Low-frequency long-wave approximations of the 3D dynamic equations for the case of double-layered viscoelastic plate

Full Text

Введение. В работах [1–5] описаны асимптотические методы, разработанные для исследования динамического поведения тонкостенных конструкций различной геометрии, выполненных из упругих и вязкоупругих материалов. В [1] рассмотрены асимптотические приближения трёхмерных уравнений теории упругости для тонких пластин и оболочек. Описаны четыре типа приближений, выделенные в зависимости от значений показателей изменяемости и динамичности, а также представлено использование этих приближений для решения динамических задач различных типов, в частности, нестационарных задач для оболочек вращения. Асимптотический подход к решению задач подобного класса описан также в монографии [2]. В работе [3] систематизированы результаты разработки асимптотических методов исследования нестационарных волн для тонких упругих оболочек вращения. В [4] были решены аналогичные задачи для случая вязкоупругой оболочки. Статья [5] посвящена изложению методики построения низкочастотных длинноволновых приближений для случая двухслойной упругой пластины. В настоящей работе предлагается методика построения аналогичных приближений для случая двухслойной пластины, выполненной из вязкоупругих материалов. 1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную двухслойную пластину, оба слоя которой выполнены из вязкоупругих материалов, свойства которых описываются моделью стандартного вязкоупругого тела с условием упругого объемного расширения. Введем декартову систему координат (x1 , x2 , z), совмещая плоскость Ox1 x2 со срединной плоскостью пластины и направляя ось z по нормали к срединной плоскости. Введем обозначения: l — номер слоя (l) (l) (l = 1, 2), σij — напряжения, ui — перемещения в l–том слое пластины; 2hl — 115 А н о ф р и к о в а Н. С., В и л ь д е М. В. толщина l–того слоя, 2h — толщина пластины. Будем предполагать, что наружные поверхности пластины свободны от нагрузки. Тогда граничные условия на них имеют вид (k = 1, 2, 3): (2) при z = −h : σ3k = 0, (1) при z = h : σ3k = 0. (1) Граничные условия на стыке двух слоев пластины — условия непрерывного контакта — сформулируем следующим образом: (1) (2) (1) (2) (2) при z = z1 : σ3k = σ3k , uk = uk , где z1 = h − 2h1 . Приведём точные трёхмерные динамические уравнения теории вязкоупругости для пластины. Уравнения движения возьмём в виде (l) (l) (l) (l) ∂σji ∂σii ∂ 2 ui ∂σ + + 3i − ρl = 0, ∂xi ∂xj ∂z ∂t2 (l) (l) (l) (l) ∂σj3 ∂σ33 ∂σi3 ∂ 2 u3 − ρl + + = 0, (3) ∂xi ∂xj ∂z ∂t2 где ρl — плотность материала слоя, t — время. Исходя из уравнений, приведённых в [6], уравнения состояния для l-того слоя можно записать следующим образом: (l) 1 − 2νl 1 + νl ∂ (l) +2 + σ + t2l t1l ∂t ii 1 1 − 2νl 1 + νl ∂ (l) (l) + − − νl (σjj + σ33 ), 3 t2l t1l ∂t (l) 1 − 2νl 1 + νl ∂ (l) +2 + σ33 + t2l t1l ∂t 1 1 − 2νl 1 + νl ∂ (l) (l) + − − νl (σii + σjj ), (4) 3 t2l t1l ∂t El 1 ∂ + t2l ∂t ∂ui 1 = ∂xi 3 El ∂ 1 + t2l ∂t 1 ∂u3 = ∂z 3 El 1 + νl El 1 + νl ∂ 1 + t2l ∂t (l) (l) ∂uj ∂ui + ∂xj ∂xi ∂ 1 + t2l ∂t (l) (l) ∂ui ∂u + 3 ∂z ∂xi =2 =2 1 ∂ + t1l ∂t 1 ∂ + t1l ∂t (l) σij , (l) σ3i (i = j = 1, 2; l = 1, 2), где t1l — характерное время релаксации, t2l — характерное время ползучести, El , νl — мгновенные значения модуля Юнга и коэффициент Пуассона материала l-того слоя соответственно. Произведём в уравнениях (3), (4) растяжение масштабов независимых переменных по формулам xi = Lη q ξi , 116 z = Lηζ, t = Lc−1 η a τ, 21 (5) Низкочастотные длинноволновые приближения тр¨хмерных динамических уравнений . . . e где q — показатель изменяемости, a — показатель динамичности, c21 — скорость волны сдвига в первом слое, η = hL−1 1 — относительная полутолщина пластины, L — характерный размер длины. Предположим, что дифференцирование по безразмерным переменным ξi , ζ, τ не меняет асимптотический порядок неизвестных величин. Кроме того, будем рассматривать случай, когда скорости волн сдвига для материалов первого и второго слоев — величины одного порядка. Введение независимых переменных (5) позволяет методом асимптотического интегрирования трёхмерных уравнений теории вязкоупругости (3), (4) вывести асимптотически приближенные уравнения для составляющих напряжённо-деформированного состояния (НДС) при различных показателях изменяемости и динамичности. В настоящей работе остановимся на случае так называемых длинноволновых низкочастотных приближений. К этому виду относятся приближения, для которых показатели динамичности и изменяемости удовлетворяют неравенствам q < 1, a < 1 [2]. Длинноволновые приближения разделяют на тангенциальные и поперечные, соответствующие теориям растяжения и изгиба тонких пластин соответственно. 2. Низкочастотные длинноволновые тангенциальные приближения. Начнём рассмотрение с тангенциального приближения. В этом случае тангенциальные компоненты вектора перемещений велики по сравнению с его нор(l) (l) мальной компонентой: ui u3 (i = 1, 2). Оценим величины времен ползучести и релаксации, вводя показатели их интенсивности по формулам til = Lc−1 η ril τil , 21 (6) и будем предполагать, что ril a (i = 1, 2). При построении тангенциального приближения показатели изменяемости и динамичности для каждого слоя связаны соотношением q = a. Введем следующие асимптотики для компонент НДС [5]: (l) (l) ui = Lη q ui , ˜ (l) (l) (l) u3 = Lη˜3 , u (l) σ3i = El η 1−q σ3i , ˜ (l) (l) (l) σii = El σii , ˜ (l) σ33 = El η 2−2q σ33 ˜ (l) (l) σij = El σij , ˜ (i, j = 1, 2). (7) Предполагаем, что величины с «тильдой» имеют один и тот же асимптотический порядок. В силу выбора асимптотик (7), в уравнения движения, записанные с учётом (5), (6), в рамках погрешности O(η 2−2q ) входят слагаемые, содержащие (l) производные по ζ от σ3i (i = 1, 2, 3). Такой выбор асимптотик позволяет удо˜ влетворить всем граничным условиям при асимптотическом интегрировании. В результате асимптотического интегрирования уравнений (3), (4) устанавливаем следующую зависимость компонент НДС от нормальной координаты: (l) (l) ui = ui,0 , ˜ (l) (l) (l) (l) u3 = u3,0 + ζu3,1 , ˜ (l) (l) σ3i = σ3i,0 + ζσ3i,1 , ˜ (l) (l) (l) σii = σii,0 , ˜ (l) (l) (l) (l) σij = σij,0 , ˜ (l) σ33 = σ33,0 + ζσ33,1 + ζ 2 σ33,2 , ˜ (8) где величины с цифрой после запятой в нижнем индексе от ζ не зависят. 