О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных высокого порядка

Аннотация

Рассматриваются вопросы обобщённой разрешимости смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения с параболическим оператором высокой степени. Используется метод разделения переменных.

Полный текст

1. Постановка задачи. В области D рассматривается уравнение ∂ ∂ 2m + (−1)m 2m ∂t ∂x n u(t, x) = f (t, x, u(t, x), u(−t, x)) (1) с начальными u(t, x) t=0 = ϕ1 (x), ∂ j−1 u(t, x) ∂tj−1 t=0 = ϕj (x), j = 2, n (2) и граничными ∂ 2(nm−1/2) u(t, x) = x=0 x=0 x=0 ∂x2(nm−1/2) l l l ∂ 2(nm−1) u(t, y)dy = 0 (3) = u(t, y)dy = uyy (t, y)dy = . . . = 2(nm−1) 0 0 0 ∂y ux (t, x) = uxxx (t, x) = ... = условиями, где f (t, x, u, ϑ) ∈ (D × R2 ), ϕj (x) ∈ C(Dl ); ϕj (x) x=0 = ϕj (x) (2nm−1) x=0 = . . . = ϕj l = l ϕj (y)dy = 0 (x) ϕj (y)dy = . . . = 0 = x=0 l (2nm−2) ϕj (y)dy 0 = 0, j = 1, n; D ≡ DT × Dl , DT ≡ [−t, T ], Dl ≡ [0, l]; 0 < l < ∞, 0 < T < ∞; n, m — натуральные числа. Дифференциальное выражение −∂ 2nm /∂x2nm при граничных условиях (3) порождает положительно определённый самосопряжённый оператор с чисто точечным спектром. Следует отметить, что изучению разного типа линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и их систем посвящено много работ и при этом применялись разные методы. Смешанные задачи 46 О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения . . . с интегральными условиями были рассмотрены в работах многих авторов, в частности в [1–3]. В данной работе, в отличие от работ [4, 5], используется метод разделения переменных, основанный на поиске решения смешанной задачи (1)–(3) в виде предела N ai (t) · bi (x). u(t, x) = lim N →∞ (4) i=1 2. Вспомогательные понятия. Множество a(t) = (ai (t)) : ai (t) ∈ C(DT ), i = 1, N введением нормы N a(t) N Bp (T ) max |ai (t)| = i=1 p 1/p , t∈DT p>1 N становится банаховым пространством и обозначается через Bp (T ). Наряду с этим пространством также рассмотрим банахово пространство Bp (T ) с нормой N a(t) Bp (T ) = max |ai (t)| lim N →∞ i=1 p 1/p . t∈DT N Очевидно, что limN →∞ Bp (T ) = Bp (T ). Для каждого элемента a(t) ∈ Bp (T ) определяется оператор N ai (t) · bi (x). Qa(t) = u(t, x) = lim N →∞ i=1 Обозначим через Ep (D) множество значений оператора Q. Здесь очевидно, что Q : Bp (T ) → Ep (D) и Ep (D) ⊂ Lp (D). Для произвольной функции g(x), x ∈ Dl , в пространстве Lp (Dl ) вводится норма следующим образом: 1/p 1 g(x) lp (Dl ) |g(y)|p dy = < ∞. 