On defining relations for the Hencky environment of softening of the material under diagonal stress tensor

Full Text

Введение. Включение в рассмотрение неустойчивых состояний материала [1–4] (стадии разупрочнения) приводит к тому, что определяющие соотношения уже не являются взаимно однозначным соответствием между деформациями и напряжениями. Tакие определяющие соотношения относятся к классу дифференцируемых отображений с особенностями [5–7]. Их построение является достаточно сложной проблемой в механике деформируемого твердого тела. В данной работе модель среды Генки распространяется на стадию разупрочнения материала при следующих ограничениях: тензоры напряжений и деформаций имеют диагональный вид (в сферической системе координат), а объёмная деформация неположительна и, следовательно, связь между шаровыми тензорами напряжений и деформаций определяется законом Гука на всех стадиях деформирования. Полученные определяющие соотношения с особенностями позволяют найти реальное число деформированных состояний среды (как устойчивых, так и неустойчивых), отвечающих заданному тензору напряжений. Приведён инкрементальный закон пластичности, дающий возможность вычислять неупругие составляющие деформаций. Рассмотрен пример для случая, когда две компоненты тензора деформаций равны, что наблюдается в задачах о расширении сферической полости в пространстве и деформировании сферического сосуда под действием внешнего давления. 72 Об определяющих соотношениях среды Генки для разупрочняющегося материала . . . 1. Свободная энергия. Пусть в сплошной среде реализовано напряжённодеформируемое состояние, которое в сферической системе координат определяется только диагональными компонентами тензоров напряжений и деформаций, а именно εr , εθ , εϕ и σr , σθ , σϕ . Полагаем, что в изотермическом процессе активного деформирования приращение свободной энергии dF отождествляется с элементарной работой напряжений (среда Генки [8]). В инвариантной форме записи находим, что dF = 3σ0 dε0 + T dΓ [8]. Здесь σ0 = = (σr + σθ + σϕ ) /3, ε0 = (εr + εθ + εϕ ) /3 = θ/3 (θ — относительное изменение объёма материального элемента), 1 T = √ (σr − σϕ )2 + (σϕ − σθ )2 + (σθ − σr )2 6 1/2 — интенсивность касательных напряжений, Γ= 2 (εr − εϕ )2 + (εϕ − εθ )2 + (εθ − εr )2 3 1/2 — интенсивность деформаций сдвига [8]. Полагая пропорциональность шаровых тензоров и тензоров девиаторов напряжений и деформаций с коэффициентами пропорциональности K s и Gs , получаем 1 dF = K s θdθ + Gs ΓdΓ, 3 т. е. σ0 = K s ε0 , T = Gs Γ, а K s и Gs — секущие модули. Если θ 0, то естественно считать, что на всех стадиях деформирования (K s = K = const — объёмный модуль в упругости). Таким образом, Gs = Gs (Γ) — секущий модуль единой кривой T ∼ Γ. В отличие от традиционной среды Генки, в данной работе полагаем, что единая кривая имеет ниспадающий участок, характеризующий стадию разупрочнения материала под действием сдвигающих деформаций. Примерный вид такой кривой показан на рис. 1, где ΓB — интенсивность касательных деформаций, после достижения которой материал переходит на стадию разупрочнения, ΓZ — последняя точка единой кривой, в которой происходит разрушение материала, G — касательный модуль в начале координат (модуль сдвига в упругости). Процесс деформирования можно изобразить