Bilayer mathematical model of human femur neck for research of the stress state after reinforcement with different designs of implants

Full Text

Введение. В работе [1] предложена хирургическая методика профилактики переломов шейки бедренной кости путём принудительного введения имплантатов из различных материалов. В работе [2] проведено моделирование напряжённо-деформированного состояния и получены положительные результаты, показывающие эффективность использования имплантатов для уменьшения вероятности перелома кости. Однако в [2] была рассмотрена лишь однослойная модель бедренной кости, которая фактически имеет более сложную структуру, в частности во многих работах рассматривается двухслойная модель [3, 4], состоящая из кортикальной кости — внешний слой и губчатой кости — внутренний слой. В исследовании [2] использовалась геометрия кости проекта The Titanium Bone Project, полученная при помощи лазерного сканирования [5–7], которая упрощалась авторами в CAD-приложении КОМПАС (kompas.ru). Для экспорта упрощённой модели в конечно-элементный комплекс ANSYS (www.ansys. com) была специально разработана программа, которая по модели из CAD КОМПАС генерировала код APDL (ANSYS Parametric Design Language) для построения конечно-элементного разбиения, которое и использовалось для расчёта напряжённо-деформированного состояния кости. 1. Геометрическое моделирование. Поскольку для построения двухслойной модели шейки бедренной кости человека необходима её более точная геометрия, в данной статье предлагается другой подход к её построению, нежели 129 А. В. Н е х о ж и н в работе [2]. Ключевые особенности этого подхода: – использование алгоритма автоматического упрощения геометрии кости; – значительное снижение времени построения геометрии кости; – возможность регулировать точность построения геометрии. В качестве алгоритма автоматического упрощения геометрии кости проекта The Titanium Bone Project1, было решено использовать алгоритм Quadric Edge Collapse Decimation (QECD), который позволяет упростить модель без нарушения топологии. Для этой цели был выбран программный продукт MeshLab (meshlab.sourceforge.net), который представляет собой набор различных фильтров для работы с объёмными моделями. Один из фильтров для этой программы и реализует необходимый алгоритм. В результате применения фильтра получаем упрощенную геометрическую модель. Её можно сохранить в формате VRML, спецификация которого находится по адресу www.web3d.org/x3d/specifications/vrml/ISO-IEC-14772-VRML97. На языке Python (www.python.org) был разработан скрипт, который позволяет конвертировать данные из формата VRML в код APDL. Таким образом, алгоритм построения модели кости можно описать так: 1) открытие объемной модели в программе MeshLab; 2) последовательное применение фильтра QECD до достижения необходимого соотношения точности и простоты модели; 3) конвертирование данных при помощи Python-скрипта. На рис. 1 представлена геометрия кости после применения фильтра QECD к модели кости проекта The Titanium Bone Project. Для построения двухслойной модели шейки бедренной кости из геометрической модели кости, полученной с использованием фильтра QECD, разработана вспомогательная программа, которая преобразует исходную модель в двухслойную. Основная идея этой программы — создание внутреннего слоя кости за счёт уменьшения масштаба исходной геометрии с учётом невыпуклой особенности геометрии кости. Для построения двухслойной модели кости использовалась геометрическая модель, представленная на рис. 1, а. Для автоматизации «внедрения» имплантатов в шейку бедренной кости человека и генерации конечно-элементной сетки разработаны вспомогательные программные средства со следующими особенностями: – генерация APDL-команд для построения геометрии имплантатов по заданным характеристикам (длина, диаметр, шаг резьбы и прочее); – позиционирование имплантата внутри шейки бедренной кости; – генерация APDL-команд для объединения геометрий кости и имплантата; – задание характеристик материала и типа конечных элементов для кости и имплантата. На рис. 2 показано расположение имплантатов различного вида в шейке бедренной кости. Были использованы как «старые» имплантаты [2]: спица, штопор [8], так и ранее не участвующий в исследовании [2] шнековый винт [8]. 