Boundary value problem for mixed type equation of the third order with periodic conditions

Full Text

Введение. Рассмотрим уравнение третьего порядка смешанного типа ∂ ∂ (Lu) = uxx + (sgn y)uyy − b2 u = 0 ∂y ∂y (1) в прямоугольной области D = {(x, y) | 0 < x < 1, −α < y < β} , где α, β, b — заданные положительные постоянные, и следующую задачу. Задача 1.Найти в области D функцию u(x, y), удовлетворяющую условиям: u(x, y) ∈ C 1 (D), uy (x, y) ∈ C 1 (D), uxxy , uyyy ∈ C(D− ∪ D+ ); ∂ (Lu) = 0, (x, y) ∈ D− ∪ D+ ; ∂y u(0, y) = u(1, y), ux (0, y) = ux (1, y), −α y β; u(x, −α) = ψ(x), u(x, β) = ϕ(x), 0 x 1; uy (x, −α) = g(x), 0 x 1, (2) (3) (4) (5) где ψ(x), ϕ(x), g(x) — заданные достаточно гладкие функции, ψ(0) = ψ(1), ϕ(0) = ϕ(1), ψ (0) = ψ (1), ϕ (0) = ϕ (1), D− = D ∩ {y < 0}, D+ = D ∩ {y > 0}. Уравнение (1) в области D равносильно уравнению эллиптико-гиперболического типа второго порядка с неизвестной правой частью Lu = f (x, y) = f1 (x), y > 0, f2 (x), y < 0. (6) 29 К. Б. С а б и т о в, Г. Ю. У д а л о в а Тогда задача 1 сводится к следующей обратной задаче. Задача 2. Найти в области D функции u(x, y) и f (x, y), удовлетворяющие условиям (2), (3)–(5) и Lu = f (x, y), (x, y) ∈ D− ∪ D+ ; fi (x) ∈ C(0, 1) ∩ L2 [0, 1], i = 1, 2. (7) (8) Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка изучались многими авторами (см. работы [1–3] и приведенную там библиографию). В [1, 2] исследуются краевые задачи для уравнения (1) при b = 0 аналитическими методами в области, где гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник. Решение найдено в классе функций, представимых в виде u(x, y) = ω(x, y) + ω(x), где ω(x, y) — произвольное регулярное решение уравнения Lu = 0 при b = 0, y = 0, ω(x) — произвольная функция из класса C[0, 1] ∩ C 2 (0,1), удовлетворяющая условиям ω(0) = ω(1) = 0. В [3] получены теоремы об однозначной разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных нечётного порядка в цилиндрических областях. В работах [4, 5] доказаны единственность и существование решения краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа третьего порядка в прямоугольной области. В данной работе, как и в работах [4, 5], предлагается метод решения задачи для дифференциального уравнения третьего порядка путём сведения к обратной задаче для дифференциального уравнения смешанного типа второго порядка с неизвестными правыми частями. Ранее обратные задачи для различных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались многими авторами [6–13]. Обратные задачи для уравнений смешанного типа второго порядка с неизвестными правыми частями рассматривались в работах [14–20]. В работах [18–20] для уравнения (6) при f1 (x) = f2 (x) и f1 (x) = f2 (x) изучены обратные задачи с граничными условиями второго рода ux (0, y) = ux (1, y) = 0, −α y β, когда b = 0 и b > 0. В этой работе изучены задачи 1 и 2 с условиями периодичности (3). Установлен критерий единственности. Решение указанных задач построено в виде суммы рядов по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. При определенных ограничениях на данные задачи (2)–(5) дано обоснование сходимости рядов в классах (2) и (8). Установлена устойчивость решения по граничным данным. 