движением точки (θ, Γ) Рис. 1. Единая кривая с падающей ветвью по некоторой кривой L в двумерном евклидовом пространстве. Tогда свободная энергия F = L 1 Kθdθ + Gs (Γ)Γ dΓ. 3 73 С т р у ж а н о в В. В., Б е р д н и к о в К. В. Очевидно, что подынтегральное выражение в данном случае является полным дифференциалом, и поэтому работа напряжений не зависит от вида пути деформирования. Восстанавливая функцию по её полному дифференциалу, имеем Γ 1 Gs (Γ)Γ dΓ. F (θ, Γ) = F (εr , εθ , εϕ ) = Kθ 2 + 6 0 2. Определяющие соотношения. Свободная энергия является потенциалом напряжений, т. е. σr = ∂F /∂εr , σϕ = ∂F /∂εϕ , σθ = ∂F /∂εθ . Производя необходимые вычисления, находим соотношения среды Генки: 1 1 Kθ + 2Gs (Γ) εr − θ , 3 3 1 1 s σθ = σθ (εr , εθ , εϕ ) = Kθ + 2G (Γ) εθ − θ , 3 3 1 1 σϕ = σϕ (εr , εθ , εϕ ) = Kθ + 2Gs (Γ) εϕ − θ , 3 3 σr = σr (εr , εθ , εϕ ) = (1) причём 0 Gs (Γ) G. Уравнения (1) задают отображение из трехмерного евклидова пространства деформаций (εr , εθ , εϕ ) в трехмерное евклидово пространство напряжений (σr , σθ , σϕ ). Отображение является взаимно однозначным в том и только в том случае, когда матрица Якоби этого отображения невырождена (гомеоморфизм). Взаимная однозначность нарушается в окрестности тех точек пространства деформаций, где матрица Якоби вырождена. Матрица Якоби отображения (1) имеет вид   ∂σr /∂εr ∂σr /∂εθ ∂σr /∂εϕ J =  ∂σθ /∂εr ∂σθ /∂εθ ∂σθ /∂εϕ  . (2) ∂σϕ /∂εr ∂σϕ /∂εθ ∂σϕ /∂εϕ Отметим, что она совпадает с матрицей Гессе H(F ) функции F : p p p  Crr Crθ Crϕ p p p H(F ) =  Crθ Cθθ Cθϕ  , p p p Crϕ Cθϕ Cϕϕ  где ∂σr ∂2F 2 = = A(Γ) + B(Γ)Mr (ε), ∂ε2 ∂εr r ∂2F ∂σθ 2 = 2 = ∂ε = A(Γ) + B(Γ)Mθ (ε), ∂εθ θ p Crr = p Cθθ p Cϕϕ = p Crθ = 74 ∂σϕ ∂2F 2 = = A(Γ) + B(Γ)Mϕ (ε), 2 ∂εϕ ∂εϕ ∂2F ∂σr = = D(Γ) + B(Γ)Mr (ε)Mθ (ε), ∂εr ∂εθ ∂εθ Об определяющих соотношениях среды Генки для разупрочняющегося материала . . . ∂2F ∂σr = = D(Γ) + B(Γ)Mr (ε)Mϕ (ε), ∂εr ∂εϕ ∂εϕ ∂σθ ∂2F p = = D(Γ) + B(Γ)Mθ (ε)Mϕ (ϕ); Cθϕ = ∂εθ ∂εϕ ∂εϕ 1 4 dGs (Γ) 1 A(Γ) = (K + 4Gs ) , B(Γ) = , D(Γ) = (K − 2Gs ) , 3 9Γ dΓ 3 Mr (ε) = 2εr − εθ − εϕ , Mθ (ε) = 2εθ − εr − εϕ , Mϕ (ε) = 2εϕ − εr − εθ . p Crϕ = 3. Критические точки и критические значения определяющих соотношений. Найдём точки в пространстве деформаций, где матрица Якоби (2) отображения (1) вырождена. Вычислим определитель матрицы Якоби: 2 2 2 det(J) = A3 + 2D 3 + A2 B Mϕ + Mθ + Mr − − 2ADB (Mϕ Mθ + Mr Mθ + Mϕ Mr ) + 2 2 2 + D 2 B −Mϕ − Mθ − Mr + 2M ϕM θ + 2Mr Mθ + 2Mϕ Mr . Далее подставляя функции A(Γ), B(Γ), D(Γ), Mr (ε), Mθ (ε), Mϕ (ε) в явном виде и учитывая выражений для Γ, получаем det(J) = 4KGp (Γ)Gs (Γ). Tаким образом, матрица Якоби вырождается тогда, когда касательный модуль единой кривой Gp обращается в нуль (наивысшая точка кривой, где Γ = ΓB ), или при Gs = 0 (точка кривой, где Γ = ΓZ ). Равенства Γ = ΓB и Γ = ΓZ определяют два цилиндра (цилиндры Мизеса при θ 0) в пространстве главных деформаций, образующие которых ортогональны девиаторной плоскости (εr + εθ + εϕ = 0), проходящей через начало координат и равнонаклонённой к координатным осям. Tочки в пространстве деформаций, расположенные на поверхностях этих цилиндров, есть критические Рис. 2. Поверхности критических точек отображения (1) в пространстве деформаций 75 С т р у ж а н о в В. В., Б е р д н и к о в К. В. точки