Generalized stochastic model of creep and creep rupture beams in pure bending and its application to the estimation of reliability

Full Text

1. Постановка задачи. Несмотря на существенный разброс экспериментальных данных для деформации ползучести даже в лабораторных условиях, вопросам построения стохастических моделей реологического деформирования и разработке на их основе методов решения стохастических краевых задач уделяется недостаточное внимание в силу ряда причин. Во-первых, для построения феноменологических стохастических уравнений ползучести необходима полная трёхмерная информация о реологических характеристиках материала, получение которой экспериментальным путём крайне проблематично. Во-вторых, в полную систему уравнений для стохастической краевой задачи должны входить стохастические уравнения состояния для материала. Однако в настоящее время стохастическая теория реологического деформирования и разрушения в условиях сложного напряженного состояния развита слабо, особенно для процессов разупрочнения материала. Здесь 72 Обобщ¨нная стохастическая модель ползучести и длительной прочности . . . e можно отметить лишь работы для одноосного напряженного состояния [1–5]. В-третьих, сдерживающим фактором разработки методов решения стохастических краевых задач являются физическая и стохастическая нелинейности определяющих уравнений ползучести и длительной прочности, что не позволяет в должной мере развивать аналитические и численные методы решения. Здесь имеются решения лишь на стадии установившейся ползучести [6–9] и единичные работы посвящены решению краевых задач с учётом третьей стадии ползучести [10]. Очевидно, что оценка показателей надёжности на основе детерминированных моделей или решений детерминированных краевых задач ползучести является первым (и явно недостаточным) приближением величины ресурса элементов конструкций по параметрическим критериям отказа. В силу отмеченных обстоятельств в работе [11] предложен метод оценки надёжности элементов конструкций в условиях ползучести на основе обобщённых стохастических моделей, позволяющий в определённой мере преодолеть указанные выше трудности. Суть данного подхода состоит в следующем. Рассматривая конструктивный элемент как единое целое (специфический образец, хотя и сложной структуры), можно установить связь между входными (нагрузки) и выходными (перемещения, деформация, углы закручивания и т.п.) параметрами, аналогично тому, как строятся модели ползучести для одноосного растягиваемого образца. Тогда для конкретизации связи между входными параметрами (обобщённая нагрузка) и выходными характеристиками (обобщённые перемещения) можно использовать уже имеющиеся одноосные модели реологичского деформирования. Такой подход основан на полной аналогии кривых ползучести для растягиваемого одноосного стержня и соответствующих диаграмм в координатах «обобщённое перемещение — время» конструктивного элемента как целого при постоянных температурносиловых нагрузках, что убедительно показано в работах [12–15] при построении соответствующих детерминированных моделей. В общем случае выбор обобщённого перемещения в качестве наблюдаемой величины неоднозначен, носит неформальный характер и определяется целями и задачами исследования; осуществлять его следует так, чтобы при постоянной обобщённой нагрузке получить для элемента конструкции обычную «кривую ползучести» в координатах «обобщённое перемещение — время», при этом эти кривые могут быть получены либо экспериментально в лабораторных условиях или при натурных испытаниях, либо в результате численного эксперимента решением соответствующей краевой задачи. Наличие адекватной обобщённой реологической модели элемента конструкции открывает новые возможности для оценки надежности по параметрическим критериям отказа, что продемонстрировано в [11] на примере ползучести толстостенной трубы. Целью данной работы является обобщёние полученных в [11] результатов применительно к ползучести балки в условиях чистого изгиба. 