Пьезомеханические свойства магнитоэлектрических композитов с максвелл-вагнеровской релаксацией

Аннотация

Проведён численный расчёт и анализ влияния на действительные и мнимые части эффективного пьезоэлектрического и пьезомагнитного коэффициентов магнитоэлектрического пьезокомпозита (пьезоэлектрика PVF с однонаправленными ферритовыми волокнами), величины наполнения волокнами и частоты приложенного электрического поля с учётом максвелл-вагнеровской релаксации.

Полный текст

Введение. Магнитоэлектрические материалы являются одними из наиболее перспективных функциональных материалов современной электроники. В них сочетаются диэлектрические, пьезоэлектрические, упругие, пьезомагнитные и магнитные свойства, которыми можно эффективно управлять с помощью внешних воздействий. Магнитоэлектрические константы гомогенных магнитоэлектриков очень малы, что обуславливает создание гетерогенных композиционных магнитоэлектриков [1–6], магнитоэлектрические константы которых могут на несколько порядков превосходить соответствующие константы гомогенных материалов. В магнитоэлектрических феррит-пьезоэлектрических композитах магнитоэлектрический эффект отсутствует как в пьезоэлектрической, так и в ферритовой фазах; его возникновение в композитах связано с пьезоэлектромагнитным взаимодействием пьезоэлектрической и ферритовой подсистем через упругие деформационные поля. Учёт проводимостей γ f фаз (f = 1, 2, . . . , F ) и частоты ω приложенного электрического поля через комплексную форму записи [4–10] λf = λf − i γf ω (1) тензоров диэлектрических проницаемостей λf фаз с действительными частями λf приводит к комплексным значениям тензоров эффективных пьезоэлектромагнитных свойств композита и, как следствие, к возникновению на макроуровне композита дисперсии и энергетических потерь в переменных элек 42 Пьезомеханические свойства магнитоэлектрических композитов . . . трических полях, известных под названием «максвелл-вагнеровская релаксация»; F — число различных фаз в композите. В [6] исследована максвеллвагнеровская релаксация феррит-пьезоэлектрических слоистых композитов и приведен анализ концентрационных и частотных зависимостей действительных и мнимых частей эффективных электромагнитных констант. Рассмотрим применение подхода [6] к исследованию зависимостей действительных и мнимых частей эффективного пьезоэлектрического и пьезомагнитного коэффициентов однонаправленного волокнистого электромагнетика с полидисперсной матричной структурой от величины наполнения ферритовыми волокнами и частоты приложенного электрического поля на основе полученного ранее решения [3]. 1. Определяющие соотношения на микрои макроуровнях композита. Для каждой фазы f = 1, 2 запишем определяющие соотношения [1, 2] ˆ ˆ σij = C(f )ijmn εmn − e(f )nij En − h(f )nij Hn − β(f )ij Θ, ˆ ˆ Di = e(f )imn εmn + λ(f )in En + π(f )i Θ, ˆ ˆ Bi = h(f )imn εmn + µ(f )in Hn + ϑ(f )i Θ, (2) ˆ ˆ связывающие напряжения σ, индукции электрического D и магнитного B ˆ полей с деформациями ε, напряжённостями электрического E и магнитного ˆ полей, однородным внешним нагревом Θ через считающиеся известныH ми для каждой фазы f тензоры упругих свойств C f , пьезоэлектрических ef и пьезомагнитных hf свойств, диэлектрических λf и магнитных µf проницаемостей, температурных коэффициентов β f , пироэлектрических π f и пиромагнитных ϑf постоянных. Тензоры эффективных пьезоэлектромагнитных свойств: C ∗ , e∗ , h∗ , λ∗ , ∗ и, дополнительно, новые тензоры χ∗ , κ∗ электромагнитной связи входят µ в определяющие соотношения на макроуровне композита: ∗ ∗ ∗ ˆ∗ ˆ∗ σij = Cijmn ε∗ − e∗ En − h∗ Hn − βij Θ, mn nij nij ∗ ˆ∗ ˆ∗ ˆ∗ Di = e∗ ε∗ + λ∗ En + χ∗ Hn + πi Θ, imn mn in in ˆ∗ ˆ∗ ˆ∗ Bi = h∗ ε∗ + µ∗ Hn + κ∗ En + ϑ∗ Θ, imn mn in in i (3) где