On solvability of a mixed value problem for nonlinear partial differential equation of higher order

Abstract

The questions of one valued generalized solvability of mixed value problem for nonlinear partial differential equation with the parabolic operator of arbitrary natural power are studied. The separation of variables is used.

Full Text

1. Постановка задачи. В области D рассматривается уравнение ∂ ∂ 2m + (−1)m 2m ∂t ∂x n u(t, x) = f (t, x, u(t, x), u(−t, x)) (1) с начальными u(t, x) t=0 = ϕ1 (x), ∂ j−1 u(t, x) ∂tj−1 t=0 = ϕj (x), j = 2, n (2) и граничными ∂ 2(nm−1/2) u(t, x) = x=0 x=0 x=0 ∂x2(nm−1/2) l l l ∂ 2(nm−1) u(t, y)dy = 0 (3) = u(t, y)dy = uyy (t, y)dy = . . . = 2(nm−1) 0 0 0 ∂y ux (t, x) = uxxx (t, x) = ... = условиями, где f (t, x, u, ϑ) ∈ (D × R2 ), ϕj (x) ∈ C(Dl ); ϕj (x) x=0 = ϕj (x) (2nm−1) x=0 = . . . = ϕj l = l ϕj (y)dy = 0 (x) ϕj (y)dy = . . . = 0 = x=0 l (2nm−2) ϕj (y)dy 0 = 0, j = 1, n; D ≡ DT × Dl , DT ≡ [−t, T ], Dl ≡ [0, l]; 0 < l < ∞, 0 < T < ∞; n, m — натуральные числа. Дифференциальное выражение −∂ 2nm /∂x2nm при граничных условиях (3) порождает положительно определённый самосопряжённый оператор с чисто точечным спектром. Следует отметить, что изучению разного типа линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и их систем посвящено много работ и при этом применялись разные методы. Смешанные задачи 46 О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения . . . с интегральными условиями были рассмотрены в работах многих авторов, в частности в [1–3]. В данной работе, в отличие от работ [4, 5], используется метод разделения переменных, основанный на поиске решения смешанной задачи (1)–(3) в виде предела N ai (t) · bi (x). u(t, x) = lim N →∞ (4) i=1 2. Вспомогательные понятия. Множество a(t) = (ai (t)) : ai (t) ∈ C(DT ), i = 1, N введением нормы N a(t) N Bp (T ) max |ai (t)| = i=1 p 1/p , t∈DT p>1 N становится банаховым пространством и обозначается через Bp (T ). Наряду с этим пространством также рассмотрим банахово пространство Bp (T ) с нормой N a(t) Bp (T ) = max |ai (t)| lim N →∞ i=1 p 1/p . t∈DT N Очевидно, что limN →∞ Bp (T ) = Bp (T ). Для каждого элемента a(t) ∈ Bp (T ) определяется оператор N ai (t) · bi (x). Qa(t) = u(t, x) = lim N →∞ i=1 Обозначим через Ep (D) множество значений оператора Q. Здесь очевидно, что Q : Bp (T ) → Ep (D) и Ep (D) ⊂ Lp (D). Для произвольной функции g(x), x ∈ Dl , в пространстве Lp (Dl ) вводится норма следующим образом: 1/p 1 g(x) lp (Dl ) |g(y)|p dy = < ∞. 