2. Построение обобщённой стохастической модели балки в условиях чистого изгиба. Рассмотрим балку прямоугольного сечения размера b × h (b — ширина, h — высота сечения), находящуюся в условиях чистого изгиба моментом Q0 . Не нарушая общности подхода, рассмотрим случай отсутствия у материала балки первой стадии ползучести и в качестве базовой одноосной 73 Р а д ч е н к о В. П., Ш е р ш н е в а М. В., Ц в е т к о в В. В. реологической модели растягиваемого образца используем стохастическую модель энергетического типа [5, 11] p = Cσ n , σ = σ0 (1 + ω), ω = Lσ p, ˙ ˙ ˙ L = L1 (σ0 )m1 , p(0) = 0, ω(0) = 0, (1) где C, L1 — случайные, а n, m1 — детерминированные параметры; σ0 и σ — соответственно номинальное и истинное напряжения, ω — параметр повреждённости; L — параметр, контролирующий процесс разупрочнения материала, при этом в частных случаях для ряда материалов m1 = 0 и L = L1 . Для определения времени до разрушения t = t∗ используется критерий разрушения энергетического типа t∗ 0 при этом σdp = 1, A∗ c A∗ (σ0 ) = LA (σ0 )mA , c (2) (3) где LA — случайная, а mA — детерминированная величина (в частных случаях возможно выполнение mA = 0 и A∗ = LA ). c Таким образом, из модели (1)–(3) следует, что индивидуальные деформационные свойства конкретного образца определяются набором случайных величин C, L1 и LA , а стохастические свойства совокупности образцов — законами распределения этих случайных величин. Это, в свою очередь, означает, что каждая реализация кривой ползучести растягиваемого образца может быть описана при помощи задания конкретных значений случайных величин C, L1 , LA и детерминированных параметров n, m1 , mA . При построении обобщённой модели балки в качестве выходного параметра (обобщённого перемещения) можно использовать кривизну балки χp , вызванную ползучестью, а в качестве обобщённой силы — момент Q0 . Поскольку материал балки не имеет первой стадии ползучести, то и первая стадия ползучести у балки как целого (специфического образца) в координатах «кривизна χp — время t» при действии постоянного изгибающего момента, появление которой связано с перераспределением нормальных напряжений по высоте балки, будет незначительной и ей можно пренебречь. С использованием отмеченной выше аналогии кривых ползучести «деформация ползучести — время» при σ0 = const и «кривизна балки χp — время t» при Q0 = const для одноосного образца обобщённая стохастическая модель балки в условиях чистого изгиба может быть получена из (1)–(3) в следующем виде: χp = CQn ; Q = Q0 (1 + ω); ω = LQχp ; ˙ ˙ ˙ L = L1 (Q0 )m1 ; χp (0) = 0; ω(0) = 0, ˙ (4) где Q0 и Q — номинальное и фиктивное значения крутящего момента, C и L1 — случайные, а n и m1 — детерминированные величины. Критерий разрушения балки будет иметь вид t∗ 0 74 Qdχp = 1, L∗ A (5) Обобщ¨нная стохастическая модель ползучести и длительной прочности . . . e где L∗ = LA (Q0 )mA , A (6) где LA — случайная, а mA — детерминированная величина, а — время разрушения. Из (4)–(6) следует, что для материала балки введена такая же гипотеза, что и для одноосного образца: свойства материала в пределах одного конструктивного образца (балки) являются постоянными, но они меняются от одного образца к другому. Данная гипотеза позволяет описывать тренд механических свойств материала, из которого изготовлена балка, не учитывая высокочастотных их флуктуаций в пределах одного образца [2, 5, 11]. Из сравнения моделей (1)–(3) и (4)–(6) следует, что схема построения обобщённой модели балки при изгибе аналогична методике построения стохастической модели для