Expansion of multiple series in infinite diagonals

Full Text

Введение. В своих трудах Г. М. Фихтенгольц [1] указывает, что произведения двух сходящихся рядов (двойные сходящиеся ряды) можно многими способами располагать в виде простой последовательности. И в качестве примеров он приводит произведение рядов по диагоналям (в форме Коши) и по квадратам. В обоих случаях происходит суммирование бесконечного числа конечных сумм и не имеется общей аналитической формулы. Основным результатом настоящей статьи является новый метод суммирования произведения двух сходящихся рядов (двойных сходящихся рядов). В предложенном методе суммируется бесконечное число бесконечных сумм, а поэтому он имеет наглядное аналитическое представление. В дальнейшем изложении будем использовать следующие обозначения: ∞ ∞ ak ≡ k=d0 ∞ ∞ ak,l ≡ f (k); k=d0 k,l=d0 ∞ ∞ ak,l,r ≡ f (k; l); k,l=d0 k,l,r=d0 f (k; l; r) k,l,r=d0 и т.д. Здесь f (k), f (k, l), f (k, l, r), . . . — действительные числа, зависящие от индексов k, l, r, . . . = d0 , d0 + 1, d0 + 2, . . ., где d0 ∈ Z 0 . 1. Разложение двойных числовых рядов по бесконечным диагоналям. Пусть дан абсолютно сходящийся двойной числовой ряд [1] или произведение двух абсолютно сходящихся числовых рядов, где d1 , d2 ∈ Z 0 . Очевидно, что ∞ ∞ ϕ(k) × k=d1 ∞ ψ(l) = l=d2 f (k; l). k=d1 ,l=d2 58 Разложение кратных рядов по бесконечным диагоналям Здесь индексы k и l стремятся к бесконечности по множеству целых неотрицательных чисел начиная с d1 и d2 . Предполагается, что индексы k и l образуют множество всевозможных комбинаций, стремясь к бесконечности. Запишем эти комбинации в форме матрицы, полагая d1 = 0 и d2 = 0:   0, 0 1, 0 2, 0 3, 0 . . . k, 0 . . . 0, 1 1, 1 2, 1 3, 1 . . . k, 1 . . .  0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 . . . k, 2 . . .    0, 3 1, 3 2, 3 3, 3 . . . k, 3 . . .  .   ... ... ... ... ... ... ...   0, l 1, l 2, l 3, l . . . k, l . . .  ... ... ... ... ... ... ... Её следует понимать в смысле Z 0 × Z 0 . По главной бесконечной диагонали имеем 0, 0; 1, 1; 2, 2; 3, 3; . . . ; m, m; . . . Над главной бесконечной диагональю имеем бесконечные диагонали: 1, 0; 2, 1; 3, 2; 4, 3; . . . ; m + 1, m; . . . 2, 0; 3, 1; 4, 2; 5, 3; . . . ; m + 2, m; . . . 3, 0; 4, 1; 5, 2; 6, 3; . . . ; m + 3, m; . . . и т.д. Подобным же образом определяются бесконечные диагонали, лежащие под главной бесконечной диагональю: 0, 1; 1, 2; 2, 3; 3, 4; . . . ; m, m + 1; . . . 0, 2; 1, 3; 2, 4; 3, 5; . . . ; m, m + 2; . . . 0, 3; 1, 4; 2, 5; 3, 6; . . . ; m, m + 3; . . . и т.