1. Формальное построение решения задач 1 и 2. Поставленную задачу будем решать методом разделения переменных u(x, y) = X(x)Y (y). Соответствующая спектральная задача относительно X(x) имеет следующую систе√ му собственных чисел и собственных функций: µk = 2πk, k ∈ N0 = N ∪ {0}; √ √ X0 (x) = 1, X2k−1 (x) = 2 sin 2πkx, X2k = 2 cos 2πkx, k ∈ N. (9) Система (9) ортонормирована, полна и образует базис в пространстве L2 [0, 1]. Пусть существует решение задачи 2. Будем искать его в виде суммы ортогональных рядов: u(x, y) = u0 (y) + √ ∞ 2 (u2k−1 (y) sin 2πkx + u2k (y) cos 2πkx) , k=1 30 (10) Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности fi (x) = fi,0 + √ ∞ 2 (fi,2k−1 sin 2πkx + fi,2k cos 2πkx) , i = 1, 2, (11) k=1 где 1 u(x, y) dx, u0 (y) = 0 u2k (y) = u2k−1 (y) = √ √ 1 0 1 2 u(x, y) sin 2πkx dx, 2 (12) u(x, y) cos 2πkx dx, 0 1 fi,0 = fi (x) dx, 0 fi,2k = √ fi,2k−1 = √ 1 2 1 2 fi (x) sin 2πkx dx, 0 fi (x) cos 2πkx dx, (13) i = 1, 2, k ∈ N. 0 Следуя [18], получим, что функции uk (y), k ∈ N0 , являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений uk (y) − (sgn y)λ2 uk (y) = (sgn y)fi,k , k (14) где λ2 = (2πk)2 + b2 , i = 1 при y > 0, i = 2 при y < 0. k Дифференциальные уравнения (14) имеют общие решения y > 0, ak eλk y + bk e−λk y − f1,k /λ2 , k ck cos λk y + dk sin λk y − f2,k /λ2 , y < 0, k uk (y) = (15) здесь k ∈ N0 , ak , bk , ck , dk — произвольные постоянные. В силу условий (2) функции uk (y), определяемые формулами (15), удовлетворяют условиям сопряжения: uk (0 − 0) = uk (0 + 0), uk (0 − 0) = uk (0 + 0), uk (0 − 0) = uk (0 + 0), Удовлетворяя их этим условиям, получим   ak eλk y + f1,k −f2,k − ak e−λk y − f1,k , 2λ2 λ2 k k uk (y) = f2,k −f1,k f2,k −f1,k  cos λk y + 2ak + 2λ2 sin λk y − 2 2λ k k k ∈ N0 . y > 0, f2,k , λ2 k (16) y < 0. На основании (4), (5) и (12) имеем uk (−α) = ψk , uk (β) = ϕk , uk (−α) = gk , k ∈ N0 , (17) где ψk , ϕk , gk — коэффициенты разложения функций ψ(x), ϕ(x), g(x) соответственно в ряд по системе (9), т. е. 1 ψ0 = ψ(x) dx, 0 ψ2k = ψ2k−1 = √ 1 2 √ 1 2 ψ(x) sin 2πkx dx, 0 (18) ψ(x) cos 2πkx dx, 0 31 К. Б. С а б и т о в, Г. Ю. У д а л о в а 1 ϕ(x) dx, ϕ0 = 0 ϕ2k = ϕ2k−1 = √ √ 1 ϕ(x) sin 2πkx dx, 2 0 1 (19) ϕ(x) cos 2πkx dx, 2 0 1 g0 = g(x) dx, 0 g2k = g2k−1 = √ √ 1 2 g(x) sin 2πkx dx, 0 1 (20) g(x) cos 2πkx dx. 2 0 Удовлетворим решения (16) условиям (17). Тогда относительно неизвестных ak , bk , f1,k , f2,k получим системы линейных уравнений:          f2,k −f1,k f −f cos λk α − 2ak + 2,k 2 1,k sin λk α − 2λ2 2λk k λk β + −a − f2,k −f1,k e−λk β − f1,k = ϕ , ak e k k 2λ2 λ2 k k f2,k −f1,k f2,k −f1,k sin λk α + 2ak + 2λ2 cos λk α = 2λ2 k k f2,k λ2 k = ψk , (21) gk λk , k ∈ N0 . Определители систем (21) такие: ∆αβb (k) sin λk α sh λk β + cos λk α ch λk β − 2 cos λk α + 1 = . 