0 (k) Через Wp (D) обозначается множество функций Φ(t, x) таких, что Φ(t, x), (∂ 2 /∂x2 )Φ(t, x), . . . , (∂ 2nm−2 /∂x2nm−2 )Φ(t, x) при фиксированном t ∈ DT принадлежат области определения оператора −∂ 2nm /∂x2nm , имеют производные порядка k по t, принадлежащие Lp (Dl ), и обращаются в нуль при t −T + δ и t T − δ (0 < δ — зависит от Φ(t, x)), где T Lp, q (D) = q/p l |u(t, x)|p dx u(t, x) : 0 0 1/q dt <∞ , 1 1 + = 1. p q (k) Ясно, что пространство Wp (D) всюду плотно в пространстве Lp (D). 47 Т. К. Ю л д а ш е в Пусть bi (x) — собственные функции дифференциального −∂ 2nm /∂x2nm , удовлетворяющие граничным условиям (2nm−1) bi (0) = bi (0) = . . . = bi оператора l (0) = bi (y)dy = 0 l l bi (y)dy = . . . = = 0 0 (2nm−2) bi (y)dy = 0 и обладающие свойством (2nm) bi (x) = (−1)2(nm+1/2) λ2nm bi (x), i где λ2nm — соответствующие собственные значения данного оператора. Тогда i функция, определённая с помощью предела (4), формально удовлетворяет граничным условиям (3). (k) Пусть для функций из Wp (D) справедливы соотношения l l Φ(t, y)dy = lim lim t→±T t→±T 0 0 ∂Φ(t, y) dy = . . . = lim t→±T ∂t l 0 ∂ n−1 Φ(t, y) dy = 0 ∂tn−1 при k = n. 3. Сведение решения задачи к системе нелинейных интегральных уравнений. Определение. Если функция u(t, x) ∈ Ep (D) удовлетворяет интегральному условию t l ∂n ∂ n+2m−1 n(n − 1) ∂ n+2m Φ + n n−1 2m Φ + Φ+ ∂sn ∂s ∂y 2 ∂sn−2 ∂y 2m+2 0 0 n(n − 1)(n − 2) ∂ n+2m+1 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−3 + Φ + ... + Φ+ n−3 ∂y 2m+4 3! ∂s 3! ∂s3 ∂y 2nm−6 n(n − 1) ∂ 2nm−2 ∂ 2nm−1 ∂ 2nm + Φ+n Φ(s, y) + 2nm − 2 ∂s2 ∂y 2nm−4 ∂s∂y 2nm−2 ∂y u(s, y) − f (s, y, u(s, y), u(−s, y))Φ(s, y) dyds = l ∂ n−1 ∂ n+2m−2 n(n − 1) ∂ n+2m−1 Φ + n n−2 2m Φ + Φ+ ∂tn−1 ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 2m+2 0 n(n − 1)(n − 2) ∂ n+2m n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−4 + Φ + ... + Φ+ 3! ∂tn−4 ∂y 2m+4 3! ∂t2 ∂y 2nm−6 n(n − 1) ∂ 2nm−3 ∂ 2nm−2 + Φ + n 2nm−2 Φ dy− 2 ∂t∂y 2nm−4 ∂y t=0 l ∂ n−2 ∂ n+2m−3 n(n − 1) ∂ n+2m−2 − ϕ2 (y) Φ + n n−3 2m Φ + Φ+ ∂tn−2 ∂t ∂y 2 ∂tn−4 ∂y 2m+2 0 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−5 n(n − 1) ∂ 2nm−4 + ... + Φ+ Φ dy+ 3! ∂t∂y 2nm−6 2 ∂y 2nm−4 t=0 = 48 ϕ1 (y) О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения . . . l ∂ n+2m−4 n(n − 1) ∂ n+2m−3 ∂ n−3 Φ + n n−4 2m Φ + Φ+ ∂tn−3 ∂t ∂y 2 ∂tn−5 ∂y 2m+2 0 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−6 + ... + Φ 3! ∂y 2nm−6 l ∂2 ∂ 2m+1 n(n − 1) ∂ 2m+2 ϕn−2 (y) − ... − Φ+n Φ+ Φ dy+ ∂t2 ∂t∂y 2m 2 ∂y 2m+2 t=0 0 + ϕ3 (y) l + ϕn−1 (y) 0 ∂ ∂ 2m Φ + n 2m Φ ∂t ∂y t=0 dy− l dy − ϕn (y) Φ 0 t=0 t=0 dy (k) для любого Φ(t, x) ∈ Wp (D), то она называется обобщённым решением смешанной задачи (1)–(3). Приближённое решение смешанной задачи (1)–(3) ищется в виде N ai (t) · bi (x). u(t, x) = i=1 Покажем, что коэффициенты разложения ai (t) решения смешанной задачи (1)–(3) удовлетворяют следующей системе нелинейных интегральных уравнений (СНИУ): t l f s, y, QN a(s), QN a(−s) × ai (t) = wi (t) + 0 0 × bi (y)Pi (t, s)dyds, t ∈ DT , (5) где 2m(n−1) 1 + λ2m t + i wi (t) = λ λ4m 2 λ6m 3 i t + i t + ... + i tn−1 ϕ1i + 2! 