макроскопические значения напряжений σ ∗ = σ и деформаций ε∗ = ε , ˆ∗ ˆ ˆ∗ ˆ ˆ∗ ˆ ˆ∗ ˆ индукций D = D , B = B и напряжённостей E = E , H = H ; . . . — оператор осреднения по области V . Ненулевые компоненты рассматриваемых трансверсально-изотропных тензоров λ, µ, C, e, h, на микро(2) и на макро(3) уровнях композита можно наглядно представить в матричной форме записи: λij = λ11 0 0 0 λ11 0 , 0 0 λ33 µij = µ11 0 0 0 µ11 0 , 0 0 µ33 43 А. А. П а н ь к о в cij C1111 C1122 C1133 0 0 0 C1122 C1111 C1133 0 0 0 C1133 C1133 C3333 0 0 0 = 0 0 0 C1313 0 0 0 0 0 0 C1313 0 0 0 0 0 0 C1212 0 0 eij = 0 0 0 0 0 e113 0 e113 0 0 , 0 0 0 e311 e311 e333 0 0 hij = 0 0 0 0 h311 h311 h333 h123 h113 0 h113 −h123 0 , 0 0 0 πi = 0 0 , π3 ϑi = βij = (4) β11 0 0 0 β11 0 , 0 0 β33 0 0 , ϑ3 где c66 = (c11 − c12 ) /2; тензорные и матричные индексы связаны между собой соотношениями: 11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 и 32 → 4, 13 и 31 → 5, 12 и 21 → 6. 2. Эффективные свойства электромагнетика с эллипсоидальными включениями. В [3] получено уточненное решение для тензоров эффективных пьезоэлектромагнитных свойств (3): C ∗ = C + ∆c , λ∗ = λ + ∆λ , µ∗ = µ + ∆µ , e∗ = e + ∆e , h∗ = h + ∆h , χ∗ = ∆χ , ∗ β β = β +∆ , π ∗ π = π +∆ , κ∗ = ∆κ , (5) ϑ ∗ ϑ = ϑ +∆ через поправки ∆c , . . ., ∆ϑ к соответствующим осреднённым по объёму значениям C , . . ., ϑ [11–13]. Решения для тензоров поправок ∆c , . . ., ∆ϑ в [3] получены на основе новых решений для компонент тензоров сингулярных составляющих Gs вторых производных для функций Грина G G r − r (1) ≈ Gs δ r − r (1) , (1) (2) Uik Ui Ui G = Φk Φ(1) Φ(2) , Ψk Ψ(1) Ψ(2) s Uimjn G = Φs imn Ψs imn s s(1) Uimn s(1) Φmn s(1) Ψmn (6) s(2) Uimn s(2) Φmn s(2) Ψmn (7) для однородной анизотропной пьезоэлектромагнитной среды, где G = G(ρ), ρ = r−r 1 , δ(ρ) — дельта-функция Дирака (6); в точке r 1 действует единичная объемная сила или электрический или магнитный источник, — оператор дифференцирования по координатам вектора r. Компоненты матрицы Gs в (6), (7) вычисляются по формулам s ¯ Uimjn = [Uij ]mn , 44 s(1) ¯ (1) Uimn = [Ui ]mn , s(2) ¯ (2) Uimn = [Ui ]mn ; Пьезомеханические свойства магнитоэлектрических композитов . . . ¯ Φs = [Φj ]mn , mjn ¯ Ψs = [Ψj ]mn , mjn ¯ Φs(1) = [Φ(1) ]mn , mn ¯ Ψs(1) = [Ψ(1) ]mn , mn ¯ Φs(2) = [Φ(2) ]mn ; mn ¯ Ψs(2) = [Ψ(2) ]mn , mn где оператор [12] [. . .]mn = − 2π 1 4π π . . . κm κn sin θdθdφ 0 0 действует на компоненты тензоров (1) (1) ¯ Uij = Λij + hi hj λ(1) (1) ¯ Ψ(1) h ¯ ¯ Φj = i Uij , λ(1) (2) ¯ (1) 1 = hi Ui , λ(2) (2) (2) + hi hj −1 (2) (1) ¯ (1) ¯ Ui = Uij hj ¯ (2) ¯ Ui = Uij , (1) hj , λ(2) λ λ(2) (2) h ¯ 1 (1) ¯ (1) ¯ ¯ Ψj = i Uij , Φ(1) = hi Ui − 1 (1) , (2) λ λ 1 (1) ¯ (2) 1 (2) ¯ (2) ¯ ¯ Φ(2) = hi Ui , Ψ(2) = hi Ui − 1 (2) , (1) λ λ , в которых использованы обозначения • Λij = Cimjn κm κn , (1) (2) hi = e• κm κn , hi = h• κm κn , min min λ(1) = λ• κm κn , λ(2) = µ• κm κn , mn mn 1 1 κ1 = a1 sin θ cos φ, κ2 = a2 sin θ sin φ, κ3 = (8) 1 a3 cos θ, а φ и θ — полярные углы в сферической системе координат. Поверхность эллипсоидального «зерна неоднородности» [12] задана равенством 3 i=1 xi ai 2 =1 через значения главных полуосей ai , xi = r(1)i − ri — координаты вектора x, тензоры C • , e• , h• , λ• , µ• задают свойства «среды сравнения» [12]. Варьирование свойствами среды сравнения позволяет получать различные решения; например, в [12] без учёта пьезоактивности из обобщённого сингулярного приближения получены известные решения Фойгта—Рейсса, Хашина— Штрикмана и самосогласованное решение [14]. 