одноосного образца, и если для модели (1)–(3) исходными данными являются экспериментальные кривые одноосной ползучести в координатах «деформация ползучести — время» при σ0 = const, то для балки такой информацией являются обобщённые кривые ползучести в координатах «кривизна χp — время t» при Q0 = const, получить которые можно либо экспериментально, либо из решения соответствующей краевой задачи для чистого изгиба балки по известным стохастическим соотношениям для материала, из которого изготовлена балка. Если имеется возможность получения необходимой статистической информации путём эксперимента над «образцами» (балками), то стохастическая информация о свойствах материала вообще не нужна. Однако этот путь — трудоёмкий и в условиях ползучести трудно осуществимый. Поэтому в настоящей работе соответствующая статистическая информация получена в результате численного эксперимента решением соответствующей краевой задачи о ползучести балки на основании известной информации о материале. В связи с вышеизложенным целью дальнейших исследований является разработка адекватного численного метода решения краевой задачи о ползучести балки в условиях чистого изгиба. 3. Решение краевой задачи ползучести балки в условиях чистого изгиба и проверка его адекватности. Изложим методику решения краевой задачи о ползучести балки прямоугольного сечения при чистом изгибе моментом Q0 . Запишем уравнения равновесия t∗ σ0 (y, t)ydF = Q0 , (7) F где Q0 — приложенный к балке изгибающий момент, dF = bdy — элемент площади поперечного сечения; σ0 (y, t) — нормальное номинальное напряжение по высоте балки (−h/2 y h/2), и условие совместности деформаций ε(y, t) = yχ(t), (8) где ε(y, t) — полная деформация, которая представляется в виде ε(y, t) = e(y, t) + p(y, t), (9) e(y, t) — упругая деформация, p(y, t) — деформация ползучести; χ = χ(t) — кривизна нейтральной оси; y — расстояние до нейтральной оси. Предполагается симметрия свойств материала по диаграмме «растяжение – сжатие». 75 Р а д ч е н к о В. П., Ш е р ш н е в а М. В., Ц в е т к о в В. В. Здесь и далее многие величины в расчётных формулах зависят от координаты y. Данный факт отмечается простановкой y как аргумента, при этом учитывается, что зависимость соответствующей величины от y получается за счёт различных напряжений σ0 (y, t). Учитывая, что e(y, t) = σ0 (y, t)/E (E — модуль Юнга), и подставляя (9) в (8), получим σ0 (y, t) + p(y, t) = yχ(t). (10) E Умножая обе части (10) на ydF = by dy и интегрируя полученное соотношение по y, имеем 1 E h/2 h/2 h/2 bp(y, t)y dy = χ(t) bσ0 (y, t)y dy + −h/2 −h/2 −h/2 by 2 dy, откуда с учётом (7) находим χ(t) = h/2 где J = Q0 b + EJ J h/2 p(y, t)y dy, (11) −h/2 by 2 dy = bh3 /12 — осевой момент инерции площади сечения от- −h/2 носительно нейтральной оси. Зная теперь величину кривизны χ = χ(t), из (10) определяем величину нормального напряжения σ0 (y, t) = E[yχ(t) − p(y, t)]. (12) Для реализации данной методики необходимо иметь уравнения состояния материала, которые принимаются в виде (1)–(3), при этом в детерминированном варианте случайные величины C, L1 и LA заменяются на их математические ожидания c, α1 и αA соответственно. Методика (7)–(12) реализована численно шагами по времени. В связи с тем, что алгоритм (7)–(12) в дальнейшем являлся инструментом численного эксперимента для получения обобщённых кривых ползучести в координатах «χp — t» при Q0 = const, сначала была установлена адекватность данных численного решения детерминированной краевой задачи на основании (7)–(12) экспериментальным данным. Для этого были использованы экспериментальные данные по ползучести балки прямоугольного сечения длиной 200 мм (b = 10 мм, h = 20 мм) из сплава Д16Т при температуре 250 ◦ C [16]. Для определения параметров c, n, α1 , m1 , αA и mA детерминированной модели (1)–(3) были использованы результаты одноосных испытаний этого сплава [16], которые приведены на рис. 1 сплошными линиями. По этим экспериментальным данным были определены все параметры детерминированной модели материала Д16Т (T = 250 ℃): c = 2,5 · 10−15 МПа−n ; n = 5,41; α1 = 0,94 МПа−m1 −1 ; m1 = −0,43; αA = 19,72 Н/мм2 ; mA = 0. На рис. 1 штриховыми линиями показаны результаты расчёта по одноосной модели (1)–(3) ползучести этого сплава. 76 Обобщ¨нная стохастическая модель ползучести и длительной прочности . . . e Далее на основе одноосной модели ползучести материала численно была реализована методика расчёта ползучести балки (7)–(12) при двух значениях момента Q0 = {78480,4; 68670,3} Н·мм. На рис. 2 штриховыми линиями приведены результаты расчёта по предложенной методике кривизны балки во времени, а сплошные линии — результат эксперимента [16]. Как видно, наблюдается хорошая коррелированность расчётных и экспериментальных данных, что свидетельствует о правомерности использования методики (7)–(12) в качестве рабочего инструмента для получения данных численного эксперимента. Рис. 1. Экспериментальные (сплошные линии) и расчётные (штриховые линии) диаграммы ползучести сплава Д16Т при растяжении (T = = 250 ℃): 1 — σ0 = 98,1 МПа; 2 — σ0 = 88,3 МПа; 3 — σ0 = 78,48 МПа; 4 — σ0 = 73,6 МПа; 5 — σ0 = 68,7 МПа Рис. 2. Экспериментальные (сплошные линии) и расчётные (штриховые линии) значения кривизны балки из сплава Д16Т (T = 250 ℃) для различных значений момента: 1 — Q0 = 78480,4 Н·мм; 2 — Q0 = 68670,3 Н·мм 4. Построение обобщённой детерминированной модели ползучести балки в условиях чистого изгиба. Рассмотрим теперь схему построения обобщённой стохастической модели балки из стали 12Х18Н10Т при температуре 850 ℃ при чистом изгибе. Все детерминированные и случайные параметры модели (1)–(3) для стали 12Х18Н10Т (T = 850 ℃) приведены в работах [4, 11, 14]. В частности, в [4, 11] приведены статистические экспериментальные данные по ползучести 21 образца при чистом растяжении. Номинальные напряжения σ0 принимали значения 39,24; 49,05; 58,86; 78,48 МПа. Результаты эксперимента приведены в табл. 1. Здесь p0 = p(0 + 0) — начальная скорость ˙ ˙ 77 Р а д ч е н к о В. П., Ш е р ш н е в а М. В., Ц в е т к о в В. В. Таблица 1 Результаты эксперимента и результаты расчёта случайных величин C, α σ0 , МПа p˙0 , час−1 t1 , час p1 C · 109 α A∗ C 39,24 0,00080 0,00081 0,00080 0,00084 0,00084 0,00081 35 40 47 66 67 68 0,048 0,085 0,152 0,234 0,110 0,125 6,365 6,435 6,365 6,673 6,673 6,435 0,198 0,223 0,208 0,142 0,111 0,124 2,277 4,932 11,820 18,916 5,537 6,751 49,05 0,0023 0,0019 0,0019 0,0019 0,0021 0,0017 0,0014 18 20,5 21,5 22,5 24 28 30 0,080 0,090 0,110 0,093 0,130 0,120 0,080 8,947 7,391 7,391 7,391 8,169 6,613 5,446 0,119 0,141 0,143 0,125 0,114 0,120 0,117 4,951 6,061 8,134 6,137 9,312 8,558 4,983 15 31 17 7 14 21 58,86 0,0037 0,0027 0,0023 0,0023 0,0033 0,0023 6,7 14 15 16 20 20,5 0,065 0,047 0,073 0,050 0,170 0,090 8,031 5,861 4,992 4,992 7,163 4,992 0,194 0,051 0,127 0,069 0,073 0,087 5,701 2,968 5,691 3,266 14,758 6,737 39 37 78,48 0,0110 0,0045 6 6 0,130 0,118 9,510 3,890 0,048 0,146 13,177 18,796 п/п № обр. 1 2 3 4 5 6 5 11 16 13 30 32 7 8 9 10 11 12 13 24 22 23 27 26 29 28 14 15 16 17 18 19 20 21 установившейся ползучести, t1 и p1 — экспериментальные значения времени и деформации ползучести в момент разрушения. Осреднённые экспериментальные кривые ползучести для стали 12Х18Н10Т (T = 850 ℃) приведены сплошными линиями на рис. 3 [14]. На основе этих экспериментальных данных по методике [14] определены параметры детерминированной модели типа (1)–(3), которые имеют значения: c = 6,65 · 10−9 МПа−n ; n = 3,2; α = α1 = 0,128 МПа, m1 = mA = 0; A∗ = αA = 7,442 Н/мм2 . Расчётные