Optimal control problem for the impulsive differential equations with non-local boundary conditions

Full Text

Введение. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием моделируют поведение эволюционирующих во времени процессов разнообразной природы, которые могут почти мгновенно изменять свое состояние. Такие уравнения имеют разрывные решения с разрывами первого рода в фиксированные или нефиксированные моменты времени [1]. В [2, стр. 10, 16] приведены конкретные примеры из теории электрических колебаний и часов, математические модели которых описываются дифференциальными уравнениями с импульсными воздействиями. Такие дифференциальные уравнения подробно изучены в монографиях [1–4]. Однако в последние годы интенсивно исследуются дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями при нелокальных краевых условиях (см. напр., [4–8] и ссылки в них). В этих работах отмечается существование многочисленных процессов физики, техники, экологии, механики и др., математические модели которых описываются дифференциальными уравнениями с импульсными воздействиями при нелокальных краевых условиях и доказаны теоремы существования и единственности решения соответствующих краевых задач. В указанных работах нелокальность краевых условий в основном имеет вид x(0) + g(x) = x0 , (1) где g(x) — линейный оператор, действующий из пространства кусочных абсолютно непрерывных функций в пространство Rn . Такие краевые условия не охватывают даже простые случаи, например, когда одна часть граничных условий задана в начальной точке, а другая часть — в конечной точке. 34 Задача оптимального управления для систем с импульсными воздействиями . . . В монографии [9] приведены примеры из практики, в которых нелокальные граничные условия заданы в различных точках, т. е. имеют вид m Ak x(tk ) = C. k=0 Очевидно, что такие нелокальные краевые условия более общие, чем выше отмеченные, так как содержат (1) как частный случай. Действительно, при A0 = E (E — единичная матрица) получаются условия вида (1). В настоящей работе исследуется задача оптимального управления системой, состояние которой описывается дифференциальными уравнениями с импульсными воздействиями при нелокальных краевых условиях. Исследованы вопросы существования и единственности решений краевой задачи, найдены достаточные условия для дифференцируемости критерия качества, получена формула его градиента и установлены необходимые условия оптимальности в форме вариационных неравенств. 1. Постановка задачи. Рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу при импульсных воздействиях: dx = f (t, x, u(t)), 0 t T, t = ti , dt Ax(0) + Bx(T ) = C, ∆x(ti ) = Ii (x(ti ), vi ), i = 1, 2, . . . , p, 0 < t1 < t2 < · · · < tp < T, (2) (3) (4) (u(·), [v]) ∈ U × Πp = u(t) ∈ Lr [0, T ] : u(t) ∈ V, 2 п.в. t ∈ [0, T ], vi ∈ Π, i = 1, 2, . . . , p. , (5) где x(t) ∈ Rn ; f (t, x, u) — n-мерная непрерывная функция; A, B ∈ Rn×n , C ∈ Rn×1 — заданные постоянные матрицы; ∆x(ti ) = x(t+ ) − x(t− ); Ii (x, v) — i i некоторые заданные функции; (u, [v]) — управляющие параметры; V ∈ Rr и Π ∈ Rm — ограниченные выпуклые множества. Требуется на решениях краевой задачи (2)–(5) минимизировать функционал J(u, [v]) = Φ(x(0), x(T )), (6) где Φ(x, y) — заданная скалярная функция. Под решением краевой задачи (2)–(4), соответствующей фиксированному управляющему параметру (u(·), [v]) ∈ U × Πp , будем понимать функцию x(t) : [0, T ] → Rn , абсолютно непрерывную на [0, T ], t = ti и непрерывную слева при t = ti , для которой существует конечный правый предел x(t+ ) при i i = 1, 2, . . . , p. Пространство таких функций обозначим P C([0, T ], Rn ). Очевидно, такое пространство является банаховым с нормой x P C = max |x(t)|, t∈[0,T ] где | · |— является нормой в Rn . Допустимый процесс {(u(t), [v]), x(t; u(t), [v])}, являющийся решением задачи (2)–(6), т. е. доставляющий минимум функционалу (6) при ограничениях (2)–(5), будем называть оптимальным процессом, а (u(t), [v]) — оптимальным управлением, где через x(t; u(t), [v]) обозначено решение краевой задачи (2)– (4), соответствующее допустимому управлению (u(t), [v]). 35 Я. А. Ш а р и ф о в 2. Существование решений краевой задачи (2)–(4). Рассмотрим следующие условия: 1) det(A + B) = 0; 2) f : [0, T ]×Rn ×Rr → Rn , Ii : Rn ×Rm → Rn , i = 1, 2, . . . , p — непрерывные функции; существуют постоянные K > 0, Li > 0, i = 1, 2, . . . , p, такие, что |f (t, x, u) − f (t, y, u)| K|x − y|, t ∈ [0, T ], x, y ∈ Rn , |Ii (x, v) − Ii (y, v)| Li |x − y|, x, y ∈ Rn ; 3) p L = S KT + где S = max (A + B)−1 A , (A + Li < 1, i=1 B)−1 B . Теорема 1. Пусть выполняется условие 1). Тогда x(t) ∈ P C([0, T ], Rn ) является абсолютно непрерывным решением краевой задачи (2)–(4) тогда и только тогда, когда x(t) = (A + B) −1 p T K(t, τ )f (τ, x(τ ), u(τ ))dτ + C+ 0 K(t, ti )Ii (x(ti ), vi ), (7) i=1 где (A + B)−1 A, 0 −(A + B)−1 B, t K(t, τ ) = τ τ t, T. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если функция x(t) является решением дифференциального уравнения (2), то для t ∈ (tj , tj+1 ) t t f (s, x(s), u(s))ds = 0 x (s)ds = 0 = x(t− ) − x(0+ ) + x(t− ) − x(t+ ) + · · · + x(t− ) − x(t+ ) = 1 2 1 j = −x(0) − x(t+ ) − x(t− ) − x(t+ ) − x(t− ) − · · · − x(t+ ) − x(t− ) + x(t). 1 1 2 2 j j Отсюда t x(t) = x(0) + ∆x(tj ), f (s, x(s), u(s))ds + 0 (8) 0

About the authors

Yagub A Sharifov

Baku State University

Email: sharifov22@rambler.ru
(Ph.D. Phys. & Math.), Associate profesor, Dept. of Mathematical Methods of Applied Analysis 23, Z. Khalilov st., Baku, AZ-1073/1, Azerbaijan

References

Supplementary files