Piezomechanical properties of magneto electric composites with Maxwell–Wagner relaxation

Abstract

The numerical calculation and the analysis of influence on the real and imaginary parts of effective piezoelectric and piezomagnetic factors of magnetoelectric piezocomposite (is PVF with unidirectional ferrite fibers) of size of filling by fibers and of frequency of the enclosed electric field taking into account Maxwell–Wagner relaxation are carried out.

Full Text

Введение. Магнитоэлектрические материалы являются одними из наиболее перспективных функциональных материалов современной электроники. В них сочетаются диэлектрические, пьезоэлектрические, упругие, пьезомагнитные и магнитные свойства, которыми можно эффективно управлять с помощью внешних воздействий. Магнитоэлектрические константы гомогенных магнитоэлектриков очень малы, что обуславливает создание гетерогенных композиционных магнитоэлектриков [1–6], магнитоэлектрические константы которых могут на несколько порядков превосходить соответствующие константы гомогенных материалов. В магнитоэлектрических феррит-пьезоэлектрических композитах магнитоэлектрический эффект отсутствует как в пьезоэлектрической, так и в ферритовой фазах; его возникновение в композитах связано с пьезоэлектромагнитным взаимодействием пьезоэлектрической и ферритовой подсистем через упругие деформационные поля. Учёт проводимостей γ f фаз (f = 1, 2, . . . , F ) и частоты ω приложенного электрического поля через комплексную форму записи [4–10] λf = λf − i γf ω (1) тензоров диэлектрических проницаемостей λf фаз с действительными частями λf приводит к комплексным значениям тензоров эффективных пьезоэлектромагнитных свойств композита и, как следствие, к возникновению на макроуровне композита дисперсии и энергетических потерь в переменных элек 42 Пьезомеханические свойства магнитоэлектрических композитов . . . трических полях, известных под названием «максвелл-вагнеровская релаксация»; F — число различных фаз в композите. В [6] исследована максвеллвагнеровская релаксация феррит-пьезоэлектрических слоистых композитов и приведен анализ концентрационных и частотных зависимостей действительных и мнимых частей эффективных электромагнитных констант. Рассмотрим применение подхода [6] к исследованию зависимостей действительных и мнимых частей эффективного пьезоэлектрического и пьезомагнитного коэффициентов однонаправленного волокнистого электромагнетика с полидисперсной матричной структурой от величины наполнения ферритовыми волокнами и частоты приложенного электрического поля на основе полученного ранее решения [3]. 1. Определяющие соотношения на микрои макроуровнях композита. Для каждой фазы f = 1, 2 запишем определяющие соотношения [1, 2] ˆ ˆ σij = C(f )ijmn εmn − e(f )nij En − h(f )nij Hn − β(f )ij Θ, ˆ ˆ Di = e(f )imn εmn + λ(f )in En + π(f )i Θ, ˆ ˆ Bi = h(f )imn εmn + µ(f )in Hn + ϑ(f )i Θ, (2) ˆ ˆ связывающие напряжения σ, индукции электрического D и магнитного B ˆ полей с деформациями ε, напряжённостями электрического E и магнитного ˆ полей, однородным внешним нагревом Θ через считающиеся известныH ми для каждой фазы f тензоры упругих свойств C f , пьезоэлектрических ef и пьезомагнитных hf свойств, диэлектрических λf и магнитных µf проницаемостей, температурных коэффициентов β f , пироэлектрических π f и пиромагнитных ϑf постоянных. Тензоры эффективных пьезоэлектромагнитных свойств: C ∗ , e∗ , h∗ , λ∗ , ∗ и, дополнительно, новые тензоры χ∗ , κ∗ электромагнитной связи входят µ в определяющие соотношения на макроуровне композита: ∗ ∗ ∗ ˆ∗ ˆ∗ σij = Cijmn ε∗ − e∗ En − h∗ Hn − βij Θ, mn nij nij ∗ ˆ∗ ˆ∗ ˆ∗ Di = e∗ ε∗ + λ∗ En + χ∗ Hn + πi Θ, imn mn in in ˆ∗ ˆ∗ ˆ∗ Bi = h∗ ε∗ + µ∗ Hn + κ∗ En + ϑ∗ Θ, imn mn in in i (3) где макроскопические