4 λk λ4 k Тогда при условии, что при всех k ∈ N0 ∆αβb (k) = 0, (22) системы (21) имеют единственные решения: ak = f1,k = f2,k = −(sin λk α + cos λk α)ψk + ϕk + (cos λk α − sin λk α − 2)gk /λk , 2∆αβb (k) −λ2 [(sin λk α sh λk β + cos λk α ch λk β)ψk + (2 cos λk α − 1)ϕk ] k − ∆αβb (k) λk (sin λk α ch λk β − cos λk α sh λk β + 2 sh λk β)gk − , (24) ∆αβb (k) λ2 [(2 cos λk α − sin λk α sh λk β − cos λk α ch λk β)ψk − ϕk ] k + ∆αβb (k) λk (2 sin λk α − sin λk α ch λk β + cos λk α sh λk β)gk + . (25) ∆αβb (k) Таким образом, функции (16) построены однозначно. 32 (23) Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности 2. Единственность решения задач 1 и 2. Пусть ψ(x) = ϕ(x) = g(x) ≡ 0 и выполнены условия (22). Тогда в силу (18)–(20) коэффициенты ψk = ϕk = = gk ≡ 0, k ∈ N0 , а значит, системы (21) имеют нулевые решения: ak = f1,k = = f2,k ≡ 0 при k ∈ N0 . Тогда из равенств (12) и (13), учитывая (16), получаем, что при всех y ∈ [−α, β] u(x, y) cos 2πkx dx = 0, u(x, y) sin 2πkx dx = 0, u(x, y) dx = 0, 0 0 0 1 1 fi (x) dx = 0, 0 1 1 1 1 fi (x) sin 2πkx dx = 0, fi (x) cos 2πkx dx = 0, 0 i = 1, 2. 0 Отсюда в силу полноты системы (9) в пространстве L2 [0, 1] и условий (2), (8) следует, что u(x, y) ≡ 0 и f (x, y) ≡ 0 в D. Пусть для некоторых α, β, b, k = p ∈ N выражение ∆αβb (p) = 0, тогда задачи 1 и 2, где ϕ(x) = ψ(x) = g(x) ≡ 0, имеют ненулевые решения: up (x, y) = u0 (y) + up (y)(Ap sin 2πpx + Bp cos 2πpx), fi (x) = fi,p , i = 1, 2, (26) ∆αyb (p) ∆αβb (p)   up (y) =    cos λp (y+α) ∆αβb (p)λ2 p f1,p = f2,p , λ2 p −1 −1 1− y > 0, f2,p , λ2 p y < 0, p ∈ N0 , 2 cos λp α ∆αβb (p) f2,p , ∆αβb (p) = 2 cos λp α − sin λp α sh λp β − cos λp α ch λp β, где Ap , Bp , f2,p — произвольные постоянные. Теперь рассмотрим вопрос, при каких α, β и b выражение ∆αβb (k) = 0. Представим ∆αβb (k) в следующем виде: ∆αβb (k) = 2(ch λk β − 1)2 + 1 sin(λk α + θk ) + 1, (27) где θk = arcsin ch λk β − 2 2(ch λk β − 1)2 + 1 → π 4 при k → +∞. Решая уравнение ∆αβb (k) = 0 относительно α, получаем серию корней α= 1 (−1)n+1 γk − θk + πn , λk n ∈ N, (28) −1/2 где γk = arcsin 2(ch λk β − 1)2 + 1 . Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 1. Если существует решение задач 1 и 2, то оно единственно тогда и только тогда, когда выполнены условия (22) при всех k ∈ N0 . 33 К. Б. С а б и т о в, Г. Ю. У д а л о в а 3. Обоснование существования решения задач 1 и 2. Решение задач 1 и 2 при условии (22) построено формально в виде сумм ортогональных рядов (10), (11). Поскольку в числители коэффициентов этих рядов входит экспонента exp(λk β), а в знаменатель — выражение ∆αβb (k), для обоснования существования решения задачи необходимо существование таких чисел α, чтобы ∆αβb (k) при достаточно больших k возрастало не медленнее, чем exp(λk β). При этом в силу (28) возникает проблема малых знаменателей [4, 22]. 