The optimal location of the polygonal internal supports to the circular rigid-plastic plates

Full Text

Введение. Изучение повреждаемости пластин, разнообразных по форме и способам закрепления и являющихся элементами многих технических конструкций, при воздействии нагрузок взрывного типа необходимо для анализа рисков и прогнозирования чрезвычайных ситуаций, а также создания таких элементов методами импульсной штамповки. Для решения указанных задач широкое распространение получила модель жёсткопластического тела [1- 14]. В работе [13] на основе модели идеального жёсткопластического тела получено общее решение для произвольных криволинейных пластин, шарнирно опертых по внутреннему произвольному криволинейному гладкому контуру. В работе [3] рассмотрено оптимальное расположение дополнительной круговой опоры для шарнирно опёртой, защемленной и свободной на контуре круглой пластины под действием импульса, когда все точки пластины, за исключением опорных, движутся в начальный момент времени с одинаковой скоростью. В настоящей работе проанализировано поведение круглых жёсткопластических пластин под действием равномерно распределённой динамической нагрузки взрывного типа; внешний контур пластин свободен, а опора © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования: Р о м а н о в а Т. П. Оптимальное расположение полигональных внутренних опор к круглым ж¨сткопластическим пластинам // Вестн. Сам. гос. техн. e ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 3 (36). С. 94-105. doi: 10.14498/vsgtu1312. 94 Оптимальное расположение полигональных внутренних опор . . . является правильным полигональным контуром и расположена внутри области пластины. Получены простые аналитические выражения для предельной нагрузки и максимального остаточного прогиба пластины. Определены оптимальное расположение опоры и количество сторон полигонального контура, при которых пластина имеет наименьшую повреждаемость с точки зрения максимума предельной нагрузки. Также определена оптимальная форма полигональной опоры при условии постоянства периметра контура опирания. Решения оптимизационных задач такого типа в литературе неизвестны. 1. Формулировка задачи и вывод определяющих уравнений. Рассмотрим круглую пластину из идеального жёсткопластического материала, шарнирно опертую по правильному n-угольному контуру L1 , расположенному внутри пластины. Внешний контур пластины L2 является свободным (рис. 1). Центры пластины и опорного многоугольника совпадают. Радиус окружности, вписанной в опорный контур, и радиус контура L2 равны R1 и R2 соответственно, причём R1 R2 sin ϕ, где ϕ = π(n - 2)/2n. На пластину действует равномерно распределенная по поверхности динамическая нагрузка высокой интенсивности P (t) взрывного типа, которая достигает максимального значения Pmax = P (0) в начальный момент времени t = 0 и затем быстро убывает (t - текущее время). Прогибы считаются малыми. Рассмотрим поведение пластины при нагрузках, незначительно превышающих предельные (так называемых «средних» нагрузках [1, 5, 10]). В этом случае в динамике рассматриваемой пластины из жёсткопластического материала возможны несколько схем