Stability of solution of one nonlinear initial-boundary problem of aeroelasticity

Full Text

Ведение. При проектировании конструкций, обтекаемых потоком газа или жидкости, большое значение имеет исследование устойчивости деформируемых элементов, так как воздействие потока может приводить к увеличению амплитуды колебаний и тем самым к их разрушению. В то же время для функционирования некоторых технических устройств явление возбуждения колебаний при аэрогидродинамическом воздействии, указанное выше в качестве негативного, является необходимым. Примерами подобных устройств, относящихся к вибрационной технике и используемых для интенсификации технологических процессов, являются устройства для приготовления однородных смесей и эмульсий, в частности, устройства для подачи смазочно-охлаждающей жидкости в зону обработки (см., например, Пат. 2062662 Российская Федерация, МПК6 В 06 В 1/18, 1/20. Гидродинамический излучатель / П. А. Вельмисов, Г. М. Горшков, Г. К. Рябов. Заявитель и патентообладатель Ульяновский гос. технич. ун-т. — № 5038746/28; заявл. 20.07.92; опубл. 27.06.96, Бюл. № 18). Таким образом, при проектировании конструкций и устройств, находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой, необходимо решать задачи, связанные с исследованием устойчивости упругих элементов, требуемой для их функционирования и надёжности эксплуатации. 1. Постановка задачи. Рассматривается плоское течение в прямолинейном канале J = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < x0 , 0 < y < y0 } (рис. 1). Часть стенки 120 Устойчивость решений одной нелинейной начально-краевой задачи аэроупругости Рис. 1. Канал, стенка которого содержит деформируемый элемент y = y0 при x ∈ [b, c] является упругой пластиной (упругим элементом). Скорость невозмущенного однородного потока равна V и направлена вдоль оси Ox. Используется модель идеальной сжимаемой среды. Подобные задачи для несжимаемых сред рассматривались в монографии [1]. Введём обозначения: u(x, t) и w(x, t) — деформации элемента в направлении осей Ox (продольная составляющая) и Oy (поперечная составляющая) соответственно; ϕ(x, y, t) — потенциал скорости возмущённого потока (газа или жидкости). Математическая постановка задачи имеет следующий вид: ϕtt + 2V ϕxt + V 2 ϕxx = a2 (ϕxx + ϕyy ),            (x, y) ∈ J, t 0, ϕy (x, y0 , t) = w(x, t) + V w (x, t), x ∈ (b, c), t 0, ˙ ϕy (x, y0 , t) = 0, x ∈ (0, b] ∪ [c, x0 ), t 0, ϕy (x, 0, t) = 0, x ∈ (0, x0 ), t 0, ϕ(0, y, t) = 0, ϕ(x0 , y, t) = 0, y ∈ (0, y0 ), t 0, 1 −EF u (x, t) + w 2 (x, t) + M u(x, t) = 0, ¨ 2 1 + M w(x, t) + Dw (x, t)+ ¨ −EF w (x, t) u (x, t) + w 2 (x, t) 2 +N w (x, t) + β0 w(x, t) + β1 w(x, t) + β2 w (x, t) = ˙ ˙ = −ρ(ϕt (x, y0 , t) + V ϕx (x, y0 , t)), x ∈ (b, c), t 0. (1) (2) (3) (4) (5) (6) Индексы x, y, t снизу обозначают частные производные по x, y, t; штрих и точка — частные производные по x и t соответственно; ρ — плотность жидкости в однородном невозмущенном потоке; D, M — изгибная жесткость и погонная масса упругого элемента; N — сжимающая (растягивающая) упругий элемент сила; β1 , β2 — коэффициенты внешнего и внутреннего демпфирования; β0 — коэффициент жёсткости основания; a — скорость звука в невозмущённом потоке жидкости (a > V ); E — модуль упругости материала элемента; F — площадь поперечного сечения элемента. Граничные условия на концах пластины при x = b и x = c могут иметь следующий вид: 1) жёсткое защемление: w(x, t) = w (x, t) = u(x, t) = 0; (7) 2) шарнирное неподвижное закрепление: w(x, t) = w (x, t) = u(x, t) = 0; (8) 121 А. В. А н к и л о в, П. А. В е л ь м и с о в, Ю. А. К а з а к о в а 3) жёсткое неподвижное защемление: (9) w(x, t) = w (x, t) = u (x, t) = 0; 4) шарнирное подвижное закрепление: 1 2 w(x, t) = w (x, t) = u (x, t) + w (x, t) = 0. 