0 (k) Через Wp (D) обозначается множество функций Φ(t, x) таких, что Φ(t, x), (∂ 2 /∂x2 )Φ(t, x), . . . , (∂ 2nm−2 /∂x2nm−2 )Φ(t, x) при фиксированном t ∈ DT принадлежат области определения оператора −∂ 2nm /∂x2nm , имеют производные порядка k по t, принадлежащие Lp (Dl ), и обращаются в нуль при t −T + δ и t T − δ (0 < δ — зависит от Φ(t, x)), где T Lp, q (D) = q/p l |u(t, x)|p dx u(t, x) : 0 0 1/q dt <∞ , 1 1 + = 1. p q (k) Ясно, что пространство Wp (D) всюду плотно в пространстве Lp (D). 47 Т. К. Ю л д а ш е в Пусть bi (x) — собственные функции дифференциального −∂ 2nm /∂x2nm , удовлетворяющие граничным условиям (2nm−1) bi (0) = bi (0) = . . . = bi оператора l (0) = bi (y)dy = 0 l l bi (y)dy = . . . = = 0 0 (2nm−2) bi (y)dy = 0 и обладающие свойством (2nm) bi (x) = (−1)2(nm+1/2) λ2nm bi (x), i где λ2nm — соответствующие собственные значения данного оператора. Тогда i функция, определённая с помощью предела (4), формально удовлетворяет граничным условиям (3). (k) Пусть для функций из Wp (D) справедливы соотношения l l Φ(t, y)dy = lim lim t→±T t→±T 0 0 ∂Φ(t, y) dy = . . . = lim t→±T ∂t l 0 ∂ n−1 Φ(t, y) dy = 0 ∂tn−1 при k = n. 3. Сведение решения задачи к системе нелинейных интегральных уравнений. Определение. Если функция u(t, x) ∈ Ep (D) удовлетворяет интегральному условию t l ∂n ∂ n+2m−1 n(n − 1) ∂ n+2m Φ + n n−1 2m Φ + Φ+ ∂sn ∂s ∂y 2 ∂sn−2 ∂y 2m+2 0 0 n(n − 1)(n − 2) ∂ n+2m+1 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−3 + Φ + ... + Φ+ n−3 ∂y 2m+4 3! ∂s 3! ∂s3 ∂y 2nm−6 n(n − 1) ∂ 2nm−2 ∂ 2nm−1 ∂ 2nm + Φ+n Φ(s, y) + 2nm − 2 ∂s2 ∂y 2nm−4 ∂s∂y 2nm−2 ∂y u(s, y) − f (s, y, u(s, y), u(−s, y))Φ(s, y) dyds = l ∂ n−1 ∂ n+2m−2 n(n − 1) ∂ n+2m−1 Φ + n n−2 2m Φ + Φ+ ∂tn−1 ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 2m+2 0 n(n − 1)(n − 2) ∂ n+2m n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−4 + Φ + ... + Φ+ 3! ∂tn−4 ∂y 2m+4 3! ∂t2 ∂y 2nm−6 n(n − 1) ∂ 2nm−3 ∂ 2nm−2 + Φ + n 2nm−2 Φ dy− 2 ∂t∂y 2nm−4 ∂y t=0 l ∂ n−2 ∂ n+2m−3 n(n − 1) ∂ n+2m−2 − ϕ2 (y) Φ + n n−3 2m Φ + Φ+ ∂tn−2 ∂t ∂y 2 ∂tn−4 ∂y 2m+2 0 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−5 n(n − 1) ∂ 2nm−4 + ... + Φ+ Φ dy+ 3! ∂t∂y 2nm−6 2 ∂y 2nm−4 t=0 = 48 ϕ1 (y) О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения . . . l ∂ n+2m−4 n(n − 1) ∂ n+2m−3 ∂ n−3 Φ + n n−4 2m Φ + Φ+ ∂tn−3 ∂t ∂y 2 ∂tn−5 ∂y 2m+2 0 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−6 + ... + Φ 3! ∂y 2nm−6 l ∂2 ∂ 2m+1 n(n − 1) ∂ 2m+2 ϕn−2 (y) − ... − Φ+n Φ+ Φ dy+ ∂t2 ∂t∂y 2m 2 ∂y 2m+2 t=0 0 + ϕ3 (y) l + ϕn−1 (y) 0 ∂ ∂ 2m Φ + n 2m Φ ∂t ∂y t=0 dy− l dy − ϕn (y) Φ 0 t=0 t=0 dy (k) для любого Φ(t, x) ∈ Wp (D), то она называется обобщённым решением смешанной задачи (1)–(3). Приближённое решение смешанной задачи (1)–(3) ищется в виде N ai (t) · bi (x). u(t, x) = i=1 Покажем, что коэффициенты разложения ai (t) решения смешанной задачи (1)–(3) удовлетворяют следующей системе нелинейных интегральных уравнений (СНИУ): t l f s, y, QN a(s), QN a(−s) × ai (t) = wi (t) + 0 0 × bi (y)Pi (t, s)dyds, t ∈ DT , (5) где 2m(n−1) 1 + λ2m t + i wi (t) = λ λ4m 2 λ6m 3 i t + i t + ... + i tn−1 ϕ1i + 2! 3! (n − 1)! 2m(n−2) +t 1+ λ2m t i λ λ4m λ6m + i t2 + i t3 + . . . + i tn−2 ϕ2i + 2! 3! (n − 2)! 2m(n−3) + λ t2 λ4m λ6m 1 + λ2m t + i t2 + i t3 + . . . + i tn−3 ϕ3i + i 2! 2! 3! (n − 3)! tn−1 tn−2 2m 1 + λ2m t ϕ(n−1)i + ϕni · e−λi t , + ... + i (n − 2)! (n − 1)! N 2m (t−s) Pi (t, s) = (n − 1)!(t − s)n−1 · e−λi , QN a(s) = ai (s) · bi (y). i=1 Согласно определению обобщённого решения смешанной задачи (1)–(3) имеем 49 Т. К. Ю л д а ш е в t l N ai (s) · bi (y) 0 0 i=1 ∂ n+2m ∂n ∂ n+2m−1 n(n − 1) Φ + n n−1 2m Φ + Φ+ ∂sn ∂s ∂y 2 ∂sn−2 ∂y 2m+2 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−3 n(n − 1)(n − 2) ∂ n+2m+1 Φ + ... + Φ+ 3! ∂sn−3 ∂y 2m+4 3! ∂s3 ∂y 2nm−6 n(n − 1) ∂ 2nm−2 ∂ 2nm−1 ∂ 2nm + Φ+n Φ + 2nm Φ − 2 ∂y 2nm−4 2nm−2 2 ∂s ∂s∂y ∂y + N − f s, y, N aj (s) · bj (y), j=1 aj (−s) · bj (y) Φ(s, y) dyds = j=1 l ∂ n+2m−2 n(n − 1) ∂ n+2m−1 ∂ n−1 Φ + n n−2 2m Φ + Φ+ ∂tn−1 ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 2m+2 0 ∂ n+2m n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−4 n(n − 1)(n − 2) Φ + ... + Φ+ + 3! ∂tn−4 ∂y 2m+4 3! ∂t2 ∂y 2nm−6 n(n − 1) ∂ 2nm−3 ∂ 2nm−2 + Φ + n 2nm−2 Φ dy− 2 ∂t∂y 2nm−4 ∂y t=0 l ∂ n−2 ∂ n+2m−3 n(n − 1) ∂ n+2m−2 − ϕ2 (y) Φ + n n−3 2m Φ + Φ+ ∂tn−2 ∂t ∂y 2 ∂tn−4 ∂y 2m+2 0 n(n − 1) ∂ 2nm−4 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−5 Φ+ Φ dy+ + ... + 3! ∂t∂y 2nm−6 2 ∂y 2nm−4 t=0 l ∂ n−3 ∂ n+2m−4 n(n − 1) ∂ n+2m−3 + ϕ3 (y) Φ + n n−4 2m Φ + Φ+ ∂tn−3 ∂t ∂y 2 ∂tn−5 ∂y 2m+2 0 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−6 + ... + Φ dy − . . . − 3! ∂y 2nm−6 t=0 l ∂2 ∂ 2m+1 n(n − 1) ∂ 2m+2 − ϕn−2 (y) Φ+n Φ+ Φ dy+ ∂t2 ∂t∂y 2m 2 ∂y 2m+2 t=0 0 l l ∂ ∂ 2m + ϕn−1 (y) Φ + n 2m Φ dy − ϕn (y)[Φ]t=0 dy. (6) ∂t ∂y t=0 0 0 ϕ1 (y) = (k) Пусть в (6) Φ = Φν (t, x) = h(t)bν (x) ∈ Wp (D), где 0 = h(t) ∈ C n (DT ). Тогда t l N ai (s) · bi (y) (−1)n h(n) (s)bν (y) + (−1)n−1 nλ2m h(n−1) (s)bν (y)+ ν 0 0 i=1 + (−1)n−2 + n(n − 1) 2m+2 (n−2) λν h (s)bν (y) + . . . + 2 n(n − 1) 2nm−4 λν h (s)bν (y) − nλ2nm−2 h (s)bν (y) + λ2nm h(s)bν (y) − ν ν 2 N − f s, y, j=1 50 N aj (s) · bj (y), aj (−s) · bj (y) h(s) dyds = 0. j=1 О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения . . . Учитывая, что функции bi (x) полны и ортонормированны в Lp (Dl ), из последнего равенства имеем t ai (s) · (−1)n h(n) (s) + (−1)n−1 nλ2m h(n−1) (s)+ i 0 + (−1)n−2 + n(n − 1) 2m+2 (n−2) λi h (s) + . . . + 