д. Если каждую бесконечную диагональ матрицы записать построчно, то матрица примет следующий вид:   ... ... ... ... ... ... ... 0+n, 0 1+n, 1 2+n, 2 3+n, 3 . . . m+n, n . . .  ... ... ... ... ... ... . . .    3, 0 4, 1 5, 2 6, 3 . . . m+3, m . . .    2, 0 3, 1 4, 2 5, 3 . . . m+2, m . . .    1, 0 2, 1 3, 2 4, 3 . . . m+1, m . . .   1, 1 2, 2 3, 3 ... m, m . . . .  0, 0  0, 1 1, 2 2, 3 3, 4 . . . m, m+1 . . .    0, 2 1, 3 2, 4 3, 5 . . . m, m+2 . . .    0, 3 1, 4 2, 5 3, 6 . . . m, m+3 . . .   ... ... ... ... ... . . .  ... 0, 0+n 1, 1+n 2, 2+n 3, 3+n . . . m, m+n . . . ... ... ... ... ... ... ... Теперь для каждой бесконечной диагонали составим бесконечные ряды, полагая d1 = d2 = d0 . По главной бесконечной диагонали имеем ряд ∞ 0 f (m; m). Остальные m=d бесконечные диагонали приводятся к главной бесконечной диагонали. 59 А. А. К о р н е е в, О. А. Д о р о ш к е в и ч Под главной бесконечной диагональю имеем сумму рядов ∞ ∞ f (m + 1; m) + m=d0 ∞ f (m + n; m) + · · · = f (m + 2; m) + . . . + m=d0 m=d0 ∞ ∞ = f (m + n; m). n=1 m=d0 Над главной бесконечной диагональю имеем сумму рядов ∞ ∞ f (m; m + 1) + m=d0 ∞ f (m; m + n) + · · · = f (m; m + 2) + . . . + m=d0 m=d0 ∞ ∞ = f (m; m + n). n=1 m=d0 Суммируя полученные ряды, приходим к разложению двойных числовых рядов по бесконечным диагоналям: ∞ ∞ f (k; l) = k,l=d0 ∞ ∞ f (m; m) + ∞ n=1 m=d0 m=d0 ∞ ∞ ∞ ∞ f (m + n; m) + n=0 m=d0 ∞ ∞ f (k; l) = f (m; m + n), n=1 m=d0 ∞ ∞ f (m + n; m) + n=1 m=d0 k,l=d0 f (m; m + n), n=1 m=d0 ∞ f (k; l) = k,l=d0 ∞ ∞ f (m + n; m) + f (m; m + n). n=0 m=d0 Если общий член ряда f (k; l) симметрический (f (k; l) = f (l; k)), то разложение принимает вид ∞ ∞ ∞ f (k; l) = k,l=d0 ∞ f (m; m) + 2 f (m + n; m). n=1 m=d0 m=d0 Если общий член ряда f (k; l) кососимметрический (f (k; l) = −f (l; k)), то получаем ∞ f (k; l) = 0. k,l=d0 Для d1 = d2 имеем разложение ∞ ∞ f (k; l) = k,l=d0 ∞ f (m + d1 ; m + d2 )+ m=0 ∞ ∞ f (m + d1 ; m + n + d2 ) + + n=1 m=0 60 ∞ f (m + n + d1 ; m + d2 ). n=1 m=0 Разложение кратных рядов по бесконечным диагоналям Рассмотрим пример, когда p ∈ N и q > 0: ∞ k,l=0 (k − l)2p−1 . (k + l)q Используя результаты, полученные в [2], легко убедиться в том, что ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится при q > 2p + 1 и расходится при 0 < q 2p + 1. На основании разложения двойных числовых рядов по бесконечным диагоналям получаем ∞ k,l=0 (k − l)2p−1 = (k + l)q ∞ = m=0 (m − m)2p−1 + (2m)q ∞ ∞ n=1 m=0 (n)2p−1 + (2m + n)q ∞ ∞ n=1 m=0 (−n)2p−1 = 0. (2m + n)q