2. Краевые условия и механические характеристики материалов. На рис. 3 схематически представлены внешние нагрузки и закрепления бедренной кости, соответствующие падению человека с высоты своего роста. Сосредоточенная нагрузка F равномерно распределена по части поверхности головки 1 VRML-модель кости проекта The Titanium Bone Project, полученная лазерным сканированием, находится по адресу webspace.utexas.edu/reyesr/titanium/3D_models.html. 130 Двухслойная математическая модель шейки бедра человека для исследования напряжённого . . . а б Рис. 1. Геометрия кости (показана верхняя часть) после применения фильтра QECD к модели кости проекта The Titanium Bone Project: а — 938 точек; б — 1875 точек Рис. 2. Расположение имплантатов в шейке бедренной кости: a — неармированная кость; б — спица сверху; в — спица снизу; г — спица посередине; д — спица – спица; е — шнек; ж — штопор; з — штопор – спица 131 А. В. Н е х о ж и н бедренной кости таким образом, чтобы интегральная величина от распределённой нагрузки численно была равна значению F . Равнодействующая распределённых сил F в расчётах принималась равной 8000 H. Такое значение F использовалось в реальных экспериментальных исследованиях [9]. Необходимо отметить, что в работе [2] использовалась однослойная модель кости с усреднёнными механическими характеристиками нелинейной (упругопластической) диаграммы деформирования материала кости, приведённой в [10]. Однако для двухслойной модели кости не удалось найти аналогичных нелинейных диаграмм механических характеристик для губчатого и кортикальных слоёв кости. Поэтому в данной стаРис. 3. Схема двухслойной модели тье использованы изотропные однородные бедренной кости; нагрузки и закрепхарактеристики кости в упругой области [4] ления кости при падении человека и титановых имплантатов, численные значения которых представлены в табл. 1. Таблица 1 Механические характеристики материалов Материал Кортикальная кость Губчатая кость Титан Модуль Юнга, Па 10 1,7 · 10 3,25 · 109 1,1 · 1011 Коэффициент Пуассона 0,32 0,29 0,32 3. Конечно-элементное разбиение и результаты расчётов. Разбиение модели на конечные элементы проводится аналогично работе [2] с тем лишь различием, что расстояние D между узлами конечного элемента было выбрано в соответствии с данными работ [11, 12], где указано, что среднее расстояние между центрами остеонов (клетки кости, из которых состоит её матрица) в физической структуре костной ткани имеет значение D = 0,3 мм. В работе [2] доказаны следующие положения: 1) максимальные нормальные компоненты тензора напряжений (по модулю) на поверхности больше соответствующих напряжений внутри кости; 2) в конструкции шейки бедра имеются приповерхностные (критические) области, в которых нормальные компоненты имеют максимальные (по модулю) значения; 3) итерационный процесс решения краевой (нелинейной) задачи является сходящимся, что установлено выполненными расчётами со сгущением конечно-элементной сетки. На основании этих результатов в данной работе проведено исследование только критических областей. Исследуются верхняя и нижняя части шейки бедра (точки A и B соответственно, см. рис. 3). Следует отметить, что согласно [13] нормальные напряжения растяжения 132 Двухслойная математическая модель шейки бедра человека для исследования напряжённого . . . (точка B на рис. 3) более опасны (до 2 раз), чем напряжения сжатия. Для анализа напряжённого состояния в приповерхностных наиболее нагруженных областях (точки A и B на рис. 3) введены локальные системы координат, при этом ось Oz имеет направление касательной в выбранном сечении (см. рис. 3), и в этом же направлении возникают максимальные (по модулю) нормальные напряжения σz , которые в дальнейшем и были подвержены тщательному анализу при решении краевых задач с различной конструкцией имплантатов. В табл. 2 приведены систематизированные результаты расчётов компоненты σz (по модулю) в точках A и B для разных типов имплантатов, а в колонках ∆σz показано, на сколько (в процентах) уменьшилась (по модулю) величина σz в конструкциях с имплантатами по сравнению с этой же конструкцией без имплантатов. Таблица 2 Максимальные (по модулю) значения σz в областях сжатия (точка A) и растяжения (точка B) Имплантат Неармированная кость Спица вверху Спица внизу Спица – спица Спица посередине Шнек Штопор Штопор – спица точка A σz , Па ∆σz , % 1,64 · 108 1,49 · 108 1,66 · 108 1,47 · 108 1,60 · 108 1,64 · 108 1,66 · 108 1,69 · 108 — 10,1 −1,2 11,6 2,5 0,0 −1,2 −3,2 точка B σz , Па ∆σz , % 6,57 · 107 6,39 · 107 6,10 · 107 5,86 · 107 6,49 · 107 6,47 · 107 6,32 · 107 5,96 · 107 — 2,8 7,7 12,1 1,2 1,5 4,0 10,2 Анализ данных табл. 2 свидетельствует о том, что для снижения уровня нагрузки наиболее рациональной конструкцией (для данного вида нагрузки) является система «кость – спица – спица». В технологическом смысле это также и оптимальный вариант превентивного «лечения» костной ткани. Выводы. В данной статье предложена новая методика построения геометрии бедренной кости, разработаны необходимые программные инструменты и спецификации, реализована программа для конвертирования данных в необходимый формат. Показано превосходство новой методики над имеющимся подходом к построению геометрии бедренной кости. Более точно учтены геометрические и механические характеристики кости. Проанализированы результаты и выбрана оптимальная модель имплантирования — «кость – спица – спица». По результатам расчётов такая конструкция позволяет снизить наибольшие напряжения в кости примерно на 12 %.

About the authors

Anatoliy V Nekhozhin

Samara State Technical University

Email: stswoon@yandex.ru
Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science. 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files