Parametrical identification of the mathematical model in the form of fraction-rational dependencies on the basis of difference equations

Full Text

Проблема параметрической идентификации математических моделей, описывающих динамические процессы различной физической природы в форме дробно-рациональных зависимостей, является одной из важнейших проблем в математическом моделировании. Исследование динамических процессов в форме дробно-рациональных функциональных зависимостей, которые являются точным или приближенным решением нелинейных дифференциальных уравнений, широко применяется в практике научно-технического и промышленного эксперимента. Например, в машиностроении для описания затухания амплитуды колебаний диссипативной механической системы обычно используется нелинейная функциональная зависимость вида [1] a(t) = a0 1 + (n − 1) δ0 t T 1−n , которая может быть аппроксимирована более простой дробно-рациональной функцией [2]: n δ0 t 2 −1 δ0 t , (1) + 1− a(t) = a0 1 + ˜ T 2 T где a0 — начальная амплитуда колебаний; δ0 и T — декремент и период колебаний; n — характеристика нелинейности диссипативной силы. В частности, при турбулентном трении (n = 2) формула (1) задаёт гиперболическую зависимость [1, 2]: δ0 t −1 . a(t) = a0 1 + T 102 Параметрическая идентификация математических моделей . . . Другим примером математического описания исследуемого объекта дробно-рациональными зависимостями является гиперболическая зависимость квадрата амплитуды a(ω) вынужденных колебаний линейной диссипативной системы от частоты возбуждения [3, 4]: a2 (ω) = 2 4 P0 ω0 , 2 (ω0 − ω 2 )2 + 4h2 ω 2 (2) где P0 — амплитуда гармонического возбуждения; ω0 — собственная (резонансная) частота системы; h — коэффициент демпфирования. Известны методы оценивания параметров дробно-рациональных зависимостей вида (1) или (2), например, метод определения параметров характеристики сопротивления по огибающей экспериментальной виброграммы [1], метод «затухающих колебаний» [1, 5], метод «кривой резонанса» [1, 5], обладающие рядом существенных недостатков, к которым можно отнести, вопервых, линеаризацию (упрощение) математической модели в той или иной форме, во-вторых, принципиальную невозможность применения статистических методов оценивания при обработке результатов измерений и, в-третьих, использование, как правило, громоздких промежуточных графических построений без какой-либо ориентации на применение современных средств вычислений и обработки информации. Вследствие этого эти методы обладают невысокими точностью и помехозащищенностью. Одним из эффективных путей решения этой проблемы является применение численного метода, в основе которого лежат линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты наблюдений [2]. Параметрическая идентификация нелинейных функциональных зависимостей производится на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов обобщённой регрессионной модели, которые известным образом связаны с параметрами дробно-рациональных функций. В основе параметрической идентификации с использованием численного метода лежит вычисление таких оценок параметров математической модели, которые минимизируют величину её отклонения от результатов наблюдений по евклидовой норме в N -мерном арифметическом пространстве: N −1 y−y ˆ 2 (yk − yk )2 → min, ˆ = (3) k=0 где yk — результаты наблюдений; yk — результаты вычислений на основе поˆ строенной математической модели. Численный метод определения параметров дробно-рациональных зависимостей на основе разностных уравнений включает следующие основные этапы: – формирование выборки результатов наблюдений