3.1. Оценка малых знаменателей. Лемма 1. Если α = p/q, p, q ∈ N, (p, q) = 1, (q, 4) = 1, β, b — любые фиксированные положительные числа, то существуют положительные постоянные k0 (k0 ∈ N) и C0 , вообще говоря, зависящие от α, β и b, такие, что при любом k > k0 справедлива оценка |∆αβb (k)| > C0 e2πkβ . (29) Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим выражение ∆αβb (k) в виде ∆αβb (k) = (sin λk α + cos λk α) sh λk β + cos λk αe−λk β + 1 − 2 cos λk α = √ π = 2 sh λk β sin λk α + + cos λk α e−λk β − 2 + 1. (30) 4 Из выражения (30) при b = 0 имеем √ π |∆αβ0 (k)| = 2 sh 2πkβ sin 2πkα + + cos 2πkα e−2πkβ − 2 + 1 4 √ π 2 sh 2πkβ sin 2πkα + − cos 2πkα e−2πkβ − 2 + 1 4 √ π 2 sh 2πkβ sin 2πkα + − cos 2πkα e−2πkβ − 2 − 1. (31) 4 Оценим первое слагаемое из правой части неравенства (31): √ π π C1 e2πkβ sin 2πkα + 2 sh 2πkβ sin 2πkα + 4 4 . (32) Здесь и в дальнейшем Ci — положительные постоянные, зависящие, вообще говоря, от α, β и b. Если α = n ∈ N, то при любом k ∈ N sin 2πkn + π 4 = sin π 1 =√ , 4 2 и тогда из (32) имеем √ C1 > √ e2πkβ . 2 Пусть теперь α = p/q, (p, q) = 1, (q, 4) = 1. Разделив в этом случае 2kp на q с остатком (2kp = sq + r, 0 r < q), получим sin 34 2 sh 2πkβ sin 2πkα + 2πkp π + q 4 = sin π 4 πr π + q 4 = C2 > 0. (33) Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности Из оценок (31), (32) и (33) имеем e−2πkβ − 2 cos 2πkα − 1 > |∆αβ0 (k)| > C3 e2πkβ − > e2πkβ C3 − 3e−2πkβ > C3 2πkβ e (34) 2 √ при k > k1 = (2πβ)−1 ln(6/C3 ). Здесь C3 = min{C1 / 2, C1 · C2 }. Теперь рассмотрим разность eλk β − e2πkβ (sin λk α + cos λk α)− 2 1 1 − e2πkβ (− sin λk α−cos λk α+sin 2πkα+cos 2πkα)+ e−λk β (cos λk α−sin λk α)− 2 2 1 −2πkβ − e (cos 2πkα − sin 2πkα) + 2(cos 2πkα − cos λk α) 2 eλk β − e2πkβ 1 | sin λk α + cos λk α| + e2πkβ (| sin λk α − sin 2πkα|+ 2 2 1 −λk β | cos λk α − sin λk α|+ + | cos λk α − cos 2πkα|) + e 2 1 + e−2πkβ | cos 2πkα − sin 2πkα| + 2| cos 2πkα − cos λk α| 2 (λk − 2πk)α e(λk −2πk)β − 1 √ (λk + 2πk)α 2 + sin e2πkβ · cos + 2 2 2 √ (λk + 2πk)α (2πk − λk )α (λk − 2πk)α · sin + 2e−2πkβ + 4 sin . + sin 2 2 2 |∆αβb (k) − ∆αβ0 (k)| = Учитывая неравенства 0 ex − 1 2x, 0 x 1; | sin x| |x|, получим |∆αβb (k) − ∆αβ0 (k)| e2πkβ √ 2(λk − 2πk)β + (λk − 2πk)α+ √ + 2e−4πkβ + 2e−2πkβ |λk − 2πk|α . Отсюда, в силу оценки 0 < λk − 2πk < b2 /(2πk) при любых k ∈ N, будем иметь |∆αβb (k) − ∆αβ0 (k)| e2πkβ 2πk √ e2πkβ √ 2 2b β + b2 α + 2 2πke−4πkβ + 2αb2 e−2πkβ 2πk √ 2 2b β + b2 α + 2πke−4πkβ + 2αb2 < < e2πkβ √ 2 1 C4 e2πkβ 2b β + 3αb2 + = . 2πk 2β k 35 К. Б. С а б и т о в, Г. Ю. У д а л о в а Из последней оценки и неравенства (34) будем иметь |∆αβb (k)| = |∆αβb (k) − ∆αβ0 (k) + ∆αβ0 (k)| |∆αβ0 (k)| − |∆αβb (k) − ∆αβ0 (k)| > при k > k0 C3 2πkβ C4 e2πkβ e − = 2 k C3 C4 = e2πkβ − = C0 e2πkβ 2 k max{k1 , k2 }, где k2 = 2C4 /C3 , C0 = C3 /4. Лемма 2. Пусть α > 0 является любым иррациональным алгебраическим числом степени n = 2. Тогда существуют положительные постоянные β0 , b0 и C0 , вообще говоря, зависящие от α, такие, что при всех β > β0 , b < b0 и k ∈ N справедлива оценка |∆αβ0 (k)| e λk β C0 . k (35) Д о к а з а т е л ь с т в о. Первый множитель выражения (27) имеет оценку 2(ch λk β − 1)2 + 1 1 √ 2(ch λk β − 1) + 1 = 2 √ √ −λ β √ −2λ β 2−1 e λk β k k − (2 − 2)e > √ eλk β . (36) = √ 1 + 2e 2 2 2 2 Рассмотрим теперь второй множитель выражения (27). При b < 2π имеет место равенство λk = b 2 = 2πk 1 b 2 1 b = 2πk 1 + − 2 2πk 8 2πk (2πk)2 + b2 = 2πk 1+ 2 + . . . = 2πk + σk , При этом для σk справедлива оценка [15] b2 b2 < σk < . 