Description of creep rupture strength of tensile rod with rectangular and circular cross-section at high temperature air media

Full Text

Введение. Современные материалы и конструкции авиационно-космического и энергетического машиностроения довольно часто работают в экстремальных условиях — при высоких температурах и в агрессивных средах. Поэтому к качеству и надежности конструкций, находящихся в условиях длительного высокотемпературного нагружения, предъявляются высокие требования. Всё это приводит к необходимости осуществлять прогнозирование долговечности их работы с учетом специфических факторов, одним из которых может быть агрессивная рабочая среда. Агрессивная окружающая среда оказывает существенное влияние на характеристики высокотемпературной ползучести и длительной прочности конструкционных материалов. При этом время до разрушения материалов и конструкций при воздействии этих факторов может изменяться в несколько раз. В данной статье моделируются процессы длительной прочности материалов в агрессивной среде на основе кинетической теории Ю. Н. Работнова [1] с двумя структурными параметрами — поврежденностью ω и концентрацией c. Рассматриваются известные экспериментальные данные по длительной прочности растягиваемых образцов прямоугольного поперечного сечения (опыты И. А. Одинга и З. Г. Фридмана [2]) и круглого поперечного сечения (опыты В. J. Cane, M. I. Manning, о которых сообщается в работе [3]). Указанные эксперименты проводились в высокотемпературной воздушной среде, которая в условиях, отмеченных в [2, 3], является агрессивной. Оценивается 87 Л. В. Ф о м и н влияние агрессивной среды на длительную прочность растягиваемых образцов. При этом определяется зависимость времени до разрушения от средней концентрации среды в образцах. При анализе экспериментальных данных рассматриваются различные варианты аппроксимаций материальных функций. 1. Моделирование влияния агрессивной среды на длительную прочность образцов при одноосном растяжении. В данном пункте исследуется влияние агрессивной среды на длительную прочность образцов при одноосном растяжении на основе кинетической теории ползучести [1]. Рассматривается длинный образец, окруженный агрессивной средой. В [4, 5] приведено решение уравнения диффузии для случая постоянного уровня агрессивной среды на поверхности стержня, основанное на введении движущегося диффузионного фронта. Далее под cm понимается интегральное среднее значение концентрации агрессивной среды в стержне, отнесённое к значению концентрации среды на поверхности стержня. Следуя работам [3, 4], введём в кинетическое уравнение ползучести материальную функцию f cm (t) . Принимая дробностепенную модель длительной прочности [6], запишем кинетическое уравнение в виде n dω σ 1 =L f cm (t) , (1) dt σb − σ (1 − ω)n где σ — номинальное растягивающее напряжение; ω — повреждённость; t — время; σb — предел кратковременной прочности при соответствующей температуре; L, n — материальные константы. Проинтегрируем соотношение (1): 1 − (1 − ω)n+1 σ =L n+1 σb − σ t n f cm (t) dt. (2) 0 Согласно концепции Ю. Н. Работнова, разрушение образца при ползучести наступает при достижении предельного значения повреждённости (ω = 1). Используя данный критерий длительной прочности, из соотношения (2) получим t∗ n σ 1 = L(n + 1) f cm (t) dt, (3) σb − σ 0 где t∗ — время до разрушения образца при ползучести с учётом воздействия агрессивной среды. Пусть cm (t) ≡ 0 (окружающая агрессивная среда отсутствует). При этом f cm (t) должна быть задана таким образом, чтобы соответствовать условию f cm (t) ≡ 1. Используя перечисленные условия в соотношении (3), получим t∗ среды = L(n + 1) без σ σb − σ n −1 , (4) где t∗ среды — время до разрушения образца при ползучести без учёта возбез действия агрессивной среды. 