Investigation of boundary conditions on stability of coaxial cylindrical shells interacting with flowing fluid

Full Text

Введение. Цилиндрические конструкции различных конфигураций широко используются в нефтехимическом производстве и атомной промышленности для хранения и переноса жидкостей под высокими давлением и температурой. В частности, система трубопроводов может быть смоделирована или как одиночная круговая цилиндрическая оболочка, или как система коаксиальных оболочек, содержащих внутренний осевой поток жидкости. Коаксиальные оболочки, которые кроме этого могут взаимодействовать с потоком жидкости, расположенным в канале между двумя оболочками или обоими потоками, являются также структурными элементами многих технических приложений. Несмотря на это, количество работ, посвященных исследованию их динамического поведения, является незначительным. Динамика и устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих невязкую потенциальную жидкость, исследовалась для жёстко закреплённых с двух торцов [1] и консольно закреплённых оболочек [2]. В [1] установлено, что в случае кольцевого течения жидкости потеря устойчивости в виде дивергенции наблюдается при существенно меньших скоростях жидкости, чем в случае внутреннего течения, а совместное течение двух потоков еще больше дестабилизирует систему. В [2] показано, что потеря устойчивости осуществляется в виде флаттера по одной форме колебаний, а совместное течение двух потоков может стабилизировать или дестабилизировать систему в зависимости от их скоростей. При использовании моделей, учитывающих вязкость среды, могут приниматься во внимание как стационарные [2–5], так и нестационарные [5] си 88 Исследование влияния граничных условий на устойчивость . . . лы вязкого сопротивления. Для получения стационарных сил используется усреднённые по времени уравнения Навье—Стокса для развитого турбулентного несжимаемого потока жидкости. Показано [2, 3], что они оказывают существенное влияние на критические скорости течения жидкости. Нестационарные силы вязкого сопротивления определяются из линеаризованных уравнений Навье—Стокса с использованием численной процедуры, основанной на конечно-разностном методе. В [5] продемонстрировано, что эта модель лучше согласуется с экспериментальными данными [8, 9], чем модель, учитывающая только стационарные вязкостные эффекты. В работах [6, 7] в рамках численного решения задачи для невязкой и вязкой жидкости обнаружено существенное расхождение с представленными в [1, 2] данными для тех случаев, когда потеря устойчивости коаксиальных оболочек осуществляется на высоких модах колебаний. В перечисленных работах рассматриваются варианты, когда обе оболочки имеют одинаковые граничные условия. В настоящей статье в рамках разработанного конечно-элементного решения задачи выполнено исследование влияния различных комбинаций граничных условий, задаваемых на торцах каждой из оболочек. Оценен вид потери устойчивости, осуществляющийся при различной величине кольцевого зазора между внутренней и внешней оболочками, разных видах течения жидкости, включая совместное течение внутреннего и кольцевого потоков с одинаковой скоростью. 