On the one property of the free components concerning to the sum of equal powers

Full Text

Существует известный алгебраический подход к исследованию способов определения суммы одинаковых натуральных степеней. Обзор исторического развития этой научной области можно найти в отчётах [1, 2], а современное развитие - в работах [3-9]. В рамках данного подхода сформировалось авторское направление, характеризующееся исследованием свободных и весовых компонентов сумм указанного вида [10-12]. Именно свободные компоненты и являются предметом нашего настоящего рассмотрения. © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования: Н и к о н о в А. И. Об одном свойстве свободных компонентов, относящихся к суммам одинаковых степеней // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.мат. науки, 2014. № 3 (36). С. 161-168. doi: 10.14498/vsgtu1333. 161 Н и к о н о в А. И. Известно следующее комбинаторное представление суммы одинаковых степеней с натуральными основаниями и показателями [10, 11]: max ι ι α0 Φp(ι)0 ; Φ(p, ν) = (1) ι=1 p ∈ N\{1}, ν ∈ N, p(ι) = p - ι. max ι = min(p, ν), ι Здесь α0 - величина, называемая свободным компонентом суммы (1) и определяемая из рекуррентной формулы max j(i) j(ι) i(ν) ι(ν) ι αj(ι) = αj(ι) = Cj(i) αj(i) ; (2) j(i)=j(ι)+1 i = ι - 1 ∈ {0, . . . , max i}, max i = max ι - 1 = min(p - 1, ν - 1); j(ι) ∈ J0 = {0, . . . , max j(ι)}, max j(ι) = ν - ι; j(i) ∈ {1, . . . , max j(ι)}, max j(i) = ν - i = ν - ι + 1; 0(ν) 0 αj(0) = αj(0) = 0: 1: 1 j(0) < ν, j(0) = ν. Величина Φp(ι)0 называется весовым компонентом суммы (1). Как видим, название свободного компонента объясняется его независимостью от весовой части (1). В настоящей работе приводится доказательство свойства свободного компонента (2) суммы (1), которое соблюдается при выполнении равенства ι + j(ι) = ν, (3) указанного в нашей прежней работе [12]: ι(ν) αj(ι) = Aι = ν(ν - 1) . . . (ν - ι + 1) = ν!/(ν - ι)!. ν Величина Aι представляет собой число комбинаторных размещений из ν ν по ι элементов [13]. Сначала приведём тот вид, который приобретает сумма (1) в модификации её выражения, выявленной в известной статье [11] (теорема 1): ∀j(ι) ∈ J0 , max j(ι) = ν - ι : max t(j(ι)) s(ι)=ι ι(ν) t(j(ι)) αj(ι) = t(j(ι)) C qs(ι) , qs(ι)-1 ; (4) t(j(ι))=1 s(ι)=1 t(j(ι)) qs(ι)-1=0 = j(ι), t(j(ι)) qs(ι)=ι = ν; i max t(j(ι)) = Cν-1-j(ι) . (5) (6) Здесь запись биномиальных коэффициентов в выражении (4) выполнена в одной из её употребительных форм [11], где больше места отводится под размещение индексов. 162 Об одном свойстве свободных компонентов. . . Далее укажем, что t(j(ι)) ∀qs(ι) ∈ Q(s(ι)), s(ι) ∈ S1 (ι), t(j(ι)) qs(ι)-1 ∈ Q(s(ι) - 1), s(ι) - 1 ∈ S0 (i) : t(j(ι)) qs(ι) t(j(ι)) > qs(ι)-1 ; S1 (ι) = {1, . . . , ι}, S0 = {0, . . . , i}; Q(s(ι)) = {j(ι) + s(ι), . . . , ν - ι + s(ι)}, Q(s(ι) - 1) = {j(ι) + s(ι) - 1, . . . , ν - ι + s(ι) - 1}. При наличии равенства (3) соотношение (6) может быть представлено как i max t(j(ι)) = Cν-1-j(ι) = Cii = 1. Тогда выражение (4) приобретает вид s(ι)=ι ι(ν) αj(ι) q s(ι)-1 q0 q Cqs(ι) = Cq1 . . . Cqιι-1 . = (7) s(ι)=1 В этом выражении нам уже нет нужды специально использовать верхние индексы вида t(j(ι)) для чисел qs(ι) , qs(ι)-1 . Заметим далее, что при действии равенства (3) будем иметь j(ι) = ν - ι = max j(ι), (8) и поэтому число qs(ι)-1=0 из формул (5) может быть записано как qs(ι)-1=0 = max j(ι). Следовательно, исходя из приведённого упрощения (7) формулы (4), свободные компоненты суммы одинаковых степеней соответственно могут быть представлены таким образом: s(ι)=ι ι(ν) αj(ι) = ι(ν) αmax j(ι) = max j(ι) ν-1 Cmax j(ι)+1 . . . Cν max j(ι)+s(ι)-1 = Cmax j(ι)+s(ι) . (9) s(ι)=1 Поскольку используемое число биномиальных коэффициентов max s(ι) = = ι соответствует - согласно формуле (8) - числу ν - max j(ι), опять-таки равному ι, и имеет место условие qs(ι) > qs(ι)-1 , то существует следующая используемая для построения (9) конечная последовательность биномиальных коэффициентов max j(ι)+s(ι)-1 Cmax j(ι)+s(ι) , s(ι) = 1, . . . , ι ; перестановочно-инверсный вариант её записи с сохранением тех же членов имеет вид ν-s(ι) Cν-s(ι)+1 , s(ι) = 1, . . . , ι . 