Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа с нелокальными начальными условиями в прямоугольнике

Полный текст

Введение. В настоящее время задачи с нелокальными условиями для уравнений в частных производных активно изучаются. Интерес к ним вызван необходимостью обобщения классических задач математической физики в связи с математическим моделированием ряда физических процессов, изучаемых современным естествознанием [1]. В тех случаях, когда граница области протекания физического процесса недоступна для непосредственных измерений, дополнительной информацией, достаточной для однозначной разрешимости соответствующей математической задачи, могут служить нелокальные условия в интегральной форме. Исследованию разрешимости нелокальной задачи с интегральными условиями и посвящена данная статья. Значительная часть публикаций, начиная с работы Дж. Р. Кэннона [2], посвященных задачам с интегральными условиями, содержит исследования параболических уравнений. Важные результаты исследования нелокальных задач для эллиптических уравнений получены А. К. Гущиным, В. П. Михайловым [3], А. Л. Скубачевским [4]. Задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений рассмотрены в статьях [5–7], а также в работах, представленных в прилагающихся к ним списках литературы. Нелокальным задачам для уравнений смешанного типа посвящено весьма небольшое количество работ, причем в них рассмотрены лишь модельные уравнения. Отметим здесь работы К. Б. Сабитова (см., например, [8]) и его учеников. 185 С. В. Кириченко В предлагаемой статье рассмотрена задача с нелокальным по времени интегральным условием для уравнения смешанного типа. Постановка задачи. В конечной области QT = (0, l)×(0, T ) рассмотрим уравнение Lu ≡ K(x, t)utt − (a(x, t)ux )x + b(x, t)ut + c(x, t)u = f (x, t). (1) Задача 1. Найти в области QT решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям ux (0, t) = ux (l, t) = 0, ut (x, 0) = 0, (2) (3) T u(x, 0) + H(t)u(x, t)dt = 0. (4) 0 В условии (4) H(t) задана в [0, T ] и такова, что h = H L2 (0,T ) < 1. Коэффициент K(x, t) может обращаться в нуль как на границе области QT , так и во внутренних её точках. Мы не делаем предположений о том, где и как внутри области функция K(x, t) меняет знак. Эквивалентность. Покажем, что задача (1)–(4) эквивалентна задаче с классическими начальными данными для нагруженного уравнения. Введём оператор B формулой T Bu ≡ u(x, t) + H(t)u(x, t)dt 0 и будем обозначать v(x, t) = Bu. Пусть u(x, t) — решение задачи (1)–(4). Тогда, как нетрудно видеть, функция v = Bu удовлетворяет условиям vx (0, t) = vx (l, t) = 0, v(x, 0) = 0, vt (x, 0) = 0 и уравнению T Lv − L H(t)u(x, t)dt = f (x, t). 0 Преобразуем последнее слагаемое левой части этого уравнения: T L T =− H(t)u(x, t)dt 0 T H(τ )(aux )x dτ + c(x, t) 0 H(τ )u(x, τ )dτ. 0 Так как по предположению u(x, t) удовлетворяет уравнению (1), (aux )x = utt + but + cu − f (x, t). Это представление дает нам возможность сделать полезные преобразования: T T H(τ )(aux )x dτ = 0 H(τ )K(x, τ )uτ τ dτ + 0 T + T 0 T H(τ )c(x, τ )u(x, τ )dτ − H(τ )b(x, τ )uτ + 0 Hf dτ. 0 Первые два слагаемые правой части последнего равенства проинтегрируем от 0 до T и, учитывая условия (2)–(4), получим 186 Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа . . . T T T Hudτ − (HK)τ τ udτ − H(0)Kt (x, 0) H(τ )(aux )x dτ = 0 0 0 T T T − Hc(x, τ )udτ − (Hb)τ udτ + H(0)b(x, 0) Hf dτ. 0 0 0 Тогда, обозначив P (x, t, τ ) = [c(x, t)−c(x, τ )]H(τ )−(HK)τ τ +(Hb)τ +H(0)[K(x, 0)+b(x, 0)]H(τ ), T F (x, t) = f (x, t) + H(t)u(x, t)dt, 0 приходим к уравнению T K(x, t)vtt − (avx )x + bvt + c(x, t)v + P (x, t, τ )u(x, τ )dτ = F (x, t). (5) 0 Выше мы отметили, что функция v(x, t) удовлетворяет классическим условиям. Итак, показано, что если функция u(x, t) является решением задачи (1)–(4), то функция v(x, t) — решение уравнения (5), удовлетворяющее условиям vx (0, t) = vx (l, t) = 0, v(x, 0) = 0, vt (x, 0) = 0, (6) а функции u, v связаны соотношением T u(x, t) + H(t)u(x, t)dt = v(x, t). (7) 0 Пусть теперь v(x, t) — решение задачи (5)–(7). Заметим, что уравнение (5) можно записать в виде LBu − L(Bu − u) = Bf − f. Из этого равенства моментально следует, что Lu = f . Из условий (6) и соотношения (7) следует выполнение условий (2)–(4). Эквивалентность доказана. Таким образом, для обоснования разрешимости задачи 1 может быть рассмотрена эквивалентная ей Задача 2. Найти в области QT решение уравнения (5), удовлетворяющее условиям (6), если функции u(x, t), v(x, t) связаны равенством (7). Введём обозначения: T [0,l] 1/2 T P 2 (x, t, τ )dtdτ p = max 0 , h= H L2 (0,T ) . 0 ¯ ¯ Теорема 1. Пусть c ∈ C(QT ), ct ∈ C(QT ), c(x, T ) 0, h < 1, 2b − Kt > 1, и либо √ −at 0, p + ct (1 − hT )2 < 0, либо −at > 0, p + ct (1 − √ hT )2 0. Тогда существует не более одного решения задачи 2. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как уравнения (5) и (7) линейны, достаточно показать, что соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение. Умножим равенство (5) с F (x, t) = 0 на vt и проинтегрируем по QT . После стандартных преобразований получим 187 С. В. Кириченко l T l 2 2 [(2b − Kt )vt − at vx − ct v 2 ]dxdt + 2 a(x, T )vx (x, T )dx+ 0 0 0 T l T l c(x, T )v 2 (x, T )dx = −2 + (8) 0 0 0 0 P (x, t, τ )u(x, τ )dτ dxdt. vt (x, t) Для оценки правой части (8) получим предварительно неравенство. Умножим обе части равенства T u(x, t) = v(x, t) − H(t)u(x, t)dt 0 на u(x, t) скалярно. Из полученного равенства вытекает неравенство √ u L2 (QT ) (1 − hT )−1 v L2 (QT ) . (9) Теперь мы можем получить оценку правой части (8): T l 0 T T vt (x, t) 2 0 2 vt dxdt+ 0 0 T l P (x, t, τ )u(x, τ )dτ 0 0 T 2 T + 0 l P (x, t, τ )u(x, τ )dτ dxdt l T l 2 vt dxdt + p dxdt 0 0 0 u2 dxdt. 0 0 В силу неравенства (9) окончательно получим T l 2 T vt (x, t) 0 0 P (x, t, τ )u(x, τ )dτ dxdt 0 T l 2 vt dxdt + 0 0 (1 − p √ T hT )2 l v 2 dxdt. 0 0 Теперь из (8) имеем T l 2 2 (2b − Kt − 1)vt − at vx − ct + 0 0 (1 − p √ hT )2 v 2 dxdt 0, откуда в силу условий теоремы сразу следует, что v(x, t) ≡ 0 в QT . В силу доказанной эквивалентности задач 1 и 2 справедлива Теорема 2. Если выполняются условия теоремы 1, то существует не более одного решения задачи 1.

Об авторах

Светлана Викторовна Кириченко

Самарский государственный университет путей сообщения

Email: svkirichenko@mail.ru
старший преподаватель, каф. математики. Россия, 443066, Самара, 1-й Безымянный пер., 18

Список литературы

Дополнительные файлы