A cases of solvability of the integral equation in quadratures

Full Text

Одним из традиционных направлений в математике является отыскание решений различных уравнений в явном виде. Если говорить об интегральных уравнениях, то многие результаты в указанной области отражены в справочнике [1], причём большинство из них относится к уравнениям типа Фредгольма, когда пределы содержащих искомую функцию интегралов являются постоянными. В настоящей работе рассматривается уравнение типа Вольтерра x u(x, y) + y K1 (x, y, ξ)u(ξ, y)dξ + x0 K2 (x, y, η)u(x, η)dη+ y0 x y x0 y0 + K(x, y, ξ, η)u(ξ, η)dξdη = F (x, y), (1) где (x, y) ∈ D = {x0 < x < x1 , y0 < y < y1 }. © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования: Ш а к и р о в а И. М. К случаям разрешимости одного интегрального уравнения в квадратурах // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 3 (36). С. 57-65. doi: 10.14498/vsgtu1323. 57 Ш а к и р о в а И. М. Аналогичные по своей структуре уравнения Фредгольма изучались, например, в [2]. Уравнения вида (1) встречаются в теории упругости [3, c. 279, формула (62.12), описывает изгиб тонкой сферической оболочки]. При непрерывных в D коэффициентах K, K1 , K2 для (1) известна теорема существования единственного решения [3, c. 18; 4, c. 180]. Мы занимаемся здесь выделением до сих пор неизвестных частных случаев уравнения (1), в которых его решение могут быть построены в виде явных формул. Для этого предлагается развитие методики работы [5], в которой указаны некоторые простые случаи редукции (1) к задаче Гурса для уравнения вида uxy + aux + buy + cu = f, (2) что на основании результатов из [6, c. 15, 16; 7] позволило сформулировать достаточные условия разрешимости исходного уравнения (1) в явном виде. В настоящей статье схема рассуждений из [5] распространяется на более сложные ситуации, когда к (2) мы приходим через факторизацию уравнения vxxy + Avxx + Bvxy + Cvx + Dvy + Ev = F. (3) Данное уравнение является обобщением известного уравнения Аллера (M. Hallaire) ux = (αuy + βuxy )y , встречающегося при моделировании процесса переноса почвенной влаги в зоне аэрации [8, 9]. С различных точек зрения (3) изучалось в [6] и [10-16]. В нужном нам аспекте (3) исследовалось в [6, c. 136]. Но об этом несколько позже. Сейчас же предположим, что (1) имеет вид x u(x, y) + a1 (x, y) b1 (ξ, y)u(ξ, y)dξ+ x0 x y x0 y0 b2 (ξ, η)u(ξ, η)dξdη = f (x, y), (4) + a2 (x, y) a1 (x, y)b1 (x, y)a2 (x, y)b2 (x, y) = 0. (5) Разделив (4) на a2 , продифференцировав затем полученное соотношение по y и по x и сделав замену искомой функции x v(x, y) = b1 (ξ, y)u(ξ, y)dξ, (6) x0 приходим к уравнению (3) с коэффициентами A = -λy , B = a1 b1 - λx , C = a2 b2 + b1 a1y - a1 (ln a2 )y - λyx + λy λx , D = a2 b1 (a1 /a2 )x , E = a2 b1 (a1 /a2 )yx , F = a2 b1 (f /a2 )yx , (7) где для некоторой компактности формул (7) введено обозначение λ = ln a2 b1 . Из (4) для u(x, y0 ) = ψ(x) имеем соотношение x ψ(x) + a1 (x, y0 ) b1 (ξ, y0 )ψ(ξ)dξ = f (x, y0 ), x0 58 К случаям разрешимости одного интегрального уравнения в квадратурах являющееся фактически обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Действительно, обозначив интеграл через σ(x), имеем при условии b1 (x, y0 ) = 0 (это верно в силу (5)) σ + a1 b1 σ = b1 f, σ(x0 ) = 0. Решая это уравнение, например, с помощью интегрирующего множителя x a1 b1 dξ, найдём exp x0 x ξ b1 f exp σ(x) = x0 a1 b1 dξ1 dξ, x после чего по формуле ψ = σ /b1 вычислим u(x, y0 ) = ψ(x) = f (x, y0 ) - a1 (x, y0 ), x ξ b1 (ξ, y0 )f (ξ, y0 ) exp x0 a1 (ξ1 , y0 )b1 (ξ1 , y0 )dξ1 dξ. x Подставив это значение в (6) при y = y0 , определим v(x, y0 ) = θ(x), являющееся одним из граничных значений