yk (k = 0, 1, 2, ..., N − 1) с периодом дискретизации τ , где N — объём выборки; – построение разностных уравнений, рекуррентно описывающих дискретные значения дробно-рациональной функции; – построение разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений и формирование на их основе обобщенной регрессионной модели; 103 З о т е е в В. Е., Р о м а н ю к М. А. – среднеквадратичное оценивание коэффициентов разностного уравнения; – вычисление оценок параметров математической модели в форме дробно-рациональной зависимости; – оценка погрешности результатов вычислений. Рассмотрим применение численного метода на основе разностных уравнений в задаче параметрической идентификации математических моделей, описываемых дробно-рациональными функциями вида c0 , 1 + c1 t c0 y(t) = ˆ , 1 + c1 t + c2 t2 c0 + c1 t . y(t) = ˆ 1 + c2 t + c3 t2 (4) y(t) = ˆ (5) (6) Полагая в равенствах (4)–(6) t = tk = τ k, где τ — период дискретизации, k = 0, 1, 2, 3, . . ., получаем уравнения, описывающие последовательности дискретных значений дробно-рациональных зависимостей: yk = ˆ c0 , 1 + c1 τ k yk = ˆ c0 , 1 + c1 τ k + c2 τ 2 k2 yk = ˆ c0 + c1 τ k . 1 + c2 τ k + c3 τ 2 k2 Рассмотрим построение разностного уравнения, рекуррентно описывающего последовательность дискретных значений дробно-рациональной зависимости (4). Очевидно, что имеет место равенство yk = λ1 + λ2 kˆk , ˆ y где λ1 = c0 и λ2 = −c1 τ . В то же время справедливо соотношение yk−1 = λ1 + λ2 (k − 1)ˆk−1 . ˆ y Отсюда для значений k = 1, 2, 3, . . . получаем разностное уравнение вида yk − yk−1 = λ2 [kˆk − (k − 1)ˆk−1 ], ˆ ˆ y y которое можно дополнить равенством y0 = c0 = λ1 . Аналогично формируˆ ются разностные уравнения, рекуррентно описывающие последовательности дискретных значений дробно-рациональных зависимостей (5) и (6):  ˆ  y 0 = λ1 , yk − yk−1 = λ2 [kˆk − (k − 1)ˆk−1 ] + λ3 [k2 yk − (k − 1)2 yk−1 ], ˆ ˆ y y ˆ ˆ  k = 1, 2, 3, . . . , где λ1 = c0 , λ2 = −c1 τ , λ3 = −c2 τ 2 ;  ˆ  y0 = λ1 , yk − yk−1 = λ2 + λ3 [kˆk − (k − 1)ˆk−1 ] + λ4 [k2 yk − (k − 1)2 yk−1 ], ˆ ˆ y y ˆ ˆ  k = 1, 2, 3, . . . , 104 Параметрическая идентификация математических моделей . . . где λ1 = c0 , λ2 = c1 τ , λ3 = −c2 τ , λ4 = −c3 τ 2 . Представленные выше соотношения лежат в основе построения стохастических разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений yk (k = 0, 1, 2, . . . , N − 1) при исследовании математических моделей процессов в форме дробно-рациональных зависимостей. Результаты эксперимента yk могут быть представлены в виде yk = yk + εk , ˆ (7) где величина εk характеризует отклонение результата измерений yk от дискретного значения дробно-рациональной функции yk , используемой в качеˆ стве математической модели исследуемого процесса. Относительно характера величины εk (вообще говоря, случайной) пока никаких суждений делать не будем, что позволит существенно расширить область применения численного метода. С учётом соотношения (7) полученные выше формулы запишем так:  y0 = λ1 + ε0 ,   y − y k k−1 = λ2 [kyk − (k − 1)yk−1 ] + ηk+1 , (8) ηk+1 = [λ2 (k − 1) − 1]εk−1 + (1 − λ2 k)εk ,    k = 1, 2, . . . , N − 1;  y0 = λ1 + ε0 ,   y − y 2 2 k k−1 = λ2 [kyk − (k − 1)yk−1 ] + λ3 [k yk − (k − 1) yk−1 ] + ηk+1 , (9) 2 2  ηk+1 = [λ2 (k − 1) + λ3 (k − 1) − 1]εk−1 + (1 − λ2 k − λ3 k )εk ,   k = 1, 2, . . . , N − 1;  y0 = λ1 + ε0 ,   y −y =λ +λ [ky − (k − 1)y ] + λ [k2 y − (k − 1)2 y ] + η , 2 3 4 k k−1 k k−1 k k−1 k+1 (10) ηk+1 = [λ3 (k − 1) + λ4 (k − 1)2 − 1]εk−1 + (1 − λ3 k − λ4 k2 )εk ,    k = 1, 2, . . . , N − 1. Построенные разностные уравнения (8)–(10) в матричной форме принимают вид обобщённой регрессионной модели: b = F λ + η; η = Pλ ε. (11) Для дробно-рациональной зависимости (4) переопределённая система линейных алгебраических уравнений b = F λ описывается следующими соотношениями: λ = (λ1 , λ2 ) — вектор коэффициентов разностного уравнения; b = (y0 , y1 − y0 , y2 − y1 , . . . , yN −1 − yN −2 ) — N -мерный вектор правой части системы;   1 0 0 y1    2y2 − y1 0  F =  . .  . . . . 0 (N − 1)yN −1 − (N − 2)yN −2 105 З о т е е в В. Е., Р о м а н ю к М. А. — (N × 2)-матрица регрессоров. Для дробно-рациональной зависимости (5) имеем λ = (λ1 , λ2 , λ3 ) , b = (y0 , y1 − y0 , y2 − y1 , . . . , yN −1 − yN −2 ) ,   1 0 0 y1 y1 0  0  4y2 − y1 2y2 − y1  , F =  . . . .  . . . . . 0 (N − 1)yN −1 − (N − 2)yN −2 (N − 1)2 yN −1 − (N − 2)2 yN −2 а для зависимости (6) — λ = (λ1 , λ2 , λ3 , λ4 ) , b = (y0 , y1 − y0 , y2 − y1 , . . . , yN −1 − yN −2 ) ,   1 0 0 0 y1 y1  0 1  0 1 2y2 − y1 4y2 − y1 .  F =  . . . .  . . . . . . . . 0 1 (N − 1)yN −1 − (N − 2)yN −2 (N − 1)2 yN −1 − (N − 2)2 yN −2 Вектор η = (η1 , η2 , . . . , ηN ) , описывающий эквивалентное возмущение в обобщённой регрессионной модели b = F λ + η, есть линейное преобразование вектора остатков ε = (ε0 , ε1 , . . . , εN −1 ) . Элементы матриц Pλ = {pij } (i, j = 1, 2, 3, . . . , N ) линейного преобразования вектора остатков для дробнорациональных зависимостей (6)–(9) соответственно описываются следующими формулами:  1, i = j = 1;   1 − λ (i − 1), 2 i = j; 2 pij = λ2 (i − 2) − 1, i = j + 1;   0, i < j, i > j + 1;  1, i = j = 1;   1 − λ (i − 1) − λ (i − 1)2 , 2 i = j; 2 3 pij = λ2 (i − 2) + λ3 (i − 2)2 − 1, i = j + 1;   0, i < j, i > j + 1;  1, i = j = 1;   1 − λ (i − 1) − λ (i − 1)2 , 2 i = j; 3 4 pij = 2  λ3 (i − 2) + λ4 (i − 2) − 1, i = j + 1;  0, i < j, i > j + 1. В рассматриваемом численном методе вычисление коэффициентов разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений, сводится к решению регрессионной задачи (11): нахождению среднеквадратичных оценок, минимизирующих функционал (3): y − y 2 = ε 2 → min. При решении ˆ регрессионной задачи применяется итерационная процедура уточнения среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения [2], которая включает следующие основные шаги: 106 Параметрическая идентификация математических моделей . . . ˆ 1) вычисление первоначальной оценки λ(0) вектора коэффициентов регрессионной модели; 2) вычисление элементов матрицы Pλ линейного преобразования вектора остатков; 3) преобразование обобщенной регрессионной модели к виду −1 −1 Pˆ (i) b = Pˆ (i) F λ + ε(i) , ˆ λ λ −1 где ε(i) = Pˆ (i) η, i = 0, 1, 2, 3, . . . — номер итерации; ˆ λ 4) решение линейной регрессионной задачи ε(i) ˆ 2 −1 −1 ˆ = Pˆ (i) b − Pˆ (i) F λ(i+1) λ 2 λ → min, которое приводит к новой уточненной среднеквадратичной оценке вектора регрессионных коэффициентов: ˆ λ(i+1) = (F Ω−1 F )−1 F Ω−1 b, ˆ (i) ˆ (i) λ λ где Ωλ(i) = Pλ(i) Pλ(i) ; ˆ ˆ ˆ 5) сравнение двух последовательных приближений вектора оценок коэффициентов разностного уравнения: ˆ ˆ |λ(i+1) − λ(i) | 0,001. Если данное условие выполняется, то итерационная процедура уточнения среднеквадратичных оценок завершается; в противном случае следует перейти ко второму шагу. ˆ ˆ Очевидно, что при сходимости итерационной процедуры (limi→∞ λ(i) = λ) −1 (i) = ε, и, следовательно, выполняется равенство Pˆ η = ε, то есть limi→∞ ε ˆ λ ˆ вектор λ оценок регрессионных коэффициентов обеспечивает минимум остаточной суммы квадратов: N −1 ˆ λ = arg min ˆ λ(i) k=0 (yk − yk )2 . ˆ Проблема сходимости итерационной процедуры уточнения среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения исследована в [2, 7]: сформулированы достаточные условия сходимости; получена формула апостериорной оценки погрешности; сформулированы ограничения на величину случайной помехи, обеспечивающие достаточное условие сходимости; построена формула априорной оценки погрешности, позволяющая оценить число итераций, необходимое для достижения заданной точности. ˆ Начальное приближение λ(0) вектора коэффициентов регрессионной модели может быть получено из условия минимизация функционала невязки [2] η 2 ˆ = b − Fλ 2 → min . 