The eigenfunctions of curl, gradient of divergence and stokes operators. Applications

Full Text

Работа посвящается Василию Сергеевичу Владимирову. Структура работы. 1. Постановка спектральной задачи для ротора и её приложения. 2. Свойства оператора rot +λI при λ = 0, сведение спектральной задачи для ротора в шаре к задаче Дирихле для оператора Лапласа. 3. Решение спектральной задачи Дирихле. 4. Формулы для ненулевых собственных значений ±λn,m и собственных функций q± (x) для ротора в шаре. n,m,k 5. Спектральная задача 3 для градиента дивергенции и задача Неймана для оператора Лапласа. 6. Решение спектральной задачи Неймана для оператора Лапласа. 7. Формулы для собственных функций qn,m,k (x) градиента дивергенции и ротора при λ = 0 в шаре. 8. Пространство L2 (B) и собственные функции ротора в шаре. 9. Связь между решениями спектральных задач для операторов Стокса и ротора. 10. Формулы для собственных функций оператора Стокса в шаре с граничным условием Дирихле. 11. Ряды Фурье операторов ротора и Стокса. 1.1. Постановка задачи 1. Пусть B — шар |x| < R в R3 с границей S, n — внешняя нормаль к S, n · u — проекция вектора u на n. Задача 1. Найти собственные числа λ и вектор-функции u(x) ротора в L2 (B) такие, что rot u = λu, x ∈ B, n·u S = 0, (1) 131 Р. С. С а к с К области определения MR оператора R задачи 1 отнесём вектор-функции u(x) класса C 2 (B) ∩ C(B), которые удовлетворяют граничному условию и условию rot u ∈ L2 (B). Пары (λ, u) являются решением задачи 1. 1.2. О приложениях и краевых задачах для ротора. Собственные функции задачи 1 имеют приложения в гидродинамике [1], где они называются полями Бельтрами; в небесной механике и в физике плазмы они называются бессиловыми полями (см. [2–6]). По теории J. B. Taylor’a [3], последнее перед распадом устойчивое равновесие в токамаках плазма принимает на бессиловых полях rot u = λu. Согласно работе S. Chandrasekhar’a [2], магнитное поле H вне фотосферы звезды таково, что сила Лоренца L, пропорциональная векторному произведению [rot H, H], исчезает. По теореме В. И. Арнольда [7], почти все линии тока течений идеальной жидкости наматываются либо на цилиндры, либо на торы. При этом условие [rot v, v] = 0 исключается из рассмотрения. Стационарные течения вязкой несжимаемой жидкости со скоростью v(x), которая удовлетворяет уравнению (1), очевидно, удовлетворяют этому соотношению. Ссылаясь на вычисления M. Henon’а [8], Арнольд пишет, что такие течения «могут иметь линии тока с весьма сложной топологией, характерной для задач небесной механики». Автор настоящей статьи изучал краевые задачи для системы (2) rot u + λu = f в ограниченной области G с гладкой границей Γ и доказал [9], что при любых λ = 0 система имеет нетерово разрешимые краевые задачи. В частности, в [10] таковой является задача n · u|Γ = g. (3) Указанная система (2), а также система div u + λu = f при λ=0 принадлежат классу систем, (обобщённо) эллиптических по Вайнбергу и Грушину [11]. Автор разрабатывал для них теорию краевых задач. Автор настоящей работы опубликовал работу [12], когда узнал о приложениях задачи 1 и работе S. Chandrasekhar’a и P. S. Kendall’a [13], предложивших другой подход к решению спектральной задачи 1 в шаре и в цилиндре. Метод S. Chandrasekhar’a и P. S. Kendall’a [13] в шаре не проходит, а в цилиндре он был реализован в работе D. Montgomery, L. Turner, G. Vahala [14], которые использовали собственные функции ротора при изучении турбулентности в плазме. Самосопряжённые расширения оператора задачи 1 изучали П. Е. Берхин [15], Y. Giga, Z. Yoshida [16] и R. Picard [17]. В 2003 году О. А. Ладыженская рассматривала задачу «О построении базисов в пространствах соленоидальных векторных полей» [18] и интересовалась возможностью вычисления собственных функций оператора Стокса в областях простейших форм (куб, шар и др.) в явном виде. Оказалось [19], что в периодическом случае собственные вектор-функции (vk , pk ) оператора Стокса таковы, что pk = const, а вектор-функции vk совпадают с собственными функциями ротора u± при k = 0 и uj при k = 0. 