88 Описание длительной прочности растягиваемых стержней . . . Возвращаясь к соотношению (3), получим искомую взаимосвязь времен до разрушения образца при ползучести с учетом влияния агрессивной среды t∗ и без его учета t∗ среды : без t∗ среды без t∗ (5) f cm (t) dt. = 0 2. Описание длительной прочности образцов прямоугольного поперечного сечения (опыты И. А. Одинга и З. Г. Фридмана). В качестве примера моделирования влияния агрессивной окружающей среды на характеристики длительной прочности металлов рассмотрим результаты опытов, проведённых И. А. Одингом и З. Г. Фридманом в воздушной среде [2]. В указанных экспериментах использовались плоские образцы из отожжённой мягкой углеродистой стали Ст. 3. Рабочая длина каждого образца составляла 28 мм, ширина — 6 мм. Толщина образцов H принимала различные значения от 0,15 мм до 2 мм, т.е. изменялась более чем в 13 раз. Испытания на ползучесть вплоть до разрушения проводились при температуре T = 450 ℃ и номинальных напряжениях σ = 220 ÷ 270 МПа, колебания температуры не превышали ±5 ℃. Анализ результатов испытаний показывает, что изменение H от 2,0 до 1,0 мм практически не влияет на характеристики ползучести и длительной прочности образцов, так что можно считать, что при толщине образцов H = 1 мм и более влияние окружающей среды на длительную прочность несущественно. Экспериментальные времена до разрушения t∗ для различных толщин предэ ставлены в табл. 1. Уменьшение толщины H от 1,0 до 0,15 мм при любых напряжениях приводит к уменьшению t∗ в 6–8 раз. э Таблица 1 Результаты опытов по длительной прочности И. А. Одинга и З. Г. Фридмана [2] σ = 220 МПа H, мм t∗ , час э H1 = 0,15 98 H2 = 0,2 — H3 = 0,3 140 H4 = 0,5 679 H5 = 1,0 800 t∗ = 800, час 0 σ = 235 МПа H, мм t∗ , час э σ = 250 МПа H, мм t∗ , час э 0,15 60 0,2 54 0,3 63 0,5 234 1,0 350 t∗ = 350, час 0 0,15 26 0,2 32 0,3 42 0,5 115 1,0 170 t∗ = 170, час 0 σ = 270 МПа H, мм t∗ , час э 0,15 0,2 0,3 0,5 1,0 t∗ = 77, 0 12 16 23 40 77 час Авторы [2] обращают внимание на различную роль поверхностных и внутренних слоёв при ползучести. Они отмечают, что первые трещины при длительном разрушении металла в условиях ползучести появляются, как правило, на поверхности образца. Это свидетельствует о том, что процессы разрушения поверхностных слоев образца протекают по своей интенсивности с опережением по сравнению с внутренними слоями. Масштабный эффект заметно усиливается при уменьшении толщины образцов, при этом возрастает относительная объёмная доля их поверхностного слоя. По мнению автора настоящей статьи, причиной разрушения поверхностных слоев является тот факт, что при указанной температуре поверхностные слои ослаблены агрессивным воздействием кислорода, содержащимся в воздушной среде, который образует окислы на поверхности. 89 Л. В. Ф о м и н Для анализа экспериментальных данных зададим три различных варианта функции f cm (t) в виде линейной, экспоненциальной и степенной (квадратный корень) функций: f cm (t) = exp a1 cm (t) , (6) f cm (t) = 1 + a2 cm (t), (7) f cm (t) = 1 + a3 (8) cm (t). В [4, 5] предложено приближенное решение уравнения диффузии, основанное на введении диффузионного фронта. Интегральное среднее значение безразмерной концентрации cm (t) стержня прямоугольного поперечного сечения в виде тонкой полосы толщиной H имеет следующий вид [4, 5]: cm (t) = 1 3 1 − 2 exp 3 48D t, H2 1 48D 4 1 − H2 t если 0 < t , если t > H2 48D , H2 48D , (9) где D = const — коэффициент диффузии. Определим материальные константы L и n, входящие в соотношение (1). Эти константы определяются из соотношения (4) на основе обработки значений экспериментальных времен до разрушения t∗ при H = 1 мм, для которых э характеристики длительной прочности практически не зависят от окружающей среды. С помощью метода наименьших квадратов получены следующие значения материальных констант: L = 1,04 · 10−4 , n = 4,39. Для поиска оптимального варианта функции f cm (t) и определения соответствующих констант a1 , a2 , a3 , входящих в соотношения (1), (6)–(8), были рассчитаны теоретические значения времен до разрушения t∗ для каждого вида предложенных аппроксимаций f cm (t) с учётом минимального суммарного отклонения S полученных теоретических времен разрушения t∗ от экспериментальных t∗ по формуле э 1 S= N N i=1 t∗ − t∗ э t∗ + t∗ э 2 , (10) i где N = 11 — суммарное количество экспериментальных точек для опытов с толщинами полос H = 0,15 ÷ 0,3 мм, t∗ — теоретическое время до разрушения. Необходимо отметить, что при анализе экспериментальных данных были исключены значения t∗ при = 0,5 мм с незначительным масштабным э эффектом. Теоретическое время до разрушения t∗ определялось в соответствии с формулой (5), в которой время до разрушения образцов без агрессивной среды определялось на основе соотношения (4) с использованием найденных констант L = 1,04 · 10−4 и n = 4,39 для полосы толщиной H = 1 мм. Результаты расчета с использованием трех видов аппроксимаций (6)–(8) приведены в табл. 2. 90 Описание длительной прочности растягиваемых стержней . . . Диаграммы длительной прочности: точки — эксперимент; сплошные линии — расчётные кривые с учётом степенной зависимости; штриховая линия — аппроксимация с помощью метода наименьших квадратов для толщины H5 = 1 мм без учёта агрессивной среды Таблица 2 В соответствии с табл. 2, ми- Значения материальных констант и сумнимальное значение суммарного от- марное отклонение теоретических времен клонения S определяется для стедо разрушения от экспериментальных пенной аппроксимации f cm (t) виЗначение материальных констант да (8). a1 a2 a3 На рисунке приведены графики 3,10 9,50 6,72 длительной прочности, построенные Суммарное отклонение S в соответствии с данными табл. 2, exp a1 cm (t) 1 + a2 cm (t) 1 + a3 cm (t) для степенной зависимости f cm (t) . 0,018 0,0042 0,0036 В случае точного решения уравнения диффузии [4, 5] интегральное среднее значение безразмерной концентрации cm (t) для стержня в виде тонкой полосы прямоугольного поперечного сечения толщиной H имеет следующий вид: 8 cm (t) = 1 − 2 ¯ π ∞ k=0 1 (2k + 1)2 π 2 48D exp − · 2 t . (2k + 1)2 48 H (11) В соответствии с точным решением (11) был произведён аналогичный расчёт материальных констант и суммарного отклонение теоретических времен до разрушения от экспериментальных. Результаты расчёта представлены в табл. 3. В соответствии с расчётными данными, представленными в табл. 2 и 3, сравнение результатов по приближенному (9) и точному (11) решениям уравнения диффузии показало близкие результаты. Покажем, что учёт масштабного эффекта существенно влияет на величину суммарного отклонения S теоретических времён до разрушения t∗ от экспериментальных t∗ и, как следствие, приводит к более корректному опиэ санию длительной прочности стержней. Для того чтобы это показать, рассмотрим полученные И. А. Одингом и З. Г. Фридманом экспериментальные 91 Л. В. Ф о м и н значения времен до разрушения t∗ вне зависимости от толщин образцов, а э зависящими только от напряжения σ. Применим аппроксимацию вида Таблица 3 (4) к описанию всей