3! (n − 1)! 2m(n−2) +t 1+ λ2m t i λ λ4m λ6m + i t2 + i t3 + . . . + i tn−2 ϕ2i + 2! 3! (n − 2)! 2m(n−3) + λ t2 λ4m λ6m 1 + λ2m t + i t2 + i t3 + . . . + i tn−3 ϕ3i + i 2! 2! 3! (n − 3)! tn−1 tn−2 2m 1 + λ2m t ϕ(n−1)i + ϕni · e−λi t , + ... + i (n − 2)! (n − 1)! N 2m (t−s) Pi (t, s) = (n − 1)!(t − s)n−1 · e−λi , QN a(s) = ai (s) · bi (y). i=1 Согласно определению обобщённого решения смешанной задачи (1)–(3) имеем 49 Т. К. Ю л д а ш е в t l N ai (s) · bi (y) 0 0 i=1 ∂ n+2m ∂n ∂ n+2m−1 n(n − 1) Φ + n n−1 2m Φ + Φ+ ∂sn ∂s ∂y 2 ∂sn−2 ∂y 2m+2 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−3 n(n − 1)(n − 2) ∂ n+2m+1 Φ + ... + Φ+ 3! ∂sn−3 ∂y 2m+4 3! ∂s3 ∂y 2nm−6 n(n − 1) ∂ 2nm−2 ∂ 2nm−1 ∂ 2nm + Φ+n Φ + 2nm Φ − 2 ∂y 2nm−4 2nm−2 2 ∂s ∂s∂y ∂y + N − f s, y, N aj (s) · bj (y), j=1 aj (−s) · bj (y) Φ(s, y) dyds = j=1 l ∂ n+2m−2 n(n − 1) ∂ n+2m−1 ∂ n−1 Φ + n n−2 2m Φ + Φ+ ∂tn−1 ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 2m+2 0 ∂ n+2m n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−4 n(n − 1)(n − 2) Φ + ... + Φ+ + 3! ∂tn−4 ∂y 2m+4 3! ∂t2 ∂y 2nm−6 n(n − 1) ∂ 2nm−3 ∂ 2nm−2 + Φ + n 2nm−2 Φ dy− 2 ∂t∂y 2nm−4 ∂y t=0 l ∂ n−2 ∂ n+2m−3 n(n − 1) ∂ n+2m−2 − ϕ2 (y) Φ + n n−3 2m Φ + Φ+ ∂tn−2 ∂t ∂y 2 ∂tn−4 ∂y 2m+2 0 n(n − 1) ∂ 2nm−4 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−5 Φ+ Φ dy+ + ... + 3! ∂t∂y 2nm−6 2 ∂y 2nm−4 t=0 l ∂ n−3 ∂ n+2m−4 n(n − 1) ∂ n+2m−3 + ϕ3 (y) Φ + n n−4 2m Φ + Φ+ ∂tn−3 ∂t ∂y 2 ∂tn−5 ∂y 2m+2 0 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−6 + ... + Φ dy − . . . − 3! ∂y 2nm−6 t=0 l ∂2 ∂ 2m+1 n(n − 1) ∂ 2m+2 − ϕn−2 (y) Φ+n Φ+ Φ dy+ ∂t2 ∂t∂y 2m 2 ∂y 2m+2 t=0 0 l l ∂ ∂ 2m + ϕn−1 (y) Φ + n 2m Φ dy − ϕn (y)[Φ]t=0 dy. (6) ∂t ∂y t=0 0 0 ϕ1 (y) = (k) Пусть в (6) Φ = Φν (t, x) = h(t)bν (x) ∈ Wp (D), где 0 = h(t) ∈ C n (DT ). Тогда t l N ai (s) · bi (y) (−1)n h(n) (s)bν (y) + (−1)n−1 nλ2m h(n−1) (s)bν (y)+ ν 0 0 i=1 + (−1)n−2 + n(n − 1) 2m+2 (n−2) λν h (s)bν (y) + . . . + 2 n(n − 1) 2nm−4 λν h (s)bν (y) − nλ2nm−2 h (s)bν (y) + λ2nm h(s)bν (y) − ν ν 2 N − f s, y, j=1 50 N aj (s) · bj (y), aj (−s) · bj (y) h(s) dyds = 0. j=1 О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения . . . Учитывая, что функции bi (x) полны и ортонормированны в Lp (Dl ), из последнего равенства имеем t ai (s) · (−1)n h(n) (s) + (−1)n−1 nλ2m h(n−1) (s)+ i 0 + (−1)n−2 + n(n − 1) 