117 А н о ф р и к о в а Н. С., В и л ь д е М. В. Переход в граничных условиях (1), (2) к представлениям (7), (8) позволяет установить связь между компонентами НДС первого и второго слоёв: (1) (2) (1) ui,0 = ui,0 , (2) 2E1 h1 σ3i,1 + 2E2 h2 σ3i,1 = 0. В результате асимптотического интегрирования получены: система отно(l) (l) (l) сительно асимптотически главных компонент НДС ui,0 , σii,0 , σij,0 и система, определяющая асимптотически второстепенные компоненты через асимптотически главные. Приведём вид размерной двумерной формы записи полученной системы для асимптотически главных компонент НДС. Введём перемещения ui , усилия Ti , Sij и усреднённую плотность ρ по формулам (1) ui = Lη q ui Sij = 2 (2) (1) = Lη q ui , (1) h1 σij + (2) , Ti = 2 h1 σii + h2 σii (2) h2 σij , (9) ρ = (ρ1 h1 + ρ2 h2 )/h. С учётом (9) система разрешающих уравнений для асимптотически главных компонент НДС примет вид ∂Ti ∂Sij ∂ 2 ui + − 2ρh 2 = 0, ∂xi ∂xj ∂t h2 E2 h1 E1 f12 f21 + f11 f22 1 + ν1 1 + ν2 ∂uj ∂ui + ∂xj ∂xi = f11 f12 Sij , (10) ∂ui − ∂xi 2 2 2 2 2 h1 E1 f21 f31 f32 − f42 + h2 E2 f22 f32 f31 − f41 2 2 2 2 − 2 h1 E1 f21 f41 f32 − f42 + h2 E2 f22 f42 f31 − f41 2 2 = f31 − f41 ∂uj = ∂xj 2 2 f32 − f42 Ti , где fil = f4l = 1 3 ∂ 1 + til ∂t , 1 − 2νl 1 + νl − t2l t1l 1 3 1 − 2νl 1 + νl +2 t2l t1l − νl f3l = ∂ , ∂t + ∂ , ∂t i = j = 1, 2; l = 1, 2. 3. Низкочастотное длинноволновое поперечное приближение. Теперь рассмотрим случай поперечного приближения. В этом случае нормальная компонента вектора перемещений велика по сравнению с его тангенциальными (l) (l) компонентами: u3 ui (i = 1, 2). Величины времен ползучести и релаксации будем оценивать так же, как и в предыдущем случае, вводя показатели их интенсивности по формулам (6). Как и раньше, будем предполагать, что ril a (i = 1, 2). При построении поперечного приближения показатели изменяемости и динамичности для каждого слоя связаны соотношением q = 2a − 1, q > 1/2. Введём следующие асимптотики для компонент НДС: (l) (l) ui = Lη˜i , u (l) (l) (l) u3 = Lη q u3 , ˜ (l) σ3i = El η 2−2q σ3i , ˜ 118 (l) (l) σii = El η 1−q σii , ˜ (l) (l) σ33 = El η 3−3q σ33 ˜ (l) (l) σij = El η 1−q σij , ˜ (i, j = 1, 2). (11) Низкочастотные длинноволновые приближения тр¨хмерных динамических уравнений . . . e Предполагается, что величины с «тильдой» имеют один и тот же асимптотический порядок. Как и в случае тангенциального приближения, в силу выбора асимптотик (11) в уравнения движения, записанные с учётом (5), (6), в рамках погреш(l) ности O(η 2−2q ) входят слагаемые, содержащие производные по ζ от σ3i (i = ˜ = 1, 2, 3). Такой выбор асимптотик позволяет удовлетворить всем граничным условиям при асимптотическом интегрировании. Зависимость компонент НДС от нормальной координаты, установленная в результате асимптотического интегрирования уравнений (3), (4), в данном случае имеет вид (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) ui = ui,0 + ζui,1 , u3 = u3,0 , σii = σii,0 + ζσii,1 , σij = σij,0 + ζσij,1 , ˜ ˜ ˜ ˜ (l) (l) σ3i = σ3i,0 + ζσ3i,1 + ζ 2 σ3i,2 , ˜ (l) (l) σ33 = σ33,0 + ζσ33,1 + ζ 2 σ33,2 + ζ 3 σ33,3 , ˜ (12) где величины с цифрой после запятой в нижнем индексе от ζ не зависят. Переходя в граничных условиях (1), (2) к