совокупности Значение материальных констант и суммарное отклонение теоретических времен экспериментальных точек. Для этодо разрушения от экспериментальных на го определим значения материальоснове точного решения уравнения диф- ных констант, входящих в соотношефузии ние (4), и далее на основе полученЗначение материальных констант ных значений теоретических времен a1 a2 a3 до разрушения t∗ подсчитаем величину суммарного отклонения S по 3,215 9,93 6,915 формуле (10). Суммарное отклонение S Для реализации предложенного exp a1 cm (t) 1 + a2 cm (t) 1 + a3 cm (t) подхода используем следующую ме0,018 0,004098 0,00373 тодику. Согласно справочнику [7] примем предел прочности Ст. 3 при T = 450 ℃ равным σb = 400 МПа. Предварительно с помощью метода наименьших квадратов найдём материальные константы Li и ni аппроксимации (4) для разных значений толщин образцов (Hi = 0,15 ÷ 0,3) на трёх образцах. Затем на основе среднего значения n определим константу L при помощи минимизации значения суммарного отклонения S, подсчитанного для всей совокупности экспериментальных точек t∗ без учёта их зависимости от толщины образцов. э В результате вычислений по данной методике были получены следующие значения: n = 3,53, L = 7,5 · 10−4 , S = 0,011. Сравнение суммарного отклонения S теоретических времен до разрушения t∗ с экспериментальными t∗ показало преимущество учёта масштабного э эффекта при описании длительной прочности. Об этом свидетельствует тот факт, что отклонение S при учёте масштабного эффекта в 3 раза меньше, чем без его учёта. 3. Описание длительной прочности образцов круглого поперечного сечения (опыты B. J. Cane, M. I. Manning). В данном пункте рассматриваются ползучесть и длительная прочность при растяжении цилиндрических образцов под действием высокой температуры в воздушной среде. Как было отмечено ранее, воздушная среда при высокой температуре является агрессивной. Рассмотрим процесс диффузии агрессивной среды при растяжении цилиндрического образца на основе введения диффузионного фронта среды [3, 4]. Введём безразмерные переменные r = r/R, ¯ c = c/c0 , ¯ (12) ˜ t = Dt/R2 , где r — расстояние от оси симметрии образца до произвольной точки, R — радиус поперечного сечения образца, D — коэффициент диффузии, t — время. В безразмерных переменных (12) уравнение диффузии и краевые условия для него принимают следующий вид: ∂¯ r, t c ¯˜ 1 ∂ ∂¯ c = r ¯ , ˜ r ∂r ∂r ¯ ¯ ¯ ∂t 92 c(¯, 0) = 0, ¯r c(1, t) = 1, ¯ ˜ ∂¯ ˜ c (0, t) = 0. ˜ ∂t (13) Описание длительной прочности растягиваемых стержней . . . Будем искать приближённое решение уравнения (13) с помощью введения диффузионного фронта среды. Введём координату фронта ¯ t) так, чтобы l(˜ ¯ = 1 при r = R (поверхность образца) и ¯ t0 ) = 0 при r = 0 (центр симl(0) l(˜ ˜ метрии образца). Здесь t0 — безразмерное время достижения диффузионным фронтом центра симметрии образца, т.е. заполнения диффузионной средой всего поперечного сечения. Рассмотрим две последовательные стадии решения: первая стадия — до момента заполнения фронтом всей области поперечного сечения образца ˜ ˜ ˜ ˜ (0 < t t0 ); вторая — стадия насыщения (t > t0 ). Зависимости безразмерной концентрации c от безразмерных координаты r ¯ ¯ ˜ при любом времени t зададим в виде параболических зависимостей, которые удовлетворяют граничным условиям (13): c(¯, t) = ¯r ˜ ˜ при 0 < t 0, если 0 r ¯ t); ¯ l(˜ 2 2 r − ¯ t) / 1 − ¯ t) , если ¯ t) r 1 ¯ l(˜ l(˜ l(˜ ¯ (14) ˜ t0 (первый этап) и ˜ ˜ ¯ c(¯, t) = B(t) + 1 − B(t) r2 , ¯r ˜ если 0 r ¯ 1 (15) ˜ ˜ при t > t0 (второй этап). ˜ Определим функции ¯ t) и B(t) = c(0, t) из интегрального уравнения