деформирования в зависимости от количества сторон и размеров контура L1 . При всех схемах пластина деформируется в виде совокупности n одинаковых жёстких областей, разделённых линейными пластическими шарнирами с нормальным изгибающим моментом, равным предельному значению M0 . Обозначим область пластины внутри контура L1 через S1 , а остальную часть - через S2 . Расположим декартову систему координат так, что ось Ox проходит по части опорного контура, а ось Oy - по радиусу окружности, вписанной в опорный контур (рис. 1). Скорости прогибов пластины в сечении x = 0 представлены на рис. 2-4. При схеме 1 (рис. 2) Рис. 1. [Figure 1] 95 Р о м а н о в а Т. П. каждая из n жёстких областей вращается вокруг соответствующего участка опорного контура L1 , при этом область S1n (n-ная часть области S1 ) движется вниз в направлении действия нагрузки, область S2n (n-ная часть области S2 ) движется вверх. Схема, при которой область S1n движется вверх, а область S2n движется вниз, невозможна, так же как и в [13]. В схемах 2 (рис. 3) и 3 (рис. 4), как и в случае, рассмотренном в [13], на опорном контуре образуется пластический шарнир. Обе области S1n и S2n жёстко вращаются вниз вокруг опоры. При этом области S1n и S2n движутся независимо друг от друга и возможны варианты, когда одна из этих областей деформируется, а вторая остаётся жёсткой. Рассмотрим подробно схему 1 (рис. 2). Обозначим угол поворота плоскости пластины в направлении действия нагрузки через α. Уравнение движения пластины выведем из принципа виртуальной мощности с использованием принципа Даламбера [15]: K = A - N; ρ¨u∗ ds, u˙ K= S P (t)u∗ ds, ˙ A= S (1) ˙ Mm [θ∗ ]m dlm . N= m (2) lm Здесь K, A, N - мощности инерционных, внешних и внутренних сил соот- Рис. 2. [Figure 2] Рис. 3. [Figure 3] Рис. 4. [Figure 4] 96 Оптимальное расположение полигональных внутренних опор . . . ветственно; S - площадь пластины; ρ - поверхностная плотность материала пластины; u - прогиб; ds - элемент площади; lm , m - линии разрыва угловых ˙ скоростей и их количество; Mm - изгибающий момент на lm ; [θ∗ ]m - разрыв угловой скорости на lm ; dlm - элемент линии lm . Величинами с верхним индексом «∗» обозначены кинематически допустимые скорости; точкой обозначена частная производная по времени t. Скорости прогибов пластины для схемы 1 будут представлены в виде u(x, y, t) = α(t)y. ˙ ˙ (3) Мощности инерционных и внешних сил вычисляются следующим образом (Sn = S1n ∪ S2n ): K = nρ¨ α∗ α˙ Sn = R2 cos ϕ y 2 ds = 2nρ¨ α∗ α˙ -x tg ϕ+R1 √ R1 - 0 y 2 dy dx = 2 R2 -x2 1 2 2 nρ¨ α∗ R2 (3R2 sin ϕ - 16R1 ) R2 cos ϕ + 3 R2 + 4R1 α˙ 2 12 A = nP (t)α∗ (t) ˙ R2 cos ϕ yds = 2nP (t)α∗ ˙ Sn 0 π -ϕ 2 ; (4) -x tg ϕ+R1 √ R1 - ydy dx = 2 R2 -x2 π 1 2 ˙ - ϕ - 2R2 cos ϕ . (5) = nP (t)α∗ (t)R2 3R1 3 2 На свободном контуре L2 нормальный изгибающий момент Mnn равен нулю; на линиях, являющихся границами областей Sn , он равен M0 . Разрыв ˙ угловой скорости на L1 есть [θ]L1 = 0. При повороте области Sn вокруг опоры на угол α угол между двумя смежными областями Sn будет равен 2α cos ϕ (при малых прогибах). Следовательно, разрыв угловой скорости на границах областей Sn равен 2α cos ϕ. Длина границы