2 n(n − 1) 2nm−4 λi h (s) − nλ2nm−2 h (s) + λ2nm h(s) − i i 2 l f s, y, QN a(s), QN a(−s) h(s) · bi (y)dy ds = 0. − 0 Отсюда, интегрируя по частям, получаем t 0 (n) (n−1) h(s) ai (s) + nλ2m ai i + (s) + n(n − 1) 2m+2 (n−2) λi ai (s) + . . . + 2 n(n − 1) 2nm−4 λi ai (s) + mλ2nm−2 ai (s) + λ2nm ai (s)− i i 2 l f s, y, QN a(s), QN a(−s) · bi (y)dy ds = 0. (7) − 0 Так как h(t) — любая функция, удовлетворяющая указанным выше условиям, ai (t) имеет обобщённые производные порядка n по t в смысле Соболева на отрезке DT . Поскольку h(t) = 0 для всех t ∈ DT , из (7) получаем (n) (n−1) ai (t) + nλ2m ai i + (t) + n(n − 1) 2m+2 (n−2) λi ai (t) + . . . + 2 n(n − 1) 2nm−4 λi ai (t) + nλ2nm−2 ai (t) + λ2nm ai (t) = i i 2 l f t, y, QN a(t), QN a(−t) · bi (y)dy. (8) = 0 Решая систему (8) методом вариации произвольных постоянных, получаем 2m t ai (t) = C1i + C2i t + C3i t2 + C4i t3 + . . . + Cni tn−1 · e−λi t + l f s, y, QN a(s), QN a(−s) bi (y)Pi (t, s)dyds, + 0 t ∈ DT , (9) 0 где 2m (t−s) Pi (t, s) = (n − 1)!(t − s)n−1 · e−λi . Для определения коэффициентов Cji (j = 1, n) используем условия ai (0) = ϕ1i , ai (0) = ϕ2i , ai (0) = ϕ3i , ..., (n−1) ai (0) = ϕni . 51 Т. К. Ю л д а ш е в При этом начальные данные ϕji подбираются из условия (2) так, что суммы N ϕN (x) j = j = 1, n ϕji bi (x), i=1 аппроксимируют при N → ∞ функции ϕj (x) ∈ Lp (Dl ). Тогда имеем C2i = λ2m ϕ1i + ϕ2i , i C1i = ϕ1i , C3i = 1 4m λ ϕ1i + 2λ2m ϕ2i + ϕ3i , i 2! i 1 6m λ ϕ1i + 3λ4m ϕ2i + 3λ2m ϕ3i + ϕ4i , i i 3! i C4i = ··· , 1 2m(n−1) 2m(n−2) λ ϕ1i + (n − 1)λi ϕ2i + (n − 1)! i (n − 1)(n − 2) 4m (n − 1)(n − 2) 2m(n−3) λi ϕ3i + . . . + λi ϕ(n−2)i + + 2 2 Cni = +(n − 1)λ2m ϕ(n−1)i + ϕni . i Подставляя найденные значения Cji в (9), получаем СНИУ (5). 4. Однозначная разрешимость СНИУ. Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия: t f s, x, QN w(s), QN w(−s) 1) 0 2) f (t, x, u, ϑ) ∈ Lip h(t, x) u,ϑ Lp (Dl ) t , где ∆ < ∞; ds h(s, x) 0 Lp (Dl ) ds < ∞; 3) w(t) Bp (T ) < ∞. N N Тогда СНИУ (5) имеет единственное решение в пространстве Bp (T ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем метод последовательных приближений. При этом итерационный процесс Пикара определим следующим образом: a0 (t) = wi (t), i t ∈ DT , t ak+1 (t) = wi (t) + i l f s, y, Qak (s), Qak (−s) bi (y) · Pi (t, s)dyds, 0 0 k = 0, 1, 2, 3, . . . , (10) t ∈ DT . В силу условий теоремы для разности a1 (t) − a0 (t) из (10) получим i i a1 (t) − a0 (t) N Bp (T ) N t l f s, x, Qa0 (s), Qa0 (−s) max i=1 t 0 t l f s, x, Qa0 (s), Qa0 (−s) dxds M1 M2 max t 52 ¯ · |bi (y)| · Pi (t, s) dyds 0 0 0 M1 M2 l1/q ∆, (11) О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения . . . где M1 = G(t, s) 2 N Bp (DT ) , M2 = b(x) N Bq (l) , 1 1 + = 1. p q Аналогично находим a1 (−t) − a0 (−t) M1 M2 l1/q ∆. N Bp (T ) (12) В силу второго условия теоремы для разности a2 (t) − a1 (t) из (10) имеем i i t a2 (t) − a1 (t) l |f1 − f0 | dyds. M1 M2 max N Bp (T ) t 0 0 Так как f s, x, Qa1 (s), Qa1 (δ(s, Qa1 (−s))) − f s, x, Qa0 (s), Qa0 (δ(s, Qa0 (−s))) N a1 (−s) − a0 (−s) + a1 (−s) − a0 (−s) |bν (x)| , ν ν ν ν h(s, x) ν=1 из последнего неравенства с учётом (11) и (12) получим следующую оценку: a2 (t) − a1 (t) N Bp (T ) 3 M1 M2 l1/q t 2 ∆ max h(s, x) t 0 Lp (Dl ) ds , (t, x) ∈ D. (13) Меняя в (13) t на −t, s на −s, получим a2 (−t) − a1 (−t) N Bp (T ) t l 2 M1 M2 max a1 (−s) − a0 (−s) h(−s, y) t 0 + a1 (s) − a0 (s) M1 l1/q 2 N Bp (T ) 0 N Bp (T ) + dyds t 3 M2 ∆ max t h(−s, x) 0 Lp (Dl ) ds , (t, x) ∈ D. (14) Пусть 1 ¯ h(s, x) ≡ [h(s, x) + h(−s, x)] . 2 Тогда из (13) и (14) получим U 2 (t) − U 1 (t) N Bp (T ) M1 l1/q 2 t 3 M2 ∆ max t 0 ¯ h(s, x) Lp (Dl ) ds , (t, x) ∈ D, 53 Т. К. Ю л д а ш е в где U k (t) − U k−1 (t) N Bp (T ) ≡ ak (t) − ak−1 (t) ≡ max N Bp (T ) ; ak (−t) − ak−1 (−t) N Bp (T ) . Продолжая этот процесс для произвольного натурального числа k, аналогичным образом находим U k+1 (t) − U k (t) N Bp (T ) M1 l1/q k+1 2k+1 M2 ∆ max k! t t k ¯ h(s, x) 0 ds Lp (D ) l . (15) Так как ak+1 (t) − ak (t) N Bp (T ) U k+1 (t) − U k (t) N Bp (T ) , из оценки (15) следует, что при k → ∞ последовательность функций {ak (t)}∞ k=1 N сходится равномерно по t к функции a(t) ∈ Bp (T ). Отсюда следует существование решения СНИУ (5). N Покажем единственность решения в пространстве Bp (T ). Пусть СНИУ N (T ) и ϑ(t) ∈ B N (T ). Тогда для их разности (5) имеет два решения: a(t) ∈ Bp p получим U (t) − V (t) N Bp (T ) t 2 M1 M2 l1/q max t ¯ h(s, x) 0 Lp (Dl ) U (s) − V (s) N Bp (T ) ds , (16) где U (t) − V (t) ≡ max a(t) − ϑ(t) ; a(−t) − ϑ(−t) . Применяя к (16) неравенство типа Гронуолла—Беллмана, получим a(t) − ϑ(t) N Bp (T ) =0 для всех t ∈ DT . Отсюда следует единственность решения СНИУ (5) в проN странстве Bp (T ). 5. Однозначная разрешимость смешанной задачи. Подставляя CНИУ (5) в предел (4), получим формальное решение смешанной задачи (1)–(3): N u(t, x) = lim N →∞ wi (t)+ i=1 t l f s, y, QN a(s), QN a(−s) · bi (y)Pi (t, s)dyds bi (x). (17) + 0 0 N Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Если a(t) ∈ Bp (T ) является решением СНИУ (5), то предел (17) будет обобщённым решением смешанной задачи (1)–(3). 