0 k 132 Собственные функции операторов ротора, градиента дивергенции и Стокса. Приложения На их основе были построены глобальные решения уравнений Навье— Стокса в равномерно вращающемся пространстве [20] и найдены уравнения, которые описывают взаимодействие базисных вихревых потоков [21]. Позднее [22] удалось вычислить собственные функции (vn , pn ) оператора Стокса в шаре с условием vn S = 0. В этом случае pn = const и каждая собственная вектор-функция vn оператора Стокса есть сумма u+ + u− собственn n ных вектор-функций ротора u± с одинаковыми по абсолютной величине, но n разными по знаку собственными значениями такими, что (u+ + u− ) S = 0. n n Так был найден другой подход к решению задачи о построении базисов в пространствах соленоидальных векторных полей, который мы здесь излагаем. 2.1. Свойства оператора rot +λI при λ = 0. Так как div rot u ≡ 0 для любой гладкой вектор-функции u, оператор rot +λI не является эллиптическим. Однако из уравнения rot u + λu = 0 при λ = 0 следует уравнение div u = 0. Значит, u(x) — решение эллиптической системы rot u − λu = 0, (4) div u = 0. Такой оператор rot +λI назовём обобщённо эллиптическим по Вайнбергу и Грушину [11]. Из соотношения (rot +λI)(rot −λI)u = −∆u + div u − λ2 u видно, что решение u ∈ C 2 (B) уравнения (1) при λ = 0 также является решением эллиптической системы второго порядка: −∆u = λ2 u, (5) div u = 0. Кроме того, любому решению u задачи (2),(3) соответствует решение (u, q) эллиптической краевой задачи rot u + λu + q = f, λ div u = div f , n · u|Γ = g, q|Γ = 0 (6) с компонентой q = 0 в G и обратно. Согласно теории эллиптических краевых задач, в применении к задаче (6) в ограниченной области G с гладкой границей Γ имеет место [16, 23, 26, 27] следующая оценка нормы u s+1 вектор-функции u в пространстве Соболева Hs+1 (G): Cs u s+1 rot u s + div u s + |n · u|s+1/2 + u s , где Cs — положительная постоянная, n·u — след на Γ нормальной компоненты u, а |n · u|s+1/2 — его норма в H s+1/2 (Γ), s 0. Отсюда при λ = 0 имеют место следующие утверждения: a) число линейно независимых решений задачи 1 конечно; b) любое (обобщённое) решение задачи бесконечно дифференцируемо вплоть до границы, если граница области бесконечно дифференцируема. 2.2. Сведение спектральной задачи 1 в шаре к задаче Дирихле для оператора Лапласа. Оказалось, что скалярное произведение x·u любой собственной 133 Р. С. С а к с функции ротора u(x) в шаре с ненулевым собственным значением λ является собственной функцией скалярного оператора Лапласа с условием Дирихле. Мы приходим к следующей спектральной задаче. Задача 2. Найти собственные значения µ и собственные функции v(x) оператора Лапласа −∆ такие, что −∆v = µv в B, v S = 0, v(0) = 0. К области определения ML , оператора L задачи 2 относят [24] функции v(x) класса C 2 (B) ∩ C(B), которые удовлетворяют граничному условию и условиям v(0) = 0 и ∆v ∈ L2 (B). Лемма 1. Если (λ, u(x)) есть решение задачи 1, то (λ2 , x · u) — решение задачи 2. Действительно, −∆ v = −x · ∆u − 2 div u = λ2 v, v|S = Rur |r=R = 0, v(0) = = rur |r=0 = 0, так как вектор u ограничен в окрестности нуля. 3. Решение спектральной задачи 2. Рассмотрим функции ψn (z) ≡ π J 1 (z) = 2z n+ 2 π 2 ∞ (−1)p p!