163 Н и к о н о в А. И. То есть с принятием последовательных значений от s(ι) = 1 до s(ι) = ι мы получаем именно произведения вида (9). Это утверждение подтверждается также, если исходить из самой структуры матрицы [10], используемой для подсчёта значений свободных компонентов. Действия, производимые с помощью данной матрицы и аппарата матричной алгебры [14], отражаются формулой (2), а равенство (3) позволяет упростить выражение (2) следующим образом: ι(ν) ι(ν) i(ν) ν-ι αj(ι) = αmax j(ι) = Cν-ι+1 αmax j(i) . Указанное утверждение о единственности произведения членов рассматриваемых последовательностей биномиальных коэффициентов иллюстрирует приводимый на следующей странице рисунок, где для определённости принято: ν = 5; ι = 1, . . . , 5. На рисунке показан порядок последовательного построения свободных ι(ν) 0(5) компонентов вида αmax j(ι) для значений ν = 5, αmax j(0) = 1 (см. начальное 0(ν) значение αj(0) = 1 для j(0) = ν, прилагаемое к формуле (2)): max j(1) 4 a) ι = 1, i = 0, max j(1) = 5 - 1 = 4, max j(0) = 5 - 0 = 5, Cmax j(0) = C5 , 1(5) 0(5) 4 4 αmax j(1) = C5 αmax j(0) = C5 ; max j(2) 3 b) ι = 2, i = 1, max j(2) = 5 - 2 = 3, max j(1) = 5 - 1 = 4, Cmax j(1) = C4 , 2(5) 1(5) 3 4 3 αmax j(2) = C4 αmax j(1) = C5 C4 ; max j(3) 2 c) ι = 3, i = 2, max j(3) = 5 - 3 = 2, max j(2) = 5 - 2 = 3, Cmax j(2) = C3 , 3(5) 2(5) 2 4 3 2 αmax j(3) = C3 αmax j(2) = C5 C4 C3 ; max j(4) 1 d) ι = 4, i = 3, max j(4) = 5 - 4 = 1, max j(3) = 5 - 3 = 2, Cmax j(3) = C2 , 4(5) 3(5) 2 4 3 2 1 αmax j(4) = C1 αmax j(3) = C5 C4 C3 C2 ; max j(5) 0 e) ι = 5, i = 4, max j(5) = 5 - 5 = 0, max j(4) = 5 - 4 = 1, Cmax j(4) = C1 , 5(5) 4(5) 0 4 3 2 1 0 αmax j(5) = C1 αmax j(4) = C5 C4 C3 C2 C1 . Значения свободных компонентов представляют собой произведения чисел, записываемых слева и справа от двойной линии на рисунках a)-e). Далее несложно заметить, что произведение (9) есть именно убывающий факториал [15], соответствующий числу размещений из ν по ι элементов [13]: ι(ν) αmax j(ι) = ν . . . (ν - ι + 1) = Aι . ν (10) Для перестановок, представляемых как Pν , получаем в частном случае ι=ν Pν = Aν ν(ν) α0 Равенство ι(ν) ι(ν) = Aν = Pν = ν!. ν αj(ι) = αmax j(ι) = Aι , ν j(ι) + ι = ν можно, таким образом, считать доказанным. 164 Об одном свойстве свободных компонентов. . . a b c d e Иллюстрация к последовательному построению свободных компонентов для ν = 5: a) ι = 1; b) ι = 2; c) ι = 3; d) ι = 4; e) ι = 5 [Illustration for the sequential construction of free components when ν = 5: a) ι = 1; b) ι = 2; c) ι = 3; d) ι = 4; e) ι = 5] Теперь упомянем о том, что согласно равенству, справедливость которого установлена в работе [12], имеем   ι ι(ν) αj(ι) q j(ι) (-1)ι+q Cι q ν-j(ι)  Cν . = q=1 Это равенство верно, в том числе, и для случая j(ι) + ι = ν. Тогда можно обоснованно утверждать следующее:     ι Aι =  ν ι q ν-ι (-1)ι+q Cι q ι  Cν =  q=1 q ι (-1)ι+q Cι q ι  Cν . (11) q=1 Размещения вида Aι и соответствующие им значения свободных компоν нентов (10) показаны в нижеприводимой таблице для чисел ι, ν = 1, . . . , 5, j(ι) = 0, . . . , ν - ι при соблюдении условия (3). Данная таблица может выстраиваться рекуррентным образом с использованием известного соотношения Aι = νAι-1 . ν ν-1 Что же касается доказанного равенства ι(ν) ι(ν) αmax j(ι) = αν-ι = Aι , ν 165 Н и к о н о в А. И. ι j(ι) 0 1 2 3 4 1 2 3 1(1) α0 = = A2 = 2 2 2(3) α1 = = A2 = 6 3 2(4) α2 = = A2 = 12 4 2(5) α3 = = A2 = 20 5 2(2) α0 = = A3 = 6 3 3(4) α1 = = A3 = 24 4 3(5) α2 = = A3 = 60 5 α0 = = A1 = 1 1 1(2) α1 = = A1 = 2 2 1(3) α2 = = A1 = 3 3 1(4) α3 = = A1 = 4 4 1(5) α4 = = A1 = 5 5 3(3) 4 4(4) α0 = = A4 = 24 4 4(5) α1 = = A4 = 120 5 5 5(5) α0 = = A5 = 120 5 то оно, как показывает выражение (11), позволяет представлять число размещений не только в виде произведения элементов этого числа.

About the authors

Alexander I Nikonov

Samara State Technical University

Email: nikonovai@mail.ru
(Dr. Techn. Sci.; nikonovai@mail.ru), Professor, Dept. of Electronic Systems and Information Security 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files