двух смежных областей Sn равна ˙ R2 . Тогда для мощности внутренних сил (2) получаем N = 2nα∗ M0 R2 cos ϕ. ˙ (6) Подставляя выражения (4)-(6) в (1), получаем уравнение движения для схемы деформирования 1: 1 π 2 2 ρ¨ R2 (3R2 sin ϕ - 16R1 ) R2 cos ϕ + 3 R2 + 4R1 α -ϕ = 4 2 π - ϕ - 2R2 cos ϕ - 6M0 cos ϕ. (7) = P (t)R2 3R1 2 Динамическое поведение по схеме 2 (рис. 3) для области S1 , как защемленной правильной полигональной пластины, рассмотрено подробно в [5]. В этом случае, поскольку деформируется только внутренняя от опоры часть пластины, поведение и предельная нагрузка для области S1 не зависят от величины 97 Р о м а н о в а Т. П. R2 . Скорости прогибов пластины при схеме 2 определяются соотношениями (3) при (x, y) ∈ S1 . Выражения для мощностей (2) примут вид R1 /tg ϕ -x tg ϕ+R1 0 R1 /tg ϕ 0 -x tg ϕ+R1 0 0 K = 2nρ¨ α∗ α˙ A = 2nα∗ P (t) ˙ N = 4nα∗ M0 ˙ 1 R4 y 2 dy dx = nρ¨ α∗ 1 , α˙ 6 tg ϕ ydy dx = nρα∗ P (t) ˙ 3 R1 , 3 tg ϕ R1 . tg ϕ Подставляя эти выражения в (1), получаем уравнение движения для схемы 2: ρ¨ R1 α 12M0 = P (t) - 2 . 2 R1 (8) В случае схемы 3 (рис. 4) динамическое поведение области S2 как круглой пластины, защемлённой по полигональному внутреннему контуру, можно получить на основе [10]. Скорости прогибов пластины для схемы 3 имеют вид u(x, y, t) = -α(t)y, ˙ ˙ (x, y) ∈ S2 . (9) Выражения для мощностей (2) примут вид K = 2nρ¨ α α˙ √ R1 /tg ϕ ∗ 0 2 R2 -x2 -R1 0 R2 cos ϕ y 2 dy dx+ √ 2 R2 -x2 -R1 + R1 /tg ϕ = 2n¨ α α˙ ∗ x tg ϕ-R1 3 4 (3R2 sin ϕ - 16R1 ) R2 sin ϕ - 2R1 + π 2 2 2 -ϕ + 3R2 R2 + 4R1 tg ϕ 2 √ R1 /tg ϕ A = 2nα∗ P (t) ˙ y 2 dy dx = ρ , 24 tg ϕ 2 R2 -x2 -R1 ydy dx+ 0 0 R2 cos ϕ √ 2 R2 -x2 -R1 + ydy dx = R1 /tg ϕ x tg ϕ-R1 3 3 2 = 2nα∗ 2R2 sin ϕ + R1 - 3R1 R2 tg ϕ ˙ π -ϕ 2 P (t) , 6 tg ϕ N = 2nα∗ M0 R2 cos ϕ. ˙ Подставляя последние выражения в (1), получаем уравнение деформирования пластины в случае схемы 3: 98 Оптимальное расположение полигональных внутренних опор . . . 3 4 2 2 2 ρ¨ (3R2 sin ϕ - 16R1 ) R2 sin ϕ - 2R1 + 3R2 R2 + 4R1 tg ϕ α π -ϕ 2 3 3 2 = 4P (t) 2R2 sin ϕ + R1 - 3R1 R2 tg ϕ π -ϕ 2 = - 24M0 R2 sin ϕ. (10) Начальные условия имеют вид: α(0) = α(0) = 0. ˙ (11) 2. Определение предельной нагрузки и схемы деформирования. Предельную нагрузку P0i (i = 1, 2, 3) при разных схемах деформирования определяем из уравнений движения (7), (8), (10) при учете α = 0: ¨ 6M0 cos ϕ , R2 [3R1 (π/2 - ϕ) - 2R2 cos ϕ] 12M0 P02 = 2 , R1 6M0 R2 sin ϕ . = 3 3 2 2R2 sin ϕ + R1 - 3R1 R2 tg ϕ(π/2 - ϕ) P01 = P03 (12) (13) (14) Предельная нагрузка для пластины определится как P0 = min (P01 , P02 , P03 ) . (15) Номер i, соответствующий минимальному значению величин P0i , определяет номер схемы деформирования пластины, i = 1, 2, 3. 