значения деформации ползучести для c стали 12Х18Н10Т (T = 850 ℃) по детерминированной модели типа (1)–(3) приведены на рис. 3 штриховыми линиями. Теперь с использованием детерминированной модели ползучести для стали 12Х18Н10Т была решена детерминированная краевая задача для балки по методике (7)–(12) при пяти значениях изгибающего момента Q0 = {65400; 52316,7; 39240; 32700; 26160} Н·мм. Результаты расчёта кривизны балки (численный эксперимент) приведена на рис. 4 сплошными линиями. Эти данные являлись исходной информацией для построения детерминированной обобщённой модели балки (4)–(6) в условиях чистого изгиба, при этом параметры этой модели определялись аналогично случаю одноосной модели (1)–(3) по методике [14] и имели следующие значения: c = 9,34 · 10−20 (Н · мм)−n ; n = 3,3; α1 = 5,1 · 10−3 (МПа)−m1 −1 ; m1 = −0,155; αA = 712,5 Н/мм2 ; m2 = 0. Результаты расчёта по обобщённой модели (4)–(6) при найденных параметрах приведены на рис. 4 штриховыми линиями. Наблюдается хорошее соответствие данных численного эксперимента и расчётных данных по обобщённой детерминированной модели (4)–(6). 78 Обобщ¨нная стохастическая модель ползучести и длительной прочности . . . e Рис. 3. Экспериментальные (сплошные линии) и расчётные по модели (1)–(3) (штриховые линии) кривые ползучести стали 12Х18Н10Т (T = = 850 ℃): 1 — σ0 = 38,24; 2 — σ0 = 49,05; 3 — σ0 = 58,86; 4 — σ0 = 78,48 МПа Рис. 4. «Экспериментальные» (сплошные линии) и расчётные (штриховые линии) значения кривизны балки из стали 12Х18Н10Т (T = 850 ℃) для различных значений момента: 1 — Q0 = 65400 Н·мм; 2 — Q0 = 52316,7 Н·мм; 3 — Q0 = 39240 Н·мм; 4 — Q0 = 32700 Н·мм; 5 — Q0 = 26160 Н·мм 5. Построение обобщённой стохастической модели ползучести балки в условиях чистого изгиба. Для построения стохастического варианта обобщённой модели балки (4)–(6) необходимо иметь набор отдельных реализаций зависимости χp = χp (t) при фиксированных значениях момента Q0 = const. В силу отсутствия статистической экспериментальной информации такого вида она была получена в результате численного эксперимента. Предварительно была построена стохастическая модель ползучести (1)– (3) для материала 12Х18Н10Т по данным табл. 1. Поскольку параметры m1 = = mA = 0 и n = 3,2 берутся из соответствующей детерминированной модели, необходимо построить выборки случайных величин C, L = L1 и A∗ = LA . Веc личина C для каждой реализации (каждого образца) из табл. 1 определялась по формуле n C = p0 /σ0 , ˙ где p0 = p(0+0). Для определения случайных величин L и LA проинтегрируем ˙ ˙ соотношения (1) при σ0 = const: p(t) = − 1 n+1 ln |1 − nσ0 LCt|. nLσ0 (13) 79 Р а д ч е н к о В. П., Ш е р ш н е в а М. В., Ц в е т к о в В. В. После нахождения величины C для каждой реализации величина L для каждой кривой ползучести (13) определяется из условия прохождения графика функции (13) через точку (p1 , t1 ), т.е. из решения уравнения (13) относительно L при известных p(t1 ) = p1 , t = t1 , C, σ0 , n. Для определения последней величины A∗ = LA вычислим величину рабоc ты истинного напряжения на деформации ползучести с учётом (1): t A(t) = σdp = 0 1 L n+1 1 − nCLσ0 t −1/n −1 . (14) Тогда значение критической работы A∗ = LA для каждого образца находится c из (14) при t = t∗ и известных L, C, σ0 , n. Результаты расчётов величин C, L и LA для стали 12Х18Н10Т при температуре 850 ℃ приведены в табл. 1 в трёх правых столбцах, тем самым заканчивается построение одноосной стохастической модели для этой стали. Как отмечено выше, для построения Таблица 2 обобщённой стохастической модели балки Коэффициенты корреляции слу- необходимо иметь совокупность кривых полчайных величин C, L, L∗ зучести отдельных реализаций χp = χp (t) A ∗ при нескольких значениях момента Q0 = C L LA C 1 -0,046 0,005 = const. Для