1. Основные соотношения. Рассматривается коаксиальная система, состоящая из двух упругих цилиндрических оболочек длиной L: внутренняя радиусом a и толщиной hi и внешняя радиусом b и толщиной ho . Эта система коаксиальных оболочек взаимодействует с двумя потоками идеальной сжимаемой жидкости. Один поток, содержащий жидкость с удельной плотностью ρi и скоростью звука в нём ci , течёт во внутренней оболочке со скоростью Ui , f а другой (ρo , co , Uo ) — в кольцевом канале между двумя оболочками. Решение f задачи заключается в определении такой скорости внутреннего или кольцевого потоков жидкости или их комбинации, при которой система коаксиальных оболочек теряет устойчивость. Потенциальное движение идеальной сжимаемой жидкости описывается волновым уравнением, которое в цилиндрических координатах (r, θ, x) для внутреннего течения, занимающего объём Vfi , записывается в виде [10] 2 φi = ∂ 2 φi 1 ∂ ∂ 1 ∂ 2 φi ∂ 2 φi 1 ∂φi = 2 + Ui + 2 + + 2 2 2 ∂r r ∂θ ∂x r ∂r ∂x ci ∂t 2 φi , (1) где φi — потенциал возмущения скорости. Аналогичное уравнение (с заменой индекса i на o) записывается для кольцевого течения, занимающего объём Vfo и описываемого потенциалом φo . Для вычисления давления pi , действующего со стороны жидкости на упруi i i гую поверхность внутренней оболочки (Sσ = Sf ∩Ss ), используется уравнение Бернулли ∂φi ∂φi + Ui . (2) pi = −ρi f ∂t ∂si i i Здесь si — меридиональная координата внутренней оболочки, а Sf , Ss — поверхности, ограничивающие объёмы внутреннего потока жидкости и внут- 89 Б о ч к а р е в С. А., Л е к о м ц е в С. В. ренней оболочки. Аналогичное уравнение (с заменой индекса i на o) записывается для давления кольцевого потока po на поверхности раздела внешo o o ней оболочки и кольцевого потока Sσ = Sf ∩ Ss . На поверхности раздела i «внутренняя оболочка – внутренний поток» жидкости Sσ задается условие непроницаемости ∂wi ∂wi ∂φi = + Ui , (3) ∂n ∂t ∂si i где n — нормаль к поверхности Sσ , wi — нормальная составляющая вектора перемещений внутренней оболочки. Для кольцевого течения задаются следующие условия: ∂φo ∂wi ∂wi o i = + Uo на Sf ∩ Ss , ∂n ∂t ∂si ∂φo ∂wo ∂wo o = + Uo на Sσ . ∂n ∂t ∂so (4) (5) Потенциалы возмущения скорости на входе в оболочки и выходе из них подчиняются следующим граничным условиям: x = 0 : φi = φo = 0, x = L: ∂φi ∂φo = = 0. ∂x ∂x (6) Уравнение для потенциала возмущения скорости (1) вместе с граничными условиями (3) и (6) сводится к системе уравнений с помощью метода Бубнова—Галёркина. Для внутреннего потока соотношения примут следующий вид [11]: mi f l=1 i Vf i i i ∂Fli ∂Fk ∂Fli ∂Fk 1 ∂F i ∂Fk + 2 l + 1 − Mi2 ∂r ∂r r ∂θ ∂θ ∂x ∂x mi f + l=1 i Vf 2Ui ∂Fli i ˙ F dV φi + al c2 ∂x k i mi s − p=1 i Sσ ¯i i ˙i Np Fk dS wap + i Sσ Ui i Vf dV φi + al i Fli Fk ¨ dV φi − al c2 i ¯i ∂ Np i i F dSwap = 0, ∂s k k = 1, 2, . . . mi . f Здесь mi и mi — число конечных элементов, на которые разбиваются облаs f i сти жидкости Vfi и внутренней оболочки Vsi ; φi и wap — узловые значения al потенциала возмущения скорости жидкости и перемещений оболочки; Mi = ¯ = Ui /ci — число Маха внутреннего потока; Fi и Ni — функции формы для потенциала возмущения скорости внутреннего потока и нормальной составляющей вектора перемещения внутренней оболочки. Аналогичное уравнение (с заменой индекса i на o) записывается для кольцевого течения, в котором также будет присутствовать дополнительные слагаемые в результате учёта условия (4). 