значения напряжений σ ∗ = σ и деформаций ε∗ = ε , ˆ∗ ˆ ˆ∗ ˆ ˆ∗ ˆ ˆ∗ ˆ индукций D = D , B = B и напряжённостей E = E , H = H ; . . . — оператор осреднения по области V . Ненулевые компоненты рассматриваемых трансверсально-изотропных тензоров λ, µ, C, e, h, на микро(2) и на макро(3) уровнях композита можно наглядно представить в матричной форме записи: λij = λ11 0 0 0 λ11 0 , 0 0 λ33 µij = µ11 0 0 0 µ11 0 , 0 0 µ33 43 А. А. П а н ь к о в cij C1111 C1122 C1133 0 0 0 C1122 C1111 C1133 0 0 0 C1133 C1133 C3333 0 0 0 = 0 0 0 C1313 0 0 0 0 0 0 C1313 0 0 0 0 0 0 C1212 0 0 eij = 0 0 0 0 0 e113 0 e113 0 0 , 0 0 0 e311 e311 e333 0 0 hij = 0 0 0 0 h311 h311 h333 h123 h113 0 h113 −h123 0 , 0 0 0 πi = 0 0 , π3 ϑi = βij = (4) β11 0 0 0 β11 0 , 0 0 β33 0 0 , ϑ3 где c66 = (c11 − c12 ) /2; тензорные и матричные индексы связаны между собой соотношениями: 11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 и 32 → 4, 13 и 31 → 5, 12 и 21 → 6. 2. Эффективные свойства электромагнетика с эллипсоидальными включениями. В [3] получено уточненное решение для тензоров эффективных пьезоэлектромагнитных свойств (3): C ∗ = C + ∆c , λ∗ = λ + ∆λ , µ∗ = µ + ∆µ , e∗ = e + ∆e , h∗ = h + ∆h , χ∗ = ∆χ , ∗ β β = β +∆ , π ∗ π = π +∆ , κ∗ = ∆κ , (5) ϑ ∗ ϑ = ϑ +∆ через поправки ∆c , . . ., ∆ϑ к соответствующим осреднённым по объёму значениям C , . . ., ϑ [11–13]. Решения для тензоров поправок ∆c , . . ., ∆ϑ в [3] получены на основе новых решений для компонент тензоров сингулярных составляющих Gs вторых производных для функций Грина G G r − r (1) ≈ Gs δ r − r (1) , (1) (2) Uik Ui Ui G = Φk Φ(1) Φ(2) , Ψk Ψ(1) Ψ(2) s Uimjn G = Φs imn Ψs imn s s(1) Uimn s(1) Φmn s(1) Ψmn (6) s(2) Uimn s(2) Φmn s(2) Ψmn (7) для однородной анизотропной пьезоэлектромагнитной среды, где G = G(ρ), ρ = r−r 1 , δ(ρ) — дельта-функция Дирака (6); в точке r 1 действует единичная объемная сила или электрический или магнитный источник, — оператор дифференцирования по координатам вектора r. Компоненты матрицы Gs в (6), (7) вычисляются по формулам s ¯ Uimjn = [Uij ]mn , 44 s(1) ¯ (1) Uimn = [Ui ]mn , s(2) ¯ (2) Uimn = [Ui ]mn ; Пьезомеханические свойства магнитоэлектрических композитов . . . ¯ Φs = [Φj ]mn , mjn ¯ Ψs = [Ψj ]mn , mjn ¯ Φs(1) = [Φ(1) ]mn , mn ¯ Ψs(1) = [Ψ(1) ]mn , mn ¯ Φs(2) = [Φ(2) ]mn ; mn ¯ Ψs(2) = [Ψ(2) ]mn , mn где оператор [12] [. . .]mn = − 2π 1 4π π . . . κm κn sin θdθdφ 0 0 действует на компоненты тензоров (1) (1) ¯ Uij = Λij + hi hj λ(1) (1) ¯ Ψ(1) h ¯ ¯ Φj = i Uij , λ(1) (2) ¯ (1) 1 = hi Ui , λ(2) (2) (2) + hi hj −1 (2) (1) ¯ (1) ¯ Ui = Uij hj ¯ (2) ¯ Ui = Uij , (1) hj , λ(2) λ λ(2) (2) h ¯ 1 (1) ¯ (1) ¯ ¯ Ψj = i Uij , Φ(1) = hi Ui − 1 (1) , (2) λ λ 1 (1) ¯ (2) 1 (2) ¯ (2) ¯ ¯ Φ(2) = hi Ui , Ψ(2) = hi Ui − 1 (2) , (1) λ λ , в которых использованы обозначения • Λij = Cimjn κm κn , (1) (2) hi = e• κm κn , hi = h• κm κn , min min λ(1) = λ• κm κn , λ(2) = µ• κm κn , mn mn 1 1 κ1 = a1 sin θ cos φ, κ2 = a2 sin θ sin φ, κ3 = (8) 1 a3 cos θ, а φ и θ — полярные углы в сферической системе координат. Поверхность эллипсоидального «зерна неоднородности» [12] задана равенством 3 i=1 xi ai 2 =1 через значения главных полуосей ai , xi = r(1)i − ri — координаты вектора x, тензоры C • , e• , h• , λ• , µ• задают свойства «среды сравнения» [12]. Варьирование свойствами среды сравнения позволяет получать различные решения; например, в [12] без учёта пьезоактивности из обобщённого сингулярного приближения получены известные решения Фойгта—Рейсса, Хашина— Штрикмана и самосогласованное решение [14]. 