107 З о т е е в В. Е., Р о м а н ю к М. А. В этом случае первоначальная оценка вычисляется по формуле ˆ λ(0) = (F F )−1 F b. Однако при большом разбросе экспериментальных данных итерационная процедура, использующая эту оценку, не всегда обеспечивает минимум остаточˆ ной суммы квадратов. Другой подход к выбору начального приближения λ(0) заключается в решении интерполяционной задачи: вычислению коэффициентов разностного уравнения из условия совпадения значений дробно-рациональной функции с результатами наблюдений в нескольких специальным образом выбранных точках эксперимента. Например, рассмотрим выбор наˆ чального приближения λ(0) в задаче параметрической идентификации дробно-рациональной зависимости (5), для которой система разностных уравнений (9) содержит три коэффициента λ1 , λ2 и λ3 . Потребуем, чтобы значения дискретной функции yk = ˆ c0 λ1 = 1 + c1 τ k + c2 τ 2 k2 1 − λ2 k − λ3 k 2 ˆ (0) ˆ (0) ˆ (0) при λ1 = λ1 , λ2 = λ2 и λ3 = λ3 совпадали с результатами наблюдений yk в трёх различных точках, соответствующих k = 0, k = m = [N/2] и k = = N − 1, где [x] — целая часть числа x: y0 = y0 , ym = ym и yN −1 = yN −1 . ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (0) , ym = ym = λ(0) + mym λ(0) + m2 ym λ(0) и В результате получаем y0 = y0 = λ1 ˆ ˆ 3 2 0 (0) (0) (0) ˆ ˆ ˆ + (N − 1)yN −1 λ + (N − 1)2 yN −1 λ . Отсюда начальное yN −1 = yN −1 = λ0 ˆ 3 2 ˆ ˆ ˆ 0 = (λ(0) , λ(0) , λ(0) ) вычисляется по формулам ˆ приближение λ 3 2 1 ˆ (0) λ1 = y 0 , ˆ (0) λ2 = ˆ (0) λ3 = (1 − (1 − y0 2 yN−1 )m − (1 − y0 ym )(N m(N − 1)(m − N + 1) y0 ym )(N − 1) − (1 − y0 yN−1 )m m(N − 1)(m − N + 1) − 1)2 , . Аналогично формируется вектор первоначальных оценок коэффициентов разностного уравнения для дробно-рациональных функций (4) и (6). Проведённые численно-аналитические исследования показали высокую эффективность выбора первоначальных оценок вектора коэффициентов разностного уравнения на основе вычисления параметров интерполирующей функции. При вычислении оценок параметров математической модели в форме дробˆ но-рациональной зависимости можно воспользоваться формулами c0 = λ1 , ˆ ˆ 2 /τ для зависимости (4), формулами c0 = λ1 , c1 = −λ2 /τ , c2 = ˆ ˆ ˆ c1 = −λ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = −λ3 /τ 2 для зависимости (5) или формулами c0 = λ1 , c1 = λ2 /τ , c2 = −λ3 /τ , ˆ c3 = −λ4 /τ 2 для зависимости (6). ˆ Для оценки погрешности результатов вычислений можно воспользоваться методикой, описанной в [2]. В основе этой методики лежит предположение, что разброс результатов наблюдений yk относительно математической модели в каждой точке эксперимента описывается независимой случайной 108 Параметрическая идентификация математических моделей . . . величиной, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием. Обычно в практике эксперимента это требование выполняется. В этом случае за оценку предельной абсолютной погрешности вычисления параметра ci можно принять (с доверительной вероятностью 1 − α) величину ˆ ∆ci = tα s[ˆi ], где значение tα = t(α, ν) берётся из таблицы распределения c Стьюдента при