90 Исследование влияния граничных условий на устойчивость . . . Оболочки рассматриваются в рамках гипотез Кирхгофа—Лява, согласно которым компоненты вектора деформаций срединной поверхности, изменения кривизн и кручения в координатной системе (s, θ, z) записываются следующим образом [12]: 1 ∂ui ∂vi 1 ∂vi ∂ui , εi = + wi , εi = + , 12 2 ∂s a ∂θ a ∂θ ∂s (7) ∂ 2 wi ∂ 2 wi 1 ∂vi ∂ 2 wi 1 ∂vi κi = − 2 , , − − κi = 2 , κi = 1 2 12 ∂s a ∂θ ∂θ 2 a ∂s ∂s∂θ где ui и vi — меридиональная и окружная составляющие вектора перемещений внутренней оболочки. Физические соотношения, устанавливающие связь между вектором обобщённых усилий и моментов T i и вектором обобщённых деформаций εi = , представляются в матричном виде = εi , εi , εi , κi , κi , 2κi 12 1 2 12 1 2 εi = 1 i i i i i i T i = T11 , T22 , T12 , M11 , M22 , M12 = Di εi . Для изотропного материала ненулевые компоненты матрицы жесткостей Di определяются известным образом через модуль упругости Ei , коэффициент Пуассона νi и модуль сдвига. Для математической формулировки задачи используется принцип возможных перемещений с учётом работы сил инерции, который для внутренней оболочки в матричной форме может быть записан следующим образом: Si δεi T i dS + Si ¨ δdi ρi di dS − 0 Si (8) δdi P i dS = 0. Здесь di и P i = pi |r=a − po |r=a — векторы обобщенных перемещений и поверхностных нагрузок, ρi = 0 hi ρi dz, ρi — удельная плотность материала внутренs s ней оболочки. Уравнения, аналогичные (7)–(8), записываются и для внешней оболочки (при замене индекса i на o и a на b), причём P o = po |r=b . 2. Численная реализация. Для численной реализации используется полуаналитический вариант метода конечных элементов, основанный на представлении решения в виде ряда Фурье по окружной координате θ: j=0 j=0 j=0 φj cos jθ. wj cos jθ, φa = vj sin jθ, w = uj cos jθ, v = ∞ ∞ ∞ ∞ u= j=0 Здесь j — номер гармоники. В результате исходная двумерная задача сводится к совокупности одномерных задач для каждой из гармоник ряда Фурье. Компоненты вектора перемещений и потенциал возмущения скорости внутри элемента определяются через узловые неизвестные (например, для внутренней оболочки и внутреннего потока) U i = {ui , vi , wi }T = Ni δ e , i φi a = Fi fie , (9) (10) 91 Б о ч к а р е в С. А., Л е к о м ц е в С. В. где δ e и fie — вектора узловых неизвестных, Ni и Fi — матрицы функций форi мы, которые формируются в зависимости от типа выбранного конечного элемента. Для жидкости используется треугольный элемент с линейной аппроксимацией. Для оболочек применяется двухузловой конечный элемент в форме усеченного конуса с аппроксимацией меридиональной и окружной компонент вектора перемещений линейным полиномом, а нормальной компоненты — кубическим полиномом. С учётом (9) связь вектора деформаций внутренней оболочки εi с вектором узловых неизвестных оболочечного конечного элемента δ e представляi ется в виде εi = Bi δ e . (11) i Подставляя в уравнение (8) значение для давления в форме (2) и используя стандартные процедуры метода конечных элементов с учётом (9)–(11), получим матричное соотношение ¨ ˙ Ks di + Ms di + Cs f i + As f i = 0. i i i i (12) Здесь f i — вектор обобщенных узловых значений потенциала возмущения скорости внутреннего потока и Ki = s i Ss mi s Ai = s mi s i Sσ Bi Di Bi dS, Mi = s i Ss mi s ¯ ∂Fi dS, ρi Ui Ni f ∂s Ci = s mi s Ni ρi Ni dS, 0 i Sσ ¯ ρi Ni Fi dS. f Уравнение (5) в матричном виде с учётом представлений (9), (10) принимает следующий вид: ˙ ¨ ˙ Ki f i + Mi f i + Cci f i + Aci f i + Ci di + Ai di = 0, f f f f f f (13) где Ki = f mi f i Vf ∂Fi ∂Fi 1 ∂Fi ∂Fi ∂Fi ∂Fi + 2 + ∂r ∂r