3. Численный расчёт. Проведём численный анализ (5) влияния на действительные и мнимые части эффективного комплексного пьезоэлектрического e∗ и пьезомагнитного h∗ коэффициентов 113 113 ∗ ∗ e∗ = e113 − ie113 , 113 ∗ ∗ h∗ = h113 − ih113 113 (9) однонаправленного волокнистого электромагнетика с полидисперсной матричной структурой [14]: пьезоэлектрик PVF (1-я фаза) с ферритовыми волокнами (2-я фаза) величины v1 и частоты ω приложенного электрического поля. Решение для тензоров C ∗ , . . ., ϑ∗ полидисперсной структуры получим из обобщенного сингулярного приближения (5) [3], приняв в (8) равенства C • = C 1, e• = e1 , h• = h1 , λ• = λ1 , µ• = µ1 , 45 А. А. П а н ь к о в а б в г Зависимости действительной (сплошная линия) и мнимой (штриховая линия) частей пьезоэлектрического e∗ (а, б) и пьезомагнитного h∗ (в, г) коэффициентов композита от 113 113 объемной доли ν1 пьезоэлектрика при круговой частоте электрического поля ω = 500 c−1 (◦), 1000 c−1 ( ) (а, в) и от ω при ν1 = 0,1 (б, г) 46 Пьезомеханические свойства магнитоэлектрических композитов . . . т.е. свойства среды сравнения приравниваем к свойствам пьезоэлектрика PVF; для волокон: a1 = a2 , a3 → ∞ (8). Независимые упругие, диэлектрические и пьезомеханические постоянные трансверсально-изотропных электроупругих свойств волокон (полимерного пьезоэлектрика PVF с осью симметрии r3 ) приведены в [13, 15]. Необходимые для расчёта κ∗ , e∗ , λ∗ в (9) константы 11 113 11 (4) пьезоэлектрической фазы PVF следующие: продольный модуль сдвига C(1)1313 = 0,10 · 1010 Па, действительная часть диэлектрической проницаемости λ(1)11 = 14,7λ0 , пьезоэлектрическая постоянная e(1)113 = 2,3 Кл/м2 , диэлектрическая проницаемость вакуума λ0 ≈ 8,85 · 10−12 Ф/м, h(1)113 = = 0. Для пьезомагнитной ферритовой фазы (4) [13] константы следующие: C(2)1313 = 5,5 · 1010 Па, h(2)113 = 200 Тл, µ(2)11 = 3,14 · 10−5 Тл·м/А, e(2)113 = = 0. Дополнительно примем следующие значения: проводимость γ(1)11 полимерного пьезоэлектрика PVF приравняем к проводимости полиэтилена 10−10 (Ом·м)−1 [7], проводимость феррита γ(2)11 — к значению 10−5 (Ом·м)−1 [6] и λ(2)11 = 10λ0 [4] для никелевой феррошпинели (1); проницаемость µ(1)11 — к магнитной постоянной вакуума µ0 ≈ 1,256 · 10−6 Тл·м/А. На рисунке представлены результаты расчёта действительных и мнимых частей эффективного комплексного пьезоэлектрического e∗ и пьезомагнит113 ного h∗ коэффициентов полидисперсного волокнистого композита PVF/фер113 рит: пьезоэлектрическая PVF матрица с ферритовыми волокнами. Времена релаксации τκ и релаксационные частоты ωκ = 1/τκ , соответствующие мак∗ ∗ ∗ ∗ ∗ симумам мнимых частей κ11 , e113 , h113 , λ11 , µ11 , изменяются в широких пределах варьированием объёмными долями и свойствами фаз [6]. Полученные результаты хорошо согласуются с выводами как аналитических [7, 8], так и экспериментальных [7, 8] исследований. Заключение. Проведён численный расчёт и анализ влияния на действи∗ ∗ ∗ ∗ тельные e113 , h113 и мнимые e113 , h113 части эффективного комплексного пье∗ зоэлектрического e113 и пьезомагнитного h∗ коэффициентов полидисперс113 ного магнитоэлектрического пьезокомпозита PVF/феррит величины v1 и частоты ω электрического поля. Для концентрационных (рисунок а, в) зависимостей действительных и мнимых частей эффективных констант характерны экстремумы, например, при малой объёмной доле v1 ≈ 0,1 и ω = 500 −1 . Для ∗ частотной зависимости величины e113 (рисунок, б) характерна глубокая нормальная релаксация, обусловленная тем, что на высоких частотах не успевает накапливаться объёмный заряд вблизи межфазных границ; при нормальной релаксации абсолютные значения действительных частей монотонно уменьшаются с ростом частоты, тогда как для мнимых частей характерны четко выраженные релаксационные экстремумы [4]. Отметим, что для пьезомаг∗ нитного модуля h113 (рисунок, г) наблюдается обратная релаксация. Релаксационные частоты ωκ растут с увеличением объёмной доли пьезоэлектрика PVF в композите.