числе степеней свободы ν = N − n и уровне значимости α; s[ˆi ] — оценка среднеквадратического отклонения параметра ci . Так как оценc ˆ ка любого из параметров ci дробно-рациональных функций (4)–(6) пропорциˆ ˆ ональна оценке λj какого-либо коэффициента разностного уравнения, имеет место равенство ˆ ci = |k|s[λj ], ˆ ˆ где k — коэффициент пропорциональности; s[λj ] — оценка среднеквадратического отклонения соответствующего коэффициента разностного уравнения. ˆ Для вычисления оценки дисперсии коэффициента λj разностного уравнения можно воспользоваться формулой ˆ s2 [λj ] = gjj s2 , ост в которой gjj — диагональный элемент матрицы G = (F Ωλ F )−1 , где ˆ Ωλ = Pλ Pλ , ˆ ˆ ˆ s2 = ост 1 N −n N −1 (yk − yk )2 , ˆ k=0 n — число параметров в модели [2]. На основе компьютерного моделирования проведены численно-аналитические исследования эффективности описанного численного метода определения параметров математических моделей в форме дробно-рациональных зависимостей. Целью исследований являлся анализ зависимостей погрешности δci вычисления каждого из параметров дробно-рациональной функции (4)–(6) от величины случайной помехи ε в результатах наблюдений, а также степени адекватности s построенной математической модели истинной функциональной зависимости. Для этого формироваТаблица 1 лась выборка из N = 50 Значения параметров дробно-рациональных зависимозначений yk дробно-рацио- стей, используемые при компьютерном моделировании ˜ Зависи- Период диск- Параметры зависимости нальной зависимости с перимость ретизации, τ c0 ˜ c1 ˜ c2 ˜ c3 ˜ одом дискретизации τ и параметрами ci , значения кото(4) 0,4 1,0 0,5 — — (5) 0,1 1,0 1,0 1,0 — рых представлены в табл. 1. 0,1 1,0 −0,5 0,1 1,0 (6) К смоделированным таким образом дискретным значениям yk добавлялась случайная помеха εk , величина которой ε изменялась ˜ от 0 до 10 %: N −1 ε= k=0 1/2 N −1 ε2 k yk ˜2 · 100 %. k=0 С целью статистической обработки результатов исследований в каждой точке численного эксперимента (при одной и той же величине ε случайной помехи) 109 З о т е е в В. Е., Р о м а н ю к М. А. вычисление оценки параметров дробно-рациональной зависимости повторялось M = 100 раз. Для оценки погрешности вычисления параметра ci исˆ пользовалась величина M [(ˆi − ci )2 ] · |˜i |−1 · 100 %, c ˜ c δci = где второй центральный момент относительно истинного значения параметра ci вычислялся по формуле M [(ˆi − ci )2 ] = c ˜ 1 M M (ˆij − ci )2 . c ˜ j=1 Для анализа адекватности построенной математической модели истинной дробно-рациональной зависимости использовалась величина N −1 yk ˜2 (˜k − yk ) y ˆ s= 1/2 N −1 2 k=0 · 100 %. k=0 Результаты вычислений погрешности оценок параметров δci и адекватности построенной модели s представлены в табл. 2. Полученные результаты численно-аналитических исследований позволяют сделать вывод о высокой эффективности численного метода параметрической идентификации дробно-рациональных зависимостей на основе разностных уравнений. Представленные в табл. 2 результаты показывают, что построенные математические модели даже при высоком уровне помехи в результатах наблюдений адекватно описывают исходные дробно-рациональные Таблица 2 Погрешности вычисления параметров δci дробно-рациональных функций и величины s в зависимости от величины случайной помехи ε в результатах наблюдений Зависимость (4) ε, % δc0 , % δc1 , % s, % 0 0,0 0,0 0,0 1 0,2 0,4 0,1 2 0,5 0,9 0,3 3 0,9 1,7 0,5 4 1,1 2,2 0,6 5 1,6 3,3 0,9 6 1,9 3,8 1,1 7 2,3 4,9 1,4 8 3,1 6,8 2,0 9 3,8 8,3 2,4 10 4,1 9,2 2,7 7 2,0 12,2 12,0 2,0 8 2,7 13,2 14,4 2,7 9 3,1 15,7 18,4 3,3 10 3,3 15,0 21,0 3,7 7 2,3 2,6 