отображения (1) [5]. На рис. 2 указанные выше цилиндры построены для единой кривой (см. рис. 1), заданной уравнением T (Γ) = µ(Γ)Γ, где µ(Γ) = G (1 − 10Γ), G = 76 · 103 МПа. Tочкам, расположенным внутри внутреннего цилиндра, отвечают устойчивые состояния материала (упрочнение), точки поверхности внутреннего цилиндра — точки пограничных состояний, разделяющие упрочнение от разупрочнения. Tочкам, расположенным между цилиндрами, отвечает разупрочнение материала. Tочки поверхности внешнего цилиндра — точки разрушения, которое происходит под действием деформаций сдвига и превращает материал в аналог сыпучей среды, не способной сопротивляться сдвигам. Посредством соотношений Генки (1), где полагаем K = 5·105 МПа, отобразим полученные цилиндры (см. рис. 2) в пространство напряжений. Внешний цилиндр, соответствующий пограничному состоянию материала между разупрочнением и разрушением, в пространстве напряжений переходит в нормаль к девиаторной плоскости (σr +σθ +σϕ = 0), проходящую через начало координат. Цилиндр, разделяющий состояние упрочнения материала от состояния разупрочнения, отображается в цилиндр, образующие которого, как и в пространстве деформаций, ортогональны девиаторной плоскости, изображён на рис. 3. Tочки поверхности цилиндра I и прямой II — критические значения отображения (1) [5]. Итак, если вести нагружение посредством задания значений для деформаций, то сначала путь деформирования будет располагаться внутри первого (внутреннего) цилиндра (см. рис. 2) и материал находится на стадии упрочнения. Компоненты тензора напряжений определяют точки в пространстве напряжений, расположенные внутри цилиндра I (см. рис. 3). После пересечения путём деформирования поверхности внутреннего цилиндра (см. рис. 2) материал переходит на стадию разупрочнения. При этом путь в пространстве напряжений, достигнув поверхности цилиндра I (см. рис. 3), поворачивает обратно. Отображение (1) снова определяет точки, расположенные внутри цилиндра I. Когда путь деформирования пересечёт поверхность внешнего ци- Рис. 3. Критические значения отображения (1): точки поверхности цилиндра (I) и прямой (II) 76 Об определяющих соотношениях среды Генки для разупрочняющегося материала . . . линдра (разрушение от сдвигов), тогда путь нагружения остановится в какойлибо точке прямой II (см. рис. 3). Tаким образом, каждой точке в пространстве напряжений, расположенной внутри цилиндра I, отображение (1) определяет два деформированных состояния: одно — состояние упрочнения, другое — состояние разупрочнения. 4. Частный случай. Рассмотрим частный случай, предполагая выполнение равенства εθ = εϕ , которое справедливо в задачах о расширении сферической полости в пространстве и деформировании толстостенного сферического сосуда под действием равномерного внешнего давления. Tеперь удобно рассматривать двумерное пространство деформаций (εr , εθ ) и напряжений (σr , σθ ). В этом случае области вырожденности представляют собой прямые, образованные пересечением цилиндров на рис. 2 и плоскости εθ = εϕ . На рис. 4 аналогично общему случаю, рассмотренному ранее, I — область упрочнения, II — область разупрочнения. Понятно, что при отображении областей вырожденности в пространство напряжений соотношениями (1) получаются прямые, которые являются пересечениями цилиндра и