дифl(˜ ¯ ˜ фузии: 1 ∂¯ c ∂¯ 1 ∂ c r ¯ r d¯ = 0. ¯ r (16) − ˜ r ∂r ∂r ¯ ¯ ¯ ∂t 0 ˜ Подставляя (14) и (15) в (16), определим функции ¯ t) и B(t), а затем — l(˜ концентрацию c(¯, t). Уравнения (14)–(16) приводят к следующим зависимо¯r ˜ ˜ стям координаты диффузионного фронта ¯ t) и концентрации B(t) от времеl(˜ ˜ ни t:  ¯ 12  dl = − k(k + 1)(k + 2) ˜ ˜   ˜ ¯ + 2¯ k=2 = − (1 − ¯ + ¯ , 0 < t t0 ;  dt (1 − l)(k l) l)(1 l)     l)2 l) (1 − ¯ 2 (2 + ¯ l) l)  t = (1 − ¯ (2 + 3k + 4¯ ˜ ˜ ˜ = , 0 < t t0 ; 6k(k + 1)(k + 2) k=2 36  B(t) = 1 − exp −2(k + 2)(t − t ) ˜ ˜ ˜0 ˜ ˜ ˜ ˜  = 1 − exp −8(t − t0 ) , t > t0 ;  k=2    2 (2 + 3k + 4¯  l) l) 1  t = t(¯ = 0) (1 − ¯  ˜0 ˜ l = . 6k(k + 1)(k + 2) k=2 18 (17) Вычислим зависимость интегрального среднего уровня концентрации в поперечном сечении образца 1 cm (t) = 2 ¯ ˜ c(¯, t)¯ d¯ ¯r ˜r r (18) 0 c помощью (14), (15), (17) и (18) в безразмерном времени: cm (t) = ¯ ˜ ˜ ˜ (1 − ¯ + ¯ l)(3 l)/6, если 0 t t0 ; 1 ˜0 − t) , если t > t0 . ˜ ˜ ˜ 1 − 2 exp 8(t 93 Л. В. Ф о м и н С учётом введённого соотношения для безразмерного времени (12) последнее соотношение можно представить в виде cm (t) = ¯ ˜ (1 − ¯ + ¯ l)(3 l)/6, если 0 t t0 R2 /D; 1 2 ) , если t > t R2 /D. ˜ ˜0 1 − 2 exp 8(t0 − tD/R (19) Так как коэффициент D очень мал, в уравнении (19) можно рассматри˜ вать только первую стадию. При этом t = tD/R2 1 и второе соотношение (17) можно оценить так: ¯ t = (1 − ¯ 2 (2 + ¯ l) l)/36 1, т. е. можно считать, что 1− ¯ 1. Положим ¯ = 1−δ, где δ l l второе соотношение в (17) к виду 1, и преобразуем ˜ −δ 3 + 3δ 2 = 36t, из которого, пренебрегая величиной δ 3 , принимаем δ ≈ ¯= 1 − δ = 1 − l √ ˜ 12t. Тогда ˜ 12t. Выразим в первом уравнении (19) cm (t) через δ: ¯ cm (t) = ¯ (1 − ¯ + ¯ l)(3 l) δ(4 − δ) 2 4 = ≈ δ=√ 6 6 3 3 D t. R2 Рассмотрим опыты В. J. Cane, M. I. Manning по ползучести и длительной прочности при растяжении цилиндрических образцов при одинаковом напряжении, о которых сообщается в работе [3], применительно к нашей модели. В табл. 4 приведены экспеТаблица 4 риментальные времена до разруЭкспериментальные времена до разрушения шения для цилиндрических обРадиус R, мм Время до разрушения t∗ , час э разцов различных радиусов по1,25 160 перечного сечения. 2,5 241 Для определения теоретиче5 289 ских времен до разрушения под 25 446 действием агрессивной высоковакуум 496 температурной воздушной среды используем соотношение (5) первого пункта настоящей работы. В соответствии с табл. 1 примем для расчёта время до разрушения без влияния среды t∗ среды = 496 час. Коэффибез циент диффузии D примем равным 10−4 мм2 /час. Аналогично предыдущему пункту статьи для анализа экспериментальных данных зададим три различных варианта функций f cm (t) : f cm (t) = exp b1 cm (t) , f cm (t) = 1 + b2 cm (t), 94 (20) (21) Описание длительной прочности растягиваемых стержней . . . f cm (t) = 1 + b3 (22) cm (t). Для поиска оптимального варианта функции f cm (t) и определения соответствующих констант b1 , b2 , b3 , входящих в соотношения (20)–(22), были рассчитаны теоретические значения времён до разрушения t∗ для каждого вида предложенных аппроксимаций f cm (t) с учётом минимального суммарного отклонения S полученных теоретических времен до разрушения t∗ от экспериментальных t∗ : э S= 1 N N i=1 t∗ − t∗ э t∗ + t∗ э 2 i , где N = 4 — суммарное количество экспериментальных точек, t∗ — теоретическое время до разрушения, t∗ — экспериментальное время до разрушения э образца. Результаты расчёта с использоТаблица 5 ванием трёх видов аппроксимаций (20)–(22) приведены в табл. 5. Значения материальных констант и сумВ соответствии с