаусса [5]. Подставляя (31) в (30), после несложных вычислений получим следующее интегральное уравнение: c τ (x) = λ -1 K(x, s)τ (s)ds + F2 (x), δ - ks - x x ∈ [-1, c], (32) где sin(2πα) (1 + x)α (c - x)3α × 2π (c - s)4α 1+c × Γ(-α)Γ(1 + α) + Γ(1 + α)Γ(1 - α)F 1 + δ - ks K(x, s) = -µk 1-4α 1 - α, 1, 2; 1+c 1 + δ - ks . 51 Р у з и е в М. Х. Применив формулу Больца [5, с. 11] для гипергеометрической функции F 1 - α, 1, 2; 1+c , 1 + δ - ks в силу формул F (a, b, b; z) = (1 - z)-a [5, с. 13], π Γ(1 + z) = zΓ(z), Γ(z)Γ(1 - z) = [5, с. 5], sin(πz) функцию K(x, s) запишем в виде K(x, s) = µk 1-3α cos(πα) 1+x 1 + δ - ks α c-x c-s 3α . (33) Подставив (33) в равенство (32), получим c τ (x) = λµk 1-3α cos(πα) -1 1+x 1 + δ - ks α c-x c-s τ (s)ds + δ - ks - x + F2 (x), x ∈ [-1, c]. (34) 3α Выделив в уравнении (34) характеристическую часть, преобразуем его к виду c τ (x) = λµk 1-3α cos(πα) -1 c-x c-s 3α τ (s)ds + δ - ks - x + R1 [τ (x)] + F2 (x), x ∈ [-1, c], (35) где c R1 [τ (x)] = λµk 1-3α cos(πα) -1 c-x c-s 3α τ (s) δ - ks - x 1+x 1 + δ - ks α - 1 ds - регулярный оператор. Уравнение (35) запишем в виде c τ (x) = λµk 1-3α cos(πα) -1 c-x c-s 3α τ (s)ds + (c - s) k + (c - x)/(c - s) + R1 [τ (x)] + F2 (x), x ∈ [-1, c]. (36) Осуществляя в равенстве (36) замену переменных x = c - (1 + c)e-ξ , и обозначая s = c - (1 + c)e-t ρ(ξ) = τ (c - (1 + c)e-ξ )e(3α-1/2)ξ , приведём его к виду ∞ ρ(ξ) = λµk 1-3α cos(πα) 0 52 ρ(t)dt + + e-(ξ-t)/2 + R2 [ρ(ξ)] + F3 (ξ), ke(ξ-t)/2 ξ ∈ (0, ∞), (37) О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа . . . где R2 [ρ(ξ)] = R1 [τ (c - (1 + c)e-ξ )]e(3α-1/2)ξ , F3 (ξ) = F2 (c - (1 + c)e-ξ )e(3α-1/2)ξ . Заметим, что в силу условия 3β0 > 1 - m имеет место неравенство 6α -1 < 0. Введём обозначение N(ζ) = λµk 1-3α cos(πα) . keζ/2 + e-ζ/2 Тогда уравнение (37) запишем в виде ∞ N(ξ - t)ρ(t)dt + R2 [ρ(ξ)] + F3 (ξ), ρ(ξ) = ξ ∈ (0, ∞). (38) 0 Уравнение (38) является интегральным уравнением Винера-Хопфа [12, с. 55] и с помощью преобразования Фурье оно приводится к краевой задаче Римана, т. е. решается в квадратурах. Функции N(ξ), F3 (ξ) имеют показательный порядок убывания на бесконечности, причём N (ξ) ∈ C(0, ∞), F3 (ξ) ∈ Hα1 (0, ∞). Следовательно, N(ξ), F3 (ξ) ∈ L2 ∩ Hα1 , а решение уравнения (38) ищется в классе {0} [12, с. 12]. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений типа свёртки справедливы лишь в одном частном случае - когда индекс этих уравнений равен нулю. Индексом уравнения (38) будет индекс выражения ˆ 1 - N (ξ) с обратным знаком, где ˆ N (ξ) = ∞ ∞ eiξt N(t)dt = λµk 1-3α cos(πα) -∞ -∞ eiξt dt . ket/2 + e-t/2 (39) Вычислив интеграл Фурье, с помощью теории вычетов [9, с. 198] найдём ∞ -∞ eiξt dt πe-iξ ln k =√ . ket/2 + e-t/2 k ch(πξ) (40) Подставляя (40) в равенство (39), используя πλ cos(πα) = π cos(βπ) cos(απ) = sin(απ), π(1 + sin(βπ)) имеем -iξ ln k e ˆ N (ξ) = µk 1/2-3α sin(πα) . ch(πξ) В силу условия µk 1/2-3α < 1 и так как 53 Р у з и е в М. Х. ˆ Re(N (ξ)) = Re µk 1/2-3α sin(πα) e-iξ ln k ch(πξ) = = µk 1/2-3α sin(πα) cos(ξ ln k) < µk 1/2-3α < 1, ch(πξ) ˆ Re(1 - N (ξ)) > 0. Следовательно, индекс уравнения (38) ˆ χ = - Ind(1 - N (ξ)) = 0, ˆ т. е. изменение аргумента выражения 1 - N (ξ) на действительной оси, выраженное в полных оборотах, равно нулю [12, с. 56]. Следовательно, уравнение (38) редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, однозначная разрешимость которого следует из единственности решения задачи Γ.

About the authors

Menglibay Kh Ruziev

Institute of Mathematics, National University of Uzbekistan named by after Mirzo Ulugbek

Email: mruziev@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; mruziev@mail.ru), Senior Scientific Researcher 29, Durmon yuli st., Tashkent, 100125, Uzbekistan

References

Supplementary files