нормали к девиаторной плоскости (σr + σθ + σϕ = 0), построенной в начале координат (см. рис. 3) с плоскостью σθ = σϕ . Рис. 4. Критические точки отображения (1) при εθ = εϕ (прямые 1 и 2) 5. Определение приращений пластических деформаций. Наконец определим пластические составляющие приращения полной деформации, используя то обстоятельство, что разгрузка происходит по линейному закону с модулями K и G. Пусть в некотором деформированном состоянии материал имеет инкрементальные модули, заданные компонентами матрицы C p , совпадающей с матрицей Гессе функции свободной энергии H(F ). Возмутим это состояние посредством задания приращения полных деформаций dε. Приращение пластических деформаций определяем с использованием инкрементального закона пластичности [9] dεp = (I − SC p ) dε, 77 С т р у ж а н о в В. В., Б е р д н и к о в К. В. где I — единичная матрица третьего порядка; dεp — вектор-столбец с компонентами dεp , dεp , dεp ; dε — вектор-столбец приращений полных деформаций; r ϕ θ S — матрица коэффициентов упругой податливости:   1 −ν −ν 1 S = −ν 1 −ν  ; E −ν −ν 1 E — модуль Юнга; ν — коэффициент Пуассона. Отсюда p p p dεp = 1 − E −1 Crr − νCrθ − νCrϕ r dεr − p p p p p p − E −1 Crθ − νCθθ − νCθϕ dεθ − E −1 Crϕ − νCθϕ − νCϕϕ dεϕ , p p p dεp = 1 − E −1 Cθθ − νCrθ − νCθϕ θ dεθ − p p p p p p − E −1 Crθ − νCrr − νCrϕ dεr − E −1 Cθϕ − νCrϕ − νCϕϕ dεϕ , p p p dεp = 1 − E −1 Cϕϕ − νCrϕ − νCθϕ ϕ dεϕ − p p p p p p − E −1 Crϕ − νCrϕ − νCrθ dεr − E −1 Cθϕ − νCrθ − νCθθ dεθ . После подстановки всех значений можно убедиться в том, что dεp + dεp + r θ + dεp = 0, т. е. при неизменном модуле K объёмная деформация сохраняет ϕ упругость на всех стадиях деформирования. Наиболее простой вид данные выражения принимают при условии εθ = εϕ . Tогда 2 Gp 1 Gp dεp = − 1 − dγ, dεp = dεp = 1− dγ, r ϕ θ 3 G 3 G где dγ = dεϕ − dεr — приращение максимального сдвига. Очевидно, что dεp + dεp + dεp = 0, r ϕ θ dγ p = 1 − Gp dγ, G 2 dεp = − dγ p , r 3 dεp = dεp = ϕ θ 1 p dγ . 3 Из полученных формул следует, что при Gp > 0 только часть подведенной энергии расходуется на образование пластических (неупругих) деформаций. Когда Gp < 0, на образование пластических деформаций уходит вся подведенная энергия и еще часть упругой энергии, накопленной в материале. Заключение. При некоторых предположениях для среды Генки, единая кривая которой имеет падающую ветвь, получены определяющие соотношения. Исследованы их свойства как отображения пространства деформаций в пространство напряжений. С использованием инкрементального закона пластичности получены выражения для приращения пластических (неупругих) деформаций. Работа выполнена по совместному проекту УрО РАН и СО РАН (проект № 12–C–1–1024). 78 Об определяющих соотношениях среды Генки для разупрочняющегося материала . . .

About the authors

Valery V Struzhanov

Institute of Engineering Science, Ural Branch of RAS

Email: stru@imach.uran.ru
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Chief researcher, Lab. of Matherial Micromechanics 34, Komsomolskaya st., Ekaterinburg, 620049, Russia

Kirill V Berdnikov

Institute of Engineering Science, Ural Branch of RAS

Email: kir.berdnikov@mail.ru
Engineer, Lab. of Matherial Micromechanics 34, Komsomolskaya st., Ekaterinburg, 620049, Russia

References

Supplementary files