Γ n + 1 + p + p=0 z 2 1 2 n+2p , n 0. (7) Л. Эйлер показал, что n ψn (z) = (−z) d zdz n sin z z (8) . Следовательно, ψn (−z) = (−1)n ψn (z), и нули функции ψn (z) лежат на действительной оси и симметричны относительно точки z = 0. Пусть ρn,m — её положительные нули, ψn (±ρn,m ) = 0, n 0, m (9) 1, k а Yn (θ, ϕ) — вещественные сферические функции: k Yn (θ, ϕ) = k если k ∈ [0, n]; Pn (cos θ) cos(kϕ), |k| Pn (cos θ) sin(|k|ϕ), если k ∈ [−n, −1], k где Pn (cos θ) — присоединённые функции Лежандра; r, θ, ϕ — сферические координаты (0 < r R, 0 θ π, 0 ϕ 2π). Согласно монографии В. С. Владимирова [24], собственные значения µn,m оператора −∆ в шаре B с граничным условием Дирихле равны λ2 , где n,m λn,m = (ρn,m )/R, а числа ρn,m — нули функций ψn (z). Собственные функции vκ имеют вид k vκ (r, θ, ϕ) = cκ ψn (λn,m r)Yn (θ, ϕ), n 0, |k| n, m где κ = (n, m, k) — мультииндекс, постоянные cκ произвольны. 134 1, Собственные функции операторов ротора, градиента дивергенции и Стокса. Приложения Причём функции vκ (r, θ, ϕ) удовлетворяют условию задачи 2, vκ |r=0 = 0, если и только если cκ = 0, когда κ = (0, m, 0). k По определению сферических функций произведение r n Yn (θ, ϕ) является однородным гармоническим полиномом от xj степени n. Из формул (7), (8) видно, что функции vκ (x) ∈ C ∞ (B), так как являются произведениями однородных гармонических полиномов на функции, которые разлагаются в ряды по степеням r 2 = x2 + x2 + x2 . 3 2 1 Функции vκ при различных κ ортогональны в L2 (B) ввиду ортогональности и полноты функций Бесселя в L2 [(0, R); r] и сферических функций в L2 (S1 ). 4.1. Построение решений (± λκ , u± ) задачи 1. Имеет место следующее κ утверждение. Лемма 2. Любому решению (µκ , vκ (x)) задачи 2 соответствуют два и √ √ только два решения ( µκ , u+ ) и (− µκ , u− ) задачи 1 такие, что x · u+ = κ κ κ = x · u − = vκ . κ В основе доказательства леммы 2 лежит представление системы из четырёх уравнений rot u − λu = 0, div u = 0 в сферических координатах как системы из двух комплексных уравнений (∂r − iλ) rw = r −1 Hv, Kw = λv − ir −1 ∂r (rv) (10) относительно w = uϕ + iuθ и v = rur , где Hv = sin−1 θ∂ϕ + i∂θ v, Kw = sin−1 θ(∂θ sin θ + i∂ϕ )w. Для заданных v = vκ и λ = λκ ≡ λn,m (или λ = −λκ ) решается система (10) и + − 1 находится wκ (или wκ ) в пространстве Соболева W2 (B). Причём уравнение 2 v есть условие совместности каждой из этих двух переопределён−∆vκ = λκ κ ных систем. После чего полагается u+ = u− = (vκ )/r. κ,r κ,r ± ± Замечание. Если v = 0 в (10), то решения w0 = (c± (θ, ϕ)eiλκ r )/r с функκ циями c± (θ, ϕ), удовлетворяющими уравнению Kc± (θ, ϕ) = 0. Они принадлеκ κ 1 жат пространству W2 (B) тогда и только тогда, когда c± (θ, ϕ) ≡ 0. κ √ 4.2. Формулы для решений задачи 1. Так как µκ = λ2 , µκ = λκ = ρn,m /R. κ Теорема 1. Ненулевые собственные числа λ± задачи 1 равны ±ρn,m /R, n,m где ±ρn,m — нули функций ψn (z) и m, n ∈ N. Компоненты ur и w = uϕ + iuθ собственных функций u± имеют вид κ k (ur )± = c± r −1 ψn (λ± r)Yn (θ, ϕ), κ κ n,m (11) k (uϕ + iuθ )± = c± r −1 Φn (λ± r)HYn (θ, ϕ), κ κ n,m (12) где постоянные c± ∈ R, κ = (n, m, k), n, m κ r Φn (λr) = 1, |k| n, eiλ(r−t) ψn (λt)t−1 dt, (13) 0 135 Р. С. С а к с k k HYn = sin−1 θ∂ϕ + i∂θ Yn . (14) Функции ur , uθ , uϕ принадлежат классу C ∞ всюду в B, кроме оси x3 , где r sin θ = 0, и ограничены в B. В исходных координатах (x1 , x2 , x3 ) компоненты uj ∈ C ∞ (B). Из формулы (10) с учётом того, что v|r=R = 0, вытекает Im Φn (ρn,m ) = 0. (15) Вектор-функции u± представим в виде суммы трёх вещественных взаимκ но ортогональных векторов, используя репер ir , iθ , iϕ и разделяя действительные и мнимые части в (12)–(14): k u± = c± r −1 ψn (±ρn,m r/R)Yn (θ, ϕ)ir + κ κ k k + c± r −1 Re[Φn (±ρn,m r/R)](Re HYn iϕ + Im HYn iθ )+ κ k k + c± r −1 Im[Φn (±ρn,m r/R)](− Im HYn iϕ + Re HYn iθ ). κ Отметим, что в базисе k k k k k {Yn (θ, ϕ) ir , Re HYn iϕ + Im HYn iθ , − Im HYn iϕ + Re HYn iθ } компоненты u± зависят только от r. Используя эти формулы, можно предκ ставить движение базисного вихревого потока жидкости в шаре, скорость которого есть u± (x), при различных κ = (n, m, k). Завихрённость этих потоκ ков rot u± , равная λ± u± , отлична от нуля в каждой точке шара. n,m κ κ Итак, кратность значения λ± равна 2n + 1. Кратность нулевого собn,m ственного значения бесконечна. Следовательно, спектр задачи 1 дискретен и не имеет конечных точек накопления, а собственные вектор-функции u± κ задачи выражаются через цилиндрические и сферические функции. Собственные вектор-функции оператора ротор, отвечающие нулевому собственному значению λ = 0, ищутся среди решений следующей спектральной задачи. 5. Спектральная задача для оператора градиент дивергенции и задача Неймана для оператора Лапласа. Задача 3. Найти собственные значения µ и собственные вектор-функции u(x) в L2 (G) градиента дивергенции такие, что − div u = µu в G, n · u|Γ = 0. К области определения MGD оператора GD задачи относят все векторфункции u(x) класса C 2 (G) ∩ C 1 (G), которые удовлетворяют граничному условию n · u|Γ = 0 и условию div u ∈ L2 (G). Эта задача связана с задачей Неймана для скалярного оператора Лапласа. Задача 4. Найти собственные значения ν и собственные функции g(x) оператора Лапласа −∆ такие, что −∆g = νg 136 в G, n· g|Γ = 0. (16) Собственные функции операторов ротора, градиента дивергенции и Стокса. Приложения К области определения MN оператора N задачи относят все функции g(x) класса C 2 (G)∩C 1 (G), удовлетворяющие граничному условию n· g|Γ = 0 и условию ∆g ∈ L2 (G). Имеют место следующая лемма. Лемма 3. Любому решению (µ, u) задачи 3 в области G соответствует решение (ν, g) = (µ, div u) задачи 4. Обратно: любому решению (ν, g) задачи 4 соответствует решение (µ, u) = (ν, g) задачи 3. 6. Решение задачи 4 в шаре. Согласно В. С. Владимирову [24], собственные 2 значения оператора −∆ в шаре B с условием Неймана равны νn,m , где νn,m = = αn,m /R, n 0, m ∈ N, а числа αn,m > 0 — нули функций ψn (z), т. е. ψn (αn,m ) = 0. 2 Соответствующие νn,m собственные функции gκ имеют следующий вид: k gκ (r, θ, ϕ) = cκ ψn (αn,m r/R)Yn (θ, ϕ), (17) где κ = (n, m, k) — мультииндекс, cκ — произвольные действительные постоk 0, |k| n, янные, Yn (θ, ϕ) — действительные сферические функции, n m ∈ N. Функции gκ (x) принадлежат классу C ∞ (B) и при различных κ ортогональны в L2 (B). Нормируя их, получим систему функций {gκ } — ортонормированный в L2 (B) базис. 7. Формулы для собственных функций задачи 3 и задачи 1 (λ = 0). Согласно лемме 3, вектор-функции qκ (x) = gκ (x) являются решениями задачи 3 в L2 (B). Их компоненты (qr , qθ , qϕ ) имеют вид k qr,κ (r, θ, ϕ) = cκ (αn,m /R)ψn (αn,m r/R)Yn (θ, ϕ), k (θ, ϕ). (qϕ + iqθ )κ = cκ (1/r)ψn (αn,m r/R)HYn При κ = (0, m, 0) имеем Y00 (θ, ϕ) = 1, HY00 = 0. Поэтому qr,(0,m,0) (r) = c(0,m,0) (α0,m /R)ψ0 (α0,m r/R), (qϕ + iqθ )(0,m,0) = 0. Вектор-функции qκ являются также решениями задачи 1 при λ = 0, так 2 как числа µn,m = νn,m = (αn,m /R)2 > 0 при любых n 0, m ∈ N. Вектор-функции qκ и qκ ортогональны при κ = κ. Действительно, согласно формуле Гаусса—Остроградского B gκ · gκ dx = − gκ ∆gκ dx + S B gκ (n · )gκ dS. (18) Функции gκ (x) являются решениями задачи 4, они удовлетворяет уравнению Гельмгольтца (16) при ν = α2 /R2 > 0 с краевым условием Неймана. Слеn,m довательно, граничный интеграл пропадает, а B qκ · qκ dx = α2 n,m R2 gκ gκ dx. (19) B Но функции gκ (x) и gκ (x), согласно (17), взаимно ортогональны в L2 (B) при κ = κ. Значит, последний интеграл в (19) равен нулю и вектор-функции 137 Р. С. С а к с qκ и qκ взаимно ортогональны в L2 (B). Причём qκ (x) = αn,m /R, если gκ (x) = 1. 