в задаче Гурса для уравнения (3). Остальные два условия даются вытекающими из (6) формулами v(x0 , y) = 0, vx (x0 , y) = b1 (x0 , y)f (x0 , y). (8) В [6, c. 136] предложен подход к выявлению случаев явного решения задачи Гурса для (3), основанный на факторизации оператора, стоящего в левой части этого уравнения. Например, при выполнении тождеств (6.13) из [6], имеющих в обозначениях (7) вид λxx - λyx + λy a1 b1 - λx + λy ≡ (a1 b1 )x - a2 b1 (a1 /a2 )x , λ3 y - λ2 λx + λyx λx - 2λy + λy λxx - a2 b2 - a1y b1 + a1 b1 (ln a2 )y ≡ y (9) ≡ a2 b1 (a1 /a2 )xy - (a2 b2 )x - (a1y b1 )x + (a1 b1 )x (ln a2 )y + a1 b1 (ln a2 )yx , уравнение (3) можно представить в форме ∂ +A ∂x ∂2v ∂v ∂v + A1 + B1 + C1 v = F, ∂x∂y ∂x ∂y где A1 = A = -λy , B1 = B - A = a1 b1 - λx + λy , C1 = C - Ax - A2 = a2 b2 + b1 a1y - a1 (ln a2 )y + λy λx - λ2 . y (10) В результате задача (3), (8) с учётом v(x, y0 ) = θ(x) распадается на две последовательно решаемые задачи: wx + Aw = F, w(x0 , y) = b1 (x0 , y)f (x0 , y) y + A(x0 , y)b(x0 , y)f (x0 , y) и vxy + A1 vx + B1 vy + C1 v = w, v(x0 , y) = 0, v(x, y0 ) = θ(x). (11) 59 Ш а к и р о в а И. М. Первая из них очевидным образом решается путём непосредственного интегрирования уравнения, так что все сводится к задаче Гурса (11). Решение же задачи (11) записывается через функцию Римана рассматриваемого уравнения [6, формула (1.20)], причём для последней имеются [6, c. 15, 16; 17, 18] случаи её построения в явном виде. В только что указанных источниках условия, обеспечивающие эти случаи, представлены через коэффициенты уравнения (2): 1) ax + ab - c ≡ 0; 2) by + ab - c ≡ 0; 3) ax ≡ by , c - ax - ab ≡ ξ0 (x)η0 (y) = 0; 4) by - ax ≡ ax + ab - c ≡ ξ1 (x)η1 (y) = 0; 5) ax - by ≡ by + ab - c ≡ ξ2 (x)η2 (y) = 0; 6) max - by ≡ mby - ax ≡ (m - 1)(ab - c); 2s (x)t (y) , s(x) + t(y) s (x)t (y)(2 - m) = 0. 7) ω = (2 - m)[s(x) + t(y)]2 Здесь ξ0 , η0 ∈ C; ξk , ηk ∈ C 1 , k = 1, 2; s, t, m ∈ C 2 , причём m зависит лишь от одной из переменных (x, y). В остальном перечисленные функции произвольны, а коэффициенты a, b, c имеют гладкость, обеспечивающую возможность выполнения записанных соотношений. Предполагается также, что классы гладкости задаются на замкнутых множествах определения соответствующих функций. Каждого из тождеств 1), 2) и наборов 3)-5) достаточно для получения явного вида функций Римана. Формулами же 6), 7) следует пользоваться совместно: при выполнении набора 6) функцию Римана можно построить в случаях, когда левая часть хотя бы одного из соотношений 1), 2) имеет вид ω, указанной в (7). Другими словами, мы имеем семь вариантов условий разрешимости в квадратурах задачи Гурса для уравнения (2). Для всех случаев виды функций Римана можно найти в [6, 17, 18]. Таким образом, общее количество вариантов указанной разрешимости равно 7. Понятно, что для записи 1)-7) в терминах коэффициентов уравнения (4) следует заменить a, b, c соответственно на A1 , B1 , C1 с подставленными в них значениями из (10) и (7). Всё это приводит к следующим соотношениям: h = λyx + λy a2 b1 + a2 b2 + a1y b1 - a1 b1 (ln a2 )y ≡ 0; (12) k = (a1 b1 )y - a2 b2 - a1y b1 + a1 b1 (ln a2 )y - λy a1 b1 ≡ 0; (13) (a1 b1 )y + λyy ≡ 0, λyx + λy a2 b1 + a2 b2 + b1 [a1y - a1 (ln a2 )y ] ≡ ξ0 (x)η0 (y); (14) (a1 b1 )y + λyy ≡ h ≡ ξ1 (x)η1 (y) = 0; (15) -(a1 b1 )y - λyy ≡ k ≡ ξ2 (x)η2 (y) = 0; (16) λxy (1 - m) - λyy - (a1 b1 )y ≡ m[λyy + (a1 b1 )y ] + λxy (1 - m) ≡ ≡ (1 - m)[λy a1 b1 + a2 b2 + a1y b1 - a1 b1 (ln a2 )y ]. (17) При этом следует помнить, что мы ранее ввели обозначение λ = ln a2 b1 ; a, h, k из (15), (16) заданы в (12), (13). Вместо 7) будем рассматривать ωk = 2sk (x)tk (y) , (2 - m)[sk (x) + tk (y)]2 [sk (x) + tk (y)]sk (x)tk (y)(2 - m) = 0, (18) причём ω1 , ω2 нужно считать равными h или k из (12), (13) соответственно. Из проведенных рассуждений следует Теорема. Пусть при наличии тождеств (9) и неравенства (5): 60 К случаям разрешимости одного интегрального уравнения в квадратурах 1) или удовлетворяется хотя бы одно из тождеств (12), (13); 2) или существуют такие функции m, ξk , ηk , k = 0, 1, 2; sk , tk , k = 1, 2, указанных выше классов, что либо выполнена хотя бы одна из трех групп соотношений (14)-(16), либо вместе с тождеством (17) имеет место представление (18) хотя бы для одной из двух записанных выше функций ω1 , ω2 . Тогда уравнение (4) разрешимо в квадратурах. Отметим, что в [6] указаны ещё три варианта факторизации уравнения (3). Одна из них приводит его к виду ∂ ∂ ∂2 + A2 + B2 + C2 ∂x∂y ∂x ∂y ∂v + Av = F, ∂x где A2 = A = -λy , B2 = B - A = a1 b1 - λx + λy , 2 C2 = C - Ay - A = a2 b2 + a1y b1 - a1 b1 (ln a2 )y - λyx + λy λx + λyy - λ2 . y Факторизация обеспечивается условиями λyx + λy [a1 b1 + λy - λx ] ≡ -a2 b1 (a1 /a2 )x , λxyy + λyy [2λy + λx - a1 b1 ]+ +λy [λy λx - 2λxy - λ2 + a2 b2 + a1y b1 - a1 b1 (ln a2 )y ] ≡ -a2 b1 (a1 /a2 )x . y Аналогичным образом можно использовать факторизации ∂ ∂2v ∂v +B +A - [Ax + AB - C]v = F, ∂x ∂x∂y ∂x ∂2 ∂ ∂v +A - [By + AB - C] + Bv = F, ∂x∂y ∂x ∂x возможность каждой из которых определяется соответственно парами тождеств D ≡ 0, B(Ax + AB - C) - (Ax + AB - C)x - E ≡ 0, Bx - D ≡ 0, Dy + AD - BBy - AB 2 - CB ≡ 0. Во всех случаях одна из задач оказывается связанной с уравнением вида (2), возможности решения которой в квадратурах отыскиваются с помощью соотношений 1)-7). Таким образом, общее число вариантов разрешимости оказывается равным 28. Обратим ещё внимание на уравнение y u(x, y) + a3 (x, y) b3 (x, η)u(x, η)dη+ y0 x y x0 y0 + a2 (x, y) b2 (ξ, η)u(ξ, η)dξdη = f (x, y). Это тоже частный случай (1), отличающийся от (3) лишь тем, что в нём переменные (x, y) поменялись ролями. Ясно, что все проведённые для (3) 61 Ш а к и р о в а И. М. рассуждения можно осуществить и здесь, что даёт ещё 28 вариантов разрешимости уравнения (1) в квадратурах. В дополнение к приведённой выше теореме можно сформулировать ещё семь её модернизаций в соответствии с только что перечисленными возможностями. Каждый вариант сформулированной теоремы представляет собой три или четыре соотношения, связывающие четыре коэффициента ak , bk , k = 1, 2. Число этих соотношений может быть уменьшено. Покажем это на примере варианта с условиями (9), (12), содержащими три соотношения для определения четырёх коэффициентов. Перенося слагаемое a1 b1 λy из левой части первого условия (9) в правую его часть, получим λxx - λyx + λ2 - λx λy ≡ {b1x + b1 (ln a2 )x - b1 [ln(a2 b1 )]y }a1 . y (19) Если считать a2 и b1 временно известными, то левая часть здесь и множитель при a1 тоже будут известны. Если этот множитель отличен от нуля, то из (19) определится a1 , а после этого из (12) вычисляется b2 (в силу (5)). Понятно, что a1 и b2 будут зависеть от a2 , b1 . Подставляя a1 , b2 во второе соотношение (9), мы получим одно тождество, связывающее уже только a2 и b1 . Оно и будет фактически заменять все три соотношения (9) и (12). Аналогичные рассуждения можно построить и для других вариантов. В заключение отметим, что вопросы, близкие к обсуждаемым в данной статье, были предметом изучения в работах А. А. Андреева и Ю. О. Яковлевой [19, 20].

About the authors

Inna M Shakirova

Kazan (Volga Region) Federal University

Email: inna.sarvarova@yandex.ru
Postgraduate Student, Dept. of Differential Equations 18, Kremlyovskaya st., Kazan, 420008, Russian Federation

References

Supplementary files