2πk 4πk (37) Тогда получим | sin(λk α + θk )| = | sin(2πkα + σk α + θk )| = = | sin(πkα1 + σk + θk )| = | sin(πkα1 − πn + σk + θk )|, (38) где σk = σk α, α1 = 2α. Для σk с учётом (37) имеем оценку b2 α b2 α < σk < . 8πk 4πk 36 (39) Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности Для любого k ∈ N существует n ∈ N такое, что имеет место неравенство [14] n 1 α1 − < , (40) k 2k с другой стороны, по теореме Лиувилля [21, c. 60] известно, что для любого алгебраического числа степени n = 2 найдется число δ > 0 такое, что при любых целых p и q (q > 0) справедлива оценка p q α1 − δ . q2 (41) Пусть n ∈ N такое, что выполняется неравенство (40). Тогда, учитывая оценку (41), имеем m π πδ πk α1 − < . k k 2 Учитывая, что θk → π/4 при k → ∞, в силу возрастания функций ch x − 2 y = arcsin u и u = 2(ch x − 1)2 + 1 имеем θ1 θk < π . 4 (42) √ Тогда при всех b < b1 = π/ 2α выполнено σk < π/8, а следовательно, с учётом (42), 3π π π . σk + θk < + = 8 4 8 Возможны два случая: 1) π/2 < |πkα1 − πn + σk + θk | < 7π/8, 2) 0 < |πkα1 − πn + σk + θk | < π/2. В первом случае | sin(πkα1 − πn + σk + θk )| > sin 7π . 8 (43) Во втором случае, учитывая неравенство sin x > 2 x, π 0 где εk = π/4 − θk > 0. 37 К. Б. С а б и т о в, Г. Ю. У д а л о в а Применяя формулу разности арксинусов arcsin x − arcsin y = arcsin(x 1 − y2 − y 1 − x2 ), xy > 0, и учитывая неравенство arcsin x < πx/2, 0 < x < 1, а также оценку (36), при √ ln 2+2 β > β1 = 3 b2 + (2π)2 будем иметь θk − π = arcsin 4 ch λk β − 2 1 − arcsin √ = 2 2(ch λk β − 1)2 + 1 = arcsin √ 2 − e−λk β 2(ch λk β − 1)2 + 1 2· √ π 2 − e−λk β 2 2· 2(ch λk β − 1)2 +1 2π √ . (45) ( 2 − 1)eλk β Из неравенства (45) следует, что 2π 2π < √ 0 < εk < √ ( 2 − 1)eλk β ( 2 − 1)λk β 2π 1 = √ . (46) ( 2 − 1)2πkβ ( 2 − 1)βk √ Тогда из (44) с учётом (39) и (46) получим | sin(πkα1 − πn + σk + θk )| > 2 πδ b2 α 1 − − √ π 4k 4πk ( 2 − 1)βk > C9 k (47) при b < b2 = π 4 1 √ δ− , α πβ( 2 − 1) β > β2 = 4 √ . πδ( 2 − 1) Из выражений (36), (43) и (47) следует справедливость леммы при β > β0 = max{β1 , β2 } и b < b0 = min{2π, b1 , b2 }. Лемма 3. Пусть α > 0 является любым иррациональным алгебраическим числом степени n = 2. Тогда существует k0 ∈ N, зависящee, вообще говоря, от α, β и b, такое, что при всех k > k0 справедлива оценка (35). Д о к а з а т е л ь с т в о леммы аналогично доказательству леммы 2 с той разницей, что необходимые ограничения для выполнения неравенств накладываются не на параметры β и b, а на номер k0 . 3.2. Существование решения задач 1 и 2 при выполнении условий леммы 1. Для доказательства существования решения задач 1 и 2 из ряда (10) формально почленным дифференцированием составим ряды √ uxx (x, y) = − 2 ∞ (2πk)2 (u2k−1 (y) sin 2πkx + u2k (y) cos 2πkx), k=1 38 (48) Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности uyy (x, y) = u0 (y) + √ ∞ 2 (u2k−1 (y) sin 2πkx + u2k (y) cos 2πkx), (49) (2πk)2 (−u2k−1 (y) cos 2πkx + u2k (y) sin 2πkx), (50) k=1 uxxy (x, y) = √ ∞ 2 k=1 uyyy (x, y) = u0 (y) + √ ∞ 2 (u2k−1 (y) sin 