8. Пространство L2 (B) и собственные функции ротора. Линейное подпространство в L2 (B), образованное ортонормированной системой векторфункций {qκ (x)}, обозначим через A. Фактически, A = {grad h, h ∈ H 1 (B)}. Действительно, каждый элемент qκ (x) = gκ , где gκ ∈ H 1 (B). С другой стороны, функция h из H 1 (B) разлагается в сходящийся ряд h= (h, gκ )gκ , (gκ , gκ ) = δκ,κ . κ Обозначим через q± (x) решения задачи 1, которые, согласно теореме 1, κ соответствуют собственным значениям λ± , n, m ∈ N, и нормированы в n,m L2 (B)), т. е. q± (x) = 1. Они принадлежат подпространству κ V0 (B) = {u ∈ L2 (B) : div u = 0, n · u|S = 0, u V0 (B) = u L2 (B) }, где div u = 0, n · u|S = 0 понимаются в смысле теории распределений: V0 (B) = u ∈ L2 (B) : B u· hdx = 0, ∀h ∈ H 1 (B) . Очевидно, что A и V0 (B) — ортогональные подпространства в L2 (B). Через B ± обозначим подпространства в V0 (B), образованные системами векторфункций {q± (x)}. Имеет место следующая лемма. κ Лемма 4. Вектор-функции q+ (x) (и, соответственно, q− (x)) взаимно κ κ ортогональны при различных κ. Системы {q± (x)} образуют в подпространκ ствах B ± ортонормированные базисы. Кроме того, B + ортогонально B − . Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся формулой Грина B rot u · vdx − B u · rotvdx = S [u, v] · ndS. (20) Смешанное произведение [u, v] · n на сфере S совпадает с определителем 1 0 0 ur uθ uϕ vr vθ vϕ и равно uθ vϕ −uϕ vθ или Im(W V ) в комплексных обозначениях W = (uϕ +iuθ ) и V = (vϕ − ivθ ). Докажем ортогональность вектор-функций q+ (x) и q+ (x), при κ = κ. κ κ Они являются решениями задачи 1 и вычисляются по формулам (11), (12), где λ+ = ρn,m /R, c+ — действительные постоянные. n,m κ Вначале рассмотрим случай (n , m ) = (n, m), а значит λ+ ,m = λ+ . Подn,m n ставляя эти функции в формулу (20), получим λn ,m − λn,m 138 B q+ · q+ dx = Im κ κ π 0 2π 0 + Wk W + sin θdθdϕ. k (21) Собственные функции операторов ротора, градиента дивергенции и Стокса. Приложения Ортогональность будет доказана, если последний интеграл I в (21) обращается в нуль. Согласно формулам (12), π 2π I = A Im 0 0 k k HYn (θ, ϕ)HYn (θ, ϕ) sin θdθdϕ, где A = c+ (ρn ,m )−1 c+ (ρn,m )−1 Φn (ρn ,m )Φn (ρn,m ) — постоянная, а A — дейκ κ ствительна ввиду (15). Оператор H в этом интеграле перебросим, интегрируя по частям: π 2π Im A 0 0 k 2 k Yn (θ, ϕ)[−sin−1 θ∂θ (sin θ∂θ ) − sin−2 θ∂ϕ ] Yn (θ, ϕ) sin θdθ dϕ + π 2π + Im iA 0 0 k k Yn (θ, ϕ)[sin−1 θ(∂ϕ ∂θ − ∂θ ∂ϕ )] Yn (θ, ϕ) sin θ dθ dϕ = I. Последний интеграл равен нулю, так как сферические функции непрерывны вместе с производными любого порядка по ϕ и θ. В первом интеграле оператор, взятый в квадратные скобки, есть оператор Лапласа—Бельтрами (−∆θϕ ). Согласно свойству сферических функций, k k −∆θϕ Yn (θ, ϕ) = n(n + 1)Yn (θ, k). Подставляя это выражение под знак интеграла, получим λn ,m − λn,m B π + + qκ · qκ dx = Im n(n + 1)A 0 2π 0 k k Yn Yn sin θdθdϕ . (22) Так как сферические функции взаимно ортогональны при (n , k ) = (n, k), этот интеграл равен нулю. Итак, вектор-функции q+ (x) и q+ (x) ортогоκ κ нальны при (n , m ) = (n, m) и (n , k ) = (n, k). Если же (n , k ) = (n, k), m = m, то интеграл справа в (22) есть действительное число. Числа cκ , Φn (ρn,m ) и A также действительны, поэтому