их получения поступали слеL 1 -0,04 дующим образом. В стохастической модели L∗ 1 для стали 12Х18Н10Т случайным образом A генерировались выборки величины C, L1 и LA и с учётом детерминированных величин n = 3,2; m1 = mA = 0 решалась N раз (в расчётах принималось N = 21) детерминированная краевая задача по модели (7)–(11) при нескольких фиксированных значениях Q0 = = const (Q0 = {39240; 32700; 26160} Н·мм). При этом законы распределения для случайных величин C, L1 и LA из табл. 1 не строились, а использовалась упрощённая схема. Поскольку эти случайные величины не коррелированы (см. табл. 2), из каждого столбца для C, L1 и LA табл. 1 случайным образом выбирали каждый раз по одному значению этих величин и они далее использовались в решении краевой задачи. Таким образом, при каждом значении Q0 = const было получено (численным экспериментом) по 21 реализации χp = χp (t). В качестве иллюстрации на рис. 5 приведены результаты численного эксперимента для двух значений момента Q0 . Далее для каждой выборки из 21 графика χp = χp (t) при Q0 = = const по методике, аналогичной рассмотренной выше для одноосной модели (1)–(3), при известных детерминированных значениях n = 3,3; m1 = −0,155; mA = 0 (см. пункт 4) определены выборки случайных параметров C, L1 , LA уже для обобщённой модели (4)–(6), при этом использовались соотношения χp = − A(t) = 1 L 1 ln 1 − nQn+1 LCt , 0 nLQ0 1 − nCLQn+1 t 0 −1/n −1 , (15) (16) где L = L1 (Q0 )m1 , которые определены из (4)–(6) аналогично тому, как были получены соотношения (13) и (14) из (1)–(3). В качестве примера в табл. 3 80 Обобщ¨нная стохастическая модель ползучести и длительной прочности . . . e а б Рис. 5. Обобщённые кривые ползучести балки при чистом изгибе из стали 12Х18Н10Т (T = = 850 ℃) в координатах «χp — t» в условиях стационарного нагружения: а) Q0 = 39240 Н·мм; б) Q0 = 32700 Н·мм Таблица 3 Результаты численного эксперимента и результаты расчёта случайных величин C, L, L∗ для обобщённой модели балки при Q0 = 32700 Н·мм A № п/п χp , час−1 ˙0 t∗ , час χp ∗ C · 1019 L · 103 L∗ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0,000074 0,000075 0,000087 0,000076 0,000078 0,000081 0,000077 0,000103 0,000086 0,000085 0,000098 0,000077 0,000064 0,000095 0,000069 0,000058 0,000058 0,000083 0,000057 0,000112 0,000045 115,8 131,2 108,3 89,4 96,6 70,4 79 161,1 70,7 185,9 47,5 109 114,1 78 122,7 81,1 121,1 133,9 161,5 103,5 262,9 0,015 0,023 0,026 0,021 0,012 0,012 0,012 0,037 0,008 0,022 0,007 0,015 0,013 0,011 0,017 0,006 0,012 0,018 0,012 0,033 0,015 0,94 0,95 1,10 0,96 0,99 1,02 0,97 1,30 1,09 1,08 1,24 0,97 0,81 1,20 0,87 0,73 0,73 1,05 0,72 1,42 0,57 3,83 4,08 4,49 6,43 3,88 6,69 6,03 2,35 3,32 1,48 5,82 4,03 4,54 3,57 4,39 3,98 4,59 2,71 2,15 3,73 1,48 587 1035 1208 1058 454 514 498 1578 285 799 261 599 513 409 712 212 469 691 427 1655 526 приведены результаты расчёта величин C, L1 и LA для обобщённой модели балки при Q0 = 32700 Н·мм. Здесь χp = χp (0 + 0), t∗ — время разрушения, ˙0 ˙ χp = χp (t∗ ) — кривизна в момент разрушения. Используя эти данные (по 21 ∗ реализации для трех значений Q0 ), можно найти выборочные значения математического ожидания, дисперсии, корреляционных моментов второго и более высокого порядков и прогнозировать случайные процессы для величин χp (t) и A(t) по формулам (15) и (16) соответственно. Однако эти соотношения стохастически нелинейны относительно случайных величин C и L и их нельзя использовать, например, в существующей методике оценки надёжности В. В. Болотина на основе пространства состояния качества, разработанной 81 Р а д ч е н к о В. П., Ш е р ш н е в а М. В., Ц в е т к о в В. В. для стохастически линейных моделей и адаптированной в [4, 11] для процесса ползучести. В связи с вышеизложенным выполним линеаризацию (15) и (16) аналогично случаю одноосной модели [4, 11]. Формальное разложение в ряд Тейлора нерационально, так как логарифмический и степенной ряды сходятся крайне медленно и в соответствующем ряде для достижения заданной точности необходимо удерживать большое количество членов с последующей стохастической оценкой каждого члена при степенях t. Поэтому в настоящей работе, аналогично [4, 11], применяется метод аппроксимации функций ln(1−x) и (1−x)−1/n −1 степенными полиномами до степеней x4 и x3 соответственно с использованием интегрального метода наименьших квадратов. Тогда с учётом разложений выражения кривизны (15) и работы (16) принимают вид: χp (t) = CQn t + 0,911C 2 LnQ2n+1 t2 − 1,906C 3 L2 n2 Q3n+2 t3 + 0 0 0 +3,061C 4 L3 n3 Q4n+3 t4 , (17) 0 2n+2 2 2 A(t) = 0,348nQn+1 Ct − 0,239n2 Q0 C Lt + 1,068n3 Q3n+3 C 3 L2 t3 . (18) 0 0 Выражения (17) и (18) являются стохастически линейными относительно C, а также новых случайных величин C 2 L, C 3 L2 , C 4 L3 , выборки которых можно найти непосредственно, если известны выборки случайных величин C и L, а затем найти математическое ожидание, дисперсии и корреляционные моменты случайных величин C, C 2 L, C 3 L2 и C 4 L3 и далее определить все статистические оценки функций χp = χp (t) и A = A(t) в аналитическом виде. Так для математического ожидания и дисперсии функции χp (t) имеем M (χp ) = A1 M [C] + A2 M [C 2 L] + A3 M [C 3 L2 ] + A4 M [C 4 L3 ], (19) дисперсия кривизны χp (t) определяется по классической формуле 2 2 2 S 2 (χp ) = A2 SC + A2 SC 2 L + A2 SC 3 L2 + A2 SC 4 L3 + 4 3 1 2 + 2[A1 A2 KC,C 2 L + A1 A3 KC,C 3 L2 + A1 A4 KC,C 4 L3 + A2 A3 KC 2 L,C 3 α2 + + A1 A4 KC 2 L,C 4 L3 + A3 A4 KC 3 L2 ,C 4 L3 ]. (20) 2 2 2 2 Здесь M [·] — оператор математического ожидания; Sχ , SC , SC 2 L , SC 3 L2 , 2 SC 4 L3 — дисперсии соответствующих параметров; KC,C 2 L , KC,C 3 L2 , KC,C 4 L3 , KC 2 L,C 3 L2 , KC 2 L,C 4 L3 , KC 3 L2 ,C 4 L3 — корреляционные моменты; A1 = Qn t, A2 = 0 = 0,911nQ2n+1 t2 , A3 = −1,906n2 Q3n+2 t3 , A4 = 3,061n3 Q4n+3 t4 . 0 0 0 C использованием данных табл. 3 и ещё двух аналогичных таблиц вычислялись математическое ожидание, корреляционные моменты и дисперсия для функции χp = χp (t) в рассматриваемой модельной задачи, которые приведены в табл. 4 и 5. 6. Оценка надёжности балки в условиях ползучести по деформационному критерию отказа. Основной количественной характеристикой надёжности является вероятность безотказной работы. Она в данном случае определяет 82 Обобщ¨нная стохастическая модель ползучести и длительной прочности . . . e Таблица 4 Математические ожидания и дисперсии случайных величин C, L, C 2 L, C 3 L2 , C 4 L3 и L∗ для обобщённой модели балки A Сл. вел. C L C2L C 3 L2 C 4 L3 L∗ A −20 −3 −41 −62 −83 Мат. ож. 9,85 · 10 4,02 · 10 4,11 · 10 1,98 · 10 1,06 · 10 689 Дисп. 4,02 · 10−40 2,19 · 10−6 4,52 · 10−82 2,91 · 10−124 1,64 · 10−166 1,54 · 105 вероятность того, что для элеменТаблица 5 та конструкции (балки) выполняется Коэффициенты корреляции случайных величин C, L, C 2 L, C 3 L2 , C 4 L3 для условие прочности обобщённой модели балки χp (t) < χp , ∗ χp ∗ C C 2L C 3 L2 C 4 L3 C 1 C 2L 0,709 1 C 3 L2 0,548 0,964 1 C 4 L3 0,454 0,907 0,985 1 где — назначенный ресурс по предельно допустимой накопленной кривизне балки. Функция надёжности P (t), описывающая вероятность безотказной работы на отрезке [0, t], равна вероятности пребывания случайной функции χp (t) в допустимой области (0; χ∗ ) на этом отрезке времени [4, 11]: p P (t) = P {χp (τ ) ∈ (0, χp ), ∗ τ ∈ [0, t]}. (21) В связи с тем, что согласно модели (4)–(6) кривизна балки от ползучести является неубывающей функцией, функция χ(t), покинув в некоторый момент времени область (0, χ0 ), затем в эту область возвратиться не может. ∗ Поэтому для вероятности