3. Интегрирование уравнений движения. Для «средних» нагрузок при Pmax > P0 движение пластины по схемам 1-3 определяется уравнениями (7), (8), (10), которые можно записать в виде α(t) = Gi [P (t) - P0i ] , ¨ (16) где i = 1, 2, 3 - номер схемы, 4 [3R1 (π/2 - ϕ) - 2R2 cos ϕ] , 2 2 ρ (3R2 sin ϕ - 16R1 ) R2 cos ϕ + 3 R2 + 4R1 (π/2 - ϕ) 2 G2 = , ρR1 3 3 2 4 2R2 sin ϕ + R1 - 3R1 R2 tg ϕ (π/2 - ϕ) . G3 = 3 4 2 2 2 ρ (3R2 sin ϕ - 16R1 ) R2 sin ϕ - 2R1 + 3R2 tg ϕ R2 + 4R1 (π/2 - ϕ) G1 = Начальные условия имеют вид (11). В момент времени t = T нагрузка снимается, и пластина движется далее по инерции. Интегрируя уравнение (16), получаем (0 t T ) t t P (τ )dτ - P0i t , α(t) = Gi ˙ 0 m α(t) = Gi 0 0 1 P (τ )dτ dm - P0i t2 . (17) 2 99 Р о м а н о в а Т. П. При T < t tf движение пластины происходит по инерции до остановки в момент времени tf и описывается уравнением α(t) = -Gi P0i ¨ (18) с начальными условиями на α, α в момент времени T , определяемыми из ˙ (17). Время tf определяется из условия α(tf ) = 0. ˙ (19) Интегрируя уравнение движения (18), получаем α(t) = α(T ) - Gi P0i (t - T ), ˙ ˙ 1 α(t) = α(T ) + α(T )(t - T ) - Gi P0i (t - T )2 . ˙ 2 (20) (21) Из уравнений (19), (20) следует tf = T 1 P0i P (t)dt. (22) 0 По правилу интегрирования по частям справедливо равенство t t T 0 0 T P (t)dt - P (τ )dτ dt = T 0 tP (t)dt, 0 учитывая которое, из (21), (22) получаем выражение для остаточного угла поворота 2 T T 1 P (t)dt - tP (t)dt . α(tf ) = Gi 2P0i 0 0 Прогибы пластины определяются из равенств (4) для схем 1, 2 и (9) для схемы 3. Максимальный остаточный прогиб пластины вычисляется по следующей формуле: wmax = zi α(tf ) = zi Gi 1 2P0i 2 T P (t)dt 0 T - tP (t)dt . 0 Здесь i - номер схемы; z1 = z2 = R1 , z3 = R2 - R1 . 4. Результаты численных расчётов. На рис. 5 приведены графики распре2 деления предельной нагрузки P0 (в безразмерном виде P0 R2 /M0 ), полученные по формулам (12)-(15), в зависимости от расположения опорного контура (от отношения R1 /R2 ) при разном количестве сторон полигонального опорного контура. Кривая 1 на рис. 5 изображает случай треугольного опорного контура (n = 3). В этом случае (0 R1 /R2 0.5) пластина деформируется только по схеме 3; максимальная предельная нагрузка достигается при R1 /R2 = 0.5 и 2 равна P0 = 13.755M0 /R2 . Ломаная линия 2 на рис. 5 изображает случай квадратного опорного контура (n = 4). В этом случае при 0 R1 /R2 0.655 реализуется схема 3, 100 Оптимальное расположение полигональных внутренних опор . . . Рис. 5. [Figure 5] при 0.655 R1 /R2 0.67 - схема 2, а при 0.67 R1 /R2 0.707 - схема 1; 2 max P0 = 28.1M0 /R2 достигается при R1 /R2 = 0.655. Ломаная линия 3 на рис. 5 относится к случаю n = 6. Для такой пластины при 0 R1 /R2 0.678 реализуется схема 3, при 0.678 R1 /R2 0.718 - схе2 ма 2, при 0.718 R1 /R2 0.866 - схема 1; max P0 = 26.1M0 /R2 достигается при R1 /R2 = 0.678. Ломаная линия 4 на рис. 5 изображает случай n = 20 (практически круговая опора). Для этого случая при 0 R1 /R2 0.697 реализуется схема 3, при 0.697 R1 /R2 0.76 - схема 2, при 0.76 R1 /R2 0.988 - схема 1; 2 max P0 = 24.7M0 /R2 достигается при R1 /R2 = 0.697. Из расчётов видно, что при квадратной форме опорного контура максимальная предельная нагрузка пластины будет самой большой по сравнению с максимальными предельными нагрузками, полученными для других форм опорного контура. Следовательно, наименьшая повреждаемость будет достигать при квадратном внутреннем опорном контуре с радиусом вписанной окружности R1 = 0.678R2 . Поскольку при любом n 4 максимальная предельная нагрузка соответствует параметру R1 , при котором схема 2 переходит в