r ∂θ ∂θ ∂x ∂x Ai = − f mi s Ci = − f i Sσ Ui F i mi s i Sσ ¯ ∂ Ni dS, Aci = − f ∂s ¯ Fi Ni dS, Cci = f mi f dV, Mi = f mi f i Vf mi f i Vf Mi2 i Vf Fi Fi dV, c2 i ∂Fi ∂Fi dV, ∂s ∂s 2Ui ∂Fi Fi dV. c2 ∂x i Таким образом, анализ устойчивости коаксиальных оболочек, содержащих текущую жидкость, сводится к совместному решению четырёх систем уравнений (12) и (13). Объединённая система уравнений может быть записана следующим образом: (K + A) di , f i , do , f o 92 ¨ ¨ ¨ ¨ + M di , f i , do , f o ˙ ˙ ˙ ˙ + C di , f i , do , f o = 0, Исследование влияния граничных условий на устойчивость . . . где K = diag Ki , Ki , Ko , Ko , M = diag Mi , Mi , Mo , Mo , s f s f s f s f     o i i o 0 As 0 As 0 Cs 0 Cs Ci Cci 0 Ai Aci 0 0  0  f f .  C= f A= f o ,  0  0 0 0 As 0 0 Co  s 0 Co Cco Co Ao 0 A0 Aco f f f f f f Недостающие матрицы могут быть получены в результате замены индекса i на o. Представляя возмущенное движение оболочки и жидкости в виде (di , f i , do , f o ) = (q i , g i , q o , g o ) exp(i∗ λt), √ где (qi , g i , q o , g o ) — некоторые функции координат, i∗ = −1, λ = λ1 + i∗ λ2 — характеристический показатель, окончательно получим K + A − λ2 M + i∗ λC {q i , g i , q o , g o } = 0. (14) Решение задачи сводится к вычислению и анализу собственных значений системы (14). Для вычисления комплексных собственных значений применяется алгоритм на основе метода Мюллера [13]. Несмотря на некоторые недостатки, возникающие при вычислении комплексных собственных значений, этот метод является достаточно эффективным, поскольку не требует сведения к стандартной или обобщенной проблеме на собственные значения. Для повышения вычислительной эффективности алгоритма используется перенумерация степеней свободы системы (14), основанная на обратном алгоритме Катхилла—Макки [14]. 3. Результаты численных экспериментов. При взаимодействии коаксиальных оболочек с невязкой жидкостью различные граничные условия, задаваемые на торцах обеих оболочек, однозначно определяют вид потери устойчивости. Далее будут представлены результаты, демонстрирующие более сложное поведение, определяемое тем, что внутренняя и внешняя оболочки имеют разные комбинации граничных условий. Для них принимаются следующие обозначения: C — жёсткое защемление (u = v = w = ∂w/∂s = 0); S — свободно опертый край (v = w = 0); F — свободный край. Например, комбинация CC − SS означает, что внутренняя оболочка жёстко защемлена на обоих торцах, тогда как наружная оболочка свободно оперта. Расчёты выполнялись при различной величине кольцевого зазора между внешней и наружной оболочками k = (b − a)/a. При этом неизменными оставались следующие характеристики: L = 1 м, b = 0,1 м, hi = ho = 5 · 10−4 м, ν = 0,3, E = 2 · 1011 Н/м2 , ρi = ρo = 7800 кг/м3 , ρi = ρo = 103 кг/м3 . В предs s f f ставлении численных результатов используются безразмерные переменные Λi = Ui ∆i , Ωi = λa∆i , Ω1 = Re (Ωi ), Ω2 = Im(Ωi ), ∆i = [ρi (1 − νi )/Ei ]1/2 (для s i i кольцевого течения a заменяется на b и i на o). С целью определения оптимальных параметров конечно-элементной сетки для систем с различными конфигурациями была проведена оценка сходимости решения. В результате выполненных численных экспериментов установлено, что приемлемую точность (наряду с комфортностью вычислений) 93 Б о ч к а р е в С. А., Л е к о м ц е в С. В. обеспечивают сетки со следующим количеством конечных элементов: 40 — для каждой из