q+ ,n (x) и q+ (x) — ортогональны. k,m,n k,m В случае (n , m ) = (n, m) и k = k формула (22) не годится, так как её левая и правая части обращаются в нуль. Согласно формулам (11), (12), имеем B q+ ,m,n · q+ dx = k,m,n k = c+ ,m,n c+ ,m,n λ−2 m,n k k R 0 2 ψn (λn,m r)dr R π 2π 0 π 0 2π 0 0 Φn (λn,m r)Φn (λn,m r)dr + 0 k k Yn (θ, ϕ)Yn (θ, ϕ) sin θdθdϕ+ k k HYn (θ, ϕ)HYn (θ, ϕ) sin θdθ . k k Ввиду ортогональности функций Yn и Yn в L2 (S1 ) оба интеграла исчезают + + и, значит, векторы qk ,m,n и qk,m,n — ортогональны. Ортогональность вектор-функций q− (x) и q− (x) при κ = κ доказывается κ κ аналогично. 139 Р. С. С а к с Рассмотрим собственные функции q+ (x) и q− (x), соответствующие знаκ κ чениям λn,m и −λn,m различных знаков, при любых κ и κ. Повторяя предыдущие вычисления, имеем λn ,m + λn,m B π q+ · q− dx = Im κ κ 0 π 2π 0 2π = Im n(n + 1)B 0 0 + Wk W − sin θ dθ dϕ = k k k Yn (θ, ϕ)Yn (θ, ϕ) sin θdθdϕ , (23) где постоянная B = (−1)(n+1) c+ (ρn ,m )−1 c− (ρn,m )−1 Φn (ρn ,m )Φn (ρn,m ) дейκ κ ствительна. Правая часть (23) исчезает при любых κ и κ. Следовательно, векторфункции q+ (x) и q− (x), а значит и пространства B + и B − , ортогональны. κ κ Итак, из полноты в L2 (B) семейств собственных функций оператора Лапласа с условиями Дирихле и Неймана вытекает, что система вектор-функций {qκ (x)} полна в подпространстве A, системы {q+ (x)} и {q− (x)} в совокупκ κ ности полны в подпространстве V0 (B). Подпространства A и V0 (B) взаимно ортогональны в L2 (B). В случае шара их объединение совпадает с L2 (B) (см. [25]). Таким образом, мы получили ортогональное разложение Г. Вейля пространства L2 (B) по собственным вектор-функциям ротора: L2 (B) = A ⊕ V0 (B) = A ⊕ B + ⊕ B − . Теорема 2. Система собственных вектор-функций {qκ (x)}, {q+ (x)} и κ {q− (x)} задачи 1 в совокупности образует в пространстве L2 (B) ортонорκ мированный базис. Любую вектор-функцию из L2 (B) можно разложить в ряд Фурье по этому базису. Разложение Вейля векторного поля f из L2 (B) на безвихревое поле a и соленоидальное b имеет вид f (x) = a(x) + b(x), где ∞ ∞ n a= (f , qn,m,k ) qn,m,k (x), (24) n=0 m=1 k=−n ∞ ∞ n [(f , q+ ) q+ (x) + (f , q− ) q− (x)]. n,m,k n,m,k n,m,k n,m,k b= (25) n=1 m=1 k=−n Суммирование рядов (24), (25) идет по n, m, для которых 0 < αn,m < N и 0 < ρn,m < N , а затем N → ∞. Отметим, что эти ряды сходятся регулярно вместе с производными любого ∞ порядка, если f (x) ∈ C0 (B). Имеет место равенство Парсеваля—Стеклова f 2 = a 2 + b 2 , которое запишем так: ∞ f 2 = [(f , qn,m,k )2 + (f , q+ )2 + (f , q− )2 ], n,m,k n,m,k N =1 (n,m)∈PN k∈[−n,n] 140 Собственные функции операторов ротора, градиента дивергенции и Стокса. Приложения где решетка PN = {(n, m) : 0 < ρn,m < N, 0 < αn,m < N }, векторы q± 0,m,0 = 0. 9. Связь между решениями спектральных задач операторов Стокса и ротора. Перейдем к изучению спектральной задачи для оператора Стокса в ограниченной области G с параметром вязкости ν > 0 . Задача 5. Найти собственные вектор-функции (v(x), p(x)) и собственные значения µ оператора Стокса такие, что −ν∆v + p = µv, div v = 0 v|Γ = 0. в G, (26) Отметим, что собственной функцией этого оператора обычно считается только вектор-функция v(x), так как p определяется через v и µ. В монографии О. А. Ладыженской [1] доказано, что в ограниченной области G с гладкой границей Γ эта задача имеет дискретный спектр {µk }, где k = = 1, 2, . . . ; причём каждое µk > 0 и имеет конечную кратность. Мы уточним этот результат. Имеются полезные соотношения между решениями задач 1 и 5. Теорема 3. Справедливы следующие утверждения. a) Пусть u+ , u− удовлетворяют в области G