2πkx + u2k (y) cos 2πkx). (51) k=1 Лемма 4. Пусть выполнено неравенство (29) при k > k0 . Тогда при таких k для любых y ∈ [−α, β] справедливы оценки |uk (y)| C4 (|ψk | + |ϕk | + |gk |/k) , (52) |uk (y)| C5 k (k|ψk | + k|ϕk | + |gk |) , (53) |uk (y)| |f1,k | |f2,k | 2 C6 k (k|ψk | + k|ϕk | + |gk |) , C7 k (k|ψk | + k|ϕk | + |gk |) , C8 k (k|ψk | + k|ϕk | + |gk |) . (54) (55) (56) Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании формул (16) найдём |uk (y)| 3|f1,k | 2|f2,k | + 2λ2 λ2 k k 3 |f1,k | 1 |f2,k | + 2· 2 + 2· 2 8π k 2π k e2πkβ eb |ak | + eb · e2πkβ |ak |+ C9 e2πkβ |ak | + |f1,k | |f2,k | + 2 . (57) k2 k На основании формул (16) вычислим λ2 ak eλk y + 1 −2ak λ2 − f2,k + f1 , k e−λk y , y > 0, k k 2 (58) 1 1 2 +f 2,k − f1,k ) sin λk y, y < 0, 2 (f1,k − f2,k ) cos λk y − 2 (4ak λk  1 2 λ y 2 −λ y  λk λk ak e k + 2 (2ak λk + f2,k − f1,k )e k , y > 0, uk (y) = (59) λ 1 (f − f1,k ) sin λk y−  k 2 2,k 1 2a + f − 2 (4λk k 2,k − f1,k ) cos λk y , y < 0. uk (y) = Аналогично, исходя из равенств (58) и (59), получим |uk (y)| C10 k 2 e2πkβ |ak | + |f1,k | + |f2,k | , (60) |uk (y)| C11 k k 2 e2πkβ |ak | + |f1,k | + |f2,k | . (61) Далее на основании равенств (23)–(25) в силу оценки (29) найдём √ √ 2|ψk | + |ϕk | + ( 2 + 2)|gk |/λk C12 |gk | |ak | |ψk | + |ϕk | + , (62) 2πkβ 2πkβ k 2C0 e e 39 К. Б. С а б и т о в, Г. Ю. У д а л о в а |ϕk | + |gk | , e2πkβ |ϕk | C14 k k|ψk | + k 2πkβ + |gk | . e |f1,k | C13 k k|ψk | + k |f2,k | (63) (64) Тогда из соотношений (62)–(64) и (57)–(61) получим непосредственно оценки (52)–(56). В силу (52), (53), (55), (56) ряды (10), (11), (48), (49) мажорируются рядом +∞ k(k|ψk | + k|ϕk | + |gk |), (65) k 2 (k|ψk | + k|ϕk | + |gk |). (66) C15 k=k0 +1 а ряды (50) и (51) — рядом +∞ C16 k=k0 +1 Лемма 5. Пусть ψ(x), ϕ(x) ∈ C 3 [0, 1], g(x) ∈ C 2 [0, 1], ψ (0) = ψ (1), ϕ (0) = ϕ (1), g(0) = g(1), g (0) = g (1). Тогда справедливы представления ψ (3) ψ (3) 2k−1 2k ψ2k−1 = − (2πk)3 , ψ2k = − (2πk)3 , (3) ϕ 2k−1 ϕ2k = − (2πk)3 , (3) (3) g (3) ϕ 2k ϕ2k−1 = − (2πk)3 , (2) (2) 2k−1 g2k−1 = − (2πk)2 , g2k = g2k , (2πk)2 (67) (2) где ψk , ϕk , gk (k ∈ N) — коэффициенты разложения в ряд по системе (9) функций ψ (3) (x), ϕ(3) (x), g (2) (x), для которых справедливы следующие оценки: (3) 2 ∞ k=1 |ψk | ψ (3) (x) 2 L2 [0, 1] , (2) 2 ∞ k=1 |gk | (3) 2 ∞ k=1 |ϕk | g (2) (x) 2 2 [0, 1] . L ϕ(3) (x) 2 L2 [0, 1] , (68) Д о к а з а т е л ь с т в о. Интегрируя вторые и третьи интегралы равенств (18), (19) по частям три раза, а равенства (20) — два раза, получим непосредственно выражения (67). Поскольку система функций (9) ортонормирована в пространстве L2 [0, 1], справедливость оценок (68) следует из неравенства Бесселя по этой системе. Лемма 6. Пусть ψ(x), ϕ(x) ∈ C 4 [0, 1], g(x) ∈ C 3 [0, 1], ψ (0) = ψ (1), ϕ (0) = ϕ (1), ψ (0) = ψ (1), ϕ (0) = ϕ (1), g(0) = g(1), g (0) = g (1), g (0) = g (1). Тогда справедливы представления (4) ψ2k−1 = ψ2k−1 , (2πk)4 (4) ϕ2k = 40 ϕ2k , (2πk)4 (4) ψ2k , (2πk)4 (3) g2k g2k−1 = − (2πk)3 , ψ2k = (4) ϕ2k , (2πk)4 (3) g2k−1 − (2πk)3 , ϕ2k−1 = g2k = Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности (4) (4) (3) где ψk , ϕk , gk (k ∈ N) — коэффициенты разложения в ряд по системе (9) функций ψ (4) (x), ϕ(4) (x), g (3) (x), для которых справедливы следующие оценки: (4) 2 ∞ k=1 |ψk | 16 ψ (4) (x) 2 L2 [0, 1] , (3) 2 ∞ 16 k=1 |gk | (4) 2 ∞ k=1 |ϕk | g (3) (x) 2 2 [0, 1] . L 16 ϕ(4) (x) 2 L2 [0, 1] , Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 6 проводится аналогично доказательству леммы 5. При выполнении условий леммы 5 ряд (65), а значит и ряды (10), (11), (48), (49), мажорируются сходящимся числовым рядом ∞ C23 k=k0 1 (3) (3) (2) |ψk | + |ϕk | + |gk | . k При выполнении условий леммы 6 ряд (66), а значит и ряды (50), (51), мажорируются сходящимся числовым рядом ∞ C24 k=k0 1 (4) (4) (4) |ψk | + |ϕk | + |gk | . k Тогда, по признаку Вейерштрасса, при выполнении условий леммы 5 ряд (10) сходится равномерно в области D, ряд (11) — на отрезке [0, 1], а при выполнении условий леммы 6 ряды (48)–(51) сходятся равномерно в области D. Следовательно, функции u(x, y) и f (x, y) удовлетворяют условиям (2), (8). Подставляя ряды (48), (49) в (10), (11), убеждаемся, что эти функции удовлетворяют условию (7). Если для указанных в лемме 1 чисел α при некоторых k = l = k1 , k2 , . . . , kp k0 , где ki и p — заданные натуральные числа, выражение ∆αβb (l) = 0, то для разрешимости задачи (2)–(5) достаточно, чтобы выполнялись условия ψl = ϕl = gl = 0, l = k1 , k2 , . . . , kp . (69) Тогда решение задачи (2)–(5) определяется в виде kp −1 k1 −1 u(x, y) = (sgn k1 )u0 (y) + +∞ +... + k=1 × + k=kp−1 +1 k=kp +1 ×(u2k−1 (y) sin 2πkx + u2k cos 2πkx) + Ml ul (x, y), (70) l kp −1 k1 −1 fi (x) = (sgn k1 )fi,0 + +... + k=1 +∞ × + k=kp−1 +1 k=kp +1 ×(fi,2k−1 sin 2πkx + fi,2k cos 2πkx) + Ml ul (x, y), (71) l 41 К. Б. С а б и т о в, Г. Ю. У д а л о в а где ul (x, y) определяется по формуле (26), Ml — произвольные постоянные, в сумме l индекс l принимает значения k1 , k2 , . . . , kp ; sgn k1 = 0 при k1 = 0 и sgn k1 = 1 при k1 1. В случае, когда в конечных суммах верхний предел меньше нижнего, соответствующую сумму следует считать равной нулю. Таким образом, доказаны следующие утверждения. Теорема 2. Пусть функции ϕ(x), ψ(x), g(x) удовлетворяют условиям леммы 5 и имеет место оценка (29) при k > k0 . Тогда, если при всех k k0 выполнены условия (22), то существует единственное решение задачи 2, которое определяется рядами (10), (11). Если при некоторых k k0 выражение ∆αβb (k) = 0, то решение задачи 2 существует тогда, когда выполнены условия (69), и определяется рядами (70), (71). Теорема 3. Пусть функции ϕ(x), ψ(x), g(x) удовлетворяют условиям леммы 6 и имеет место оценка (29) при k > k0 . Тогда, если при всех k k0 выполнены условия (22), то существует единственное решение задачи 1, которое определяется рядом (10). Если при некоторых k = k1 , k2 , . . . , kp k0 выражение ∆αβb (k) = 0, то решение задачи 1 существует тогда, когда выполнены условия (69), и определяется рядом (70). 