Заметим, что при 0 < q 2p + 1 повторные ряды расходятся, но двойной ряд сходится. То есть из расходимости повторных рядов не всегда следует расходимость двойного ряда. 2. Разложение тройных числовых рядов по бесконечным диагоналям для двух индексов. Рассмотрим абсолютно сходящийся тройной числовой ряд или произведение трёх абсолютно сходящихся числовых рядов, где d0 , h ∈ Z 0 . Очевидно, что ∞ ∞ ∞ ϕ(k) × k=d0 ∞ ψ(l) × l=d0 χ(r) = r=h f (k; l; r). k,l=d0 ,r=h Здесь индексы k, l, r стремятся к бесконечности по множеству целых неотрицательных чисел начиная с d0 , d0 , h соответственно. Предполагается, что индексы k, l, r образуют множество всевозможных комбинаций, стремясь к бесконечности. Аналогично тому, как это было сделано в п. 1 для двух индексов, представим всевозможные комбинации индеков k, l, r в виде последовательности матриц путём добавления третьего индекса r, полагая d0 , h = 0:   0, 0, 0 1, 0, 0 2, 0, 0 3, 0, 0 . . . k, 0, 0 . . . 0, 1, 0 1, 1, 0 2, 1, 0 3, 1, 0 . . . k, 1, 0 . . .  0, 2, 0 1, 2, 0 2, 2, 0 3, 2, 0 . . . k, 2, 0 . . .    0, 3, 0 1, 3, 0 2, 3, 0 3, 3, 0 . . . k, 3, 0 . . .  ,    ... ... ... ... ... ... ...   0, l, 0 1, l, 0 2, l, 0 3, l, 0 . . . k, l, 0 . . .  ... ... ... ...  0, 0, 1 0, 1, 1 0, 2, 1  0, 3, 1   ...  0, l, 1 1, 0, 1 1, 1, 1 1, 2, 1 1, 3, 1 ... 1, l, 1 ... 2, 0, 1 2, 1, 1 2, 2, 1 2, 3, 1 ... 2, l, 1 ... 3, 0, 1 3, 1, 1 3, 2, 1 3, 3, 1 ... 3, l, 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... k, 0, 1 k, 1, 1 k, 2, 1 k, 3, 1 ... k, l, 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ...     ,...,    61 А. А. К о р н е е в, О. А. Д о р о ш к е в и ч 0, 0, r 0, 1, r 0, 2, r  0, 3, r   ...  0, l, r 1, 0, r 1, 1, r 1, 2, r 1, 3, r ... 1, l, r ...  ... 2, 0, r 2, 1, r 2, 2, r 2, 3, r ... 2, l, r ... 3, 0, r 3, 1, r 3, 2, r 3, 3, r ... 3, l, r ... ... ... ... ... ... ... ... k, 0, r k, 1, r k, 2, r k, 3, r ... k, l, r ... ... ... ... ... ... ... ...     ,....    Проводя суммирование по матрицам разложения двойных числовых рядов по бесконечным диагоналям, получаем ∞ ∞ ∞ f (m; m; h) + m=d0 f (m; m; h + 1) + . . . + m=d0 f (m; m; h + r) + . . . = m=d0 ∞ ∞ = f (m; m; r), r=h m=d0 ∞ ∞ ∞ ∞ f (m + n; m; h) + n=1 m=d0 f (m + n; m; h + 1) + . . . + n=1 m=d0 ∞ ∞ + ∞ n=1 m=d0 ∞ ∞ ∞ f (m + n; m; h + r) + . . . = f (m + n; m; r), r=h n=1 m=d0 ∞ ∞ ∞ f (m; m + n; h) + n=1 m=d0 f (m; m + n; h + 1) + . . . + n=1 m=d0 ∞ ∞ + ∞ ∞ ∞ f (m; m + n; h + r) + . . . = n=1 m=d0 f (m; m + n; r). r=h n=1 m=d0 Суммируя ряды, приходим к разложению тройных