оболочек; 1600 — для жидкости (количество элементов для внутреннего и кольцевого течений определяется величиной зазора между оболочками). Для тестирования разработанного численного алгоритма осуществлено сравнение с известными численно-аналитическими решениями, для оболочек с различными граничными условиями и жёсткой внешней оболочкой. На рис. 1, а представлены результаты, полученные для коаксиальных оболочек, жёстко закреплённых с двух торцов. Здесь показана зависимость безразмерных действительных Ω1 (сплошные линии) и мнимых Ω2 (штрихпункi i тирные линии) частей трех первых собственных значений от безразмерной скорости внутреннего потока жидкости Λi (m — число полуволн в меридиональном направлении, k = 1/10, j = 3, Λo = 0). Потеря устойчивости при данных граничных условиях осуществляется в виде дивергенции — при увеличении скорости течения жидкости собственные значения уменьшаются до тех пор, пока действительная часть первой моды (m = 1) при скорости ΛD не станет равной нулю. На рис. 1, б показаны результаты, полученные для консольно закреплённых оболочек. Здесь представлена диаграммы изменений трех первых безразмерных комплексных собственных значений Ωi от различных значений безразмерной скорости внутреннего потока жидкости Λi (k = 1/10, j = 2). Как и в случае одной оболочки с аналогичными граничными условиями, потеря устойчивости системы коаксиальных оболочек осуществляется в виде флаттера по одной форме колебаний — с увеличением скорости потока мнимая часть второй моды колебаний (m = 2) при скорости становится отрицательной. На обоих рисунках маркерами обозначены результаты расчётов, полученных в [1] и [2]. Для рассмотренных конфигураций представленные данные демонстрируют хорошее совпадение полученных и известных результатов. а б Рис. 1. Зависимость действительных Ω1 и мнимых Ω2 частей безразмерных собственных i i значений (а) и диаграммы изменений безразмерных комплексных собственных значений Ωi (б) от безразмерной скорости Λi при внутреннем течении жёстко закреплённых (а) и консольно закреплённых (б ) коаксиальных оболочек: линии — результаты расчёта; маркеры — данные из [1] (а), данные из [2] (б) 94 Исследование влияния граничных условий на устойчивость . . . В табл. 1 и 2 приведены безразмерные критические скорости дивергентной и флаттерной потери устойчивости Λo для коаксиальных оболочек, взаимодействующих с кольцевым (Λo = 0, Λi = 0) и внутренним (Λi = 0, Λo = 0) потоками жидкости, полученных для различных вариантов граничных условий и величины кольцевого зазора k. Скорости, соответствующие потере устойчивости в виде флаттера по одной форме колебаний, отмечены индексом «∗». Из представленных данных следует, что для любой комбинации граничных условий с уменьшением величины кольцевого зазора снижается также граница потери устойчивости. Причем в случае кольцевого потока жидкости неустойчивость проявляется на более низких скоростях, чем в случае внутреннего течения жидкости. В целом такое поведение обусловлено совокупностью таких факторов, как уменьшение отношения h/a, сужение кольцевого зазора, взаимодействие кольцевого потока одновременно с двумя упругими оболочками, разной величиной влияния присоединенных масс жидкости на снижение жёсткости оболочек. В случае одинаковых граничных условий, задаваемых на торцах обеих оболочек, скорости потери устойчивости для консольно закреплённых оболочек при внутреннем