2 (10) Уравнения и граничные условия (1)–(10) следует дополнить начальными условиями. Для трёх неизвестных функций — деформаций упругого элемента w(x, t), u(x, t) и потенциала скорости сжимаемой среды ϕ(x, y, t) имеет место связанная нелинейная начально-краевая задача. 2. Исследование устойчивости. Исследуем устойчивость нулевого решения ϕ(x, y, t) ≡ 0, w(x, t) ≡ 0, u(x, t) ≡ 0 системы (1)–(10) по Ляпунову. Введём функционал (ϕ2 + (a2 − V 2 )ϕ2 + a2 ϕ2 )dxdy− t x y Φ(t) = J a2 ρ c − 2a2 V ϕ(x, y0 , t)w (x, t)dx + b 1 + EF u + w 2 2 2 c M u2 + M w2 + ˙ ˙ b + Dw 2 2 − N w + β0 w2 dx. (11) Для функций ϕ(x, y, t), w(x, t) и u(x, t), удовлетворяющих уравнениям (1) и (6), производная от Φ по t примет вид ˙ Φ(t) = 2 ϕt (−2V ϕxt − V 2 ϕxx + a2 (ϕxx + ϕyy )) + (a2 − V 2 )ϕx ϕxt + J c + a ϕy ϕyt dxdy − 2a2 V 2 ϕt (x, y0 , t)w (x, t) + ϕ(x, y0 , t)w (x, t) dx+ ˙ b 2a2 ρ c 1 2 2EF u u + w ˙ + w −ρ ϕt (x, y0 , t) + V ϕx (x, y0 , t) + ˙ 2 b 1 2 + EF w u + w − Dw − β2 w − N w − β1 w − β0 w + ˙ ˙ 2 1 2 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ + 2EF u + w (u + w w ) + Dw w − N w w + β0 ww dx. 2 + Произведя интегрирование с учётом условий (2)–(5), (7)–(10), получим 2a ˙ Φ(t) = − ρ 2 c (β2 w ˙ 2 + β1 w2 )dx. ˙ b Пусть выполняются условия β2 0, β1 0, β0 ⇒ Φ(t) 0, (12) Φ(0). (13) тогда имеют место неравенства ˙ Φ(t) 122 0 Устойчивость решений одной нелинейной начально-краевой задачи аэроупругости Для оценки функционала для функции w(x, t) запишем неравенства Рэлея [2]: c w 2 (x, t)dx c λ1 c w 2 (x, t)dx, x0 0 µ1 ϕ2 (x, y, t)dx x w2 (x, t)dx, (14) b b b b c w 2 (x, t)dx x0 η1 ϕ2 (x, y, t)dx, (15) 0 где λ1 , µ1 — наименьшие собственные значения краевых задач ψ (x) = −λψ (x), ψ (x) = µψ(x), x ∈ (b, c) с граничными условиями (7)–(10); η1 = π 2 /x2 — наименьшее собственное зна0 чение краевой задачи −ψ = ηψ, x ∈ (0, x0 ) с краевыми условиями ψ(0) = 0, ψ(x0 ) = 0, которые соответствуют (5). Интегрируя неравенство (15) от 0 до y0 по переменной y, окончательно получим π2 ϕ2 (x, y, t)dxdy. (16) ϕ2 (x, y, t)dxdy x x2 J J 0 Воспользовавшись неравенством Коши—Буняковского, получим неравенства w2 (x, t) c (c − b) w 2 (x, t)dx, (17) b ϕ2 dxdy y J 2 2 y0 2 (18) ϕ(x, y0 , t) − ϕ(x, y, t) dxdy. J Оценим Φ(0) сверху, используя неравенства (14) и очевидное неравенство −2ab a2 + b2 : c (ϕ2 + (a2 V 2 )ϕ2 + a2 ϕ2 )dxdy + a2 t0 x0 y0 Φ(0) J ϕ2 (x, y0 , 0)dx+ b a2 + ρ c b 1 2 2 M u2 + M w0 + EF u 0 + w 0 + ˙0 ˙2 2 |N | + ρV 2 β0 + D+ + w λ1 µ1 2 0 dx, (19) где введены обозначения ϕt0 = ϕt (x, y, 0), ϕx0 = ϕx (x, y, 0), ϕy0 = ϕy (x, y, 0), ˙ ˙ u0 = u(x, 0), u0 = u (x, 0), w0 = w(x, 0), w0 = w (x, 0), w0 = w (x, 0). ˙ ˙ Оценим Φ(t) снизу, применяя (14), (16), (18) для (11): π 2 2 2a2 ϕ + 2 (ϕ(x, y0 , t) − ϕ(x, y, t))2 dxdy− x2 y0 0 c a2 c ϕ(x, y0 , t)w (x, t)dx + (λ1 D − N )w 2 dx. (20) − 2a2 V ρ b b ϕ2 + (a2 − V 2 ) t Φ(t) J 123 А. В. А н к и л о в, П. А. В е л ь м и с о в, Ю. А. К а з а к о в а Введём обозначение   0,  f (x, t) = w (x, t),   0, x ∈ (0, b], x ∈ (b, c), x ∈ [c, x0 ), тогда из (20) получим неравенство Φ(t) π 2 2a2 2 + 2 ϕ (x, y, t)− x2 y0 J 0 2a2 2a2 V 4a2 − 2 ϕ(x, y0 , t)ϕ(x, y, t) + 2 ϕ2 (x, y0 , t) − ϕ(x, y0 , t)f (x, t)+ y0 y0 y0 a2 (λ1 D − N ) 2 + f (x, t) dxdy. (21) ρy0 ϕ2 (x, y, t) + (a2 − V 2 ) t Согласно критерию Сильвестра квадратичная форма относительно ϕ(x, y, t), ϕ(x, y0 , t), f (x, t) в (21) будет положительно определенной, если выполняются условия λ1 D − N > 0, (22) λ1 D − N 2(a2 − V 2 )π 2 (a2 − V 2 )π 2 2a2 · −V2 + 2 2 ρy0 x0 x2 y0 0 > 0. (23) Преобразуем неравенство (23): N < λ1 D − V 2 x2 ρy0 (a2 − V 2 )π 2 2a2 0 + 2 . 2(a2 − V 2 )π 2 x2 y0 0 (24) Оценивая квадратичную форму в (21) относительно w(x, t) с учётом (17), получим ∆3 y 0 w2 (x, t), (25) Φ(t) ∆2 (c − b) где ∆2 = d11 d22 − d2 > 0, ∆3 = d33 ∆2 − d2 d11 > 0, d11 = 12 23 d22 = d12 = (a2 − V 2 )π 2 2a2 + 2 , x2 y0 0 2a2 V a2 (λ1 D − N ) . , d23 = 2 , d33 = 2 ρy0 y0 y0 Учитывая (13), (19), (25), получим неравенство w2 (x, t) ∆2 (c − b) ∆3 y 0 c + a2 b 124 (ϕ2 + (a2 − V 2 )ϕ2 + a2 ϕ2 )dxdy+ t0 x0 y0 J ϕ2 (x, y0 ,0)dx + a2 ρ c b 1 2 2 M u2 + M w0 + EF u 0 + w 0 + ˙0 ˙2 2 2 |N | + ρV β0 2 + D+ + w 0 dx . λ1 µ1 Устойчивость решений одной нелинейной начально-краевой задачи аэроупругости Теорема 1. Пусть выполняются условия (12), (22), (24). Тогда решение w(x, t) задачи (1)–(10) устойчиво по отношению к возмущениям начальных ˙ данных ϕt0 , ϕx0 , ϕy0 , ϕ(x, y0 ,0), u0 , u0 , w0 , w0 , w0 . ˙ Аналогично, оценивая квадратичную форму в (21) относительно ϕ(x, y, t), получим ∆3 ϕ2 (x, y, t)dxdy. (26) Φ(t) d22 d33 − d2 J 23 Учитывая (13), (19), (26), получим неравенство d22 d33 − d2 23 (ϕ2 + (a2 − V 2 )ϕ2 + a2 ϕ2 )dxdy+ t0 x0 y0 ∆3 J c a2 c 1 2 2 ϕ2 (x, y0 ,0)dx + M u2 + M w0 + EF u 0 + w 0 + ˙0 ˙2 ρ b 2 b 2 |N | + ρV β0 2 + D+ + w 0 dx . λ1 µ1 ϕ2 (x, y, t)dxdy J + a2 Теорема 2. Пусть выполняются условия (12), (22), (24). Тогда решение ϕ(x, y, t) задачи (1)–(10) устойчиво в среднем (в интегральном смысле) по отношению к возмущениям начальных данных ϕt0 , ϕx0 , ϕy0 , ϕ(x, y0 ,0), u0 , ˙ u0 , w0 , w0 , w0 . ˙ 3. Пример механической системы. Рабочая среда — воздух (ρ = 1), пластина изготовлена из алюминия (E = 7 · 1010 , ρpl = 8480). Другие параметры механической системы: a = 331, x0 = 5, y0 = 0,1, b = 2, c = 3, h = 0,005, ν = 0,31, Eh3 D = 12(1−ν 2 ) = 806,7. Пусть концы упругой пластины закреплены шарнирно, тогда λ1 = π 2 /(c − b)2 = π 2 . Все значения приведены в системе СИ. Для неравенства (24) построены области устойчивости на плоскости «сжимающее (растягивающее) усилие N — скорость потока V » (рис. 2). На рис. 2 серая область — область устойчивости. Прямая V = a является асимптотой границы области (24). а

About the authors

Andrey V Ankilov

Ulyanovsk State Technical University

Email: ankil@ulstu.ru
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Doctoral Candidate, Dept. of Higher Mathematics. Petr 32, Severny Venets st., Ulyanovsk, 432027, Russia

A Aleksandrovich Vel’misov

Ulyanovsk State Technical University

Email: velmisov@ulstu.ru
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of Higher Mathematics 32, Severny Venets st., Ulyanovsk, 432027, Russia

Yulia A Kazakova

Ulyanovsk Instrument Manufacturing Design Bureau

Email: kazakova_ua@mail.ru
10 A, Krymov st., Ulyanovsk, 432071, Russia

References

Supplementary files