3. Численный расчёт. Проведём численный анализ (5) влияния на действительные и мнимые части эффективного комплексного пьезоэлектрического e∗ и пьезомагнитного h∗ коэффициентов 113 113 ∗ ∗ e∗ = e113 − ie113 , 113 ∗ ∗ h∗ = h113 − ih113 113 (9) однонаправленного волокнистого электромагнетика с полидисперсной матричной структурой [14]: пьезоэлектрик PVF (1-я фаза) с ферритовыми волокнами (2-я фаза) величины v1 и частоты ω приложенного электрического поля. Решение для тензоров C ∗ , . . ., ϑ∗ полидисперсной структуры получим из обобщенного сингулярного приближения (5) [3], приняв в (8) равенства C • = C 1, e• = e1 , h• = h1 , λ• = λ1 , µ• = µ1 , 45 А. А. П а н ь к о в а б в г Зависимости действительной (сплошная линия) и мнимой (штриховая линия) частей пьезоэлектрического e∗ (а, б) и пьезомагнитного h∗ (в, г) коэффициентов композита от 113 113 объемной доли ν1 пьезоэлектрика при круговой частоте электрического поля ω = 500 c−1 (◦), 1000 c−1 ( ) (а, в) и от ω при ν1 = 0,1 (б, г) 46 Пьезомеханические свойства магнитоэлектрических композитов . . . т.е. свойства среды сравнения приравниваем к свойствам пьезоэлектрика PVF; для волокон: a1 = a2 , a3 → ∞ (8). Независимые упругие, диэлектрические и пьезомеханические постоянные трансверсально-изотропных электроупругих свойств волокон (полимерного пьезоэлектрика PVF с осью симметрии r3 ) приведены в [13, 15]. Необходимые для расчёта κ∗ , e∗ , λ∗ в (9) константы 11 113 11 (4) пьезоэлектрической фазы PVF следующие: продольный модуль сдвига C(1)1313 = 0,10 · 1010 Па, действительная часть диэлектрической проницаемости λ(1)11 = 14,7λ0 , пьезоэлектрическая постоянная e(1)113 = 2,3 Кл/м2 , диэлектрическая проницаемость вакуума λ0 ≈ 8,85 · 10−12 Ф/м, h(1)113 = = 0. Для пьезомагнитной ферритовой фазы (4) [13] константы следующие: C(2)1313 = 5,5 · 1010 Па, h(2)113 = 200 Тл, µ(2)11 = 3,14 · 10−5 Тл·м/А, e(2)113 = = 0. Дополнительно примем следующие значения: проводимость γ(1)11 полимерного пьезоэлектрика PVF приравняем к проводимости полиэтилена 10−10 (Ом·м)−1 [7], проводимость феррита γ(2)11 — к значению 10−5 (Ом·м)−1 [6] и λ(2)11 = 10λ0 [4] для никелевой феррошпинели (1); проницаемость µ(1)11 — к магнитной постоянной вакуума µ0 ≈ 1,256 · 10−6 Тл·м/А. На рисунке представлены результаты расчёта действительных и мнимых частей эффективного комплексного пьезоэлектрического e∗ и пьезомагнит113 ного h∗ коэффициентов полидисперсного волокнистого композита PVF/фер113 рит: пьезоэлектрическая PVF матрица с ферритовыми волокнами. Времена релаксации τκ и релаксационные частоты ωκ = 1/τκ , соответствующие мак∗ ∗ ∗ ∗ ∗ симумам мнимых частей κ11 , e113 , h113 , λ11 , µ11 , изменяются в широких пределах варьированием объёмными долями и свойствами фаз [6]. Полученные результаты хорошо согласуются с выводами как аналитических [7, 8], так и экспериментальных [7, 8] исследований. Заключение. Проведён численный расчёт и анализ влияния на действи∗ ∗ ∗ ∗ тельные e113 , h113 и мнимые e113 , h113 части эффективного комплексного пье∗ зоэлектрического e113 и пьезомагнитного h∗ коэффициентов полидисперс113 ного магнитоэлектрического пьезокомпозита PVF/феррит величины v1 и частоты ω электрического поля. Для концентрационных (рисунок а, в) зависимостей действительных и мнимых частей эффективных констант характерны экстремумы, например, при малой объёмной доле v1 ≈ 0,1 и ω = 500 −1 . Для ∗ частотной зависимости величины e113 (рисунок, б) характерна глубокая нормальная релаксация, обусловленная тем, что на высоких частотах не успевает накапливаться объёмный заряд вблизи межфазных границ; при нормальной релаксации абсолютные значения действительных частей монотонно уменьшаются с ростом частоты, тогда как для мнимых частей характерны четко выраженные релаксационные экстремумы [4]. Отметим, что для пьезомаг∗ нитного модуля h113 (рисунок, г) наблюдается обратная релаксация. Релаксационные частоты ωκ растут с увеличением объёмной доли пьезоэлектрика PVF в композите.