уравнениям rot u± = ±λu± , λ > 0, а p(x) — гармоническая в G функция. Тогда пара (v, p), где v = u+ + u− + ν −1 λ−2 p, (27) есть решение уравнений Стокса (26) с µ = νλ2 . b) Если функции u+ , u− и p(x) удовлетворяют также краевым условиям n · u± |Γ = 0, (u+ + u− )|Γ = 0, (n · )p|Γ = 0, то (v, p), где v = u+ + u− , (28) (29) p = const, есть решение задачи 5 с µ = νλ2 . Д о к а з а т е л ь с т в о утверждения a) проводится непосредственной проверкой при условии, что функции u+ и u− являются решениями уравнений (4), (5). Действительно, −ν∆v + p = νλ2 (u+ + u− ) + p = νλ2 v. Далее, однородная задача Неймана (29) для гармонической функции p(x) в ограниченной области G с гладкой границей Γ имеет решение p = const, так как из формулы Гаусса—Остроградского вытекает, что G | p|2 dx = 0. Следовательно, разложение (27) принимает вид v = u+ + u− , а краевое условие v|Γ = 0 вытекает из соотношения (u+ + u− )|Γ = 0. С другой стороны, имеет место Теорема 4. Справедливы следующие утверждения. 141 Р. С. С а к с a) Пусть вектор-функция (v(x), p(x)) есть решение уравнений Стокса (26) с µ > 0, v(x) = 0, p(x) — гармоническая в G функция, и пусть λ = µν −1 . Тогда вектор-функция v представляется в виде суммы v = w + µ−1 p, где w удовлетворяет уравнениям (rot +λI)(rot −λI)w = 0, div w = 0. (30) b) Если p(x) удовлетворяет краевому условию (29), то v = w. В случае G = B существуют вектор-функции u± — решения уравнений rot u± = ±λu± с краевыми условиями (28) такие, что вектор-функция v представляется в виде суммы v = u+ + u− . Д о к а з а т е л ь с т в о. Вектор-функции v(x) и p(x) удовлетворяют уравнениям (26). Первые три из них запишем так: (rot +λI)(rot −λI)v = −ν −1 p. (31) Фиксируя p, рассмотрим соотношение (31) как дифференциальное уравнение относительно вектора v. Так как rot p ≡ 0 и µ = νλ2 , выражение µ−1 p — его частное решение, а выражение w = v − µ−1 p — решение однородного уравнения, то есть первого уравнения в (30). Второе уравнение div w = 0 следует из уравнения div v = 0. Если p удовлетворяет условию Неймана n · p|S = 0, то p = 0 и w = v есть элемент пространства B, так как div v = 0, v|Γ = 0 и n · v|Γ = 0. Пусть G = B, представим v ∈ B в виде ряда ∞ ∞ n [(v, q+ ) q+ (x) + (v, q− ) q− (x)] n,m,k n,m,k n,m,k n,m,k v= n=1 m=1 k=−n и подставим ряд в уравнение (31) при ∞ ∞ p = 0. Получим равенство n (λ2 − λ2 ) n,m n=1 m=1 Если λ2 −λ2 n,m [(v, q+ ) q+ (x) + (v, q− ) q− (x)] = 0. n,m,k n,m,k n,m,k n,m,k k=−n = 0 для любых n, m ∈ N, то (v, q± ) = 0 для любых n, m ∈ N, n,m,k k ∈ [−n, n], ввиду ортогональности между базисными векторами q± . Из n,m,k полноты системы {q± } в B вытекает, что v(x) = 0. Но это невозможно по n,m,k условию. Следовательно, существует пара n , m ∈ N такая, что λ2 = λ2 ,m . n Полагая n (v, q± ,m ,k ) q± ,m ,k (x), n n ± u (x) = k=−n получим разложение v = + u− . Замечание. В случае n · p|S = 0, очевидно, решения нет. Таким образом, решение задачи 5 в шаре возможно тогда и только тогда, когда p = 0, и сводится к отысканию решений (±λ, u± ) задачи 1 при λ = 0 таких, что (u+ + u− )|S = 0. u+ 142 Собственные функции операторов ротора, градиента дивергенции и Стокса. Приложения 10. Формулы для собственных функций оператора Стокса в шаре. В формулах (12) положим c± = cκ Φn (λn,m R): κ −1 k Φn (λ+ r)HYn (θ, ϕ), n,m −1 k Φn (λ− r)HYn (θ, ϕ). n,m (uϕ + iuθ )+ = cκ Φn (λ− R)(λ+ r) κ n,m n,m (uϕ + iuθ )− = cκ Φn (λ+ R)(λ− r) κ n,m n,m − + Отсюда видим, что при r = R сумма wκ + wκ равна нулю для любых углов θ и ϕ и любой комплексной постоянной cκ . k Функции ψn (λ± r), Yn (θ, ϕ) и числа λ± = ±ρn,m /R вещественные. Соn,m n,m − r) = (−1)n ψ (λ± r). Значит гласно (9) ψn (λn,m n n,m Φn (λ− r) = n,m r e−iλn,m (r−t) ψn (−λn,m t)t−1 dt = (−1)n Φn (λn,m r). 