числовых рядов по бесконечным диагоналям для двух индексов: ∞ f (k; l; r) = k,l=d0 ,r=h ∞ ∞ = ∞ ∞ ∞ f (m; m; r)+ r=h m=d0 ∞ ∞ ∞ f (m; m+n; r)+ r=h n=1 m=d0 f (m+n; m; r). r=h n=1 m=d0 3. Разложение кратных числовых рядов по бесконечным диагоналям для двух индексов. По аналогии с разложением тройных числовых рядов по бесконечным диагоналям для двух индексов для абсолютно сходящихся s-кратных числовых рядов [1] легко получить разложение по бесконечным диагоналям для двух индексов, где d0 , d1 , d2 , h3 , . . ., hs ∈ Z 0 : 62 Разложение кратных рядов по бесконечным диагоналям ∞ ∞ f (k; l; r3 ; . . . ; rs ) = k,l=d0 ,...,r3 =h3 ,rs =hs ∞ ∞ ... rs =hs ∞ + ∞ f (m; m; r3 ; . . . ; rs )+ r3 =h3 m=d0 ∞ ... f (m + n; m; r3 ; . . . ; rs )+ r3 =h3 n=1 m=d0 ∞ rs =hs ∞ + ∞ ∞ ∞ ... f (m; m + n; r3 ; . . . ; rs ). r3 =h3 n=1 m=d0 rs =hs Если общий член s-кратного ряда f (k; l; r3 ; . . . ; rs ) симметричеcкий относительно k и l, то имеем ∞ ∞ f (k; l; r3 ; . . . ; rs ) = ∞ k,l=d0 ,...,r3 =h3 ,rs =hs rs =hs ∞ ∞ +2 ∞ ... f (m; m; r3 ; . . . +; rs )+ r3 =h3 m=d0 ∞ ∞ ... f (m + n; m; r3 ; . . . ; rs ). r3 =h3 n=1 m=d0 rs =hs Если общий член s-кратного ряда f (k; l; r3 ; . . . ; rs ) кососимметрический относительно любых двух индексов, то ряд сходится к нулю: ∞ f (k; l; r3 ; . . . ; rs ) = 0. k,l,r3 ,...,rs =d0 Для d1 = d2 имеем следующее разложение: ∞ f (k; l; r3 ; . . . ; rs ) = k=d1 ,l=d2 ,...,r3 =h3 ,rs =hs ∞ = ∞ ∞ ... ∞ + f (m + d1 ; m + d2 ; r3 ; . . . ; rs )+ r3 =h3 m=0 ∞ ∞ ∞ rs =hs ... rs =hs f (m + n + d1 ; m + d2 ; r3 ; . . . ; rs )+ r3 =h3 n=1 m=0 ∞ ∞ + ∞ ∞ ... rs =hs f (m + d1 ; m + n + d2 ; r3 ; . . . ; rs ). r3 =h3 n=1 m=0 4. Разложение тройных числовых рядов по бесконечным диагоналям для трёх индексов. В контексте получения разложения тройных числовых рядов по бесконечным диагоналям для двух индексов возникает следующий вопрос: возможно ли разложение тройных числовых рядов по бесконечным диагоналям для трёх индексов? Рассмотрим абсолютно сходящийся тройной числовой ряд или произведение трёх сходящихся числовых рядов, где d1 , d2 , d3 ∈ Z 0 : ∞ ∞ ϕ(k) × k=d1 ∞ ψ(l) × k1 =d2 ∞ χ(r) = r=d3 f (k; l; r). k=d1 ,l=d2 ,r=d3 63 А. А. К о р н е е в, О. А. Д о р о ш к е в и ч Для d1 = 0, d2 = 0, d3 = 0 составим матрицу, где каждая строчка есть главная бесконечная диагональ матриц, посредством которых было получено разложение тройных числовых рядов по бесконечным диагоналям для двух индексов:   0, 0, 0 1, 1, 0 2, 2, 0 3, 3, 0 . . . k, l, 0 . . . 0, 0, 1 1, 1, 1 2, 2, 1 3, 3, 1 . . . k, l, 1 . . .  