77,8 15,1 2,7 8 2,1 3,2 121,6 22,5 3,6 9 2,5 3,7 197,9 28,4 4,2 10 1,9 3,8 176,2 30,1 4,6 Зависимость (5) ε, % δc0 , % δc1 , % δc2 , % s, % 0 0,0 0,0 0,0 0,0 1 0,3 1,8 1,0 0,2 2 0,5 2,9 1,9 0,4 3 0,9 5,0 3,4 0,7 ε, % δc0 , % δc1 , % δc2 , % δc3 , % s, % 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1 0,2 0,2 18,7 1,5 0,2 2 0,4 0,6 31,6 3,3 0,5 3 0,7 0,8 53,5 4,7 0,8 4 1,1 6,6 5,0 0,9 5 1,5 7,7 6,6 1,3 6 1,6 10,0 9,4 1,6 Зависимость (6) 110 4 1,3 1,2 73,0 7,9 1,2 5 0,9 1,4 75,2 9,2 1,5 6 1,5 1,5 106,2 13,4 2,0 Параметрическая идентификация математических моделей . . . зависимости. Однако для дробно-рациональной зависимости (6) погрешность вычисления параметра c2 при больших ε достаточно велика. Это можно объˆ яснить некоторой неустойчивостью самой (обратной) задачи: при существенных различиях в параметрах (176,2 %) сама зависимость практически не изменяется (4,6 %). Проведён сравнительный анализ известного метода определения параметров характеристики сопротивления по огибающей экспериментальной виброграммы [1] и численного метода на основе разностных уравнений. Так как огибающая амплитуд колебаний нелинейной диссипативной механической системы описывается дробно-рациональной зависимостью (1) [1, 2], в численном методе использовалась система разностных уравнений (9). В качестве результатов наблюдений были взяты данные эксперимента, приведенные в [1]. Результаты N = 10 измерений ak амплитуды колебаний с шагом τ , равным периоду колебаний T = 0,15 c, представлены во второй строке табл. 3. Таблица 3 Экспериментальные и расчётные значения амплитуд колебаний k ak (1) ak ˆ (2) ak ˆ 0 10,00 10,00 10,00 1 6,84 6,92 6,84 2 5,05 5,12 5,05 3 3,92 3,97 3,92 4 3,14 3,18 3,14 5 2,58 2,61 2,59 6 2,17 2,19 2,17 7 1,85 1,87 1,85 8 1,60 1,62 1,60 9 1,40 1,42 1,40 s, % – 0,89, % 0,06, % (1) В третьей строке табл. 3 приведены значения ak огибающей амплитуд ˆ колебаний, вычисленные известным методом определения параметров характеристики сопротивления по огибающей экспериментальной виброграммы [1], (2) а в последней строке — значения ak огибающей амплитуд колебаний, вычисˆ ленные численным методом на основе разностных уравнений. В последнем столбце табл. 3 приведены значения величины s для моделей, построенных по экспериментальным данным: 9 s= (ak − k=0 (i) ak )2 ˆ 1/2 9 a2 k · 100 %. k=0 Очевидно, что применение численного метода позволяет более чем на порядок повысить адекватность математической модели по сравнению с известным методом. Аналогичный вывод можно сделать и при сравнительном анализе известного метода «кривой резонанса» [1] и численного метода на основе разностных уравнений, использующего математическую модель амплитудно-частотной характеристики диссипативной механической системы в форме (2). В [4] представлены результаты такого анализа, подтверждающие высокую эффективность рассматриваемого численного метода. Таким образом, разработан эффективный численный метод определения параметров математических моделей в форме дробно-рациональных функций, в основе которого лежит среднеквадратичное оценивание коэффициентов разностного уравнения, описывающего результаты наблюдений. Этот метод может быть применен в задачах параметрической идентификации объектов, систем или процессов различной физической природы. 111

About the authors

Vladimir E Zoteev

Samara State Technical University

Email: zoteev-ve@mail.ru
(Dr. Sci. (Techn.)), Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

Mariya A Romanyuk

Samara State Technical University

Email: zausmasha@mail.ru
Assistant, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files