0 В п. 4 доказано, что Φn (ρn,m ) — действительное число. Поэтому радиальная составляющая вектора vκ = u+ + u− исчезает: κ κ k cκ (λn,m r)−1 [Φn (λ− R)ψn (λ+ r) − Φn (λ+ R)ψn (λ− r)]Yn (θ, ϕ)ir = n,m n,m n,m n,m k = cκ (−1)n (λn,m r)−1 [Φn (ρn,m ) − Φn (ρn,m )] ψn (λn,m r)Yn (θ, ϕ)ir = 0, (32) а его касательная проекция равна k Re{cκ (−1)n (λn,m r)−1 Φn (ρn,m )[Φn (λn,m r) − Φn (λn,m r)] HYn (θ, ϕ)iϕ }+ k + Im{cκ (−1)n (λn,m r)−1 Φn (ρn,m )[Φn (λn,m r) − Φn (λn,m ] HYn (θ, ϕ)iθ }. (33) Выражение в квадратных скобках является мнимой величиной. Выбирая постоянную cκ = i bκ также мнимой, bκ ∈ R, получаем вектор-функцию vκ = = u+ + u− , которая представляется в виде суммы двух взаимно ортогональκ κ ных векторов: vκ = bκ Φn (ρn,m )(λn,m r)−1 Im[Φn (λn,m r)]× k k × (Re HYn (θ, ϕ)iϕ + Im HYn (θ, ϕ) iθ ) = = bκ Φn (ρn,m )(λn,m r)−1 Im[Φn (λn,m r)]× k k × (sin−1 θ∂ϕ Yn (θ, ϕ) iϕ + ∂θ Yn (θ, ϕ) iθ ). (34) Таким образом, vκ = u+ + u− является вещественной собственной векторκ κ функцией оператора Стокса, отвечающей собственному значению νλ2 . Норn,m мируя вектор-функции u± в L2 (B), получим собственные вектор-функции κ оператора Стокса в виде vκ = q+ + q− . Итак, доказана следующая теорема. κ κ Теорема 5. Собственные значения µn,m задачи 5 равны νλ2 , где λn,m = n,m = ρn,m /R, R — радиус шара, а числа ρn,m — нули функций ψn (z), m, n ∈ N. Соответствующие собственные вектор-функции vκ оператора Стокса являются суммой q+ + q− собственных вектор-функций ротора. В сфериκ κ ческих координатах они представляются в виде суммы (34) двух векторов. 143 Р. С. С а к с Вектор-функции vκ принадлежат пространству V1 (B) = {u ∈ H1 (B) : div u = 0, u|S = 0, u V1 (B) = u L2 (B) } и образуют в нём ортогональный базис [1]. 11. Ряды Фурье операторов ротора и Стокса. Рассмотрим вектор-функции − + vκ = q+ −q− , ортогональные vκ ≡ vκ = q+ +q− в L2 (B). Согласно формулам κ κ κ κ (32), (33), их радиальная и касательная составляющие следующие: k aκ (λn,m r)−1 [Φn (λ− R)ψn (λ+ r) + Φn (λ+ R)ψn (λ− r)]Yn (θ, ϕ)ir = n,m n,m n,m n,m k = 2aκ (−1)n (λn,m r)−1 Φn (ρn,m ) ψn (λn,m r)Yn (θ, ϕ)ir , k Re{aκ (−1)n (λn,m r)−1 Φn (ρn,m )[Φn (λn,m r) + Φn (λn,m r)] HYn (θ, ϕ)iϕ }+ k + Im{aκ (−1)n (λn,m r)−1 Φn (ρn,m )[Φn (λn,m r) + Φn (λn,m ] HYn (θ, ϕ)iθ }. Они не принадлежат пространству V1 (B) ⊂ V0 (B), но принадлежат пространству V0 (B) = {u ∈ L2 (B) : div u = 0, n · u|S = 0, u V0 (B) = u L2 (B) } + и образуют в нём (вместе с {vκ }) ортогональный базис (мы предполагаем, + }, {q− } ортонормированы). В этом базисе разложение (25) что системы {qκ κ вектор-функции f (x) из V0 (B) имеет вид ∞ f = 1/2 ∞ n − − + + [(f , vn,m,k ) vn,m,k (x) + (f , vn,m,k ) vn,m,k (x)]. (35) n=1 m=1 k=−n Для вектор-функций g(x) из подпространства V1 (B) в V0 (B) разложение по собственным функциям vκ = q+ + q− оператора Стокса имеет вид κ κ ∞ g = 1/2 ∞ n [(g, vn,m,k ) vn,m,k (x)]. (36) n=1 m=1 k=−n Напомним, что суммирование рядов (35) и (36) идёт по n, m, для которых 0 < ρn,m < N , а затем N → ∞. Автор выражает признательность и благодарность И. В. Воловичу и организаторам конференции «Математическая физика и её приложения – 2012» за приглашение к участию.

About the authors

Romen S Saks

Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Science Centre, Russian Academy of Sciences

Email: romen-saks@yandex.ru
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Leading Researcher, Dept. of Computational Mathematics. 112, Chernyshevskiy st., Ufa, Russia, 450077

References

Supplementary files