схему 3, то, приравнивая P02 и P03 в равенствах (13), (14), получаем алгебраическое уравнение для определения оптимального значения R1 (ϕ = π(n - 2)/2n): 3 3 2 2 2 2R2 sin ϕ + R1 - 3R1 R2 tg ϕ (π/2 - ϕ) = R2 R1 sin ϕ. При n → ∞ получаем решение для круглой пластины с внутренней круг2 лой опорой, для которой максимальная предельная нагрузка P0 = 24.1M0 /R2 достигается при R1 /R2 = 0.7. Такое расположение опоры совпадает с оптимальным, полученным в [3] на основе точного решения с использованием условия пластичности Йогансена. При n → ∞ и R1 = R2 получаем случай круглой пластины, шарнирно опёртой по контуру, которая деформируется по схеме 1. Предельная нагрузка для неё получается предельным переходом из 2 формулы (12) и составляет P0 = 6M0 /R2 . Эта предельная нагрузка и остаточные прогибы пластины совпадают с точным решением задачи при условии пластичности Треска [1]. 101 Р о м а н о в а Т. П. В случае постоянного периметра D = 2nR1 /tg ϕ опорного контура L1 формулы (12)-(14) при обозначении d = D/(2πR2 ) принимают вид P01 = P03 = 6M0 n cos ϕ 2 [3π tg ϕ (π/2 - ϕ) d - R2 12M0 n2 P02 = , (πdR2 tg ϕ)2 2 R2 [2 sin ϕ 2n cos ϕ] , 6M0 sin ϕ . + (dπtg ϕ/n)3 - 3dπ tg2 ϕ (π/2 - ϕ) /n] (23) (24) (25) На рис. 6 приведены графики распределения предельной нагрузки P0 2 (в безразмерном виде P0 R2 /M0 ), полученные по формулам (23)-(25), (15) в зависимости от параметра d (безразмерный периметр опорного контура L1 ) при разном количестве сторон полигонального опорного контура. Кривая 1 на рис. 6 изображает случай n = 3: пластина деформируется 2 только по схеме 3; 0 d 0,827; max P0 = 13.755M0 /R2 достигается при d = 0.827. Ломаные линии 2-4 на рис. 6 изображают случаи n = 4 (max P0 = 2 2 2 = 28.1M0 /R2 ), n = 5 (max P0 = 26.8M0 /R2 ), n = 6 (max P0 = 26.1M0 /R2 ) соответственно. Ломаная линия 5 на рис. 6 изображает случай круглой опоры (n → ∞); при 0 d 0.697 реализуется схема 3, при 0.697 d 0.76 - схема 2, при 2 0.76 d 0.99 - схема 1; max P0 = 24.7M0 /R2 достигается при d = 0.697. Из рис. 6 видно, что при заданном периметре опирания D треугольная форма контура опоры является самой нежелательной. При 0 d 0.697 и d = 1 оптимальной является круглая опора; при 0.748 d 0.764 - шестиугольная опора, при 0.764 d 0.81 - пятиугольная, при 0.81 d 0.9 - квадратная. Оптимальное количество сторон при 0.9 < d < 1 определим так. Из нера- Рис. 6. [Figure 6] 102 Оптимальное расположение полигональных внутренних опор . . . венства R1 R2 sin ϕ и выражения ϕ = π(n - 2)/2n следует π(n - 2) n cos . (26) π 2n Тогда максимальное целое значение n, удовлетворяющее неравенству (26), будет оптимальным количеством сторон при 0.9 < d < 1. Таким образом, изменяя количество сторон и расположение опорного полигонального контура внутри области пластины, можно найти такую опору, при которой пластина будет наиболее прочной.

About the authors

Tatiana P Romanova

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: lab4nemir@gmail.com
(Cand. Phys. & Math. Sci.; lab4nemir@gmail.com), Senior Researcher, Lab. of the Physics of Fast Processes 4/1, Institutskaya st., Novosibirsk, 630090, Russian Federation

References

Supplementary files