0, 0, 2 1, 1, 2 2, 2, 2 3, 3, 2 . . . k, l, 2 . . .    0, 0, 3 1, 1, 3 2, 2, 3 3, 3, 3 . . . k, l, 3 . . .  .    ... ... ... ... ... ... ...  0, 0, r 1, 1, r 2, 2, r 3, 3, r . . . k, l, r . . .  ... ... ... ... ... Если каждую бесконечную диагональ матрицы рица примет следующий вид:  ... ... ... ... p, p, 0 1+p, 1+p, 1 2+p, 2+p, 2 3+p, 3+p, 3  ... ... ... ...  3, 3, 0 4, 4, 1 5, 5, 2 6, 6, 3  2, 2, 0 3, 3, 1 4, 4, 2 5, 5, 3  1, 1, 0 2, 2, 1 3, 3, 2 4, 4, 3  1, 1, 1 2, 2, 2 3, 3, 3 0, 0, 0 0, 0, 1 1, 1, 2 2, 2, 3 3, 3, 4  0, 0, 2 1, 1, 3 2, 2, 4 3, 3, 5  0, 0, 3 1, 1, 4 2, 2, 5 3, 3, 6  ... ... ...  ... 0, 0, p 1, 1, 1+p 2, 2, 2+p 3, 3, 3+p ... ... ... ... ... ... записать построчно, то мат... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... m+p, m+p, m ... m+3, m+3, m m+2, m+2, m m+1, m+1, m m, m, m m, m, m+1 m, m, m+2 m, m, m+3 ... m, m, m+p ...  ... . . . . . .  . . .  . . .  . . .  . . . . . . .  . . .  . . .  . . . . . . ... Полагая d1 = d2 = d0 , получаем сумму повторных рядов для главных бесконечных диагоналей матрицы: ∞ ∞ ∞ ∞ f (m + p; m + p; m) + p=0 m=d0 f (m; m; m + p). p=1 m=d0 Таким образом, тройной ряд приводится к сумме двух повторных рядов. Просуммировав их как двойные ряды по бесконечным диагоналям, приходим к разложению ∞ ∞ ∞ ∞ f (k; l; r) = k,l,r=d0 ∞ ∞ f (m + p + n; m + p; m)+ n=0 p=0 m=d0 ∞ + ∞ ∞ ∞ f (m + p; m + p + n; m) + n=1 p=0 m=d0 f (m + n; m; m + p)+ n=0 p=1 m=d0 ∞ ∞ ∞ + f (m; m + n; m + p). n=1 p=1 m=d0 Для d1 = d2 = d3 имеем 64 Разложение кратных рядов по бесконечным диагоналям ∞ ∞ ∞ ∞ f (k; l; r) = f (m + p + n + d1 ; m + p + d2 ; m + d3 )+ n=0 p=0 m=0 k=d1 ,l=d2 ,r=d3 ∞ + ∞ ∞ f (m + p + d1 ; m + p + n + d2 ; m + d3 )+ n=1 p=0 m=0 ∞ ∞ ∞ + f (m + n + d1 ; m + d2 ; m + p + d3 )+ n=0 p=1 m=0 ∞ ∞ ∞ + f (m + d1 ; m + n + d2 ; m + p + d3 ). n=1 p=1 m=0 По аналогии с разложением s-кратных числовых рядов по бесконечным диагоналям для двух индексов легко получить разложение s-кратных числовых рядов по бесконечным диагоналям для трёх индексов.

About the authors

Anton A Korneev

Sholokhov Moscow State University for the Humanities

Email: korneevant@bk.ru
Student, Dept. of Mathematics & Physics 16–18, Verkhnyaya Radishchevskaya st., Moscow, 109240, Russia

Olga A Doroshkevich

Sholokhov Moscow State University for the Humanities

Email: odoroshkevich@bk.ru
(Ph.D. Phys. & Math.), Associate Professor, Dept. of Mathematics & Physics 16–18, Verkhnyaya Radishchevskaya st., Moscow, 109240, Russia

References

Supplementary files