и кольцевом потоке жидкости являются величинами одного порядка. Для других вариантов граничных условий скорости потери устойчивости внутреннего потока существенно превышают скорости в кольцевом потоке. При консольном закреплении свободный край оболочек обеспечивает такую деформированную форму поверхности, которая способствует появлению гидродинамического демпфирования, оказывающего стабилизирующее влияние. Результаты, представленные в табл. 2, уточняют установленный в [1] факт, что в случае внутреннего течения жидкости упругость внешней оболочки не оказывает никакого влияния на критические скорости потери устойчивости. Это заключение остается верным, если не рассматривать консольно закреплённые оболочки, для которых критические скорости внутреннего потока жидкости зависят не только от упругости внешней оболочки, но и от граничных условий на ее торцах. В случае кольцевого потока жидкости для различных комбинаций граничных условий изменение в характере динамического поведения коаксиальных оболочек также определяется консольным закреплением. Если консольное закрепление имеет наружная оболочка, то в случае свободно опёртой (SSCF) или жёстко закреплённой (CC-CF) внутренней оболочки это приводит к незначительному повышению критических скоростей по сравнению с одинаковыми граничными условиями, а для противоположных вариантов (CF-SS и CF-CC), наоборот, к снижению. Если для одинаковых граничных условий вид потери устойчивости однозначно определяется их вариантом — дивергенция или флаттер, то в случае смешанных граничных условий имеет место более сложная картина. При задании на торцах оболочек граничных условий в виде жёсткого закрепления или свободного опирания в любой комбинации потеря устойчивости осуществляется в виде дивергенции. Консольное закрепление хотя бы одной из оболочек может менять дивергентный вид потери устойчивости на флаттерный. Для внутреннего течения жидкости этот вид неустойчивости реализуется только в случае консольного закрепления внутренней оболочки, тогда как 95 96 Таблица 1 Безразмерные критические скорости кольцевого течения жидкости Λo · 103 для коаксиальных оболочек с различными вариантами граничных условий ГУi j 1/20 CC 1 2 3 4 5 35,941 20,264 18,070 19,580 21,233 18,211 10,642 8,406 9,543 11,130 13,079 7,689 5,986 6,773 7,864 63,607 26,653∗ 28,677∗ 22,750∗ 26,015∗ 39,865 21,832∗ 15,911∗ 18,646∗ 21,124∗ 28,626 23,589∗ 11,620∗ 15,826∗ 19,901∗ 27,741 14,267 13,581 17,016 19,917 13,980 7,425 6,933 8,850 10,845 10,040 5,354 4,955 6,294 7,666 CF 1 2 3 4 5 63,315∗ 31,412∗ 12,891∗ 16,329∗ 21,234 39,465∗ 29,161∗ 8,361 8,292∗ 11,635∗ 28,625∗ 15,170∗ 6,089 8,026∗ 9,478∗ 64,042∗ 39,095∗ 32,255∗ 35,071∗ 40,105∗ 40,466∗ 27,079∗ 23,730∗ 20,210∗ 23,153∗ 29,372∗ 25,413∗ 15,788∗ 17,001∗ 20,863∗ 57,500∗ 24,953∗ 13,615 17,024 19,921 36,266∗ 19,851∗ 15,399∗ 9,167 9,873∗ 29,503∗ 14,676∗ 12,988∗ 10,474∗ 11,625∗ SS 1 2 3 4 5 24,980 14,044 18,079 19,585 21,247 13,670 7,303 7,462 9,163 11,023 9,927 5,302 5,139 6,404 7,731 57,319∗ 23,943∗ 18,327∗ 14,649∗ 19,896∗ 40,493∗ 20,052∗ 17,541∗ 8,273∗ 10,456∗ 29,473∗ 14,750∗ 4,868∗ 5,346∗ 7,256∗ 21,667 11,678 13,490 16,975 19,903 11,512 5,888 6,171 8,302 10,525 8,333 4,254 4,299 5,820 7,383 ∗ ∗ ∗ Б о ч к а р е в С. А., Л е к о м ц е в С. В. 1/2 Граничные условия, заданные на торцах внешней оболочки ГУo CC CF SS k 1/10 1/20 1/2 1/10 1/20 1/2 1/10 ГУi j 1/2 Граничные