О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом

Полный текст

1. Введение и постановка задачи. Пусть D = D+ ∪ D- ∪ I - область комплексной плоскости z = x + iy, где D+ - полуплоскость y > 0, D- - конечная область полуплоскости y < 0, ограниченная характеристиками AC и BC уравнения β0 (1) (sign y)|y|m uxx + uyy + uy = 0, y исходящими из точек A(-1, 0), B(1, 0), и отрезком AB прямой y = 0; I = = {(x, y) : -1 < x < 1, y = 0}. В уравнении (1) предполагается, что m, β0 - некоторые действительные числа, удовлетворяющие условиям m > 0, -m/2 < β0 < 1. + Пусть DR - конечная область, отсекаемая от области D+ дугой нормальной кривой x2 +4y m+2 /(m+2)2 = R2 , -R x R, 0 y ((m + 2)R/2)2/(m+2) , AR (-R, 0), BR (R, 0). Введём обозначения: I1 = {(x, y) : -∞ < x < -1, y = 0}, I2 = {(x, y) : 1 < x < ∞, y = 0}, C0 (C1 ) - точки пересечения характеристики AC (BC) с характеристикой, исходящей из точки E(c, 0), где c ∈ I - произвольное фиксированное число, + DR = DR ∪ D- , DR - подобласть неограниченной области D. © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования: Р у з и е в М. Х. О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 3 (36). С. 44-56. doi: 10.14498/vsgtu1321. 44 О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа . . . Пусть p(x) ∈ C 1 [-1, c] - диффеоморфизм, переводящий отрезок [-1, c] в отрезок [c, 1], причём p (x) < 0, p(-1) = 1, p(c) = c. В качестве примера такой функции приведем линейную функцию p(x) = δ - kx, где k = (1 - c)/(1 + c), δ = 2c/(1 + c), δ + k = 1, δ - kc = c. Краевая задача со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области, эллиптическая часть которой - верхняя полуплоскость, исследована в работе [1]. Изучению краевой задачи в бесконечной полуполосе для обобщённого двуосесимметрического уравнения Гельмгольца посвящена работа [2]. Краевая задача для уравнения (1) в смешанной области, эллиптическая часть которой - полуполоса, решена в работе [3]. Отметим, что в задаче Геллерстедта [4] значение искомой функции в гиперболической части смешанной области D задается на характеристиках EC0 и EC1 : u EC0 = ψ1 (x), u EC1 = ψ2 (x). В данной работе решается задача, где характеристика EC1 освобождена от краевого условия, и это недостающее условие Геллерстедта заменено внутренне краевым условием локального смещения на отрезке AB линии вырождения y = 0. Задача Γ. Требуется найти в области D функцию u(x, y), удовлетворяющую следующим условиям: ¯ 1) функция u(x, y) непрерывна в любой подобласти DR неограниченной области D; 2) u(x, y) принадлежит пространству C 2 (D+ ) и удовлетворяет уравнению (1) в этой области; 3) u(x, y) является обобщенным решением класса R1 [5] в области D- ; 4) выполняются равенства lim u(x, y) = 0, R→∞ y 0, R2 = x2 + 4(m + 2)-2 y m+2 ; (2) 5) u(x, y) удовлетворяет краевым условиям: u(x, y)|y=0 = τi (x), ¯ ∀x ∈ Ii u(x, y)|EC0 = ψ(x), (c - 1)/2 u(p(x), 0) = µu(x, 0) + f (x), i = 1, 2, -1 x (3) c, x (4) c (5) x ∈ I\{c}, (6) и условию сопряжения lim y β0 uy = lim (-y)β0 uy , y→+0 y→-0 причём эти пределы при x = ±1, x = c могут иметь особенности порядка ниже 1 - 2β, где β = (m + 2β0 )/(2(m + 2)), f (x), ψ(x), τi (x), i = 1, 2 - заданные функции, причём f (x) ∈ C[-1, c] ∩ C (1,α0 ) (-1, c), f (c) = 0, f (-1) = 0, ψ(x) ∈ C[(c - 1)/2, c] ∩ C (1,δ0 ) ((c - 1)/2, c), ψ(c) = 0, µ - const, функции τi (x) в окрестности точек x = -1, x = 1 представимы в виде τi (x) = (1 - x2 )˜i (x) и они удовлетворяют условию τ Гельдера на любых интервалах (-N, -1), (1, N ), N > 1 и для достаточно больших |x| удовлетворяют неравенству |τi (x)| M |x|-δ , где δ, M - положительные постоянные. 45 Р у з и е в М. Х. Отметим, что условие (5) является внутренне краевым условием локального смещения на отрезке линии параболического вырождения [6-8]. 2. Единственность решения задачи Γ. Теорема 1. Пусть выполнены условия τi (x) ≡ 0, i = 1, 2, ψ(x) ≡ 0, f (x) ≡ 0, 0 < µ < 1. Тогда задача Γ имеет лишь тривиальное решение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Решение видоизмененной задачи Коши для уравнения (1) в области D- , удовлетворяющее начальным данным lim u(x, y) = τ (x), y→-0 ¯ x ∈ I; lim (-y)β0 uy = ν(x), y→-0 x ∈ I, даётся формулой Дарбу [9, с. 34]: 1 u(x, y) = γ1 τ x+ -1 2t (-y)(m+2)/2 (1 + t)β-1 (1 - t)β-1 dt+ m+2 1 + γ2 (-y)1-β0 ν x+ -1 2t (-y)(m+2)/2 (1 + t)-β (1 - t)-β dt, (7) m+2 где γ1 = Γ(2β)21-2β /Γ2 (β), γ2 = -Γ(2 - 2β)22β-1 /(1 - β0 )Γ2 (1 - β), Γ(z) - гамма-функция [4]. В силу формулы (7) из краевого условия (4) после несложных вычислений получим 1-2β (8) ν(X) = γDX,c τ (X) + Ψ(X), X ∈ (-1, c), где Ψ(X) = 1-β (c - X)β DX,c ψ((X + c)/2) γ2 (m + 2)/2)1-2β Γ(1 - β) γ= , X = 2x - c, 2Γ(1 - β)Γ(2β)((m + 2)/4)2β , Γ(β)Γ(1 - 2β) l DX,c - оператор дробного дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля [5]. Равенство (8) является первым функциональным соотношением между неизвестными функциями τ (x) и ν(x), принесённым на интервал (-1, c) оси y = 0 из гиперболической части D- смешанной области D. Теперь докажем, что если τi (x) ≡ 0, i = 1, 2, ψ(x) ≡ 0, f (x) ≡ 0, 0 < µ < 1, ¯ то решение задачи Γ в области D+ ∪ I1 ∪ I ∪ I2 в силу (2) тождественно равно нулю. Пусть (x0 , y0 ) - точка положительного максимума функции u(x, y) в об¯+ ласти DR . В силу (2) ∀ε > 0 существует такое R0 = R0 (ε), что при R > R0 (ε) |u(x, y)| < ε, 46 (x, y) ∈ AR BR . (9) О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа . . . ¯ В силу обозначения u(x, 0) = τ (x), x ∈ I условие (5) перепишем в виде τ (p(x)) = µτ (x) + f (x), x ∈ [-1, c]. (10) Отсюда при x = c, (где f (x) ≡ 0), имеем τ (p(c)) = µτ (c). Тогда в силу равенства p(c) = c следует, что τ (c)(1 - µ) = 0, т. е. τ (c) = 0. В силу принципа Хопфа [10, с. 25] функция u(x, y) своего положительного максимума и отри¯+ цательного минимума во внутренних точках области DR не достигает. В силу 0 < µ < 1 из (10) (где f (x) ≡ 0) следует, что их также нет и в интервале (c, 1) оси y = 0. Допустим, что искомая функция своего положительного максимума и отрицательного минимума достигает в точках интервала (-1, c) оси y = 0. Пусть (x0 , 0) (где x0 ∈ (-1, c)) - точка положительного максимума (отрицательного минимума) функции u(x, 0) = τ (x). Тогда в этой точке в случае положительного максимума (отрицательного минимума) [9, c. 74] ν(x0 ) < 0 (ν(x0 ) > 0). (11) Хорошо известно, что в точке положительного максимума (отрицательного минимума) функции τ (x) для операторов дробного дифференцирования 1-2β 1-2β имеет место неравенство Dx0 ,c τ (x) > 0 (Dx0 ,c τ (x) < 0). Тогда в силу (8) (где Ψ(x) ≡ 0) 1-2β 1-2β ν(x0 ) = γDx0 ,c τ (x) > 0 (ν(x0 ) = γDx0 ,c < 0). (12) Неравенства (11) и (12) противоречат условию сопряжения (6), отсюда следует, что x0 ∈ (-1, c). / Следовательно, точки положительного максимума (отрицательного минимума) функции u(x, y) нет на интервале AB. Пусть R > R0 . Из принципа Хопфа и предыдущих рассуждений получаем, что (x0 , y0 ) ∈ AR BR и в си¯+ лу (9) - |u(x0 , y0 )| < ε. Следовательно, |u(x, y)| < ε ∀(x, y) ∈ DR . Отсюда в силу произвольности ε при R → +∞ заключаем, что u(x, y) ≡ 0 в области ¯ D+ ∪ I1 ∪ I ∪ I2 . Тогда lim u(x, y) = 0, y→+0 ¯ x ∈ I; lim y β0 uy = 0, y→+0 x ∈ I. (13) ¯+ С учётом (13) в силу непрерывности решения в области DR и условия сопряжения (6) восстанавливая искомую функцию u(x, y) в области D- как решение видоизмененной задачи Коши с однородными данными, получим ¯ u(x, y) ≡ 0 в области D- . 3. Существование решения задачи Γ. Теорема 2. Пусть выполнены условия p(x)=δ-kx, µk 1/2-3α < 1, 0 < µ < 1, β0 > (1 - m)/3, где δ = 2c/(1 + c), k = (1 - c)/(1 + c), α = (1 - 2β)/4. Тогда решение задачи Γ существует. Д о к а з а т е л ь с т в о. Решение задачи Дирихле, удовлетворяющее усло¯ виям (3) и u(x, 0) = τ (x), x ∈ I, представимо в виде 1 u(x, y) = k2 (1 - β0 )y 1-β0 -1 2 τ (t)(r0 )β-1 dt + F1 (x, y), (14) 47 Р у з и е в М. Х. где 2 r0 = (x - t)2 + 4 y m+2 , (m + 2)2 ∞ -1 F1 (x, y) = k2 (1 - β0 )y 1-β0 -∞ k2 = 1 4π 2 τ2 (t)(r0 )β-1 dt , 2 τ1 (t)(r0 )β-1 dt + 4 m+2 1 2-2β Γ2 (1 - β) . Γ(2 - 2β) Дифференцируя (14) по y и учитывая равенство ∂ ∂y β-1 4 y m+2 = 2 (m + 2) 4 m + 2 -β0 ∂ y (x - t) (x - t)2 + y m+2 = 2 ∂t (m + 2)2 y 1-β0 (x - t)2 + β-1 , получим ∂u m + 2 -β0 = k2 (1 - β0 ) y × ∂y 2 1 ∂ 4 × τ (t) (x - t) (x - t)2 + y m+2 ∂t (m + 2)2 -1 β-1 dt + ∂F1 (x, y) . (15) ∂y В интеграле правой части равенства (15), выполнив операцию интегрирования по частям, с учётом τ (-1) = 0, τ (1) = 0 после несложных вычислений имеем ∂u m + 2 -β0 = -k2 (1-β0 ) y ∂y 2 1 τ (t)(x - t) (x - t)2 + -1 β-1 4 dt+ y m+2 (m + 2)2 ∂F1 (x, y) + . (16) ∂y Умножая обе части равенства (16) на y β0 и затем переходя к пределу при y → +0, получим ν(x) = k2 (1 - β0 ) m+2 2 1 -1 (x - t)τ (t)dt + Φ(x), |x - t|2-2β x ∈ (-1, 1), -1 ∞ (17) где Φ(x) = lim y β0 y→+0 ∂F1 (x, y) = k2 (1 - β0 )2 ∂y -∞ τ1 (t)dt + (x - t)2-2β 1 τ2 (t)dt (t - x)2-2β . Это есть второе функциональное соотношение между неизвестными функциями ν(x) и τ (x), принесёнными на интервал I оси y = 0 из верхней полуплоскости. Заметим, что соотношение (1) справедливо для всего промежутка I. 48 О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа . . . Далее, разбивая промежуток интегрирования (-1, 1) на промежутки (-1, c) и (c, 1), а затем в интегралах с пределом (c, 1) сделав замену переменного интегрирования t = p(s) = δ -ks, учитывая равенство (10), соотношение (17) приведём к виду c x τ (t)dt m+2 τ (t)dt - + 2 (x - t)1-2β (t - x)1-2β x -1 c τ (s)ds f (s)ds + Φ(x), x ∈ (-1, c). (18) + 1-2β 1-2β (p(s) - x) -1 (p(s) - x) ν(x) = -k2 (1 - β0 ) c +µ -1 В силу (6), исключая функцию ν(x) из (8) и (18), получим -2γ D1-2β τ (x) + F0 (x) = k2 (1 - β0 )(m + 2) x,c c x τ (s)ds τ (t)dt =µ + - 1-2β 1-2β -1 (p(s) - x) -1 (x - t) c x τ (t)dt , (t - x)1-2β x ∈ (-1, c), (19) где F0 (x) = - 2(Ψ(x) - Φ(x)) - k2 (1 - β0 )(m + 2) c -1 f (s)ds . (p(s) - x)1-2β 2β-1 Γ(1 - 2β)Dx,c Применив оператор к обеим частям равенства (19) и учи2β-1 1-2β тывая, что Dx,c Dx,c τ (x) = τ (x), имеем -2γ 2β-1 Γ(1 - 2β)τ (x) + Γ(1 - 2β)Dx,c F0 (x) = k2 (1 - β0 )(m + 2) c x τ (s)ds τ (t)dt 2β-1 = Γ(1 - 2β)Dx,c µ + - 1-2β 1-2β -1 (p(s) - x) -1 (x - t) c τ (t)dt , x ∈ [-1, c]. (20) - 1-2β x (t - x) Далее нетрудно убедиться в том, что x 2β-1 Γ(1 - 2β)Dx,c -1 τ (t)dt = (x - t)1-2β c = -π ctg(2βπ)τ (x) + -1 c 2β-1 Γ(1 - 2β)Dx,c x c 2β-1 Γ(1 - 2β)Dx,c µ -1 c-x c-t 1-2β τ (t)dt t-x τ (t)dt π =- τ (x), 1-2β sin(2βπ) (t - x) , (21) (22) τ (s)ds = (p(s) - x)1-2β c =µ -1 c-x p(s) - c 1-2β τ (s)p (s)ds . (23) p(s) - x 49 Р у з и е в М. Х. Подставляя (21)-(23) в (20), после несложных вычислений получим сингулярное интегральное уравнение относительно τ (x): c τ (x) + λ -1 c-x c-t 1-2β τ (t)dt c = -λµ -1 t-x c-x p(s) - c = 1-2β τ (s)p (s)ds + F1 (x), p(s) - x x ∈ [-1, c], (24) где 2β-1 F1 (x) = λΓ(1 - 2β)Dx,c F0 (x), γ F1 (x) ∈ C[-1, c] ∩ C 0,¯ (-1, c), γ > 1 - β, ¯ λ= cos(βπ) . π(1 + sin(βπ)) Интегральный оператор правой части равенства (24) не является регулярным, так как подынтегральное выражение при x = c, s = c имеет изолированную особенность первого порядка, поэтому это слагаемое в (24) выделено отдельно. Временно считая правую часть уравнения (24) известной функцией, перепишем его в виде c τ (x) + λ -1 где c-x c-t c g0 (x) = -λµ -1 1-2β τ (t)dt c-x p(s) - c x ∈ [-1, c], (25) (s)ds + F1 (x). p(s) - x t-x (26) = g0 (x), 1-2β τ (s)p Полагая (c - x)2β-1 τ (x) = ρ(x), (c - x)2β-1 g0 (x) = g1 (x), уравнение (25) запишем в виде c ρ(t)dt ρ(x) + λ = g1 (x). (27) -1 t - x Решение уравнения (27) будем искать в классе функций, удовлетворяющих условию Гёльдера на (-1, c) и ограниченных при x = -1, а при x = c могущих обращаться в бесконечность порядка меньше 1 - 2β. В этом классе индекс уравнения (27) равен нулю. Решение уравнения (27) находится в явном виде методом Карлемана-Векуа [11]: ρ(x) = 1 + sin(βπ) cos(βπ) 1 + x g1 (x) - 2 2π c-x (1-2β)/4 c -1 c-t 1+t (1-2β)/4 g1 (t)dt t-x . Отсюда, возвращаясь к прежним функциям, получим τ (x) = cos2 (πα)g0 (x) - sin(2πα) 2π c -1 (1 + x)α (c - x)3α g0 (t)dt , (1 + t)α (c - t)3α t - x (28) где α = (1 - 2β)/4. Теперь, подставляя (26) в (28), после некоторых преобразований имеем 50 О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа . . . c c - x 4α τ (s)p (s)ds + p(s) - x -1 p(s) - c c τ (s)p (s)ds sin(2πα) × + λµ (1 + x)α (c - x)3α 4α 2π -1 (p(s) - c) c c-t α dt × + F2 (x), x ∈ [-1, c], (29) (p(s) - t)(t - x) -1 1 + t τ (x) = -λµ cos2 (πα) где F2 (x) = cos2 (πα)F1 (x) - sin(2πα) 2π c -1 1+x 1+t α c-x c-t 3α F1 (t)dt t-x . В силу p(x) = δ - kx, где k = (1 - c)/(1 + c), δ = 2c/(1 + c), уравнение (29) запишем в виде c c - x 4α τ (s)ds - δ - ks - x -1 c - s sin(2πα) (1 + x)α (c - x)3α × - λµk 1-4α 2π c c-t α dt + F2 (x), (t - x)(δ - ks - t) -1 1 + t τ (x) = λµk 1-4α cos2 (πα) c × -1 τ (s)ds (c - s)4α x ∈ [-1, c]. (30) В (30) вычислим внутренний интеграл: c A(x, s) = -1 c-t 1+t α dt . (t - x)(δ - ks - t) Разлагая рациональный множитель подынтегрального выражения на простые дроби, используя формулы гипергеометрической функции и выполнив несложные вычисления, имеем A(x, s) = 1 (c - x)α π ctg(πα) + Γ(-α)Γ(1 + α)+ δ - ks - x (1 + x)α 1+c 1+c Γ(1 + α)Γ(1 - α)F 1 - α, 1, 2; + 1 + δ - ks 1 + δ - ks , (31) где F (a, b, c; z) - гипергеометрическая функция Гаусса [5]. Подставляя (31) в (30), после несложных вычислений получим следующее интегральное уравнение: c τ (x) = λ -1 K(x, s)τ (s)ds + F2 (x), δ - ks - x x ∈ [-1, c], (32) где sin(2πα) (1 + x)α (c - x)3α × 2π (c - s)4α 1+c × Γ(-α)Γ(1 + α) + Γ(1 + α)Γ(1 - α)F 1 + δ - ks K(x, s) = -µk 1-4α 1 - α, 1, 2; 1+c 1 + δ - ks . 51 Р у з и е в М. Х. Применив формулу Больца [5, с. 11] для гипергеометрической функции F 1 - α, 1, 2; 1+c , 1 + δ - ks в силу формул F (a, b, b; z) = (1 - z)-a [5, с. 13], π Γ(1 + z) = zΓ(z), Γ(z)Γ(1 - z) = [5, с. 5], sin(πz) функцию K(x, s) запишем в виде K(x, s) = µk 1-3α cos(πα) 1+x 1 + δ - ks α c-x c-s 3α . (33) Подставив (33) в равенство (32), получим c τ (x) = λµk 1-3α cos(πα) -1 1+x 1 + δ - ks α c-x c-s τ (s)ds + δ - ks - x + F2 (x), x ∈ [-1, c]. (34) 3α Выделив в уравнении (34) характеристическую часть, преобразуем его к виду c τ (x) = λµk 1-3α cos(πα) -1 c-x c-s 3α τ (s)ds + δ - ks - x + R1 [τ (x)] + F2 (x), x ∈ [-1, c], (35) где c R1 [τ (x)] = λµk 1-3α cos(πα) -1 c-x c-s 3α τ (s) δ - ks - x 1+x 1 + δ - ks α - 1 ds - регулярный оператор. Уравнение (35) запишем в виде c τ (x) = λµk 1-3α cos(πα) -1 c-x c-s 3α τ (s)ds + (c - s) k + (c - x)/(c - s) + R1 [τ (x)] + F2 (x), x ∈ [-1, c]. (36) Осуществляя в равенстве (36) замену переменных x = c - (1 + c)e-ξ , и обозначая s = c - (1 + c)e-t ρ(ξ) = τ (c - (1 + c)e-ξ )e(3α-1/2)ξ , приведём его к виду ∞ ρ(ξ) = λµk 1-3α cos(πα) 0 52 ρ(t)dt + + e-(ξ-t)/2 + R2 [ρ(ξ)] + F3 (ξ), ke(ξ-t)/2 ξ ∈ (0, ∞), (37) О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа . . . где R2 [ρ(ξ)] = R1 [τ (c - (1 + c)e-ξ )]e(3α-1/2)ξ , F3 (ξ) = F2 (c - (1 + c)e-ξ )e(3α-1/2)ξ . Заметим, что в силу условия 3β0 > 1 - m имеет место неравенство 6α -1 < 0. Введём обозначение N(ζ) = λµk 1-3α cos(πα) . keζ/2 + e-ζ/2 Тогда уравнение (37) запишем в виде ∞ N(ξ - t)ρ(t)dt + R2 [ρ(ξ)] + F3 (ξ), ρ(ξ) = ξ ∈ (0, ∞). (38) 0 Уравнение (38) является интегральным уравнением Винера-Хопфа [12, с. 55] и с помощью преобразования Фурье оно приводится к краевой задаче Римана, т. е. решается в квадратурах. Функции N(ξ), F3 (ξ) имеют показательный порядок убывания на бесконечности, причём N (ξ) ∈ C(0, ∞), F3 (ξ) ∈ Hα1 (0, ∞). Следовательно, N(ξ), F3 (ξ) ∈ L2 ∩ Hα1 , а решение уравнения (38) ищется в классе {0} [12, с. 12]. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений типа свёртки справедливы лишь в одном частном случае - когда индекс этих уравнений равен нулю. Индексом уравнения (38) будет индекс выражения ˆ 1 - N (ξ) с обратным знаком, где ˆ N (ξ) = ∞ ∞ eiξt N(t)dt = λµk 1-3α cos(πα) -∞ -∞ eiξt dt . ket/2 + e-t/2 (39) Вычислив интеграл Фурье, с помощью теории вычетов [9, с. 198] найдём ∞ -∞ eiξt dt πe-iξ ln k =√ . ket/2 + e-t/2 k ch(πξ) (40) Подставляя (40) в равенство (39), используя πλ cos(πα) = π cos(βπ) cos(απ) = sin(απ), π(1 + sin(βπ)) имеем -iξ ln k e ˆ N (ξ) = µk 1/2-3α sin(πα) . ch(πξ) В силу условия µk 1/2-3α < 1 и так как 53 Р у з и е в М. Х. ˆ Re(N (ξ)) = Re µk 1/2-3α sin(πα) e-iξ ln k ch(πξ) = = µk 1/2-3α sin(πα) cos(ξ ln k) < µk 1/2-3α < 1, ch(πξ) ˆ Re(1 - N (ξ)) > 0. Следовательно, индекс уравнения (38) ˆ χ = - Ind(1 - N (ξ)) = 0, ˆ т. е. изменение аргумента выражения 1 - N (ξ) на действительной оси, выраженное в полных оборотах, равно нулю [12, с. 56]. Следовательно, уравнение (38) редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, однозначная разрешимость которого следует из единственности решения задачи Γ.

Об авторах

Менглибай Холтожибаевич Рузиев

Институт математики, Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека

Email: mruziev@mail.ru
(к.ф.-м.н.; mruziev@mail.ru), старший научный сотрудник 100125, Узбекистан, Ташкент, Дурмон йули, 29

Список литературы

Дополнительные файлы