Method for nonlinear stochastic problem of creep solving for a plane taking into account damage of the material

Full Text

Одним из основных методов решения стохастических краевых задач является метод малого параметра, который позволяет свести статистически нелинейную задачу к последовательности статистически линейных задач. Однако уже использование второго приближения метода малого параметра при решении плоской нелинейной стохастической задачи ползучести приводит к громоздким выражениям [1, 2]. Аналитические методы решения стохастических задач с учетом накопления повреждённости и третьей стадии ползучести были разработаны лишь для равномерного растяжения плоскости на основе первого приближения метода малого параметра [3]. В данной работе в общем виде приводится решение нелинейной стохастической задачи ползучести неоднородной плоскости с учётом повреждённости материала. В силу стохастической неоднородности среды компоненты тензоров напряжений и деформаций в декартовой ортогональной системе координат будут являться случайными функциями координат x1 и x2 и времени t. Упругие деформации считаются малыми настолько, что ими можно пренебречь. 69 Н. Н. П о п о в, О. О. Ч е р н о в а Определяющие соотношения ползучести с учётом третьей стадии принимаются в соответствии с энергетическим вариантом [4] нелинейной теории вязкого течения в стохастической форме [3]: 1 1 ¯ σ ¯ ¯ ¯ pij = c¯n−1 σij − δij σkk 1 + α1 U1 (x1 , x2 ) , s2 = (3¯ij σij − σii σjj ) , (1) ˙ s ¯ ¯ 3 2 σij = σij (1 + ω), ω = b (1 + α2 U2 (x1 , x2 )) σij pij , ¯ ˙ ¯ ˙ (2) где σij — компоненты тензора истинных напряжений; σij — компоненты тензо¯ ра номинальных напряжений, pij — компоненты тензора скоростей деформа˙ ций; δij — символ Кронекера; c, b, n, α1 , α2 — постоянные материала; ω — скалярный параметр повреждённости, Ui (x1 , x2 ) — случайные однородные функции, описывающие стохастические свойства материала с математическим ожиданием Ui = 0 и дисперсией Ui2 = 1. По повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 2. К определяющим соотношениям ползучести (1) присоединяются уравнения равновесия для номинальных напряжений и условие совместности деформаций, сформулированное для скоростей деформаций ползучести: σij ,j = 0, i, j = 1, 2, Λij Λkl pjk,il = 0, ˙ (3) (4) где Λij — единичный антисимметричный псевдотензор. Поставленная задача в дальнейшем решается относительно номинальных напряжений σij на основе линеаризации методом малого параметра. Очевидно, что при ω = 0 соотношения (1)–(4) задают нелинейную стохастическую задачу установившейся ползучести при плоском напряжённом состоянии без учёта накопления повреждённости и третьей стадии ползучести, аналитические методы решения которой приведены в работах [1, 2]. Представим определяющие соотношения (1), (2) в виде pij = rij (1 + ω)n , ˙ ˙ (5) n+1 ω = b 1 + α2 U2 (x1 , x2 ) σij rij (1 + ω) ˙ ˙ , (6) где 1 rij = csn−1 σij − δij σkk 1 + α1 U1 (x1 , x2 ) . ˙ 3 Здесь s — интенсивность номинальных напряжений. Разделим переменные в уравнении (6): ω ˙ = b (1 + α2 U2 (x1 , x2 )) σij rij ˙ (1 + ω)n+1 и проинтегрируем полученное при начальном условии ω(0) = 0: t 1 1 1− = b 1 + α2 U2 (x1 , x2 ) n (1 + ω)n