условия, заданные на торцах внешней оболочки ГУo CC CF SS k 1/10 1/20 1/2 1/10 1/20 1/2 1/10 1/20 CC 1 2 3 4 5 73,735 30,417 27,028 28,738 32,067 71,098 33,241 22,371 22,315 23,758 67,223 33,737 22,023 21,714 22,775 73,801 30,417 27,028 28,738 32,067 71,162 33,242 22,391 22,336 23,780 68,274 33,770 22,047 21,741 22,808 73,801 30,417 27,028 28,738 32,067 71,162 33,242 22,370 22,316 23,758 68,274 33,770 22,047 21,741 22,808 CF 1 2 3 4 5 51,503∗ 36,277∗ 31,557∗ 32,738∗ 36,279∗ 64,407∗ 27,874∗ 25,454∗ 18,446∗ 16,554∗ 47,098∗ 26,441∗ 11,806∗ 8,404∗ 9,383∗ 66,768∗ 26,900∗ 31,091∗ 34,008∗ 38,535∗ 70,451∗ 29,295∗ 18,552∗ 22,131∗ 26,167∗ 68,274∗ 29,742∗ 17,697∗ 19,527∗ 21,503∗ 77,008∗ 37,525∗ 30,853∗ 21,912∗ 21,529∗ 61,940∗ 19,760∗ 17,651∗ 24,510∗ 26,763∗ 64,883∗ 23,785∗ 18,074∗ 8,912∗ 19,248∗ SS 1 2 3 4 5 42,212 18,036 22,828 27,520 31,444 47,977 18,304 17,314 20,012 22,767 48,817 18,580 16,194 18,930 21,598 42,212 18,036 22,828 27,520 31,444 47,977 18,304 17,314 20,012 22,767 48,817 18,597 16,212 18,953 21,629 42,212 18,036 22,828 27,520 31,444 47,979 18,304 17,314 20,012 22,767 48,817 18,597 16,212 18,953 21,629 Исследование влияния граничных условий на устойчивость . . . Таблица 2 Безразмерные критические скорости внутреннего течения жидкости Λi · 103 для коаксиальных оболочек с различными вариантами граничных условий 97 Б о ч к а р е в С. А., Л е к о м ц е в С. В. для кольцевого течения он определяется не только граничными условиями на внешней оболочке, но и величиной кольцевого зазора. Для демонстрации особенностей динамического поведения коаксиальных оболочек с комбинированными граничными условиями на рис. 2 показано изменение действительных и мнимых частей безразмерных собственных значений Ωo от скорости кольцевого потока Λo для варианта граничных условий CC-CF (k = 1/20, j = 5). Как и в случае представленного выше примера (рис. 2, а), с увеличением скорости течения жидкости действительные части мод достигают нулевого значения. При этом потеря устойчивости в виде дивергенции не осуществляется, так как обе мнимые составляющие этих мод превышают нулевое значение (рис. 2, б). Детальный анализ эволюции действительных и мнимых частей собственных значений позволяет установить, что при совпадении действительных частей наблюдается существенно немонотонное на небольшом интервале изменение мнимых частей. Продемонстрированные закономерности поведения мнимых частей собственных значений определяют необходимость крайне аккуратных вычислений, так как игнорирование этих особенностей может привести к некорректному определению режимов неустойчивости. Известно [2], что совместное течение внутреннего и кольцевого потоков в случае коаксиальных оболочек, жёстко закреплённых с двух торцов (CCCC), является аддитивным и приводит к еще большему снижению критических скоростей, а для консольно закреплённых оболочек (CF-CF) оказывает стабилизирующее воздействие. Иллюстрацией этому заключению являются результаты, представленные в табл. 3. Здесь приведены безразмерные критические скорости дивергентной и флаттерной потери устойчивости Λo для коаксиальных оболочек, взаимодействующих с кольцевым и внутренним потоками жидкости, текущими с одинаковой скоростью (Λi = Λo = 0). Из представленных в табл. 3 результатов следует, что при совместном течении обоих потоков с одинаковой скоростью любая комбинация граничных условий, за исключением CF-CF, обеспечивает