безотказной работы P (t) на отрезке времени [0, t] имеет место более простая формула P (t) = P {χp (t) ∈ (0, χp )}. ∗ В отличие от общего случая (21), когда вычисление случайной функции требует рассмотрения выбросов случайного процесса, здесь достаточно вычислить вероятность нахождения случайной функции χp (t) в заданной области в рассматриваемый момент времени. Применим данную методику к оценке надёжности балки из модельного материала 12Х18Н10Т (T = 850 ℃) при Q0 = const, кривизна которой описывается соотношением (17), а математическое ожидание и дисперсии случайной функции χp = χp (t) — соответственно соотношениями (19) и (20). При известном математическом ожидании и дисперсии вероятность безотказной работы P (t) вычисляется по формуле 1 P (t) = √ 2πSχ (t) χp ∗ 0 exp −(x − M [χp (t)])2 dx, 2 2Sχ(t) (22) 2 где M [χp ] — математическое ожидание, а Sχ — дисперсия кривизны балки от p = χp (t). ползучести χ Вероятность P (t) можно использовать для назначения ресурса балки. Назначенный ресурс T∗ определяют так, чтобы вероятность обеспечения T∗ была 83 Р а д ч е н к о В. П., Ш е р ш н е в а М. В., Ц в е т к о в В. В. равна заданному (конкретному) значению P ∗ вероятности безотказной работы. Для расчёта времени отказа при заданном значении вероятности P ∗ по формуле (22) необходимо иметь функции математического ожидания и дисперсии для деформации ползучести, которые легко находятся из линеаризованной модели по формулам (19) и (20). В качестве модельного примера в табл. 6 приведены результаты расчёта времени отказа балки при предельно допустимой величине χp = 0,005 и ∗ значениях вероятности 0,9; 0,95 и 0,99. Математические ожидания, дисперсии и корреляционные моменты случайных величин, необходимые для расчётов, представлены в табл. 4 и 5. Анализ данных табл. 6 позволяет сделать вывод, что рекомендуемая величина вероятности безотказной работы должна составлять 0,99, поскольку все «экспериментальные» (результат численного эксперимента) значения времени отказа отдельных реализаций лежат правее расчётного значения времени отказа, а при вероятностях 0,95 и 0,9 имеются по 1–2 выброса за пределы назначенного ресурса. Таблица 6 Расчетные по обобщённой модели (tрасч ) и экспериментальные (численный эксперимент) (tэксп ) значения времени отказа балки при чистом изгибе Q0 , Н·мм P (t) tрасч , час tэксп , час 39240 0,99 0,95 0,9 18,9 20,5 21,5 28,7; 28; 23,6; 25,4; 28,7; 23,5; 25,8; 23,7; 26,5; 30,2; 20,3; 28,8; 33,6; 23,6; 31,4; 38; 36,5; 28,6; 42,7; 20,3; 57 32700 0,99 0,95 0,9 35,5 38,8 40,8 56,4; 55; 46,6; 48,8; 63,8; 45,3; 49,2; 43,6; 49,4; 55,3; 38,7; 53,8; 63,4; 44,2; 59; 72,6; 68,7; 53,1; 78,6; 37,9; 104,3 26160 0,99 0,95 0,9 76,4 83,7 88,2 120,3; 107,5; 100,2; 106,5; 124,6; 99,5; 107,2; 91,6; 104,9; 114,9; 84,5; 114,9; 136; 94,5; 126,6; 154,3; 147,5; 111,9; 164,8; 80,8; 217 Выводы. Выполненные исследования обосновывают целесообразность разработки обобщённых стохастических моделей элементов конструкций, демонстрируют эффективность их применения для оценки надёжности конструкций по параметрическим (деформационным) критериям отказа в условиях ползучести. На конкретном примере ползучести балки показано, что рекомендуемая назначаемая вероятность безотказной работы должна составлять величину порядка 0,99. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 10–01–0064-a).

About the authors

Vladimir P Radchenko

Samara State Technical University

Email: radch@samgtu.ru
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

Mariya V Shershneva

Samara State Technical University

Email: mary-sofya@mail.ru
Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

Vitaliy V Tsvetkov

Samara State Technical University

Email: vi.v.tsvetkoff@mail.ru
Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files