σij rij dτ. ˙ (7) 0 Выразим величину (1 + ω)n из последнего соотношения: −1 t (1 + ω)n = 1 − bn 1 + α2 U2 (x1 , x2 ) σij rij dτ ˙ 0 70 (8) Метод решения нелинейной стохастической задачи . . . и проведём линеаризацию правой части соотношения (8): t (1 + ω)n ≈ 1 + bn 1 + α2 U2 (x1 , x2 ) σij rij dτ . ˙ (9) 0 Тогда соотношение (5) с учётом (9) приводится к виду t pij = rij 1 + bn 1 + α2 U2 (x1 , x2 ) ˙ ˙ σij rij dτ . ˙ (10) 0 Пусть тензор номинальных напряжений представлен в виде суммы детер0 ∗ минированного слагаемого σij и флуктуации σij : 0 ∗ σij = σij + σij , 0 σij = σij . (11) Линеаризация соотношения (7) была произведена в работе [5] при усло∗ ∗ ∗ вии, что величины вида σij σkl и α1 U σij малы и ими можно пренебречь: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ r11 = r11 + A (2σ11 − σ22 + (σ11 l1 + σ22 l2 + 6σ12 l3 )kl1 + α1 U1 l1 ) , ˙ ˙0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ r22 = r22 + A (2σ22 − σ11 + (σ11 l1 + σ22 l2 + 6σ12 l3 )kl2 + α1 U1 l2 ) , ˙ ˙0 ∗ ∗ ∗ ∗ r12 = r12 + 3A (σ12 + (σ11 l1 + σ22 l2 + 6σ12 l3 )kl3 + α1 U1 l3 ) , ˙ ˙0 где 1 A = csn−1 , 3 0 2 r11 = Al1 , ˙0 2 r22 = Al2 , ˙0 0 0 0 0 0 s2 = σ11 + σ22 −σ11 σ22 +3 σ12 0 2 r12 = 3Al3 , ˙0 k= n−1 , 2s2 0 0 0 0 0 0 , l1 = 2σ11 −σ22 , l2 = 2σ22 −σ11 , l3 = σ12 . Представим величины pij , rij , σij в виде разложения (11) и подставим их ˙ ˙ в соотношение (10): p0 + p∗ = rij + rij ˙ij ˙ij ˙0 ˙∗ t 1 + bn (1 + α2 U2 ) 0 ∗ σij + σij rij + rij dτ . ˙0 ˙∗ (12) 0 Учитывая при раскрытии скобок в (12) только члены первого порядка малости, для флуктуаций скоростей деформаций получим p∗ = A2 bnl1 I + A2 bnα2 U2 l1 Et+ ˙11 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + A(1 + A1 t) (2σ11 − σ22 + kl1 (σ11 l1 + σ22 l2 + 6σ12 l3 ) + α1 U1 l1 ) , p∗ = A2 bnl2 I + A2 bnα2 U2 l2 Et+ ˙22 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + A(1 + A1 t) (2σ22 − σ11 + kl2 (σ11 l1 + σ22 l2 + 6σ12 l3 ) + α1 U1 l2 ) , (13) p∗ = 3A2 bnl3 I + 3A2 bnα2 U2 l3 Et+ ˙12 ∗ ∗ ∗ ∗ + 3A(1 + A1 t) (σ12 + kl3 (σ11 l1 + σ22 l2 + 6σ12 l3 ) + α1 U1 l3 ) , где t I = I(t, x1 , x2 ) = B1 0 t ∗ σ11 dτ + B2 0 t ∗ σ22 dτ + B3 ∗ σ12 dτ, 0 71 Н. Н. П о п о в, О. О. Ч е р н о в а A1 = AbnE, E= 0 σ11 l1 + B1 = l1 (2 + kE), 0 0 σ22 l2 + 6σ12 l3 . B2 = l2 (2 + kE), B3 = 6l3 (2 + kE), Если в уравнение совместности для флуктуаций скоростей деформаций, которое можно записать в виде p∗ ,22 − 2p∗ ,12 + p∗ ,11 = 0, ˙11 ˙12 ˙22 подставить (13), то получим следующее соотношение A2 bn (l1 I,22 + l2 I,11 − 6l3 I,12 ) + A2 bnEtα2 (l1 U2,22 + l2 U2,11 − 6l3 U2,12 ) + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + A(1 + A1 t) 2σ11,22 − σ22,22 + 2σ22,11 − σ11,11 − 6σ12,12 + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + kl1 σ11,22 l1 + σ22,22 l2 + 6σ12,22 l3 + kl2 σ11,11 l1 + σ22,11 l2 + 6σ12,11 l3 − ∗ ∗ ∗ − 6kl3 σ11,12 l1 + σ22,12 l2 + 6σ12,12 l3 + α1 (U1,22 l1 + U1,11 l2 − 6U1,12 l3 ) = 0. (14) Введём функцию напряжений F для флуктуаций тензора номинальных напряжений такую, что ∗ σ11 = F,22 , ∗ σ22 = F,11 , ∗ σ12 = −F,12 . (15) ∗ Очевидно, что уравнения равновесия для флуктуаций напряжений (σij ,j = 0) удовлетворяются при этом тождественно. Подставив (15), (13) в (14), получим следующее интегро-дифференциальное уравнение относительно функции напряжений F : t t t A2 bn B1 l1 t t F,1122 dτ + l2 + B2 l1 0 0 F,1112 dτ F,1122 dτ + t F,1112 dτ − 6l3 0 − 0 t F,1222 dτ + l2 0 t F,1111 dτ − 6l3 t − B3 l1 + 0 0 0 F,1222 dτ F,1122 dτ − 6l3 F,2222 dτ + l2 0 + α1 Et (l1 U1,22 + l2 U1,11 − 6l3 U1,12 ) + α2 Et (l1 U2,22 + l2 U2,11 − 6l3 U2,12 ) + 2 2 + (1 + A1 t) F,2222 (2 + kl1 ) + 2F,1122 (2 + kl1 l2 ) + F,1111 (2 + kl2 )− − 12kl3 (F,1222 l1 + F,1112 l2 − 3F,1122 l3 )+ + α1 (U1,22 l1 + U1,11 l2 − 6U1,12 l3 ) = 0. (16) Однородные функции Up (x1 , x2 ), p = 1, 2, считаются изотропными, с их помощью задаются случайные поля возмущений реологических свойств материала. Согласно принятым условиям будем брать функции Up (x1 , x2 ) в виде 72 Метод решения нелинейной стохастической задачи . . . стохастических интегралов Фурье—Стилтьеса [4]: +∞ +∞ ei(q1 x1 +q2 x2 ) dϕp (q1 , q2 ) , Up (x1 , x2 ) = −∞ p = 1, 2, (17) −∞ причём случайные дифференциалы dϕp (q1 , q2 ) удовлетворяют условию стохастической ортогональности: dϕp (q1 , q2 ) dϕp (q1 , q2 ) = Sp (q1 , q2 ) δ q1 − q1 δ q2 − q2 dq1 dq2 dq1 dq2 , где Sp (q1 , q2 ) — спектральная плотность поля Up , δ(x) — дельта-функция Дирака; черта означает комплексное сопряжение (по индексу p не проводится суммирование). Поскольку случайные поля микронеоднородностей Up (x1 , x2 ) являются быстроосциллирующими, решение линеаризованной задачи (16) также будет однородным и его можно искать в виде +∞ +∞ ei(q1 x1 +q2 x2 ) (b1 (q1 , q2 , t)dϕ1 (q1 , q2 ) + b2 (q1 , q2 , t)dϕ2 (q1 , q2 )) , F = −∞ −∞ (18) где bp (q1 , q2 , t), p = 1, 2 — неизвестные весовые функции. Подставив представления (17), (18) в соотношение (16), получим два уравнения для вычисления весовых функций bp (q1 , q2 , t): t Kb1 (1 + A1 t) + L b1 dτ = (1 + 2A1 t)α1 M, (19) 0 t Kb2 (1 + A1 t) + L b2 dτ = A1 tα2 M, (20) 0 где 2 2 K = 2 q1 + q2 2 + kM 2 , 2 2 L = AbnM q2 B1 + q1 B2 − q1 q2 B3 , 2 2 M = q1 l2 + q2 l1 − 6q1 q2 l3 . Решим уравнение (19). Используя замену переменной b1 (t) = x(t), при˙ водим уравнение (19) к линейному дифференциальному уравнению первого порядка K(1 + A1 t)x(t) + Lx(t) = (1 + 2A1 t)α1 M. ˙ (21) Общее решение уравнения (21), найденное с помощью подстановки Бернулли в виде произведения двух функций, имеет вид − ALK x(t) = C(1 + A1 t) 1 + α1 M 2α1 M K (1 + 2A1 t) − (1 + A1 t). L L(L + A1 K) (22) Здесь C — произвольная постоянная. Дифференцируя решение (22), получим b1 (t) = −C L α 1 A1 M − L −1 (1 + A1 t) A1 K + 2 . K L + A1 K 73 Н. Н. П о п о в, О. О. Ч е р н о в а Используя начальное условие b1 (0) = α1 M /K, полученное из (19) при t = 0, найдём α1 M (L − A1 K) . C=− L(L + A1 K) В итоге весовая функция b1 (t) определяется формулой b1 (t) = α1 M (L − A1 K) α 1 A1 M − L −1 (1 + A1 t) A1 K + 2 . K(L + A1 K) L + A1 K (23) Уравнение (20) решается аналогично при начальном условии b2 (0) = 0. Его решение имеет следующий вид: b2 (t) = α2 A1 M − L −1 1 − (1 + A1 t) A1 K . L + A1 K (24) Таким образом, согласно (8), (23), (24) компоненты тензора флуктуаций номинальных напряжений вычисляются по формуле ∗ σkl = +∞ +∞ ei(q1 x1 +q2 x2 ) (ckl (q1 , q2 , t)dϕ1 (q1 , q2 ) + dkl (q1 , q2 , t)dϕ2 (q1 , q2 )) , −∞ −∞ 2 2 2 где c11 = −q2 b1 , c12 = q1 q2 b1 , c22 = −q1 b1 ; d11 = −q2 b2 , d1 = q1 q2 b2 , d11 = 2 = −q1 b2 . Дисперсии случайного поля напряжений вычислялись в предположении, что процессы ползучести и накопления повреждённости оказывают независимое влияние на вероятностные характеристики напряжений. В этом случае дисперсии напряжений определяются следующим образом: Dkl (t) = D (σkl ) = |σkl |2 = +∞ +∞ = −∞ −∞ S1 (q1 , q2 )c2 (q1 , q2 , t) + S2 (q1 , q2 )d2 (q1 , q2 , t) dq1 dq2 . (25) kl kl В случае изотропного скалярного поля Up спектральная плотность Sp за2 2 висит только от модуля волнового вектора q0 = q1 + q2 , а для дисперсии выполняется равенство [8] ∞ DUp (t) = 2π Sp (q0 )q0 dq0 = 1. (26) 0 Поэтому целесообразно в интеграле (25) сделать переход к полярным координатам q1 = q0 cos ϕ, q2 = q0 sin ϕ. Тогда дисперсии напряжений с учётом (26) будут определяться по формуле 2π 1 2 Rkl (t, cos ϕ, sin ϕ) + Q2 (t, cos ϕ, sin ϕ) dϕ, kl 2π 0 где Rkl (t, cos ϕ, sin ϕ), Qkl (t, cos ϕ, sin ϕ) — известные рациональные функции. В силу громоздкости они здесь не выписаны. В качестве примера рассмотрим случай, когда плоскость растягивается в двух ортогональных направлениях пропорционально параметру h, т. е. Dkl (t) = 74 Метод решения нелинейной стохастической задачи . . . 0 0 0 σ11 = σ 0 , σ22 = hσ 0 , σ12 = 0. Расчёты производились при h = 2, σ 0 = = 33,24 МПа и следующих параметрах определяющих соотношений, заимствованных из работы [9]: n = 3,2, c = 6,67 · 10−9 МПа−3,2 ч−1 , b = 0,141. В табл. 1 приведены значения коэффициента вариации D11 (0)/σ 0 (в процентах), полученные для случая установившейся ползучести при различных значениях α1 без учёта повреждённости (при t = 0). В табл. 2 представлены значения D11 (1000)/σ 0 в зависимости от параметров α1 и α2 . Таблица 1 α1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 D11 (0)/σ 0 1,26 2,52 3,78 5,04 6,30 Таблица 2 α1 α2 = 0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 2,74 5,05 7,45 9,88 12,31 D11 (1000)/σ 0 α2 = 0,2 α2 = 0,3 α2 = 0,4 3,46 5,48 7,75 10,10 12,49 4,41 6,12 8,22 10,47 12,79 5,47 6,92 8,83 10,96 13,19 α2 = 0,5 6,59 7,84 9,56 11,55 13,69 Из табл. 2 следует, что наблюдается существенное изменение величины коэффициента вариации D11 (t)/σ 0 с течением времени. В зависимости от сочетания параметров α1 и α2 и времени t эта величина может в несколько раз превышать соответствующее значение в случае установившейся ползучести без учёта повреждённости материала. Иными словами, на третьей стадии ползучести происходит увеличение величины флуктуации напряжения с течением времени, что, в свою очередь, может служить теоретическим обоснованием экспериментально наблюдаемого увеличения разброса деформации ползучести на стадии разупрочнения по сравнению с разбросом на стадии установившейся ползучести.

About the authors

Nikolay N Popov

Samara State Technical University

Email: ponick25@gmail.com
(Ph. D. Phys. & Math.), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

Olga O Chernova

Samara State Technical University

Email: chernova_olga@citydom.ru
Junior Research Scientist, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files