54 О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения . . . N Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как a(t) ∈ Bp (T ), из равенства N N ai (t) · bi (x) = u(t, x) lim u (t, x) = lim N →∞ N →∞ i=1 в силу условий теоремы следует lim f t, x, uN (t, x), uN (−t, x) = f (t, x, u(t, x), u(−t, x)) N →∞ (18) в смысле метрики Lp (D). Построим последовательность операторов: t l ∂ n+2m−1 n(n − 1) ∂ n+2m ∂n Φ + n n−1 2m Φ + Φ+ ∂sn ∂s ∂y 2 ∂sn−2 ∂y 2m+2 0 0 n(n − 1) ∂ 2nm−2 ∂ 2nm−1 ∂ 2nm + ... + Φ+n Φ + 2nm Φ − 2 ∂s2 ∂y 2nm−4 ∂s∂y 2nm−2 ∂y uN (s, y) VN (t) = − f s, y, uN (s, y), uN (−s, y) Φ(s, y) dyds− l ∂ n−1 ∂ n+2m−2 n(n − 1) ∂ n+2m−1 Φ + n n−2 2m Φ + Φ+ ∂tn−1 ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 2m+2 0 n(n − 1) ∂ 2nm−3 ∂ 2nm−2 + ... + Φ + n 2nm−2 Φ dy+ 2 ∂t∂y 2nm−4 ∂y t=0 l ∂ n+2m−3 n(n − 1) ∂ n+2m−2 ∂ n−2 Φ + n n−3 2m Φ + Φ+ + ϕN (y) 2 ∂tn−2 ∂t ∂y 2 ∂tn−4 ∂y 2m+2 0 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−5 n(n − 1) ∂ 2nm−4 + ... + Φ+ Φ dy− 3! ∂t∂y 2nm−6 2 ∂y 2nm−4 t=0 l ∂ n−3 ∂ n+2m−4 n(n − 1) ∂ n+2m−3 − ϕN (y) Φ + n n−4 2m Φ + Φ+ 3 ∂tn−3 ∂t ∂y 2 ∂tn−5 ∂y 2m+2 0 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−6 + ... + Φ dy + . . . + 3! ∂y 2nm−6 t=0 l ∂2 ∂ 2m+1 n(n − 1) ∂ 2m+2 + ϕN (y) Φ+n Φ+ Φ dy− n−2 ∂t2 ∂t∂y 2m 2 ∂y 2m+2 t=0 0 l l ∂ ∂ 2m − ϕN (y) Φ + n 2m Φ dy + ϕN [Φ]t=0 dy. (19) n−1 n ∂t ∂y 0 0 t=0 − ϕN (y) 1 Интегрируя по частям отдельные слагаемые в (19) и учитывая условия теоремы и начальные условия ai (0) = ϕ1i , ai (0) = ϕ2i , ai (0) = ϕ3i , ..., (n−1) ai (0) = ϕni , получаем N l ϕ1 (y) − VN (t) = 0 ϕ1i bi (y) i=1 ∂ n+2m−2 ∂ n−1 Φ + n n−2 2m Φ+ ∂tn−1 ∂t ∂y 55 Т. К. Ю л д а ш е в + n(n − 1) ∂ n+2m−1 n(n − 1) ∂ 2nm−3 ∂ 2nm−2 Φ + ... + Φ + n 2nm−2 Φ 2 ∂tn−3 ∂y 2m+2 2 ∂t∂y 2nm−4 ∂y N l − ϕ2 (y)− 0 i=1 n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−5 n(n − 1) ∂ 2nm−4 Φ+ Φ 2nm−6 3! ∂t∂y 2 ∂y 2nm−4 N l ϕ3 (y)− + 0 i=1 + ... + N − ϕn−2 (y)− 0 k l ϕn−1 (y) − 0 ϕ(n−1)i bi (y) i=1 ϕn (y) − − dy+ t=0 dy − . . . − ∂ 2m ∂ Φ + n 2m Φ ∂t ∂y t=0 t=0 dy+ dy− N l 0 t n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−6 Φ 3! ∂y 2nm−6 ∂ 2m+1 n(n − 1) ∂ 2m+2 ∂2 Φ+n Φ+ Φ ∂t2 ∂t∂y 2m 2 ∂y 2m+2 ϕ(n−2)i bi (y) i=1 + t=0 ∂ n+2m−4 n(n − 1) ∂ n+2m−3 ∂ n−3 Φ+n n−4 2m Φ+ Φ+ ∂tn−3 ∂t 2 ∂tn−5 ∂y 2m+2 ∂y ϕ3i bi (y) l dy− ∂ n+2m−3 n(n − 1) ∂ n+2m−2 ∂ n−2 Φ+n n−3 2m Φ+ Φ+ ∂tn−2 ∂t ∂y 2 ∂tn−4 ∂y 2m+2 ϕ2i bi (y) + ... + t=0 ϕni bi (y) Φ(t, y) t=0 dy+ i=1 l Φ(s, y) f (s, y, u(s, y), u(−s, y)) − + 0 0 N l f s, z, uN (s, z), uN (−s, z) · bi (z)dz bi (y)dydt. (20) − i=1 0 Очевидно, что первые n интегралов в (20) стремятся к нулю при N → ∞, так как ϕj (x) ∈ Lp (Dl ), j = 1, n. Сходимость последней разности в (20) при N → ∞ следует из (18). Отсюда заключаем, что limN →∞ VN (t) = 0. Это и доказывает теорему.