представлениям (11), (12), получим соотношения (1) (2) (1) (2) ui,0 = ui,0 , u3,0 = u3,0 . Приведём вид двумерной разрешающей системы, полученной в результате асимптотического интегрирования системы (3), (4): ∂Ti ∂Sij + = 0, ∂xi ∂xj ∂Mi ∂Hij + − Ni = 0, ∂xi ∂xj ∂N1 ∂N2 ∂2w + − 2ρh 2 = 0, ∂x1 ∂x2 ∂t h1 E1 ∂ui h2 E2 ∂uj f12 f21 + f11 f22 + − 1 + ν1 1 + ν2 ∂xj ∂xi E2 ∂2w E1 f21 f12 − f11 f22 = f11 f12 Sij , −2h1 h2 1 + ν1 1 + ν2 ∂xi ∂xj ∂ui 2 2 2 2 − 2 h1 E1 f21 f31 (f32 − f42 ) + h2 E2 f22 f32 (f31 − f41 ) ∂xi ∂uj 2 2 2 2 − −2 h1 E1 f21 f41 (f32 − f42 ) + h2 E2 f22 f42 (f31 − f41 ) ∂xj (13) ∂2w 2 2 2 2 −2h1 h2 E1 f21 f31 (f32 − f42 ) − E2 f22 f32 (f31 − f41 ) 2 + ∂xi ∂2w 2 2 2 2 +2h1 h2 E1 f21 f41 (f32 − f42 ) − E2 f22 f42 (f31 − f41 ) = ∂x2 j 2 2 2 2 = (f31 − f41 )(f32 − f42 )Ti , ∂ui 2 2 2 2 − 2h1 h2 E1 f21 f31 (f32 − f42 ) − E2 f22 f32 (f31 − f41 ) ∂xi ∂uj 2 2 2 2 − −2h1 h2 E1 f21 f41 (f32 − f42 ) − E2 f22 f42 (f31 − f41 ) ∂xj h1 2 2 2 −2 (h + 3h2 )E1 f21 f31 (f32 − f42 ) + 2 3 1 119 А н о ф р и к о в а Н. С., В и л ь д е М. В. h2 2 ∂2w 2 2 + (h2 + 3h2 )E2 f22 f32 (f31 − f41 ) 1 3 ∂x2 i h1 2 2 2 +2 (h + 3h2 )E1 f21 f41 (f32 − f42 ) + 2 3 1 ∂2w h2 2 2 = + (h2 + 3h2 )E2 f22 f42 (f31 − f41 ) 1 3 2 ∂x2 j + 2 2 2 2 = (f31 − f41 )(f32 − f42 )Mi , E1 E2 ∂uj ∂ui h1 h2 f12 f21 − f11 f22 + − 1 + ν1 1 + ν2 ∂xj ∂xi 2h1 2 E1 E2 2h2 2 ∂2w (h1 + 3h2 ) (h2 + 3h2 ) f21 f12 + f11 f22 = − 2 1 3 1 + ν1 3 1 + ν2 ∂xi ∂xj = f11 f12 Hij , где перемещения ui , w, усилия Ti , Sij , моменты Mi , Hij , перерезывающие силы Ni определяются по формулам (1) (2) ui = Lηui,0 = Lηui,0 , z1 h (2) σii dz + Ti = −h z1 (2) z1 h (1) z1 (1) σii dz, −h z1 −h z1 (1) Hij = h zσii dz, (2) σ3i dz + −h z1 (1) σij dz, z1 h (2) zσij dz + −h Ni = h (2) σij dz + Sij = z1 zσii dz + Mi = (2) w = Lη q u3,0 = Lη q u3,0 , z1 (1) zσij dz, (1) σ3i dz, а остальные величины имеют тот же смысл, что и раньше. Из двумерных уравнений динамической теории вязкоупругости для скорости продольной волны по двумерной теории получаем следующее выражение: 2 El hl 1 c2 = . ρ1 h1 + ρ2 h2 1 − νl2 l=1 Переходя в уравнениях (10), (13) к пределу при t1l → ∞ и t2l → ∞, можно получить двумерные уравнения тангенциального и поперечного приближений для упругой двухслойной пластины. Если в последних положить E1 = E2 и ν1 = ν2 , то уравнения тангенциального приближения переходят в уравнения обобщенного плоского напряженного состояния, а уравнения поперечного приближения — в уравнения теории изгиба пластин Кирхгофа. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11−01−00545).

About the authors

Nataliya S Anofrikova

Saratov State University named after N. G. Chernyshevsky

Email: nanofrikova@yandex.ru
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Mathematical Theory of Elasticity and Biomechanics 83, Astrakhanskaya st., Saratov, 410012, Russia

Mariya V Wilde

Saratov State University named after N. G. Chernyshevsky

Email: mv_wilde@mail.ru
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Leading Research Scientist, Educational Research Institute of Nanostructures and Biosystems 83, Astrakhanskaya st., Saratov, 410012, Russia

References

Supplementary files