снижение устойчивости а б Рис. 2. Зависимость действительных (а) и мнимых (б) частей безразмерных собственных значений Ωo от безразмерной скорости течения жидкости Λo для коаксиальных оболочек с граничными условиями CC-CF (k = 1/20, j = 5) 98 ГУi j 1/2 Граничные условия, заданные на торцах внешней оболочки ГУo CC CF SS k 1/10 1/20 1/2 1/10 1/20 1/2 1/10 1/20 CC 1 2 3 4 5 33,720 17,735 16,836 18,555 20,826 17,960 10,359 8,112 9,119 10,554 12,998 7,587 5,876 6,610 7,635 56,758 25,048∗ 25,089∗ 21,435∗ 26,191∗ 37,635 21,236∗ 8,369 19,269∗ 10,560 27,538 20,177∗ 6,147 11,882∗ 14,042∗ 27,159 13,903 13,463 16,847 19,825 13,915 7,393 6,834 8,578 10,362 10,017 5,340 4,917 6,188 7,472 CF 1 2 3 4 5 62,530∗ 25,391∗ 19,785∗ 29,043 20,834 37,616∗ 23,292∗ 13,379∗ 19,438∗ 13,715∗ 27,533∗ 20,154∗ 6,591∗ 6,026∗ 9,678∗ 63,150∗ 63,701 51,827∗ 49,786∗ 47,693∗ 37,770∗ 38,335∗ 38,849 39,568 40,270∗ 27,925∗ 28,589∗ 28,962 29,499 30,188 22,441∗ 20,701∗ 13,524 16,455∗ 19,804 9,990∗ 9,809∗ 6,720∗ 9,757∗ 12,900∗ 5,606∗ 4,821∗ 3,954∗ 9,017∗ 9,612∗ SS 1 2 3 4 5 21,976 11,280 14,969 18,109 20,723 13,279 6,871 7,041 8,655 10,413 9,782 5,139 4,973 6,201 7,482 42,569∗ 13,033 14,675∗ 13,883∗ 15,036∗ 37,627∗ 15,125∗ 8,029∗ 9,707∗ 10,881∗ 28,124∗ 14,495∗ 10,119∗ 8,959∗ 10,235∗ 20,042 10,370 13,328 16,792 19,807 11,342 5,730 5,996 7,974 10,019 8,272 4,197 4,227 5,688 7,172 ∗ ∗ ∗ Исследование влияния граничных условий на устойчивость . . . Таблица 3 Безразмерные критические скорости совместного течения внутреннего и кольцевого потоков жидкости Λ · 103 = Λi = Λo для коаксиальных оболочек с различными вариантами граничных условий 99 Б о ч к а р е в С. А., Л е к о м ц е в С. В. системы коаксиальных оболочек по сравнению с вариантами, когда каждый из потоков течет по отдельности. Кроме этого, при таком виде течения потоков не существует комбинации граничных условий, обеспечивающих системе только флаттерный вид потери устойчивости. Заключение. Для исследования динамического поведения круговых коаксиальных оболочек вращения, взаимодействующих со сжимаемым потоком жидкости, который течет во внутренней оболочке, либо в кольцевом зазоре между оболочками, или в случае совместного течения потоков рассмотрена математическая постановка задачи и конечно-элементный алгоритм ее численной реализации. Полученные результаты сопоставимы с известными численно-аналитическими решениями для оболочек с различными граничными условиями. Представлены результаты численных экспериментов, выполненных для коаксиальных оболочек с различными комбинациями граничных условий при разных значениях кольцевого зазора между оболочками. Установлено, что для рассмотренных конфигураций наибольшее влияние как на критические скорости потери устойчивости, так и на вид потери устойчивости оказывают граничные условия консольного закрепления.

About the authors

Sergey A Bochkarev

Institute of Continuous Media Mechanics, Ural Branch of RAS

Email: bochkarev@icmm.ru
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Research Scientist, Div. of complex problems of deformable bodies mechanics 1, Acad. Korolev st., Perm, 614013, Russia

Sergey V Lekomtsev

Institute of Continuous Media Mechanics, Ural Branch of RAS

Email: lekomtsev@icmm.ru
Postgraduate student, Div. of complex problems of deformable bodies mechanics 1, Acad. Korolev st., Perm, 614013, Russia

References

Supplementary files