2m+2 (n−2) λi h (s) + . . . + 2 n(n − 1) 2nm−4 λi h (s) − nλ2nm−2 h (s) + λ2nm h(s) − i i 2 l f s, y, QN a(s), QN a(−s) h(s) · bi (y)dy ds = 0. − 0 Отсюда, интегрируя по частям, получаем t 0 (n) (n−1) h(s) ai (s) + nλ2m ai i + (s) + n(n − 1) 2m+2 (n−2) λi ai (s) + . . . + 2 n(n − 1) 2nm−4 λi ai (s) + mλ2nm−2 ai (s) + λ2nm ai (s)− i i 2 l f s, y, QN a(s), QN a(−s) · bi (y)dy ds = 0. (7) − 0 Так как h(t) — любая функция, удовлетворяющая указанным выше условиям, ai (t) имеет обобщённые производные порядка n по t в смысле Соболева на отрезке DT . Поскольку h(t) = 0 для всех t ∈ DT , из (7) получаем (n) (n−1) ai (t) + nλ2m ai i + (t) + n(n − 1) 2m+2 (n−2) λi ai (t) + . . . + 2 n(n − 1) 2nm−4 λi ai (t) + nλ2nm−2 ai (t) + λ2nm ai (t) = i i 2 l f t, y, QN a(t), QN a(−t) · bi (y)dy. (8) = 0 Решая систему (8) методом вариации произвольных постоянных, получаем 2m t ai (t) = C1i + C2i t + C3i t2 + C4i t3 + . . . + Cni tn−1 · e−λi t + l f s, y, QN a(s), QN a(−s) bi (y)Pi (t, s)dyds, + 0 t ∈ DT , (9) 0 где 2m (t−s) Pi (t, s) = (n − 1)!(t − s)n−1 · e−λi . Для определения коэффициентов Cji (j = 1, n) используем условия ai (0) = ϕ1i , ai (0) = ϕ2i , ai (0) = ϕ3i , ..., (n−1) ai (0) = ϕni . 51 Т. К. Ю л д а ш е в При этом начальные данные ϕji подбираются из условия (2) так, что суммы N ϕN (x) j = j = 1, n ϕji bi (x), i=1 аппроксимируют при N → ∞ функции ϕj (x) ∈ Lp (Dl ). Тогда имеем C2i = λ2m ϕ1i + ϕ2i , i C1i = ϕ1i , C3i = 1 4m λ ϕ1i + 2λ2m ϕ2i + ϕ3i , i 2! i 1 6m λ ϕ1i + 3λ4m ϕ2i + 3λ2m ϕ3i + ϕ4i , i i 3! i C4i = ··· , 1 2m(n−1) 2m(n−2) λ ϕ1i + (n − 1)λi ϕ2i + (n − 1)! i (n − 1)(n − 2) 4m (n − 1)(n − 2) 2m(n−3) λi ϕ3i + . . . + λi ϕ(n−2)i + + 2 2 Cni = +(n − 1)λ2m ϕ(n−1)i + ϕni . i Подставляя найденные значения Cji в (9), получаем СНИУ (5). 4. Однозначная разрешимость СНИУ. Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия: t f s, x, QN w(s), QN w(−s) 1) 0 2) f (t, x, u, ϑ) ∈ Lip h(t, x) u,ϑ Lp (Dl ) t , где ∆ < ∞; ds h(s, x) 0 Lp (Dl ) ds < ∞; 3) w(t) Bp (T ) < ∞. N N Тогда СНИУ (5) имеет единственное решение в пространстве Bp (T ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем метод последовательных приближений. При этом итерационный процесс Пикара определим следующим образом: a0 (t) = wi (t), i t ∈ DT , t ak+1 (t) = wi (t) + i l f s, y, Qak (s), Qak (−s) bi (y) · Pi (t, s)dyds, 0 0 k = 0, 1, 2, 3, . . . , (10) t ∈ DT . В силу условий теоремы для разности a1 (t) − a0 (t) из (10) получим i i a1 (t) − a0 (t) N Bp (T ) N t l f s, x, Qa0 (s), Qa0 (−s) max i=1 t 0 t l f s, x, Qa0 (s), Qa0 (−s) dxds M1 M2 max t 52 ¯ · |bi (y)| · Pi (t, s) dyds 0 0 0 M1 M2 l1/q ∆, (11) О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения . . . где M1 = G(t, s) 2 N Bp (DT ) , M2 = b(x) N Bq (l) , 1 1 + = 1. p q Аналогично находим a1 (−t) − a0 (−t) M1 M2 l1/q ∆. N Bp (T ) (12) В силу второго условия теоремы для разности a2 (t) − a1 (t) из (10) имеем i i t a2 (t) − a1 (t) l |f1 − f0 | dyds. M1 M2 max N Bp (T ) t 0 0 Так как f s, x, Qa1 (s), Qa1 (δ(s, Qa1 (−s))) − f s, x, Qa0 (s), Qa0 (δ(s, Qa0 (−s))) N a1 (−s) − a0 (−s) + a1 (−s) − a0 (−s) |bν (x)| , ν ν ν ν h(s, x) ν=1 из последнего неравенства с учётом (11) и (12) получим следующую оценку: a2 (t) − a1 (t) N Bp (T ) 3 M1 M2 l1/q t 2 ∆ max h(s, x) t 0 Lp (Dl ) ds , (t, x) ∈ D. (13) Меняя в (13) t на −t, s на −s, получим a2 (−t) − a1 (−t) N Bp (T ) t l 2 M1 M2 max a1 (−s) − a0 (−s) h(−s, y) t 0 + a1 (s) − a0 (s) M1 l1/q 2 N Bp (T ) 0 N Bp (T ) + dyds t 3 M2 ∆ max t h(−s, x) 0 Lp (Dl ) ds , (t, x) ∈ D. (14) Пусть 1 ¯ h(s, x) ≡ [h(s, x) + h(−s, x)] . 2 Тогда из (13) и (14) получим U 2 (t) − U 1 (t) N Bp (T ) M1 l1/q 2 t 3 M2 ∆ max t 0 ¯ h(s, x) Lp (Dl ) ds , (t, x) ∈ D, 53 Т. К. Ю л д а ш е в где U k (t) − U k−1 (t) N Bp (T ) ≡ ak (t) − ak−1 (t) ≡ max N Bp (T ) ; ak (−t) − ak−1 (−t) N Bp (T ) . Продолжая этот процесс для произвольного натурального числа k, аналогичным образом находим U k+1 (t) − U k (t) N Bp (T ) M1 l1/q k+1 2k+1 M2 ∆ max k! t t k ¯ h(s, x) 0 ds Lp (D ) l . (15) Так как ak+1 (t) − ak (t) N Bp (T ) U k+1 (t) − U k (t) N Bp (T ) , из оценки (15) следует, что при k → ∞ последовательность функций {ak (t)}∞ k=1 N сходится равномерно по t к функции a(t) ∈ Bp (T ). Отсюда следует существование решения СНИУ (5). N Покажем единственность решения в пространстве Bp (T ). Пусть СНИУ N (T ) и ϑ(t) ∈ B N (T ). Тогда для их разности (5) имеет два решения: a(t) ∈ Bp p получим U (t) − V (t) N Bp (T ) t 2 M1 M2 l1/q max t ¯ h(s, x) 0 Lp (Dl ) U (s) − V (s) N Bp (T ) ds , (16) где U (t) − V (t) ≡ max a(t) − ϑ(t) ; a(−t) − ϑ(−t) . Применяя к (16) неравенство типа Гронуолла—Беллмана, получим a(t) − ϑ(t) N Bp (T ) =0 для всех t ∈ DT . Отсюда следует единственность решения СНИУ (5) в проN странстве Bp (T ). 5. Однозначная разрешимость смешанной задачи. Подставляя CНИУ (5) в предел (4), получим формальное решение смешанной задачи (1)–(3): N u(t, x) = lim N →∞ wi (t)+ i=1 t l f s, y, QN a(s), QN a(−s) · bi (y)Pi (t, s)dyds bi (x). (17) + 0 0 N Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Если a(t) ∈ Bp (T ) является решением СНИУ (5), то предел (17) будет обобщённым решением смешанной задачи (1)–(3). 54 О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения . . . N Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как a(t) ∈ Bp (T ), из равенства N N ai (t) · bi (x) = u(t, x) lim u (t, x) = lim N →∞ N →∞ i=1 в силу условий теоремы следует lim f t, x, uN (t, x), uN (−t, x) = f (t, x, u(t, x), u(−t, x)) N →∞ (18) в смысле метрики Lp (D). Построим последовательность операторов: t l ∂ n+2m−1 n(n − 1) ∂ n+2m ∂n Φ + n n−1 2m Φ + Φ+ ∂sn ∂s ∂y 2 ∂sn−2 ∂y 2m+2 0 0 n(n − 1) ∂ 2nm−2 ∂ 2nm−1 ∂ 2nm + ... + Φ+n Φ + 2nm Φ − 2 ∂s2 ∂y 2nm−4 ∂s∂y 2nm−2 ∂y uN (s, y) VN (t) = − f s, y, uN (s, y), uN (−s, y) Φ(s, y) dyds− l ∂ n−1 ∂ n+2m−2 n(n − 1) ∂ n+2m−1 Φ + n n−2 2m Φ + Φ+ ∂tn−1 ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 2m+2 0 n(n − 1) ∂ 2nm−3 ∂ 2nm−2 + ... + Φ + n 2nm−2 Φ dy+ 2 ∂t∂y 2nm−4 ∂y t=0 l ∂ n+2m−3 n(n − 1) ∂ n+2m−2 ∂ n−2 Φ + n n−3 2m Φ + Φ+ + ϕN (y) 2 ∂tn−2 ∂t ∂y 2 ∂tn−4 ∂y 2m+2 0 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−5 n(n − 1) ∂ 2nm−4 + ... + Φ+ Φ dy− 3! ∂t∂y 2nm−6 2 ∂y 2nm−4 t=0 l ∂ n−3 ∂ n+2m−4 n(n − 1) ∂ n+2m−3 − ϕN (y) Φ + n n−4 2m Φ + Φ+ 3 ∂tn−3 ∂t ∂y 2 ∂tn−5 ∂y 2m+2 0 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−6 + ... + Φ dy + . . . + 3! ∂y 2nm−6 t=0 l ∂2 ∂ 2m+1 n(n − 1) ∂ 2m+2 + ϕN (y) Φ+n Φ+ Φ dy− n−2 ∂t2 ∂t∂y 2m 2 ∂y 2m+2 t=0 0 l l ∂ ∂ 2m − ϕN (y) Φ + n 2m Φ dy + ϕN [Φ]t=0 dy. (19) n−1 n ∂t ∂y 0 0 t=0 − ϕN (y) 1 Интегрируя по частям отдельные слагаемые в (19) и учитывая условия теоремы и начальные условия ai (0) = ϕ1i , ai (0) = ϕ2i , ai (0) = ϕ3i , ..., (n−1) ai (0) = ϕni , получаем N l ϕ1 (y) − VN (t) = 0 ϕ1i bi (y) i=1 ∂ n+2m−2 ∂ n−1 Φ + n n−2 2m Φ+ ∂tn−1 ∂t ∂y 55 Т. К. Ю л д а ш е в + n(n − 1) ∂ n+2m−1 n(n − 1) ∂ 2nm−3 ∂ 2nm−2 Φ + ... + Φ + n 2nm−2 Φ 2 ∂tn−3 ∂y 2m+2 2 ∂t∂y 2nm−4 ∂y N l − ϕ2 (y)− 0 i=1 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−5 n(n − 1) ∂ 2nm−4 Φ+ Φ 2nm−6 3! ∂t∂y 2 ∂y 2nm−4 N l ϕ3 (y)− + 0 i=1 + ... + N − ϕn−2 (y)− 0 k l ϕn−1 (y) − 0 ϕ(n−1)i bi (y) i=1 ϕn (y) − − dy+ t=0 dy − . . . − ∂ 2m ∂ Φ + n 2m Φ ∂t ∂y t=0 t=0 dy+ dy− N l 0 t n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−6 Φ 3! ∂y 2nm−6 ∂ 2m+1 n(n − 1) ∂ 2m+2 ∂2 Φ+n Φ+ Φ ∂t2 ∂t∂y 2m 2 ∂y 2m+2 ϕ(n−2)i bi (y) i=1 + t=0 ∂ n+2m−4 n(n − 1) ∂ n+2m−3 ∂ n−3 Φ+n n−4 2m Φ+ Φ+ ∂tn−3 ∂t 2 ∂tn−5 ∂y 2m+2 ∂y ϕ3i bi (y) l dy− ∂ n+2m−3 n(n − 1) ∂ n+2m−2 ∂ n−2 Φ+n n−3 2m Φ+ Φ+ ∂tn−2 ∂t ∂y 2 ∂tn−4 ∂y 2m+2 ϕ2i bi (y) + ... + t=0 ϕni bi (y) Φ(t, y) t=0 dy+ i=1 l Φ(s, y) f (s, y, u(s, y), u(−s, y)) − + 0 0 N l f s, z, uN (s, z), uN (−s, z) · bi (z)dz bi (y)dydt. (20) − i=1 0 Очевидно, что первые n интегралов в (20) стремятся к нулю при N → ∞, так как ϕj (x) ∈ Lp (Dl ), j = 1, n. Сходимость последней разности в (20) при N → ∞ следует из (18). Отсюда заключаем, что limN →∞ VN (t) = 0. Это и доказывает теорему.