табл. 5 ми- марное отклонение теоретических времен до разрушения от экспериментальных нимальное значение суммарного отЗначение материальных констант клонения S определяется для лиb1 b2 b3 нейного вида (21) аппроксимации f cm (t) . В табл. 6 представлены 7,33 12,55 3,78 экспериментальные и расчётные теоСуммарное отклонение S ретические значения времен до разexp b1 cm (t) 1 + b2 cm (t) 1 + b3 cm (t) рушения в соответствии с линейной −3 1,11 · 10 4,16 · 10−4 6,11 · 10−3 аппроксимацией вида (21). Таблица 6 Экспериментальные и теоретические времена до разрушения цилиндрических образцов Радиус R, мм Экспериментальное время до разрушения t∗ , час э Теоретическое время до разрушения t∗ , час 1,25 2,5 5 25 160 241 289 446 165,8 228,7 297,6 427,6 Таким образом, как показано в табл. 6, экспериментальные и теоретические времена до разрушения увеличиваются с ростом радиусов цилиндрических образцов. По мнению автора настоящей статьи, этот масштабный эффект связан с различной относительной долей проникновения высокотемпературной агрессивной воздушной среды в материал цилиндрических образцов. Обсуждение результатов и выводы. Определены характеристики длительной прочности стержней в условиях растяжения, находящихся в агрессивной высокотемпературной воздушной окружающей среде. Исследования проведены на основе кинетической теории Ю. Н. Работнова с двумя структурными параметрами: повреждённостью и концентрацией диффундирующих элементов окружающей среды в материале стержней. Учёт влияния агрессивной 95 Л. В. Ф о м и н среды проводится путём введения в кинетическое уравнение интегральной средней концентрации элементов среды в материале образцов. Интегральная средняя концентрация определяется на основе введения диффузионного фронта среды. С помощью минимизации суммарного отклонения теоретических времен до разрушения от экспериментальных определен оптимальный вид материальной функции и её параметров в зависимости от геометрии поперечного сечения образцов: в случае образцов прямоугольного поперечного сечения — степенной вид функции, а в случае образцов круглого поперечного сечения — линейный вид. Проведено сравнение материальных параметров в случае точного и приближённого решения уравнения диффузии. Получены близкие результаты. На основе учёта масштабного эффекта показана зависимость времен до разрушения цилиндрических образцов от средней концентрации агрессивной среды в материале образцов. На примере описания длительной прочности плоских образцов прямоугольного поперечного сечения показано сравнение суммарного отклонения теоретических времён до разрушения t∗ с экспериментальными t∗ . Это сравэ нение показало справедливость учёта масштабного эффекта при описании длительной прочности. Об этом свидетельствует тот факт, что отклонение S при учёте масштабного эффекта в 3 раза меньшее, чем без учёта. Масштабный эффект заметно усиливается при уменьшении толщины образцов по причине увеличения относительной объемной доли поверхностного слоя, подверженного влиянию агрессивной среды. Проведённый анализ показал, что учёт влияния агрессивной среды на элементы конструкций при ползучести приводит к наблюдаемому в эксперименте уменьшению времени до разрушения в условиях действия растягивающих нагрузок. Автор выражает благодарность профессору А. М. Локощенко за постановку задачи и полезные советы.

About the authors

Leonid V Fomin

M. V. Lomonosov Moscow State University, Research Institute of Mechanics

Email: lef1975@rambler.ru
Leading Engineer, Research Institute of Mechanics. 1, Michurinsky pr., Moscow, 119192, Russia

References

Supplementary files