3.3. Существование решения задач 1 и 2 при выполнении условий лемм 2 и 3. Доказывая леммы, подобные леммам 2 и 3, можно обосновать справедливость следующих утверждений. Теорема 4. Пусть функции ϕ(x), ψ(x), g(x) удовлетворяют условиям леммы 6 и имеет место оценка (35) при всех b < b0 и β > β0 . Тогда существует единственное решение задачи 2, которое определяется рядами (10), (11). Теорема 5. Пусть функции ϕ(x), ψ(x), g(x) удовлетворяют условиям леммы 6 и имеет место оценка (35) при k > k0 . Тогда, если при всех k k0 выполнены условия (22), то существует единственное решение задачи 2, которое определяется рядами (10), (11). Если при некоторых k = k1 , k2 , . . . , kp k0 выражение ∆αβb (k) = 0, то решение задачи 2 существует тогда, когда выполнены условия (69), и определяется рядами (70), (71). Теорема 6. Пусть функции ψ(x), ϕ(x) ∈ C 5 [0, 1], g(x) ∈ C 4 [0, 1], ψ (0) = = ψ (1), ϕ (0) = ϕ (1), ψ (0) = ψ (1), ϕ (0) = ϕ (1), ψ (4) (0) = ψ (4) (1), ϕ(4) (0) = ϕ(4) (1) g(0) = g(1), g (0) = g (1), g (0) = g (1), g (0) = g (1) и имеет место оценка (35) при всех b < b0 и β > β0 . Тогда существует единственное решение задачи 1, которое определяется рядом (10). Теорема 7. Пусть функции ϕ(x), ψ(x), g(x) удовлетворяют условиям теоремы 6 и имеет место оценка (35) при k > k0 . Тогда, если при всех k k0 выполнены условия (22), то существует единственное решение задачи 1, которое определяется рядом (10). Если при некоторых k = k1 , k2 , . . . , kp k0 выражение ∆αβb (k) = 0, то решение задачи 1 существует тогда, когда выполнены условия (69), и определяется рядом (70). 4. Устойчивость решения задач 1 и 2. Рассмотрим известные нормы 1/2 1 u(x, y) 42 L2 [0, 1] u2 (x, y) dx = 0 , −α y β, Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности u(x, y) 1 f (x) n W2 C(D) = max |u(x, y)|, D n 1/2 |f (k) (x)|2 dx = 0 , n ∈ N0 . k=0 Теорема 8. Если выполнены условия теоремы 2 и ∆αβb (k) = 0 при k = = 1, 2, . . . , k0 , то для решения (10), (11) задач 1 и 2 справедливы оценки u(x, y) L2 u(x, y) C(D) fi (x) fi (x) L2 C(D) C17 ( ψ(x) C18 ( ψ(x) C19 ( ψ(x) + ϕ(x) L2 + g(x) L2 ), 1 1 W2 + ϕ(x) W2 + g(x) L2 ), L2 2 W2 C20 ( ψ(x) + ϕ(x) 3 W2 2 W2 + ϕ(x) + g(x) 3 W2 1 W2 ), 2 W2 ). + g(x) Здесь Ci — положительные постоянные, не зависящие от ϕ, ψ и g. Теорема 9. Если выполнены условия теоремы 3, то для решения (10), (11) задач 1 и 2 справедливы оценки u(x, y) u(x, y) fi (x) fi (x) L2 C(D) L2 C(D) C21 ( ψ(x) C22 ( ψ(x) C23 ( ψ(x) C24 ( ψ(x) 1 W2 + ϕ(x) 2 W2 3 W2 + ϕ(x) + ϕ(x) 4 W2 + ϕ(x) 1 W2 + g(x) 2 W2 3 W2 + g(x) + g(x) 4 W2 + g(x) L2 ), 1 W2 ), 2 W2 ), 4 W2 ). Здесь Ci — положительные постоянные, не зависящие от ϕ, ψ и g. Доказательство теорем 8 и 9 проводится аналогично работе [19].

About the authors

Kamil B Sabitov

Institute of Applied Research

Email: sabitov_fmf@mail.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Director 68, Odesskaya st., Sterlitamak, Russia, 453103

Galina Yu Udalova

Samara State University of Architecture and Civil Engineering

Email: yeyeg@yandex.ru
Postgraduate Student, Dept. of Higher Mathematics 194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russia

References

Supplementary files